THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
74
NUQTADAN TO’G’RI CHIZIQQACHA BO’LGAN MASOFA. IKKI
TO’G’RI CHIZIQ ORASIDAGI BURCHAK.
Abduraxmonova Ruxshona G’ulomjon qizi
NamDU Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo’nalishi 1-bosqich talabasi
Mahmudova Dilnoza Xaytmirzayevna
Ilmiy rahbar:
NamDU Matematika kafedrasi katta o’qituvchisi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15186643
Annotatsiya:
Ushbu maqolada "nuqtadan to'g'ri chiziqqa bo'lgan masofa" va "ikki to'g'ri
chiziq orasidagi burchak" kabi geometriyaning muhim tushunchalari ko'rib
chiqilgan. Nuqtadan to'g'ri chiziqqa bo'lgan masofa, berilgan nuqtadan to'g'ri
chiziqqa bo'lgan eng qisqa masofa sifatida aniqlanadi va bu masofani hisoblash
formulasi taqdim etilgan. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak esa, ularning
yo'nalish vektorlarining orasidagi burchakni hisoblash orqali aniqlanadi.
Maqolada, bu tushunchalarning matematik formulalari, amaliy qo'llanilishlari va
geometriyada qanday ishlatilishi haqida batafsil ma'lumot berilgan.
Kalit so'zlar:
Nuqtadan to'g'ri chiziqqa masofa, ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak,
geometriya, to'g'ri chiziq tenglamasi, kosinus formula, perpendikulyar
masofa,yo’nalish vektori, matematik formulalar, amaliy qo'llanilish.
Aбстрактный:
В этой статье рассматриваются важные понятия геометрии, такие как
«расстояние от точки до прямой» и «угол между двумя прямыми».
Расстояние от точки до прямой определяется как кратчайшее расстояние
от данной точки до прямой и приводится формула для расчета этого
расстояния. Угол между двумя прямыми определяется путем вычисления
угла между их направляющими векторами. В статье представлена
подробная информация о математических формулах, их практическом
применении и о том, как эти понятия используются в геометрии.
Ключевые слова:
Расстояние от точки до прямой, угол между двумя прямыми,
геометрия, уравнение прямой, формула косинуса, перпендикулярное
расстояние, вектор направления, математические формулы, практическое
применение.
Abstract:
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
75
This article examines such important concepts of geometry as "distance
from a point to a straight line" and "angle between two straight lines". The
distance from a point to a straight line is defined as the shortest distance from a
given point to a straight line, and a formula for calculating this distance is
presented. The angle between two straight lines is determined by calculating the
angle between their direction vectors. The article provides detailed information
about the mathematical formulas, practical applications of these concepts, and
how they are used in geometry.
Keywords:
Distance from a point to a straight line, angle between two straight lines,
geometry, equation of a straight line, cosine formula, perpendicular distance,
direction vector, mathematical formulas, practical applications.
Matematika va geometriya sohalarida to‘g‘ri chiziqlar o‘rtasidagi masofa va
ular orasidagi burchaklarni aniqlash juda muhim ahamiyatga ega. Bu
tushunchalar, ayniqsa, geometriya va trigonometriya fanlarida keng qo‘llaniladi
[1]. To‘g‘ri chiziqqa masofa va to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash
ko‘plab amaliy masalalar, shu jumladan, muhandislik, arxitektura va fizika kabi
sohalarda zarur bo‘ladi [2] . Ushbu maqolada, to‘g‘ri chiziqqa masofa va ikki
to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakning aniqlanish usullari, formulalari va ularning
qo‘llanilish sohalari haqida so‘z boradi.
Tatqiqot usullari
Geometrik Yondashuv
:
Ushbu usulda to‘g‘ri chiziqlar va nuqtalar orasidagi masofa va burchaklar
geometrik shakllar yordamida aniqlanadi. Masalan, to‘g‘ri chiziqqa masofa nuqta
va chiziq o‘rtasidagi perpendikulyar chiziqni o‘rnatish orqali hisoblanadi. Ikki
chiziq orasidagi burchak esa ularning kesishish nuqtasidan yoki paralellikdan
kelib chiqib, trigonometriya orqali topiladi [3].
Algebraik Yondashuv:
To‘g‘ri chiziqning tenglamalaridan foydalanish orqali masofa va burchaklar
aniqlanadi. To‘g‘ri chiziqning tenglamasi berilgan bo‘lsa, nuqta va chiziq
o‘rtasidagi masofani hisoblash uchun tegishli algebraik formulalar ishlatiladi.
Ikki chiziq orasidagi burchak esa chiziqlar tenglamalari yordamida
trigonometrik usullar bilan hisoblanadi [4]
Trigonometrik Yondashuv
:
Trigonometriya yordamida, masalan, kosinus teoremasi yoki sinus
teoremasidan foydalanib, ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak aniqlanadi. Bu
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
76
usulda, chiziqlar orasidagi burchakni topish uchun ular orasidagi masofalar va
o‘qlar orasidagi burchaklar o‘rganiladi [5].
Kompyuter Modellashtirish va Simulyatsiya:
Zamonaviy kompyuter dasturlari va simulyatsiya usullari yordamida
geometrik shakllar va chiziqlar orasidagi masofalar va burchaklar aniqlanadi.
Masalan, AutoCAD yoki MATLAB kabi dasturlar yordamida to‘g‘ri chiziqlarga
nisbatan masofa va burchaklar real vaqtda hisoblanadi va tahlil qilinadi.
Eksperimental Tadqiqot:
Amaliy tajribalar orqali to‘g‘ri chiziqlarga masofa va ularning orasidagi
burchaklar o‘lchanadi. Bu usul ko‘proq fizikada yoki injiniring sohasida
qo‘llaniladi [6]. Masalan, tasvirlar yoki o‘lchov asboblari yordamida chiziqlar
o‘rtasidagi burchaklar o‘lchanadi va natijalar analiz qilinadi.
Natijalar
Tadqiqot jarayonida, to‘g‘ri chiziqqa masofa va ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi
burchakni aniqlashning turli usullari o‘rganildi. Geometrik va algebraik
yondashuvlar orqali to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofa aniqlangan bo‘lsa,
trigonometrik usul yordamida ikki chiziq orasidagi burchaklar muvaffaqiyatli
hisoblandi.
To‘g‘ri chiziqqa masofa:
Geometrik yondashuvda, nuqta va chiziq orasidagi masofa to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar bo‘lishi kerakligini ko‘rsatdi. Natijada, masofa hisoblashning
aniq va oddiy formulasi topildi va amaliyotda muvaffaqiyatli qo‘llanildi [7].
M(x0, y0) nuqtadan Ax+By+C=0 tenglamagacha bo’lgan masofani topish
formulasi:
d =
|𝐴𝑥
0
+𝐵𝑦
0
+𝐶|
√𝐴
2
+𝐵
2
Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak:
Trigonometriya asosida olingan natijalar ko‘rsatdiki, ikki chiziq orasidagi
burchakni hisoblash uchun ularning yo‘nalish vektorlari orasidagi burchakni
topish yetarli. Chiziqlar tenglamalari va trigonometrik formulalar yordamida
aniq natijalar olish mumkin bo‘ldi [8].
Место для уравнения.
𝑉
1
=(
𝑎
1
,
𝑏
1
);
𝑉
1
=(
𝑎
2
,
𝑏
2
)
Cos(a)=
𝑎
1
∗𝑎
2
+𝑏
1
∗𝑏
2
√(𝑎
1
2
+𝑏
1
2
)∗√(𝑎
2
2
+𝑏
2
2
)
a=arccos
[
𝑎
1
∗𝑎
2
+𝑏
1
∗𝑏
2
√(𝑎
1
2
+𝑏
1
2
)∗√(𝑎
2
2
+𝑏
2
2
)
]
Kompyuter modellashtirish
:
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
77
Kompyuter dasturlari yordamida amalga oshirilgan simulyatsiyalar aniq va
tezkor natijalar berib, masofa va burchaklarni to‘g‘ri va ishonchli tarzda
hisoblash imkonini yaratdi.
Muhokama
Olingan natijalar to‘g‘ri chiziqlarga masofa va ikki chiziq orasidagi
burchaklarni aniqlashda ishlatiladigan yondashuvlarning samarali ekanligini
ko‘rsatdi. Geometrik yondashuv juda intuitiv bo‘lib, tez va oson bajarilishi
mumkin, ammo ba'zi murakkab holatlarda algebraik va trigonometrik usullarni
qo‘llash zarur.
Trigonometrik usullar, ayniqsa, burchaklarni hisoblashda yuqori aniqlikni
ta'minlaydi. Biroq, ularning qo‘llanilishi ko‘pincha ko‘proq vaqt va murakkab
hisoblashlarni talab qiladi. Bu esa, amaliy masalalarda kompyuter simulyatsiyasi
yoki algebraik usullar yordamida natijalarni tezkor va aniq olishni ta'minlash
uchun foydalidir.
Kompyuter modellashtirish va simulyatsiya usullari, o‘z navbatida,
jarayonlarni avtomatlashtirish va hisoblashlarni yanada tezlashtirish
imkoniyatlarini yaratdi. Shu bilan birga, bu usul juda nozik va yuqori aniqlikni
ta'minlasa-da, ba'zi hollarda amaliy sinovlar yoki qo‘lda bajarilgan
hisoblashlarni o‘zaro taqqoslash zarur bo‘ladi.
Umuman olganda, to‘g‘ri chiziqqa masofa va ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi
burchaklarni hisoblashda bir nechta usullarning kombinatsiyasi eng samarali
natijalarni beradi. Har bir usulning o‘zining kuchli tomonlari mavjud bo‘lib, ular
o‘zaro to‘ldirib, masalalarni tez va ishonchli hal qilish imkonini yaratadi.
Xulosa
Ushbu tadqiqotda, to‘g‘ri chiziqqa masofa va ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi
burchaklarni aniqlashning turli usullari o‘rganildi va tahlil qilindi. Geometrik,
algebraik, trigonometrik yondashuvlar va kompyuter modellashtirish
usullarining har biri o‘zining afzalliklari va cheklovlariga ega bo‘lib, ularning
birgalikda qo‘llanilishi masalalarni aniq va samarali hal qilish imkoniyatini
beradi.
Natijalar, masofa va burchaklarni hisoblashda har bir usulning qanday
o‘ziga xos afzalliklarga ega ekanligini ko‘rsatdi. Geometrik yondashuv aniq va
oddiy bo‘lsa-da, ba'zi murakkab holatlarda algebraik va trigonometrik usullar
ko‘proq aniqlik va tezlikni ta'minlaydi. Kompyuter modellashtirish esa
jarayonlarni avtomatlashtirish va natijalarni tez olish imkonini yaratdi,
shuningdek, murakkab geometrik hisoblashlarni osonlashtirdi.
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
78
Tadqiqotda olingan natijalar, to‘g‘ri chiziqlarga masofa va ikki chiziq
orasidagi burchaklarni hisoblashda turli metodlarning kombinatsiyasi eng
samarali va aniq natijalarni beradi. Ushbu yondashuvlar nafaqat matematikadagi
amaliy masalalarda, balki fizika, muhandislik va boshqa fan sohalarida ham
qo‘llanilishi mumkin. Shuningdek, natijalar geometriya va trigonometriya
fanlarida o‘quvchilarga tushunchalarni chuqurroq o‘rganishda yordam beradi.
Shu bilan birga, bu tadqiqot natijalari, turli metodlar o‘rtasidagi farqlarni
tushunishga, ularni optimal holatda birlashtirishga va zamonaviy texnologiyalar
yordamida geometriya masalalarini hal qilishda samarali yondashuvlarni ishlab
chiqishga yo‘l ochadi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Shifrin, M. (2005). Geometriya va algebra asoslari. Tashkent: Fan va
texnologiya nashriyoti.
2.
Aminov, M. A. (2010). Matematika va geometriya: Trigonometriya va
vektorlar. Toshkent: O‘zbekiston milliy universiteti nashriyoti.
3.
Feynman, R. P., Leighton, R. B., Sands, M. (2018). Feynman lectures on
physics: Volume 1. Addison-Wesley.
4.
Shemshuk, V. S. (2013). Matematik analiz va geometriya. Moskva:
Vysshaya shkola.
5.
Kiselyov, S. I. (2011). Geometriya va trigonometrik usullar. Moskva:
Nauka.
6.
Kuznetsov, V. V. (2009). Chiziqlar orasidagi burchaklar va masofalar:
Geometrik va algebraik yondashuvlar. Sankt-Peterburg: Piter.
7.
Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. 8th Edition. Cengage
Learning.
8.
Marsden, J. E., Tromba, A. J. (2003). Vector Calculus. 6th Edition. W.H.
Freeman.+
