60
TARMOQLANUVCHI TASODIFIY JARAYONLARNI TADQIQ ETISHDA HOSIL
QILISH FUNKSIYALARINING O‘RNI
Negmatova Kamola
negmatovakamola@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.16927302
Ehtimolliklar nazariyasining ko‘plab tatbiqlari ichida, zarralarning biror tasodifiy
qonuniyatga ko‘ra ko‘payishi, yoki boshqa zarralarga aylinishini ifodalovchi jarayonlar muhim
o‘rin tutadi. Agar ushbu jarayonlarda har bir zarraning o‘zgarishi boshqa zarralarga bog‘liq
bo‘lmasa, bunday jarayonlar tarmoqlanuvchi jarayonlar yordamida o‘rganiladi.
Tarmoqlanuvchi jarayonlarga olib keladiga masalalar dastlab, XIX asrning so‘nggi choragida
angliyalik olimlar Galton va Vatsonlar tomonidan o‘rganilgan. Ma’lumki, tarixda yuqori
mavqega ega bo‘lgan shaxslarning familiyalarining yo‘qolib ketishi, bir necha bor qayd etilgan
haqiqatdir. Frensis Galton keng tarqalgan familiyalarni keyinchalik noyob bo‘lib qolishi yoki
hatto butunlay yo‘qolib ketishiga e’tibor qaratdi va familiyaning yo‘qolishi ehtimolligi degan
tushunchani olib uni o‘rganishga kirishdi. Keyinchalik ushbu masala qaysidir ma’noda Vatson
tomonidan o‘z yechimini topdi.
Faraz qilaylik, nolinchi avlod deb bitta vakil bo‘lsin. Uning farzandlari birinchi avlodni,
nabiralari ya’ni, farzandlarining farzandlari ikkinchi avlodni tashkil etadi va hokazo. Har bir
avlodda ehtimolliklar o‘zgarmaydi deb olamiz.
Z
0
, Z
1
, Z
2
, … orqali nolinchi, birinchi, ikkinchi va hokazo avlodlardagi zarralar sonini
belgilaymiz. U holda
0
1
1,
Z
Z
esa ushbu
1
{
}
k
p
P Z
k
taqsimot qonuniga ega bo‘ladi (by
yerda
0
0,
0,1, 2,3,...,
1
k
k
k
p
k
p
).
{
}
n
Z
ketma-ketlik diskret vaqtli tarmoqlanuvchi
tasodifiy jarayonni tashkil etadi.
Bu jarayonni o‘rganishda hosil qilish funksiyalati muhim o‘rin tutadi. Biz doimiy ravishda
ehtimollik hosil qilish funksiyalardan foydalanamiz:
0
( )
,
| | 1
k
k
k
f s
p s
s
,
0
0,
0,1, 2,3,...,
1
k
k
k
p
k
p
bu yerda s - kompleks son. Oson tekshirish mumkinki,
1
( )
,
| | 1
Z
f s
Es
s
.
Ehtimollik hosil qilish funksiyalarining ba’zi xossalarini keltiramiz. Faraz qilaylik biror
tasodifiy miqdorning ehtimollik hosil qilish funksiyasi
( )
F s
Es
bo‘lsin.
1.
( )
F s
hosil qilish funksiyasi kompleks tekislikning
| | 1
s
birlik doirasining barcha
s
nuqtasida aniqlangan va
| | 1
s
da analitik.
2. Har bir
0
1
2
{
,
,
,...}
p p p
ehtimollik taqsimotiga bitta va faqat bitta
( )
F s
hosil qilish
funksiyasi mos keladi. Shu bilan birga
| | 1
s
da analitik bo‘lgan,
s
darajalari bo‘yich qatorga
yoyilmasidagi barcha koeffitsientlari manfiy bo‘lmagan,
(1) 1
F
shartni qanoatlantiruvchi
ixtiyoriy
( )
F s
funksiyaga bitta va faqat bitta
0
1
2
{
,
,
,...}
p p p
ehtimollik taqsimoti mos keladi va
3. Ixtiyoriy natural son
k
uchun
( )
1
(0),
0,1, 2,....
!
n
n
p
F
n
n
61
( )
(
1)...(
1)
(1),
k
E
k
F
xususan,
2
'(1),
"(1)
'(1)
'(1) .
E
F
D
F
F
F
4. Aytaylik, manfiy bo‘lmagan butun qiymatli
1
2
,
,...,
,...
n
va
tasodifiy miqdorlar
bog‘liqsiz,
1
2
,
,...,
,...
n
lar bir xil taqsimlangan bo‘lsin. U holda
1
2
...
tasodifiy
yig‘indining hosil qilish funksiyasi
1
( )
(
( ))
F
s
F F s
ga teng bo‘ladi.
Yuqorida keltirilga hossalardan ko‘rinib turibdiki, tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlarni
o‘rganishda, ya’ni bizni qiziqtirgan masalalarni, jumladan
n-
avloddagi zarralar soni
n
Z
ning
taqsimot qonunini, sonli xarakteristikalarini, tugash ehtimolligini va shu kabi masalalarni
tadqiq etishda hosil qilish funksiyalar metodi juda kuchli matematik apparat bo‘lib xizmat
qiladi.
Hozirgachada tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlarning turli xil modellari o‘rganilgan va
o‘rganib kelinmoqda. Ushbu modellarning xususiyatlariga qarab hosil qilish funksiyalari uchun
funksional munosabatlar olish muhim hisoblanadi.
Ushbu konferensiyada holatga bog‘liq immigratsiyali tarmoqlanuvchi jarayonlar hosil
qilish funksiyalari uchun olingan funksional munosabatlar haqida ma’ruza qilinadi.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Т.Харрис. Теория ветвящихся процессов. Изд. «Мир», Москва, 1966 г. 355 стр.
2.
Б.А.Севастьянов. Ветвящиеся процессы. М. «Наука» 1971 г., 436 стр.
