Universal International Scientific Journal
23
Xudoyberdiyeva Malika Karomat qizi
a
., Doniyorov Nodirjon Olimjon oʻgʻli
b
.,
Amatboyev Temur Otamurod oʻgʻli
d
(a)
O'zbekiston Milliy Universiteti., Fizika fakulteti katta o’qituvchisi, PhD
(b)
O'zbekiston Milliy Universiteti., Fizika fakulteti 1-kurs talabasi
(d)
O'zbekiston Milliy Universiteti., Fizika fakulteti 1-kurs talabasi
Uzbekistan
https://orcid.org/0009-0006-8812-5028
Annotatsiya:
Orbital tenglamalar matematik fizikaning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, ular osmon
mexanikasida va sun’iy yo‘ldoshlar harakatini o‘rganishda keng qo‘llaniladi. Ushbu maqolada orbital
tenglamalarning kelib chiqishi va ularni chiqarishning turli usullari ko‘rib chiqiladi. Asosiy diqqat e’tibori
Nyutonning tortishish qonuni va Kepler qonunlaridan foydalanishga, shuningdek, zamonaviy matematik
va sonli usullar yordamida orbital harakatni modellashtirishga qaratilgan. Shuningdek, maqolada klassik
va zamonaviy yondashuvlarning afzalliklari va kamchiliklari muhokama qilinadi. Ushbu tadqiqot orbital
harakatlarni chuqurroq tushunish va turli sohalarda qo‘llash imkoniyatlarini oshirishga qaratilgan.
Kalit so‘zlar:
kosmik tezliklar, birinchi kosmik tezlik, ikkinchi kosmik tezlik, uchinchi kosmik
tezlik, trayektoriya, gravitatsiya qonuni, Kepler qonunlari.
Аннотация:
Орбитальные уравнения являются важной частью математической физики и
широко применяются в небесной механике и изучении движения искусственных спутников. В
UNIVERSAL XALQARO ILMIY
JURNAL
Jurnalning bosh sahifasi:
ORBITA TENGLAMASINING KELIB CHIQISHINING BIR NECHTA USULLARI
Universal International Scientific
Year: 2025 Issue: 2 Volume: 1
Published: 06.01.2025
International indexes
Universal International Scientific Journal
2
4
данной статье рассматривается происхождение орбитальных уравнений и различные методы их
вывода. Основное внимание уделено использованию закона всемирного тяготения Ньютона и
законов Кеплера, а также моделированию орбитального движения с помощью современных
математических и численных методов. Также обсуждаются преимущества и недостатки
классических и современных подходов. Это исследование направлено на углубление понимания
орбитальных движений и расширение возможностей их применения в различных областях.
Ключевые слова:
космические скорости, первая космическая скорость, вторая космическая
скорость, третья космическая скорость, траектория, закон гравитации, законы Кеплера.
Abstract:
Orbital equations are a significant aspect of mathematical physics and are widely used in
celestial mechanics and the study of artificial satellite motion. This article explores the origin of orbital
equations and various methods for deriving them. The primary focus is on the application of Newton's law
of universal gravitation and Kepler's laws, as well as the modeling of orbital motion using modern
mathematical and numerical methods. Additionally, the advantages and disadvantages of classical and
contemporary approaches are discussed. This research aims to enhance the understanding of orbital motions
and broaden their applications across various fields.
Keywords:
cosmic velocities, first cosmic velocity, second cosmic velocity, third cosmic velocity,
trajectory, law of gravitation, Kepler's laws.
Language:
Uzbek
Citation:
Khudoyberdiyeva , M., Doniyorov , N., & Amatboyev , T. (2025). SOME METHODS OF
DEriving the ORBITAL EQUATION. Universal International Scientific Journal, 2(1), 23–29. Retrieved
from
https://universaljurnal.uz/index.php/jurnal/article/view/1395
Doi:
https://doi.org/10.5281/zenodo.14614632
KIRISH
ORBITA TENGLAMASINI
KELTIRIB CHIQARISH: 1-USUL
Kosmik tezliklar tushunchasi biror
jismning yer tortish kuchidan chiqib ketishi
yoki orbitada harakatlanishi uchun zarur
bo‘lgan minimal tezliklarni tavsiflaydi.
Ushbu tezliklar uchta turga bo‘linadi:
birinchi kosmik tezlik (sun'iy yo‘ldosh
tezligi), ikkinchi kosmik tezlik (qochish
tezligi) va uchinchi kosmik tezlik (quyosh
tizimidan chiqish tezligi). Bu tezliklarni
to‘g‘ri aniqlash va hisoblash kosmik
missiyalarning
muvaffaqiyatli
amalga
oshirilishi uchun juda muhimdir
.
Toʻla energiya oʻzgarmaydi va u
kinetik
va
potensial
energiyalar
yigʻindisiga teng:
Universal International Scientific Journal
2
5
𝐸 =
𝜇𝑣
2
2
−
𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝑟
(1)
Kinetik energiya
𝜇𝑣
2
2
ifodasi massa
μ
va
ikki jismning nisbiy tezligi
v
orqali
yoziladi. Qutb koordinatalar sistemasini
shunday tanlaymizki:
𝑣⃗ = 𝑣
𝑟
𝑟̂ + 𝑣
𝜃
𝜃̂
𝑣 = |𝑣⃗| = |
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
|
(2)
bu yerda v
r
= dr / dt va v
θ
= r (dθ / dt).
Bundan (1) tenglama quyidagi koʻrinishga
keladi:
𝐸 =
1
2
𝜇 [(
𝑑𝑟
𝑑𝑡
)
2
+ (𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
] −
𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝑟
(3)
O nuqtaga nisbatan impuls momenti
𝐿
𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟
𝑂
⃗⃗⃗⃗ × 𝜇𝑣⃗ = 𝑟𝑟̂ × 𝜇(𝑣
𝑟
𝑟̂ + 𝑣
𝜃
𝜃̂) =
𝜇𝑟𝑣
𝜃
𝑘̂ = 𝜇𝑟
2 𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑘̂ = 𝐿𝑘̂
(4)
Uning miqdori
𝐿 = 𝜇𝑟𝑣
𝜃
= 𝜇𝑟
2 𝑑𝜃
𝑑𝑡
(5)
Biz (5) tenglamadagi ifodadan foydalangan
holda (3) tenglamadan θ ga bogʻliqlikni
aniq tarzda yoʻq qilamiz.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝐿
𝜇𝑟
2
(6)
(3) tenglamada ifodalangan toʻla mexanik
energiya quyidagicha yoziladi
𝐸 =
1
2
𝜇 (
𝑑𝑟
𝑑𝑡
)
2
+
1
2
𝐿
𝜇𝑟
2
−
𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝑟
(7)
(7) tenglama ajratiladigan differensial
tenglama boʻlib, r oʻzgaruvchili t vaqt
funksiyasi sifatida ishtirok etadi va birinchi
hosila dr/dt uchun yechilishi mumkin.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= √
2
𝜇
× (𝐸 −
1
2
𝐿
2
𝜇𝑟
2
+
𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝑟
)
1
2
(8)
(8) tenglama qonuniy jihatdan r(t) uchun
bevosita integrallanishi mumkin. Keyin r(t)
funksiyani
qonuniy
ravishda
(5)
tenglamaga almashtirish mumkin va keyin
θ(t) ni topish uchun
integrallash
mumkin..Yakka
jismning
vaqt
funksiyasidagi holatini yechish oʻrniga,
r(θ) topib, orbitaning geometrik tavsifini
topamiz. Avval (5) tenglamani (7)
tenglamaga ajratamiz.
𝑑𝜃
𝑑𝑟
=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
𝐿
√2𝜇
×
1
𝑟2
(𝐸−
𝐿2
2𝜇𝑟2
+
𝐺𝑚1𝑚2
𝑟
)
1
2
(9)
Universal International Scientific Journal
2
6
Oʻzgaruvchilar r va θ ajraladi
𝑑𝜃 =
𝐿
√2𝜇
×
1
𝑟2
(𝐸−
𝐿2
2𝜇𝑟2
+
𝐺𝑚1𝑚2
𝑟
)
1
2
𝑑𝑟
(10)
Keyinchalik aniq natijaga erishish uchun
matematikada
qulay
almashtirishlarni
tanlashga
imkon
beruvchi
yaxshi
ko’rinishni o’z ichiga oladi. Birinchidan, r
ning o’zaro ta’sirining ko’plab omillariga
e’tibor bering. Shunday qilib, biz u=1/r
almashtirishni sinab koʻramiz. du=-1/r²dr ,
natija bilan
𝑑𝜃 = −
𝐿
√2𝜇
𝑑𝑢
(𝐸−
𝐿2
2𝜇
𝑢
2
+𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝑢)
1
2
(11)
Integrallarni baholash tajribasi shuni
ko’rsatadiki, kvadrat ildiz ichidagi u²
ko’paytiruvchi omilning mutlaq qiymatini
birlikka tenglashtiramiz. Ya’ni, surat va
maxrajni
√2𝜇
𝐿
ga ko’paytirish,
𝑑𝜃 = −
𝑑𝑢
(
2𝜇𝐸
𝐿2
−𝑢
2
+2(
𝜇𝐺𝑚1𝑚2
𝐿2
)𝑢)
1
2
(12)
Keyingi
qadamlar
uchun
tekshirish
sifatida, (12) tenglamasidagi chap
tomondagi
dθ
kattaligi
oʻlchamsiz
ekanligini qayd etamiz, shunday qilib, oʻng
tomon ham oʻlchamsiz boʻlishi kerak. Bu
esa, kvadrat ildiz ichidagi
1
2
𝜇𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝐿
koʻpaytuvchisi u bilan bir xil oʻlchamga
ega boʻlishini, yaʼni 1/uzunlik boʻlishini
anglatadi. Shunday qilib
𝑟
0
2
=
𝐿
2
𝜇𝐺𝑚
1
𝑚
2
.
Bu
esa albatta, (10) tenglamasida aniqlangan
fokusga nisbatan yon chiziq uzunligi
boʻladi. Shundan soʻng differensial
tenglama quyidagicha koʻrinishga ega
boʻladi
𝑑𝜃 = −
𝑑𝑢
(
2𝜇𝐸
𝐿2
−𝑢
2
+
2𝑢
𝑟0
)
1
2
(13)
Endi biz ekssentrisitet shartlarini ifodalash
uchun maxrajni qayta yozamiz.
𝑑𝜃 = −
𝑑𝑢
(
2𝜇𝐸
𝐿
2
+
1
𝑟
0
2
− 𝑢
2
+
2𝑢
𝑟
0
−
1
𝑟
0
2
)
1
2
= −
𝑑𝑢
(
2𝜇𝐸
𝐿
2
+
1
𝑟
0
2
− (𝑢 −
1
𝑟
0
)
2
)
1
2
= −
𝑟
0
𝑑𝑢
(
2𝜇𝐸𝑟0
𝐿2
+1−(𝑟
0
𝑢−1)
2
)
1
2
(14)
Shuni qayd etamizki,
2𝜇𝐸𝑟
0
2
𝐿
2
+ 1
kabi
terminlar
oʻlchamsiz
boʻlib,
aslida
ekssentrisitetning kvadrati e² ga teng (bu
(12) tenglamasida aniqlangan yana bir
Universal International Scientific Journal
2
7
“keyinchalik
aniqlangan”
xususiyat).
Shundan soʻng, (14) tenglamasining oxirgi
ifodasi quyidagicha boʻladi
𝑑𝜃 = −
𝑟
0
𝑑𝑢
(𝑒
2
−(𝑟
0
𝑢−1)
2
)
1
2
(15)
Bu yerdan biz bir necha hisoblash
qadamlarini
birlashtirib,
darhol
almashtirishga
o’tamiz.
𝑟
0
𝑢 − 1 =
𝑒𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑟
0
𝑑𝑢 = −𝑒𝑠𝑖𝑛𝛼𝑑𝛼
,
yakuniy
natija bilan
𝑑𝜃 = −
−𝑒𝑠𝑖𝑛𝛼𝑑𝛼
(𝑒
2
−𝑒
2
cos
2
𝛼)
1
2
= 𝑑𝛼
(16)
Endi biz tenglamani integrallaymiz. (16)
juda oddiy natija bilan
𝜃 = 𝛼 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Konstantani tanlashda bizda tanlov bor va
agar tanlasak,
𝜃 = 𝛼 − 𝜋, 𝛼 = 𝜃 + 𝜋
,
𝑐𝑜𝑠𝛼 = −𝑐𝑜𝑠𝜃
, natijada
𝑟 =
1
𝑢
=
𝑟
0
1−𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃
(17)
Bu
biz
xohlagan
tenglama
kelib
chiqdi.E’tibor bering, agar biz integral
konstantasini nolga teng qilib tanlasak,
natija
𝑟 =
1
𝑢
=
𝑟
0
1+𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃
(18)
Bu 1-rasmdagi “vertikal” o’q atrofida aks
ettirilgan bir xil traektoriya, haqiqatan ham
π aylanish bilan bir xil.
1-rasm
Yagona jism orbitasining
koordinatalar sistemasi
ORBITA TENGLAMASINI
KELTIRIB CHIQARISH: 2-USUL
(17) tenglama quyidagi shaklda keltirib
chiqarilgan
𝑢 =
1
𝑟
0
(1 − 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃)
(19)
Oddiy differensial tenglamani olish uchun
bir
jismli
masala
uchun
harakat
tenglamasini
manipulyatsiya
qilish
mumkinligini
ko’rsatadi.
Ya’ni,
quyidagidan boshlaymiz
𝐹⃗ = 𝜇𝑎⃗
−
𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝑟
2
𝑟̂ = 𝜇 (
𝑑
2
𝑟
𝑑𝑡
2
− 𝑟 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
) 𝑟̂
(20)
Komponentlarni tenglashtirib, harakatning
saqlanish doimiysi
𝐿 = 𝜇𝑟
2
(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
dan
foydalangan
holda
va
uni
qayta
Universal International Scientific Journal
2
8
tartiblaganda, (20) tenglama quyidagiga
aylanadi
𝜇
𝑑
2
𝑟
𝑑𝑡
2
=
𝐿
2
𝜇𝑟
3
−
𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝑟
2
(21)
Endi biz bir xil almashtirish u=1/r dan
foydalanamiz va (21) tenglama ikkinchi
tartibli tenglama bo‘lgani uchun zanjir
qoidasidan ikki marta foydalanib, mustaqil
o‘zgaruvchini t dan r ga o‘zgartiramiz. Bu
birinchi tartibli hosila hisoblanadi
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑟 =
1
𝑢
ifodasi orqali
𝑑𝑟
𝑑𝑢
= −
1
𝑢
2
ekanligini
olamiz. Bu ifodani
𝑑𝜃/𝑑𝑡
ni L va u
yordamida
ifodalangan
holda
birlashtiramiz:
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝐿𝑢
2
𝜇
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= −
1
𝑢
2
𝑑𝑢
𝑑𝜃
𝐿𝑢
2
𝜇
= −
𝑑𝑢
𝑑𝜃
𝐿
𝜇
(22)
Endi vaqt boʻyicha ikkinchi hosilani
olamiz:
𝑑
2
𝑟
𝑑𝑡
2
=
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑𝑟
𝑑𝑡
) =
𝑑
𝑑𝜃
(
𝑑𝑟
𝑑𝑡
)
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑑
2
𝑟
𝑑𝑡
2
= −
𝑑
2
𝑢
𝑑𝜃
2
(𝑢
2 𝐿
2
𝜇
2
)
(23)
Shundan soʻng (21) tenglamaga r=1/u ni
qoʻyish orqali quyidagi natija olinadi
−
𝑑
2
𝑢
𝑑𝜃
2
𝑢
2
𝐿
2
𝜇
=
𝐿
2
𝜇
𝑢
3
− 𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝑢
2
Tenglamaning ikkala tarafidan u² ni
qisqartirib, qayta tartibga solib, biz bunga
erishamiz
−
𝑑
2
𝑢
𝑑𝜃
2
= 𝑢 −
𝜇𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝐿
2
(23)
(23) tenglama qo’shimcha doimiy hadli
oddiy garmonik tebranishlar tenglamasiga
matematik jihatdan ekvivalentdir. Yechim
ikki qismdan iborat: burchakka bogʻliq
boʻlmagan yechim
𝑢
0
=
𝜇𝐺𝑚
1
𝑚
2
𝐿
2
va burchakka sinusoidal ravishda bogʻliq
oʻzgaruvchan yechim
𝑢
𝑔
= 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜃
0
)
(24)
Bu yerda A va θ
0
orbita shakli bilan
belgilangan
konstanatalardir.
(24)
tenglamadagi ifoda bir jinsli boʻlmagan
yechim boʻlib, aylana orbitani ifodalaydi.
(17) tenglamadagi ifoda bir xil yechimdir
(pastki belgisida koʻrsatilganidek) va ikkita
mustaqil konstantaga ega boʻlishi kerak.
Biz 1/u
0
ni fokusga nisbatan yon chiziq
Universal International Scientific Journal
2
9
uzunligi r
0
deb osongina aniqlashimiz
mumkin, natijada bu
𝑢 = 𝑢
0
+ 𝑢
𝑔
=
1
𝑟
0
(1 + 𝑟
0
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜃
0
))
⇒
𝑟 =
1
𝑢
=
𝑟
0
1 + 𝑟
0
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜃
0
)
.
Xulosa
Orbital tenglamalarning kelib chiqishi
va ularni chiqarishning turli usullarini
tahlil qilish shuni ko‘rsatadiki, bu masala
nafaqat nazariy, balki amaliy jihatdan ham
katta
ahamiyatga
ega.
Klassik
yondashuvlar (Nyuton qonunlari va Kepler
qonunlari) soddaligi va intuitivligi bilan
ajralib tursa, zamonaviy usullar (numerik
modellashtirish va kompyuter dasturlari
yordamida) aniqlik va moslashuvchanlikni
ta’minlaydi. Har bir usul o‘zining maxsus
sharoitlari va qo‘llanish doirasiga ega
bo‘lib, ularni tanlash masalasi tadqiqotning
maqsadi va sharoitlariga bog‘liq. Ushbu
maqolada keltirilgan natijalar orbital
harakatlarni o‘rganishda nazariy va amaliy
yondashuvlarning
samaradorligini
oshirishga xizmat qiladi. Shu bilan birga,
mazkur
mavzuni
yanada
chuqurroq
o‘rganish kelgusida yangi texnologiyalarni
rivojlantirishga yo‘l ochadi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. V. A. Belinsky, I. M. Khalatnikov, and E. M. Lifshitz, Adv. Phys. 19, 525 (1970).
2. V. A. Belinskii, I. M. Khalatnikov, and E. M. Lifshitz, Advances in Physics 19,
525 (1970).
3. C. W. Misner, Physical Review Letters 22, 1071 (1969).
4. K. C. Jacobs, Astrophysical Journal, vol. 153, p. 661 153, 661 (1968).
5. A. Ashtekar and P. Singh, Class. Quant. Grav. 28, 213001 (2011),
arXiv:1108.0893.
6. P. Singh, Bull. Astron. Soc. India 42, 121 (2014), arXiv:1509.09182.
7. B.-F. Li and P. Singh, (2023), arXiv:2304.05426.
8. A. Ashtekar, T. Pawlowski, and P. Singh, Phys. Rev. Lett. 96, 141301 (2006),
arXiv:gr-qc/0602086.
9. A. Ashtekar, T. Pawlowski, and P. Singh, Phys. Rev. D 74, 084003 (2006),
arXiv:gr-qc/0607039.
10. A. Ashtekar, A. Corichi, and P. Singh, Phys. Rev. D 77, 024046 (2008),
arXiv:0710.3565.
