ISSN:
2181-3906
2024
International scientifijournal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
53
IXTIYORIY CHIZIQLI CHEGARAVIY SHARTLARDA ISSIQLIK VA MASSA
KO‘CHISHI MASALASINI YECHISH UCHUN TO‘G‘RI CHIZIQLAR USULI
Eshmurodov Mas’udjon Xikmatillayevich
Samarqand davlat arxitektura-qurilish universiteti, 140147, Samarqand, Uzbekistan.
ORCID ID:
https://orcid.org/0009-0005-0667-8116
masudeshmurodov@samdaqu.edu.uz
, +998933501484.
Shaimov Komiljon Mirzakabulovich
Samarqand davlat arxitektura-qurilish universiteti, 140147, Samarqand, Uzbekistan.
ORCID ID:
https://orcid.org/0009-0005-8279-4530
, +998937228187.
https://doi.org/10.5281/zenodo.11113246
Annotatsiya.
Ixtiyoriy chiziqli chegaraviy shartlarga ega masalani Dirixle masalasiga
keltirish yoʼli bilan toʻgʻri chiziqlar usulini qoʻllash usuli ishlab chiqilgan. Issiqlik va massa
almashinuvi masalalarini hal qilishda eng koʻp foydalaniladigan usul chekli ayirmalar usuli
hisoblanadi Funktsiyaning faraz qilingan qiymatlarini chegara tugunlarida funktsiyaning yangi
topilgan qiymatlari bilan chegara shartlarining yaqinlashuvlariga muvofiq ravishda
moslashtirish orqali izlanayotgan funktsiyalarning chegaralardagi haqiqiy qiymatlari topiladi.
Keyin ular tenglama va bitta koordinata uchun chegaraviy shartlar yaqinlashishi ikkinchi tartibini
taʼminlagan holda toʼgʼri chiziqlar usulini amalga oshirishda foydalanildi.
Kalit so‘z:
To‘g‘ri chiziqlar usuli; Issiqlik va massa ko‘chishi masalasi; Dirixle masalasi;
To‘r funksiya.
METHOD OF STRAIGHT LINES FOR SOLVING THE PROBLEM OF HEAT AND
MASS TRANSFER UNDER ARBITRARY LINEAR BOUNDARY CONDITIONS
Abstract.
A method of applying the method of straight lines is developed by reducing the
problem with arbitrary linear boundary conditions to the Dirichlet problem. The most widely used
method for solving heat and mass transfer problems is the finite difference method. By matching
the assumed values of the function at the boundary nodes with the newly found values of the
function in accordance with the approximations of the boundary conditions, the true values of the
sought functions at the boundaries are found. They were then used to implement the method of
straight lines, providing a second-order approximation of the equation and the boundary
conditions for one coordinate.
Key word:
Method of straight lines; The issue of heat and mass transfer; Dirichlet problem;
Mesh function.
МЕТОД ПРЯМЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ
ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
Аннотация.
Разработан метод применения метода прямых путем преобразования
задачи с произвольными линейными граничными условиями в задачу Дирихле. Наиболее
широко применяемым методом решения задач тепломассопереноса является метод
конечных разностей путем сопоставления предполагаемых значений функции в граничных
узлах с вновь найденными значениями функции в соответствии с аппроксимациями
границы. условиях находятся истинные значения искомых функций на границах. Затем с их
ISSN:
2181-3906
2024
International scientifijournal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
54
помощью был реализован метод прямых, обеспечивающий аппроксимацию второго
порядка уравнения и граничных условий по одной координате.
Ключевые слова:
Метод прямых; Вопрос тепломассообмена; задача Дирихле;
Функция сетки.
KIRISH:
Dirixle masalasiga keltirish bilan ikkinchi va uchinchi turdagi chegaraviy
shartlari bo‘lgan parabolik tenglamani yechishda to‘g‘ri chiziqlar usulini qo‘llash usulini taklif
qilamiz. U ayniqsa, chegara shartlari turli chegarada (chiziq yoki to‘g‘ri to‘rtburchakda) har xil
bo‘lganda, qo‘shma chegaraviy shartlarda foydalidir. Izlanayotgan funksiyaning qiymatlari
chegaralarda berilgan deb faraz qilib, Dirixle masalasini yechish amalga oshiriladi. Funksiyaning
faraz qilingan qiymatlarini chegara tugunlarida funksiyaning yangi topilgan qiymatlari bilan
chegara shartlarining yaqinlashuvlariga muvofiq ravishda moslashtirish orqali izlanayotgan
funksiyalarning chegaralardagi haqiqiy qiymatlari topiladi.
Keyin ular tenglama va bitta koordinata uchun chegaraviy shartlar approksimatsiyasi
ikkinchi tartibni ta’minlagan holda to‘g‘ri chiziqlar usulini amalga oshirishda foydalanildi.
Algoritm tavsifini chalkashtirib yubormaslik uchun usulni qo‘llash obyekti sifatida bir o‘lchovli
bir jinsli bo‘lmagan parabolik tenglama qabul qilinadi, asosiy omillar esa klassik issiqlik uzatish
nazariyasi doirasida izohlandi.
ADABIYOTLAR TAHLILI VA USULLAR.
Usulning mohiyati quyidagicha [1; 3-10
b.]. Dastlab izlanayotgan funksiyaning chegaraviy qiymatlari berilgan deb faraz qilish bilan
masala yechiladi. Keyin izlanayotgan funksiyaning faraz qilingan chegaraviy va yangi topilgan
chegaraviy qiymatlari o‘rtasidagi o‘zaro bog‘lanishlar chegaraviy shartlarga muvofiq tuziladi.
MUHOKAMA VA XULOSA:
Ushbu usulning umumiy ma’nosi Dirixle masalasi
uchun to‘g‘ri chiziqlar usulining algoritmidan foydalanib chegaradagi shartlar ikkinchi, uchinchi
turli bo‘lgan holga qo‘llash mumkin.
NATIJA:
Ushbu munosabatlardan Dirixle masalasi doirasidagi to‘g‘ri chiziqlar usuli
bilan amalga oshiriladigan funksiyaning chegaraviy qiymatlari aniqlanadi. Usul tenglama va
chegaraviy shartlar chiziqli bo‘lmaganda ham qo‘llanilishi mumkin.
KIRISH
Bugungi kunda energiya resurslari va uy-joy kommunal xizmatlari uchun tariflar narxining
uzluksiz o‘sib borishi bilan issiqlik ta’minoti tizimlarining samaradorligini oshirish muammolarini
hal etish masalalarining yechimiga bo‘lgan e’tibor ortib bormoqda. Bunday masalalarning
yechimida sonli usullar alohida ahamiyat kasb etmoqda. Bugungi kunda sonli usullar
fenomenologik va stoxastik usullarni to‘ldirib, bilish nazariyasining asosiy elementiga aylanib
bormoqda. U katta hajmli ma’lumotlarni qayta ishlash va tahlil etishga, jumladan ko‘p o‘lchovli
xususiy hosilali chiziqli va chiziqsiz tenglamalar va ularning sistemalarini yechishga keng
qo‘llanilmoqda. Hozirda konveksiya – diffuziya – reaksiya turidagi chiziqli va chiziqsiz
tenglamalar va ularning sistemalarini yechishga yo‘naltirilgan sonli usullar rivojlantirilmoqda va
ular moddiy nuqta va tutash muhit mexanikasi, tibbiyot, fizika, kimyo, energetika, logistika, neft
va gaz sanoati kabi iqtisodiyot va fan sohalarining masalalariga joriy etilmoqda.
METOD
ISSN:
2181-3906
2024
International scientifijournal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
55
Issiqlik uzatish tenglamasi quyidagicha shaklda qabul qilinadi:
2
2
2
,
T
T
a
f x t
t
x
Haroratning boshlang‘ich taqsimoti
0
,0
( ),
T х
T x
va shartlar berilgan deb faraz
qilamiz:
0
0,
T
t
t
,
,
l
T l t
t
.
Dirixle masalasi shu tarzda qo‘yiladi. Shartning o‘ng tomonidagi
0
( )
t
va
( )
l
t
funksiyalar boshqa chegaraviy shartlar uchun qiymatlari keyin aniqlanadigan miqdorlar
hisoblanadi.
Tekis to‘r
,
0,1,..., ,
1;
1
x
i
l
x
ih i
N N
h
N
,
( )
i
u t
va
( )
i
f t
to‘r
funksiyalari kiritildi.
Hisoblash sohasi to‘rining ichki tugunlarida tenglama
x
koordinatasi bo‘yicha ikkinchi
tartib aniqlikda approksimatsiyalandi [1; 464(I-qism) b., 360(II-qism) b.]:
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
.
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
du
a
u
u
u
f
dt
h
Bunday holda chegara tugunlarida faraz qilingan
1
0
n
va
1
n
l
chegaraviy shartlari
qanoatlantiriladi:
1
2
1
1
1
1
1
0
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
du
a
u
u
f
dt
h
,
1
2
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
N
N
N
l
N
du
a
u
u
f
dt
h
.
Taqdim yetilgan differensial-ayirmali tenglamalardan biz
2
2
dU
a
AU
F
dt
h
(1)
ko‘rinishdagi matritsa tenglamani tuzamiz, bu yerda
*
1
1
1
1
1
2
1
,
,...,
,
n
n
n
n
N
N
U
u
u
u
u
,
,
2
1
0
0 ... 0
0
0
1
2
1
0 ... 0
0
0
0
1
2 1 ... 0
0
0
...
...
...
0
0
0
0 ... 1
2
1
0
0
0
0 ... 0
1
2
p q
N
N
A
a
,
*
2
2
1
1
1
1
1
1
1
0
2
1
2
2
,
,...,
,
n
n
n
n
n
n
N
N
l
a
a
F
f
f
f
f
h
h
.
Bu yerda izlanayotganlar va matritsa elementlari indekslari 1 dan
gacha o‘zgaradi,
yuqoridagi "*" belgi matritsani transponirlash amalini bildiradi. Tenglama (1) alohida
N
ISSN:
2181-3906
2024
International scientifijournal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
56
izlanayotganlarga nisbatan avtonom tenglamalarga o‘tishga imkon beradigan shaklda taqdim
etilishi zarur.
[2,3] materiallariga murojaat qilaylik va
1
A
B B
,
B
– bu yerda elementlari
,
2
1
sin
1
1
s p
s p
sp
b
N
N
A
ga o‘xshash bo‘lgan fundamental matritsa
2 1 cos
1
s
s
N
lardan iborat diagonal matritsa;
1
B
– elementlari
,
,
s p
s p
b
b
lardan
iborat
B
ga teskari matritsa.
Biz (1) tenglamaning ikkala tomonini chapdan
1
B
ga ko‘paytirib,
1
2
1
1
2
dB U
a
B AU
B F
dt
h
tenglikni hosil qilamiz.
Yangi vektor-ustunni kiritamiz:
*
1
1
2
1
*
1,
2,
1,
,
1
1
1
1
,
,...,
,
,
,...,
,
,
N
N
N
N
N
N
p
p
p
p
N
p
p
N p
p
p
p
p
p
B U
BU
U
u u
u
u
b u
b u
b
u
b u
1
A
B B
bo‘lgani uchun quyidagi tenglik o‘rinli.
1
1
1
1
1
B AU
B B B U
B B
B U
U
U holda tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi:
2
2
dU
a
U
F
dt
h
,
(2)
bu yerda
*
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1,1
1
0
1,
1,
2
2
2
,
,...,
,
,
N
N
N
n
n
n
n
n
r
r
N
N
l
r
F
B F
BF
f
f
f
f
a
a
b
f
b f
b
f
h
h
2
2
1
1
1
1
1
1
2,1
1
0
2,
2,
2
2
2
,...,
N
n
n
n
n
n
r
r
N
N
l
r
a
a
b
f
b f
b
f
h
h
2
2
1
1
1
1
1
1
1,1
1
0
1,
1,
2
2
2
,
N
n
n
n
n
n
N
N
r
r
N
N
N
l
r
a
a
b
f
b
f
b
f
h
h
*
2
2
1
1
1
1
1
1
,1
1
0
,
,
2
2
2
.
N
n
n
n
n
n
N
N r
r
N N
N
l
r
a
a
b
f
b
f
b
f
h
h
(2) dan
i
u
ga nisbatan alohida oddiy tenglamani ajratish mumkin:
ISSN:
2181-3906
2024
International scientifijournal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
57
2
2
i
i
i
i
du
a
u
f
dt
h
(3)
Ushbu tenglama uchun boshlang‘ich shart bo‘lib,
1
U
B U
BU
tenglikka ko‘ra,
1
U
B U
BU
ifoda xizmat qiladi.
0
0
,
1
N
i
i p
p
p
u
b u
deb qabul qilamiz, bu yerda
0
,0
p
u
T ph
berilgan masalaning boshlang‘ich shartidan iborat.
Tenglama (3) ni sonli usul bilan yechamiz. Vaqt bo‘yicha yaqinlashishning ikkinchi tartib
aniqligini tashkil qilish mumkin. Bayonning soddaligi uchun biz orqaga qaytish sxemasidan
foydalanamiz va vaqt bo‘yicha yuqori indekslarni kiritamiz:
1
2
1
1
2
n
n
n
n
i
i
i
i
i
n
u
u
a
u
f
h
.
Bundan
1
1
1
2
2
1
/
n
n
n
n
n
i
n
i
i
i
i
n
i
n
i
u
f
u
d u
f
a
h
ni
topamiz.
Bu
yerda
2
2
1/ 1
/
i
n
i
d
a
h
belgilashdan foydalanib, yangi vaqt uchun izlanayotgan harorat
funksiyasiga teskari o‘tishni amalga oshiramiz:
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1,
2,
1,
,
1
1
1
1
,
,...,
,
,
,...,
,
.
n
n
n
n
n
n
N
N
N
N
N
N
n
n
n
n
p
p
p
p
N
p
p
N p
p
p
p
p
p
U
BU
u
u
u
u
b u
b u
b
u
b u
Endi biz izlanayotgan funksiyani chegaradagi faraz qilingan qiymatlari bilan funksiyaning
devor tugunlarida topilgan yangi qiymatlari orasidagi bog‘liqlikni o‘rnatamiz, ya’ni chegaraviy
shartlarni qanoatlantiramiz.
Bizni izlanayotgan funksiya hosilasi kamida bitta chegara shartda qatnashadigan holatlar
qiziqtiradi. Va umuman olganda, izlanayotganning chegara qiymati bilan birga, chekli-ayirmali
tenglamada ikkita qo‘shni tugunlardagi funksiya qiymatlari ishtirok etgan holda yaqinlashishning
ikkinchi tartibga ega bo‘lgan yo‘naltirilgan hosilalar qo‘llanilgan deb qabul qilamiz. Ya’ni
umumiy holda,
0
x
uchun
1
1
1
0
0 1
0
2
0
,
n
n
n
u
u
(4)
shart qabul qilinadi
x
l
da esa –
1
1
1
1
n
n
n
l
l
N
l
N
l
u
u
(5)
qabul qilinadi. Umumiy holda
0
0
0
,
,
,
,
,
l
l
l
koeffitsientlarning qiymatlari
vaqtga bog‘liq bo‘lishi mumkin.
To‘g‘ri chiziqlar usuli bilan topilgan
1
2
1
,
,
N
u u u
va
N
u
ning qiymatlarini quyidagicha
ochib beramiz:
1
1
1
1
,
,
,
,
1
1
1
1
.
N
N
N
N
n
n
n
n
n
n
i
i p
p
i p
p
p
n
p
i p
p
p
n
i p
p
p
p
p
p
p
u
b u
b d
u
f
b d u
b d f
ISSN:
2181-3906
2024
International scientifijournal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
58
Bu yerda
2
2
1
1
1
1
1
1
1
,1
1
0
,
,
2
2
2
N
n
n
n
n
n
n
p
p
p r
r
p N
N
l
r
a
a
f
b
f
b f
b
f
h
h
.
Shu munosabat bilan
2
1
1
1
,
,
,1
1
0
2
1
1
N
N
n
n
n
n
i
i p
p
p
n
i p
p
p
p
p
a
u
b d u
b d
b
f
h
2
2
1
1
1
1
1
,
,
0
,
,1
2
2
2
1
2
1
1
,
,
,
,
,
2
1
1
1
1
.
N
N
n
n
n
n
n
p r
r
p N
N
l
i p
p
p
r
p
N
N
N
N
n
n
n
n
l
i p
p N
p
i p
p
p
n
i p
p r
p
r
p
p
p
r
a
a
b f
b
f
b b d
h
h
a
b b d
b d u
b b d f
h
Ushbu to‘r funksiyaning qiymatlarini mos keladigan indekslarda chegaraviy shartlar
yaqinlashishlariga qo‘yamiz.
Birinchi shartdan
1
1
1
0
0
0
0
0
n
n
n
l
a
b
c
kelib chiqadi. Bu yerda
2
0
0 1,
0 2,
,1
2
1
,
N
n
p
p
p
p
p
a
a
b
b
b d
h
2
0
0 1,
0
2,
,
2
1
,
N
n
p
p
p N
p
p
a
b
b
b
b d
h
1
0
0 1,
0
2,
0 1,
0
2,
,
0
1
1
1
.
N
N
N
n
n
p
p
p
p
n
p
p
p r
p
r
p
p
r
c
b
b
d u
b
b
b d f
Ikkinchi shart bilan xam xuddi shunday qilamiz va
1
1
1
0
n
n
n
l
l
l
l
l
a
b
c
tenglikni
olamiz, bu yerda
2
2
,
1,
,1
,
1,
,
2
2
1
1
1
,
1,
,
1,
,
1
1
1
,
,
.
N
N
n
n
l
l
N p
l
N
p
p
p
l
l
N p
l
N
p
p N
p
p
p
N
N
N
n
n
l
l
N p
l
N
p
p
p
n
l
N p
l
N
p
p r
p
r
l
p
p
r
a
a
a
b
b
b d
b
b
b
b
d
h
h
c
b
b
d u
b
b
b d f
Yangi olingan ikkita chiziqli tenglamalardan sistema tuzamiz:
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
,
1
.
n
n
l
n
n
l
l
l
l
a
b
c
a
b
c
(6)
Ushbu
sistema
asosiy
matritsasining
determinanti
noldan
farqli
0
0
1
1
l
l
a
b
a b
qiymatga ega deb faraz qilamiz. U holda izlanayotgan funksiyaning
chegaraviy qiymatlari uchun
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
,
1
n
n
l
l
l
l
l
b c
b c
a c
a c
ifodalarga ega bo‘lamiz.
Izlanayotgan funksiyaning topilgan chegaraviy qiymatlariga faqat fundamental va diagonal
matritsalarning ma’lum elementlari, shuningdek berilgan masalaning chegaraviy shartlari
elementlari kirdi. Ular chegaraviy shartlarini qanoatlantiradilar. Faqat chegaraviy shartlar
yaqinlashishidan
0
0
0
,
,
,
,
,
l
l
l
koeffitsiyentlarning qiymatlarini aniqlash qoldi.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientifijournal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
59
Klassik issiqlik uzatish nazariyasida to‘rtinchi turdagi chegaraviy shart deb ataladigan va
bir vaqtning o‘zida ikkinchi va uchinchi turdagi shartlarni umumlashtiradigan chegaraviy
shartlarga to‘xtalamiz:
0
0
0
0,
0,
oc
T
t
T
t
T
t
R t
x
,
,
,
l
oc
l
l
T l t
T
t
T l t
R t
x
.
Bu yerda
– materialning o‘rtacha issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti;
– material
va harorati
oc
T
t
deb qabul qilingan atrof-muhit o‘rtasidagi issiqlik uzatish koeffitsiyenti;
–
nurli energiya materialining yutilish koeffitsiyenti;
R t
– nurli energiya intensivligi. Oxirgi
uchta ko‘rsatkich chegaralarning har biriga mos ravishda indekslar bilan belgilangan.
Birinchi shartni
0
0
0
0,
0,
oc
T
t
T
t
T
t
R t
x
ko‘rinishda yozamiz va unga ikkinchi tartibli aniqlikdagi approksimatsiyani qo‘llaymiz:
1
1
1
1
1
1
0
1
2
0
0
0
0
3
4
2
n
n
n
n
n
n
oc
u
u
T
R
h
.
Tenglamani
2
h
ga ko‘paytiramiz va o‘xshash hadlarni ixchamlaymiz:
1
1
1
1
1
0
0
1
2
0
0
0
3
2
4
2
n
n
n
n
n
oc
h
u
u
h
T
R
.
Bu yerda biz avval qabul qilingan shartning (4) shakliga o‘tamiz, uning uchun
koeffitsientlarning qiymatlarini aniqlaymiz:
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
4
,
,
.
3
2
3
2
3
2
n
n
oc
h
T
R
h
h
h
Yo‘naltirilgan hosilalarning ikkinchi shartga shunga o‘xshash qo‘llanilishi quyidagi
chekli-ayirmali tenglamaga olib keladi:
1
1
1
1
1
1
1
3
4
2
n
n
n
n
n
n
l
N
N
l
l
oc
l
l
u
u
T
R
h
.
Maxrajlardan xalos bo‘lish va o‘xshash hadlarni ixchamlash shartning (5) koeffisiyentlari
qiymatlariga olib keladi:
1
1
2
4
,
,
.
3
2
3
2
3
2
n
n
l
oc
l
l
l
l
l
l
l
l
h
T
R
h
h
h
To‘rtinchi turdagi chegara sharti uchun katta hajmdagi hisoblashlar talab etadigan
1
0
N
va
1
N
l
larni shakllantirishning bir variantini keltirdik. Chegaraviy shartlarning boshqa
kombinasiyalarida koeffitsientlar uchun formulalar qisqaradi. Masalan, agar
0
x
da birinchi
turdagi shart berilgan bo‘lsa, u holda birinchi tenglama (6) tenglamalar sistemasidan tushib qoladi
ISSN:
2181-3906
2024
International scientifijournal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
60
va hokazo. Shuni inobatga olgan holda, ma’lum bir chegaraviy masalani yechishda (6) sistemaning
1
0
N
va
1
N
l
larga nisbatan yechimlarini takrorlash maqsadga muvofiqdir, bu esa hisoblash
vaqtining qisqarishiga olib keladi.
Umuman olganda, ma’lum bir masalani hal qilish uchun hisoblash jarayoni quyidagi
algoritmga muvofiq amalga oshirilishi mumkin.
1. Dastlabki ma’lumotni, shu jumladan
0
0
0
,
,
,
,
,
l
l
l
koeffitsientlarning
qiymatlarini kiritish.
2.
B
va
matritsalarni shakllantirish.
3. Elementlari
0
i
u
lardan iborat vektorni shakllantirish.
4. Elementlari
0
i
u
lardan iborat vektorni shakllantirish va
deb qabul qilish.
5.
1
0
n
u
va
1
n
i
u
va larni hisoblash.
6. Ichki tugunlar uchun
1
n
i
u
larni hisoblash.
7.
1
n
i
u
ga oldindan o‘tish bilan shartli saqlash.
8.
n
ni qiymatini 1 ga oshirib va
1
n
i
u
qiymatlarni
n
i
u
yozib olib, vaqt bo‘yicha keyingi
qadamga o‘tish
9. Agar vaqt bo‘yicha hisoblashlar oxiriga yetgan bo‘lsa, unda 10-bandga o‘tish, aks holda
5-bandga o‘tish.
10. Hisoblashlarning oxiri.
Ushbu paragraf natijalarini muhokama qilamiz.
Ixtiyoriy chegaraviy shartlarga ega masalani to‘g‘ri chiziqlar usulida yechish uchun ilgari
ishlab chiqilgan Dirixle masalasiga keltirish usuli taklif qilindi.
Ikki va uch o‘lchovli masalalarni yechishda chegaraviy shartni almashtirishning yuqorida
keltirilgan usuli koordinatalarning har biri uchun qo‘llaniladi, ammo to‘r funksiyalariga
qo‘shimcha indekslar qo‘shiladi va
1
n
i
du
dt
had esa, masalan,
1
2
1
2
1
, ,
, ,
, ,
2
2
2
n
n
n
i j k
i j k
i j k
u
u
u
a
t
y
z
bilan almashtiriladi va hokazo.
NATIJA
Elliptik, parabolik va giperbolik tipdagi tenglamalarga asoslangan bir va ko‘p o‘lchovli
masalalar bo‘yicha ishni davom ettirish maqsadga muvofiq. Chunki boshqa usullardan farqli
ravishda aniq natija olinadi.
1−rasmda ushbu dasturni qo‘llashning namunaviy natijasi keltirildi. Uzunligi 1 m bo‘lgan
bir jinsli sterjenda issiqlik uzatish jarayoni uchun hisoblashlar olib borildi.
49
N
da
x
bo‘yicha qadam 0,02 m ni tashkil etdi.
t
vaqt bo‘yicha qadam 0,0001 s qiymatga ega bo‘ldi. Vaqt
bo‘yicha har 20 qadamdan so‘ng harorat maydoni saqlanib qolindi, bu izotermalar shaklida
( , )
t x
hisoblash tekisligida aks ettirildi.
0
n
ISSN:
2181-3906
2024
International scientifijournal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
61
1-rasm. Bir o‘lchovli sohada harorat maydonining dinamikasi.
,
0
f x t
,
0
0
( )
5
T x
C
,
0
( )
20cos10
t
t
va
( ) 10cos10
l
t
t
XULOSA
Chegaraviy shartlarni Dirixle masalasi shartlari bilan
x
koordinata bo‘yicha ikkinchi tartibli
aniqlik bilan chegaraviy shartlari approksimatsiyalash amalga oshirildi. Ichki tugunlar uchun
ikkinchi aniqlik tartibiga ega sxema ham qo‘llanilishi mumkin bo‘lgani uchun usul
x
bo‘yicha
yaqinlashuv aniqligining ikkinchi tartibini ta’minlaydi.
Usulning zaif tomoni – izlanayotgan funksiyaga nisbatan avtonom tenglamani yechish
uchun oddiy differensial tenglamalarni yechishning aniq usulidan foydalanishning istisno
qilinganligi. Ammo chekli-ayirmali tenglamaning o‘ng tomonini ikki vaqt qadami uchun o‘rtacha
arifmetik sifatida ifoda etish orqali vaqt bo‘yicha aniqlik tartibini oshirish imkoniyati mavjud.
Usulning asosiy ustunligi shundaki, u chegara shartlarining odatiy yaqinlashuviga
qaytishga imkon beradi (to‘g‘ri chiziqlar usulida chegara shartlari uchun integro-interpolyatsiya
usuli qo‘llaniladi). Bu bilan ilgari differensial-ayirmali usul doirasida ko‘rib chiqilmagan muayyan
chegara (kesma, to‘g‘ri to‘rtburchak) ning alohida qismlariga har xil chegara shartlari qo‘yilgan
hollar hisobiga differensial-ayirmali usuli bilan hal qilinadigan masalalar sinfi kengayadi.
REFERENCES
1.
Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. – М.: Наука, 1987. – 464 (часть I), 360
(часть II) с.
2.
Бадалов Ф. Применение метода прямых к численному решению некоторых задач теории
упругости: Автореферат дисс. … канд. физ.-мат. наук. – Ташкент, 1967. – 15 с.
3.
Слободянский М.Г. Способ приближенного интегрирования уравнений в частных
производных и его применение к задачам теории упругости // ПММ, Т.III, вып.1, 1939.
4.
Шаимов К.М., Эшмуродов М.Х., Хужаев И.К. Дифференциально-разностный метод для
двумерных линейных задач теплопередачи // Научный вестник. СамГУ – 2020, –
№1(121). – C.78-87(01.00.00.; № 2).
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
t, m+2
x, m
-20--18
-18--16
-16--14
-14--12
-12--10
-10--8
-8--6
-6--4
-4--2
-2-0
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
ISSN:
2181-3906
2024
International scientifijournal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
62
5.
M Kh Eshmurodov, K.M. Shaimov, I Khujaev and J Khujaev Method of lines for solving linear
equations of mathematical physics with the third and first types boundary conditions. Journal
of Physics: Conference Series 2131 (2021) 032041, doi:10.1088/1742-6596/2131/3/032041
6.
K. M. Shaimov, M. Kh. Eshmurodov, I. Khujaev and Zh. I. Khujaev The Method of Lines for
Solving Equations of Mathematical Physics with Boundary Conditions of the First and Third
Types // The method of lines for solving equations of mathematical physics with boundary
conditions of the first and third types, Cite as: AIP Conference Proceedings 2612, 030028
(2023);
https://doi.org/10.1063/5.0124614
, Published Online: 15 March 2023
