THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
35
TEKISLIKDA TO’G’RI CHIZIQ TENGLAMALARI VA ULARNI
AMALIYOTGA TADBIQI
Abdulhayeva Gulbahor Ulug’bek qizi
NamDu Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo’nalishi1-bosqich talabasi
Mahmudova Dilnoza Xaytmirzayevna
Ilmiy rahbar:
NamDu Matematika kafedrasi Katta O’qituvchisi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15167776
Annotatsiya
Ushbu maqolada tekislikdagi to‘g‘ri chiziq tenglamalari va ularning turli
shakllari batafsil ko‘rib chiqiladi. Shuningdek, to‘g‘ri chiziqlarning o‘zaro
munosabatlari – parallel, perpendikulyar va kesishish holatlari ham tahlil
qilinadi. Mazkur mavzu geometriya va analitik geometriyada keng qo‘llaniladi.
Kalit so‘zlar:
To‘g‘ri chiziq tenglamasi, yo‘nalish koeffitsienti, parallel
chiziqlar, perpendikulyar chiziqlar, umumiy tenglama, kesmalar usuli, analitik
geometriya.
Аннотация
В данной статье подробно рассматриваются уравнения прямой на
плоскости и их различные формы. Также анализируются взаимные
положения прямых — параллельность, перпендикулярность и точка
пересечения. Данная тема широко применяется в геометрии и
аналитической геометрии.
Ключевые слова:
уравнение прямой, коэффициент наклона,
параллельные прямые, перпендикулярные прямые, общее уравнение,
метод отрезков, аналитическая геометрия.
Abstract
This article provides a detailed overview of linear equations of a line on the
plane and their various forms. The mutual relationships of lines — parallelism,
perpendicularity, and points of intersection — are also analyzed. This topic is
widely applied in geometry and analytic geometry.
Keywords:
linear equation, slope coefficient, parallel lines, perpendicular
lines, general equation, intercept method, analytic geometry.
Geometriyada to‘g‘ri chiziqlar alohida o‘rin egallaydi, chunki ular fazodagi
eng sodda, ammo shu bilan birga ko‘plab murakkab jarayonlarning asosiy
modeli hisoblanadi. To‘g‘ri chiziq — ikki nuqtani tutashtiruvchi eng qisqa
masofa bo‘lib, u Evklid geometriyasining eng asosiy obyekti sanaladi .
Koordinatalar tekisligida to‘g‘ri chiziqlar turli holatlarda bo‘lishi mumkin: ular
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
36
kesishishi, parallel bo‘lishi yoki ustma-ust tushishi mumkin. Bu munosabatlar
ularning algebraik tenglamalari orqali aniqlanadi.
Matematik tenglamalar orqali to‘g‘ri chiziqni ifodalash, ayniqsa, texnik
fanlar, fizikaviy modellashtirish va muhandislik sohalarida keng qo‘llaniladi.
Chunki harakat trayektoriyasi, kuchlar taqsimoti, elektr zanjirlaridagi
kuchlanish va toklar o‘zgarishini tasvirlashda ko‘pincha chiziqli bog‘lanishlar
ishlatiladi. Ayniqsa, fizika va muhandislikda chiziqli tenglamalar yordamida
modellar tuzish oddiylik va aniqlikni ta’minlaydi .
Mazkur maqolada to‘g‘ri chiziqning analitik geometriyadagi asosiy
tenglamalari—umumiy, kesmalar orqali ifodalangan, parametrik va vektor
tenglamalari — ko‘rib chiqiladi. Har bir ko‘rinish uchun grafik tahlil, matematik
asos va amaliy qo‘llanilishi yoritiladi.
Adabiyotlar tahlili va metodologiya
To‘g‘ri chiziq tenglamalarini o‘rganish analitik geometriyaning asosiy
bo‘limlaridan biri bo‘lib, bu mavzu tarixiy va zamonaviy manbalarda keng
yoritilgan. Tadqiqot jarayonida ushbu yo‘nalishda yetakchi hisoblangan klassik
adabiyotlar va zamonaviy qo‘llanmalarga tayanildi. Ularning mazmuni taqqoslab
o‘rganildi, metodik yondashuvlar chuqur tahlil qilindi.
Adabiyotlar tahlili. Klassik yondashuv sifatida A.P. Kiselevning "Начала
аналитической геометрии" asari asos qilib olindi. Bu manbada to‘g‘ri
chiziqning tekislikdagi umumiy va xususiy ko‘rinishlari, chiziqlarning o‘zaro
kesishishi, parallel va perpendikulyarlik holatlari geometrik nuqtai nazardan
batafsil yoritilgan . Kiselev asarida tahlil vizual va tushunarli asosga qurilgan
bo‘lib, boshlang‘ich bosqichdagi o‘rganishlar uchun muhim ahamiyatga ega.
Zamonaviy manba sifatida H. Anton va C. Rorres’ning "Elementary Linear
Algebra" asarida esa to‘g‘ri chiziq tenglamalari algebraik strukturalar nuqtai
nazaridan tahlil qilinadi. Bu yerda chiziqli tenglamalarning matritsali
ifodalanishi, chiziqli bog‘liqlik va vektor tushunchalari bilan aloqasi kengroq
ochib beriladi . Bu yondashuv orqali mavzuning chuqurroq algebraik mazmuni
aniqlanadi.
Matematik modellashtirish nuqtai nazaridan esa E. Kreyszigning "Advanced
Engineering Mathematics" asari muhim ahamiyat kasb etadi. Unda to‘g‘ri
chiziqlar real texnik jarayonlarga qanday bog‘lanishi (masalan, elektr
zanjirlardagi kuchlanish tenglamalari yoki mexanik kuchlar ta’siri ostidagi
trayektoriyalar) amaliy misollar bilan yoritiladi .
Algebraik tahlil. Chiziqli tenglamalarning analitik ko‘rinishi — bu ularning
umumiy formulalar asosida o‘rganilishi deganidir.
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
37
Umumiy ko‘rinish Ax+By+C=0 bo‘yicha tenglama parametrlari (ya’ni A,B,C)
ning qiymatlariga qarab, chiziqning nishabi, yo‘nalishi va koordinatalar o‘qiga
nisbatan holati aniqlanadi. Algebraik tahlil bu parametrlarning o‘zgarishlariga
ko‘ra chiziqning xatti-harakatini modellashtirish imkonini beradi .
Bundan tashqari, yana bir ko‘rinish y=kx+b ham matematik nuqtai
nazardan ko‘p hollarda qulayroq bo‘lib, ayniqsa grafik tahlilga o‘tishda afzallik
beradi. Bu yondashuv orqali chiziqning o‘tkirlik darajasi (nishabi) aniq
ko‘rsatiladi, bu esa harakat trayektoriyalari yoki iqtisodiy prognozlarda qo‘l
keladi.
Agar to‘g‘ri chiziq nuqtasi va yo‘nalish koeffitsienti (tangens) berilgan
bo‘lsa, u quyidagicha ifodalanadi: y-y_1=k(x-x_1). Bu yerda (x_1,y_1) – to‘g‘ri
chiziqqa tegishli nuqta, k– yo‘nalish koeffitsienti.
Agar to‘g‘ri chiziq x va y o‘qlarini mos ravishda a va b nuqtalarida kesib
o‘tsa, uning tenglamasi quyidagicha bo‘ladi: x/a+y/b=1 Bu shaklda chiziq
koordinata o‘qlari bilan qanday kesishishini qulay aniqlash mumkin.
Grafik tasvirlash. To‘g‘ri chiziq tenglamalarini grafik ko‘rinishda tasvirlash,
ularning fazodagi joylashuvi va o‘zaro munosabatlarini intuitiv anglashga imkon
beradi. Grafik yondashuv orqali:
Kesishish nuqtalari (ya’ni tenglamalar sistemasining yechimlari);
Parallel va perpendikulyar holatlar;
Koordinatalar o‘qini qanday kesib o‘tishi;
ancha oson tushuniladi. Vizual yondashuv, ayniqsa o‘quvchilarga yoki yangi
o‘rganuvchilarga mavzuni chuqur anglashda juda samarali hisoblanadi .
Amaliy sohalarda, masalan, fizika va iqtisodiyotda grafik asosli chiziqli
regressiya modellari ham aynan shu yondashuvdan foydalanadi.
Taqqoslov yondashuvi. Turli manbalarda chiziqli tenglamalar har xil
metodik asosda yoritilgan: ba’zilar geometriyaviy, boshqalar esa algebraik yoki
analitik asosga qurilgan. Bu maqolada har ikkala yondashuv solishtirildi.
Taqqoslov tahlil natijasida aniq bo‘ldiki, bosqichma-bosqich yondashuv (oldin
grafik, keyin algebraik) talabalarda yuqori darajadagi tushunishni ta’minlaydi.
Shuningdek, vektorli yondashuv orqali to‘g‘ri chiziq r
⃗
=a
⃗
+λb
⃗
kabi
parametrik ifoda bilan ko‘rsatiladi, bu esa fazoviy geometriyada qo‘llaniladi va
matematik fizika, informatika, sun’iy intellekt sohalarida keng qo‘llanmoqda .
Amaliy modellashtirish. To‘g‘ri chiziq tenglamalari matematik
modellashtirishda oddiy, ammo kuchli vosita hisoblanadi. Muhandislikda,
masalan,
issiqlik
tarqalishi,
elektr
kuchlanishlarning
o‘zgarishini
modellashtirishda chiziqli bog‘lanishlar dastlabki tahlil vositasi sifatida
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
38
ishlatiladi. Bu yondashuv, oddiy ko‘rinishga ega bo‘lishiga qaramay, ko‘plab
murakkab tizimlar uchun asos bo‘lib xizmat qiladi .
Ayniqsa, sun’iy intellekt va mashinaviy o‘rganishda chiziqli regressiya
modellari asosiy prognozlash usuli bo‘lib, ular aynan shu matematik asosga ega.
Natijalar
Natijalarni qo‘llash mumkin bo‘lgan asosiy sohalar
1. Fizika. To‘g‘ri chiziq tenglamalari fizikaning ko‘plab bo‘limlarida harakat,
kuch va tezliklar o‘rtasidagi chiziqli bog‘liqlikni ifodalashda ishlatiladi. Masalan:
Tezlik va masofa orasidagi bog‘liqlik: s=vt(s:masofa,v:tezlik,t:vaqt)
bu chiziqli funksiyadir va grafikda to‘g‘ri chiziq beradi.
Guk qonuni: kuch va cho‘zilish orasidagi chiziqli bog‘liqlik F=kx. Bu
yondashuv orqali fizik hodisalarni modellashtirish soddalashadi .
2. Muhandislik (Engineering)
Muhandislikda turli tizimlar (masalan, elektr, mexanika yoki qurilish) to‘g‘ri
chiziqli tenglamalar orqali tavsiflanadi:
Elektronika: Ohm qonuni V=IR to‘g‘ri chiziqli tenglamadir.
Qurilishda balandlik va uzunlik o‘rtasidagi linear proporsiyalarni
aniqlashda.
Termodinamikada grafik tahlil: temperatura va bosim o‘rtasidagi grafik
chiziqlar.
Shuningdek, muhandislik dizaynlarida AutoCAD va boshqa grafik tizimlar
to‘g‘ri chiziqli ko‘rinishlar asosida ishlaydi .
3. Iqtisodiyot va biznes
Chiziqli modellarning eng keng qo‘llaniladigan sohalaridan biri:
Narx va talab o‘rtasidagi munosabatlar ko‘pincha chiziqli regressiya orqali
ifodalanadi:
y=kx+b(y:talab,x:narx)
Marketingda: sotuvlar va reklama xarajatlari orasidagi chiziqli bog‘liqlik.
Budjet prognozlari va moliyaviy tahlillarda linearlik asosiy asos bo‘lib
xizmat qiladi.
To‘g‘ri chiziqli regressiya statistik prognozlash va AI algoritmlarining
poydevoridir .
4. Informatika va sun’iy intellekt
Mashina o‘rganish algoritmlarining asosiy modeli — chiziqli regressiya:
Ma’lumotlar to‘plamidagi tendensiyalarni aniqlash.
Klassifikatsiya va bashoratlash algoritmlarida asosiy tayanch.
Neyron tarmoqlarning boshlang‘ich qatlamlarida linear transformatsiyalar.
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
39
Informatikada, ayniqsa sun’iy intellekt sohasida to‘g‘ri chiziq algoritmlari
"oddiy, ammo kuchli" yechim hisoblanadi .
5. Grafik dizayn va geometriya
To‘g‘ri chiziqlar grafik vizualizatsiyaning poydevori hisoblanadi:
Kompyuter grafikasi: 2D-animatsiyalar, trayektoriya chizish.
Interfeys dizaynida elementlar o‘rtasidagi joylashuv chiziqli koordinatalar
asosida hisoblanadi.
Vektorli grafik tahrirlagichlar (masalan, Adobe Illustrator) chiziqlarni
parametrik tenglamalar orqali tasvirlaydi.
Bu sohalarda to‘g‘ri chiziq tenglamalari nafaqat geometriyaviy, balki vizual
estetika vositasi sifatida ham xizmat qiladi .
6. Ta’lim va pedagogika
Maktab va universitet o‘quv dasturlarida to‘g‘ri chiziq tenglamalari:
Algebra va geometriya bo‘limlarida muhim mavzu hisoblanadi.
O‘quvchilarning tahliliy va grafik tafakkurini rivojlantirishda asosiy vosita.
Darsliklarda tez-tez uchraydigan real hayotiy misollar orqali tushuntiriladi.
Ta’limda bu mavzu orqali o‘quvchilar birinchi marta tushunchalarning
vizual va algebraik ko‘rinishi o‘rtasidagi bog‘liqlikni anglaydi .
Muhokama
Tadqiqot davomida to‘g‘ri chiziq tenglamalari va ularning o‘zaro bog‘liqligi
geometriya hamda algebra usullari asosida har tomonlama tahlil qilindi. Bu
jarayonda analitik tahlil, grafik vizualizatsiya va algebraik hisoblashlar bir-birini
to‘ldiruvchi vosita sifatida ishlatilgani, masalaning chuqur yoritilishiga imkon
berdi. Olingan natijalar shuni ko‘rsatdiki, har bir tenglama shakli — umumiy,
eğimli, parametrik yoki kesma asosidagi — ma’lum kontekstda maksimal
samarali qo‘llaniladi.
Xususan, parallel va perpendikulyarlik shartlarining ifodalanishi faqat
klassik geometriya bilan cheklanmay, balki differensial geometriya hamda
analitik mexanika doirasida ham muhim ahamiyat kasb etadi. Masalan, egri
chiziqlarning lokal to‘g‘ri chiziq approximatsiyalari, trayektoriya analizida
tangentlar orqali ifodalangan holatlarda bu shartlar amalda qo‘llaniladi .
Bundan tashqari, ushbu tenglama shakllari asosida linearlik tushunchasi
o‘rganildi. Bu tushuncha matematikaning boshqa ko‘plab sohalarida — chiziqli
algebra, funksional analiz va optimizatsiya nazariyasida — poydevor vazifasini
bajaradi. Shu nuqtai nazardan, ushbu mavzuning kelajakdagi tadqiqotlarida uni:
egri chiziqlar (masalan, parabolalar, ellipslar) bilan solishtirish, chiziqli
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
40
bo‘lmagan tenglamalar bilan taqqoslash, amaliy masalalardagi modellashtirish
vositasi sifatida tahlil qilish, yo‘nalishlarida kengaytirish maqsadga muvofiqdir .
Xulosa
To‘g‘ri chiziq tenglamalari matematikada asosiy tushunchalardan biri
bo‘lib, ular turli ko‘rinishlarda — umumiy, eğimli, parametrik va kesmalar bilan
berilgan shakllarda — ifodalanadi. Bu shakllarning har biri o‘ziga xos xususiyat
va qo‘llanilish imkoniyatlariga ega.
Ularning o‘zaro munosabatlari, xususan parallel va perpendikulyarlik
holatlari, algebraik ifodalar orqali aniq belgilanadi va grafik tasvirlarda vizual
tarzda tasdiqlanadi. Ushbu munosabatlar nafaqat nazariy matematikada, balki
muhandislik, fizika, iqtisodiyot, sun’iy intellekt va grafik dizayn kabi ko‘plab
amaliy sohalarda keng tatbiq etiladi.
Shu bois, to‘g‘ri chiziq tenglamalari haqida chuqur bilimga ega bo‘lish,
nafaqat matematikani o‘rganishda, balki zamonaviy texnologiyalar va ilmiy
modellashtirishda ham asosiy kompetensiya sifatida qaraladi. Tadqiqotning
dolzarbligi va amaliy ahamiyati bu mavzuni yanada kengroq o‘rganish
zaruriyatini ko‘rsatmoqda.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics
(10th ed.). Wiley.
2.
Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). Wiley.
3.
Wooldridge, J. M. (2020). Introductory Econometrics: A Modern Approach
(7th ed.). Cengage Learning.
4.
Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.
5.
Hearn, D., & Baker, M. P. (2014). Computer Graphics with OpenGL (4th
ed.). Pearson.
6.
Larson, R., & Hostetler, R. (2017). Precalculus: A Graphing Approach (6th
ed.). Cengage Learning.
7.
do Carmo, M. P. (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.
Prentice-Hall.
8.
Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-
Cambridge Press.
