Universal International Scientific Journal
11
Xudoyberdiyeva Malika Karomat qizi
a
., Bo'ronov Musobek Orifovich
b
.,
Muxammadjonov Abdul Aziz
d
(a)
O'zbekiston Milliy Universiteti., Fizika fakulteti katta o’qituvchisi, PhD
(b)
O'zbekiston Milliy Universiteti., Fizika fakulteti 1-kurs talabasi
(d)
O'zbekiston Milliy Universiteti., Fizika fakulteti 4-kurs talabasi
Uzbekistan
https://orcid.org/0009-0006-8812-5028
Annotatsiya:
Kichik burchakka og`dirilgan mayatniklar uchun, kichik burchaklarni soddalashtirish
foydali bo‘lsa-da, katta burchakli mayatniklar uchun bu yondashuv ishlamaydi va oddiy mayatniklarni
hisoblash modellarida katta muammolarga olib kelishi mumkin. Ushbu maqola kichik burchakli va katta
burchakli mayatniklarning tebranish davrlari orasidagi farqlarni o‘rganadi hamda ikkala modeldagi davrni
tabiatning asosiy qonunlaridan keltirib chiqarishni ko`rsatadi. Shuningdek, ushbu maqola fizik
hodisalardan elliptik integralni chiqarishning umumiy usulini taqdim etadi. Nihoyat, maqola matematik
mayatniklarni o‘rganishni kengaytirish uchun bir qator takliflarni ilgari suradi. Mazkur maqola qat’iy
matematik isbot sifatida mo‘ljallanmagan bo‘lsa-da, mayatniklarning aniq davrlarini chiqarishni yoritishga
va ushbu jarayonga bog‘liq matematikani batafsil tushuntirishga qaratilgan.
UNIVERSAL XALQARO ILMIY
JURNAL
Jurnalning bosh sahifasi:
MATEMATIK MAYATNIKNI KICHIK VA KATTA BURCHAKLARDA DAVRLAR
ORASIDAGI FARQLARNI TAQQOSLASH
Universal International Scientific
Year: 2025 Issue: 2 Volume: 1
Published: 05.01.2025
International indexes
Universal International Scientific Journal
12
Kalit so‘zlar:
mayatnik, davr, burchak, matematik mayatnik.
Аннотация:
Для маятников, наклоненных под малыми углами, хотя упрощения на малые
углы полезны, для маятников с большими углами этот подход не работает и может привести к
серьезным проблемам в вычислительных моделях простых маятников. В данной статье исследуются
различия между периодами колебаний малоугловых и большеугловых маятников и показано, как
вывести период в обеих моделях из фундаментальных законов природы. Кроме того, в этой статье
представлен общий метод вывода эллиптического интеграла из физических явлений. Наконец, в
статье дается ряд предложений по расширению изучения математических маятников. Хотя эта
статья не задумана как строгое математическое доказательство, она призвана пролить свет на вывод
точных периодов маятников и подробно объяснить математику, задействованную в этом процессе.
Ключевые слова:
маятник, период, угол, математический маятник.
Abstract:
For pendulums tilted at small angles, although small-angle simplifications are useful, for
large-angle pendulums this approach does not work and can lead to major problems in computational
models of simple pendulums. This article explores the differences between the periods of oscillation of
small-angle and large-angle pendulums and shows how to derive the period in both models from the
fundamental laws of nature. Also, this paper presents a general method for deriving the elliptic integral
from physical phenomena. Finally, the article makes a number of suggestions for expanding the study of
mathematical pendulums. Although this article is not intended as a rigorous mathematical proof, it is
intended to shed light on the derivation of the exact periods of pendulums and to explain in detail the
mathematics involved in this process.
Keywords:
pendulum, period, angle, mathematical pendulum.
Language:
Uzbek
Citation:
Khudoyberdiyeva , M., Boronov , M., & Mukhammadjonov , A. A. (2025).
COMPARISON OF THE DIFFERENCES BETWEEN THE PERIODS OF A MATHEMATICAL
PENDULUM AT SMALL AND LARGE ANGLES. Universal International Scientific Journal, 2(1), 11–
https://doi.org/10.69891/3060-4540.2025.78.33.001
Doi:
https://doi.org/10.5281/zenodo.14636182
https://inlibrary.uz/index.php/universaljurnal/article/view/60750
Crosreff doi:
https://doi.org/10.69891/3060-4540.2025.78.33.001
I. Kirish
Matematik mayatniklar faqat bir uchi
mustahkamlangan ip va boshqa uchiga
biriktirilgan yukdan iborat. Ular qo‘yib
yuborilganda
tebranadi.
Mayatniklarni
birinchi o‘rganganlardan biri bo‘lgan Galileo
Galiley ularning harakati og`ish burchakka
bog‘liq emasligini aniqlagan. U mayatniklar
Universal International Scientific Journal
1
3
tebranishini kuzatish jarayonida mayatniklar
maksimal
burchak
og‘ishiga
nisbatan
izoxronik
ekanligini
ko‘rgan:
ya’ni,
mayatnikning tebranishi davomida vertikalga
nisbatan qanday burchak hosil qilishidan
qat’iy nazar, uning davri har doim bir xil
bo‘ladi.
Agar bu haqiqat bo‘lsa, unda mayatniklar
garmonik harakatni namoyon qiladi, bu
harakatda mexanik sistemani muvozanatga
qaytaruvchi kuch, muvozanat vaziyatidan
og‘ish burchagiga mos bo‘ladi. Galileo
kuzatuvidan beri mayatniklar vaqtni o‘lchash
va umuman ilm-fanda yirik yutuqlarga olib
kelgan, boshqa tarafdan esa Yerning bir kunda
bir marta aylanishini isbotlagan.
O‘rta
maktab
fizikasi
kurslarida
mayatniklarni izoxronik deb hisoblashni
o‘rganamiz.
Ularning
harakatini
modellashtirishda Galileo taxminiga amal
qilamiz va mayatnikning davrini hisoblashda
og`ish
burchagini
hisobga
olmaymiz.
Darhaqiqat, maktabning dastlabki yillarida bu
natijalarni o‘zimiz ham topa olamiz. Masalan,
men beshinchi sinfda ipga bog‘langan yuvish
mashinasi yuvgichlarining tebranish vaqtlarini
o‘lchab, oxir-oqibat Galileo bilan bir xil
xulosaga
kelganimni
eslayman.
Hayratlanarlisi shundaki, aslida Galileo xato
qilgan: mayatnikning maksimal og‘ish
burchagi uning tebranish davriga ta’sir qiladi.
Nisbatan kichik maksimal og‘ishlarga ega
mayatniklar amalda izoxronik bo‘lsa-da, bu
taxmin bilan bog‘liq xatolik burchak
kattalashgani sari ortib boradi.
Ushbu tadqiqotning maqsadi Galileo
taxmini qaysi holatlarda to‘g‘ri va noto‘g‘ri
ekanligini tahlil qilishdir. Mayatniklarning
harakatini asosiy qonunlaridan ikkinchi
tartibli differensial tenglama hosil qilish orqali
— biri taxminiy davrni, ikkinchisi esa aniq
davrni ifodalaydi — va ularni solishtirish
orqali taqribiy hisoblash bilan bog‘liq
xatoliklarni aniqlash mumkin. Bu juda muhim,
chunki matematik mayatnikning harakati
davriy bo‘lganligi sababli, modellashtirishda
davr vaqtidagi har qanday kichik farq bir
necha tebranishdan keyin katta xatoliklarga
olib
kelishi
mumkin.
Bu
differensial
tenglamalarni yechgandan so‘ng, kichik
burchak
taxminidan
nima
uchun
foydalanilishini ham o‘rganishimiz mumkin.
Bu muammoni hal qilish qiyinligiga haqiqatan
ham ta’sir qiladimi? Agar davrning aniq
yechimi ishlatishga qulay bo‘lsa, unda taqribiy
hisoblash o‘rniga shu aniq yechimdan
foydalanish kerak. Agar taqribiy hisoblash
juda katta xatolik keltirib chiqarmasa va
ishlatish ancha oson bo‘lsa, undan foydalanish
mantiqiydir. Eng asosiysi, ushbu tadqiqot
fizika bo‘yicha biz erta bosqichlarda
o‘rgangan umumiy bilimni o‘rganish va uning
qanchalik noto‘g‘ri ekanligini aniqlashga
qaratilgan.
1-rasm. Matematik mayatnik
ko`rinishi.
Universal International Scientific Journal
1
4
2-rasm. Erkin matematik mayatnikning davriy tebranish harakati.
𝝎 −
burchak
tezlik, shuning uchun
𝝎 =
𝒅𝜽
𝒅𝒕
.
MATEMATIK
MAYATNIKLARNI
MODELLASHTIRISH
Matematik mayatnik
𝑙
uzunligi
bo‘lgan va vaznga ega bo`lmagan ipga
osilgan, massasi
𝑚
bo‘lgan va moddiy
nuqta deb qarash mumkin bo`lgan yukdan
iborat (1-rasmda ko`rsatilgan). Jismga
pastga qaragan yo‘nalishda
𝑔
tezlanishi
bo‘lgan gravitatsion tortishish kuchi ta’sir
qiladi. Mayatnik erkin tebranadi va
maksimal og‘ish burchagidan qo‘yib
yuborilganda
𝜃 = 𝜃
0
dan
𝜃 = −𝜃
0
gacha
tebranish harakatini amalga oshiradi.Bu
harakat 2-rasmda ko‘rsatilgan va davriy
xarakterga ega: bir to‘liq tebranib
boshlang‘ich holatga qaytishi uchun
𝑇
vaqt
talab etadi.
Nyuton qonunlarining qo‘llanilishi
Mayatnikning
harakati
Nyuton
qonunlarining aylanma harakatga tatbiq
etilishiga asoslanadi:
𝑀 = 𝐼𝛼
(1)
bu yerda
𝑀
— kuch momenti, I —
inersiya momenti, α — burchak tezlanish.
Kuch momenti aylantiruvchi kuchning
o‘lchovi bo‘lib, uni "burilish" deb ham
atash mumkin. Jismning inersiya momenti-
jismni aylanma harakatga
keltirish
qanchalik qiyin ekanligini xarakterlaydi.
Bu massa analogi hisoblanadi: massa
kuchga qanday bog‘liq bo‘lsa, inersiya
momenti kuch momentiga shunday
bog‘liq.
Burchak
tezlanishi
esa
mayatnikning burchak tezligining vaqt
bo`yicha o‘zgarishidir.Aylanish o`qiga
nisbatan kuch momenti quyidagicha
Universal International Scientific Journal
15
ifodalanadi:
𝑀 = 𝐹 ∗ 𝑟
(1)
bu yerda F — kuch aylanish o`qidan r
masofada jismga tasir qiladi. Ushbu
holatda
𝑟 = 𝑙
va
𝐹 = 𝑚𝑔 sin 𝜃
, ya’ni
og`irlik kuchining ipga perpendikulyar
qismi. Bu kuchni umumiy og`irlik kuchini
parallel va perpendikulyar qismlarga
ajratish orqali topish mumkin, bu esa
vektor
ustidagi
algebraik
amallar
yordamida amalga oshiriladi. Bu holat
fizikada keng qo‘llaniladi. Ushbu holatdan,
𝐹 = 𝑚𝑔 sin 𝜃
natijasi
olinadi:
perpendikulyar kuch – og`irlik kuchi mg va
sin θ ko‘paytmasidan iborat.(1)-
Formulaning o'ng tomoniga o'tar ekanmiz,
mayatnikning
inersiya
momentini
aniqlashimiz kerak. Inersiya momenti
istalgan jismdagi har bir nuqta uchun
𝐼 = ∑ 𝑚𝑟
2
formula orqali topiladi.
Bizning mayatnikimizda massa faqatgina
bir nuqtada, ya'ni og'irlik markazida
to'plangan, shuning uchun yig'indida faqat
bitta qo'shiluvchi mavjud. Shunday qilib,
𝐼 = 𝑚𝑙
2
.
Kuch
momenti
va
inersiya
momentining ushbu yangi tenglamalarini
birlashtirib, quyidagi tenglamani hosil
qilamiz:
−𝑙𝑚𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝑙
2
𝛼
(2)
Keyin esa tenglamani soddalashtirib,
quyidagi natijaga ega bo'lamiz:
−
𝑔
𝑙
sin 𝜃 = 𝛼
(3)
Soddalashtirish uchun
𝜔 = √
𝑔
𝑙
deb
belgilaymiz. Keyin, burchak tezlanishi
vaqt bo'yicha og`ish burchagining ikkinchi
tartibli hosilasi ekanligini hisobga olib,
𝛼 =
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
deb yozamiz. Soddalashtirib,
matematik
mayatnikning
harakatini
ifodalovchi differensial tenglamaga ega
bo`lamiz:
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
= −𝜔
2
sin 𝜃
(4)
Shunday qilib, mayatnikning harakati
faqatgina ipning uzunligi
𝑙
, gravitatsion
tezlanish
𝑔
, va mayatnikning vertikal o`qi
bilan hosil qilgan burchagi -
𝜃
ga bog‘liq
bo‘ladi.
Kichik burchakli mayatniklar
Agar mayatnikning boshlang‘ich
burchagi
𝜃
0
juda kichik bo`lsa, unda
sin 𝜃 ≈ 𝜃
deb qabul qilinadi. Bu kichik
burchaklarni taqribiy hisoblash deb ataladi
va shuning uchun bunday mayatniklar
"kichik burchakli mayatnik deb nomlanadi.
Ushbu taxminni asoslash uchun birinchi
ajoyib limitdan foydalanamiz:
lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
= 1
(5)
Shunday qilib,
𝑥 → 0
da,
sin 𝑥 = 𝑥
,
va shu sababli
sin 𝑥 ≈ 𝑥
. Ushbu taqribiy
hisoblash differensial tenglamani (4)
soddalashtirish uchun qo‘llaniladi:
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
≈ −𝜔
2
𝜃
(6)
(6)
Tenglama (4) tenglamasga qaraganda
ancha sodda bo‘lib, u matematik
mayatnikning tebranish davrini topish
Universal International Scientific Journal
16
uchun ishlatiladi.
Ushbu
differensial
tenglamani
yechish uchun avvalo shuni ta'kidlaymizki,
ikkinchi tartibli hosilasi
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
, shu funksiya
o`zi va o`zgarmas
−𝜔
2
son ko`paytmasiga
teng bo`layapti. Ushbu tenglama ikkinchi
tartibli chiziqli gomogen differensial
tenglama deb ataladi. Bir necha marotaba
hosila olganda ham o`ziga qaytovchi
funksiyalar
eksponensial
funksiyalar
hisoblanadi:
𝑑
𝑑𝑥
𝑒
𝑥
= 𝑒
𝑥
.
Endi
𝜃 = 𝑒
𝑖𝑤𝑡
deb qabul qilamiz va
birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarni
topamiz:
𝜃 = 𝑒
𝑖𝑤𝑡
(7)
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 𝑖𝑤𝑒
𝑖𝑤𝑡
(8)
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
= −𝜔
2
𝑒
𝑖𝑤𝑡
= −𝜔
2
𝜃
(9)
Shunday qilib,
𝜃
1
= 𝐶
1
𝑒
𝑖𝑤𝑡
ikkinchi
tartibli differensial tenglama (6) uchun
yechim bo‘ladi, bu yerda
𝐶
1
∈ 𝐶
.
Shuningdek,
𝜃
2
= 𝐶
2
𝑒
𝑖𝑤𝑡
ham yechimdir,
bu yerda
𝐶
2
∈ 𝐶
. Differensiallash
jarayonida
𝐶
1
va
𝐶
2
doimiy
koeffitsiyentlari
saqlanadi
va
ular
integrallashning zaruriy doimiylaridir.
Ushbu doimiylar (6) tenglama uchun
matematik
mayatnikning
dastlabki
xususiyatlariga bog`liq holda cheksiz ko`p
yechimlarni ifodalaydi:
𝜃 = 𝐶
1
𝑒
𝑖𝑤𝑡
+
𝐶
2
𝑒
−𝑖𝑤𝑡
(10)
Bir marta hosila olish orqali
quyidagini ko`rish mumkin:
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 𝐶
1
𝑖𝜔𝑒
𝑖𝑤𝑡
−𝐶
2
𝑖𝜔𝑒
−𝑖𝑤𝑡
(11)
Va yana bir marta hosila olsak:
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
= −𝐶
1
𝜔
2
𝑒
𝑖𝑤𝑡
+𝐶
2
𝜔
2
𝑒
−𝑖𝑤𝑡
=
−𝜔
2
(𝐶
1
𝑒
𝑖𝑤𝑡
+
𝐶
2
𝑒
−𝑖𝑤𝑡
) = −𝜔
2
𝜃
(12)
Shunday qilib, (12) tenglama (6)
tenglamani qanoatlantiradi va masalaning
barcha
bo`lishi
mumkin
bo‘lgan
yechimlarini o‘z ichiga oladi.
Eyler formulasi
𝑒
𝑖𝑥
= cos 𝑥 +
𝑖 sin 𝑥
ni umumiy yechimga qo‘llash orqali
quyidagini hosil qilamiz:
𝜃 = 𝐶
1
cos 𝜔𝑡 +
𝐶
1
𝑖 sin 𝜔𝑡
+
𝐶
2
cos(− 𝜔𝑡) + 𝐶
2
𝑖 sin(−𝜔𝑡)
(13)
sin(−𝜃) = sin 𝜃
va
cos(−𝜃) =
cos 𝜃
bo`lganligi uchun :
𝜃 = 𝐶
1
cos 𝜔𝑡 +
𝐶
1
𝑖 sin 𝜔𝑡
+
𝐶
2
cos( 𝜔𝑡) − 𝐶
2
𝑖 sin(𝜔𝑡)
(14)
Endi ifodalarni tartibga keltiradigan
bo`lsak:
𝜃 = (𝐶
1
+ 𝐶
2
) cos 𝜔𝑡 +
𝑖 (𝐶
1
− 𝐶
2
)sin 𝜔𝑡
(15)
Keyin
𝐴 = 𝐶
1
+ 𝐶
2
va
𝐵 = 𝑖𝐶
1
− 𝐶
2
)
deb belgilaymiz:
𝜃 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin(𝜔𝑡)
(16)
Bu yerda
𝐴, 𝐵𝜖𝑅
bo‘lib, ular
matematik
mayatnikning
dastlabki
holatlarini aniqlovchi doimiylardir.
𝜃
davriy
funksiyalarning
chiziqli
Universal International Scientific Journal
17
kombinatsiyasi bo`lib, u ham davriydir.
cos 𝜔𝑡
va
sin 𝜔𝑡
funksiyalarining davri esa
2𝜋
𝜔
. Shu davrga ega ikki davriy funksiyani
qo`shish natijasida yana shu davrga ega
davriy funksiya hosil bo‘ladi.Shuning
uchun kichik burchak uchun qilingan
taqribiy hisoblashlardan so‘ng matematik
mayatnikning tebranish davri quyidagicha
bo‘ladi:
𝑇 ≈
2𝜋
𝜔
= 2𝜋√
𝑙
𝑔
(17)
Keltirib
chiqargan
formulamiz
faqatgina kichik og`ish burchaklarida
o`rinli, katta og`ish burchaklarida emas. Bu
Galileyning kirish qismida keltirilgan
kuzatuvlariga mos keladi.
KATTA BURCHAKLI
MAYATNIKLAR
Biroq,
agar
mayatnikning
boshlang‘ich og`ish burchagi
𝜃
0
katta
bo‘lsa, kichik burchaklar uchun qilingan
taqribiy hisoblashlarni qo‘llab bo‘lmaydi.
Bunday
mayatnik—katta
burchakli
mayatnik—davrini aniqlash uchun (4)
tenglamani
taqribiy
hisoblashlarsiz
yechishimiz kerak. Ikkinchi tartibli
differensial tenglamani integrallash uchun
quyidagiga e’tibor bering:
𝑑
𝑑𝑡
[
1
2
(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
] =
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
𝑑𝜃
𝑑𝑡
(18)
Tenglamaning
o`ng
tomonidan
integral oladigan bo`lsak:
∫
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
1
2
(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
+
C,
(19)
Bu integralni masalamizga qo‘llash
uchun dastlabki differensial tenglamani
(4),
𝑑𝜃
𝑑𝑡
ga ko‘paytiramiz:
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
−𝜔
2
sin 𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
(20)
Tenglamaning chap qismi, (18)
tenglamaning bir qismidir.
𝑡
bo`yicha
integral olsak:
∫
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑡 = ∫ −𝜔
2
sin 𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(21)
Differensial tenglama quyidagi holga
keladi:
1
2
(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
= 𝜔
2
cos 𝜃 + 𝐶,
(22)
Qayerda C qatnashgan bo`lsa, u
integralni hisoblashda hosil bo`ladigan
o`zgarmas son.
𝜃 = 𝜃
0
bo`lganda
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 0
bo`ladi. Shu sababli
𝐶 = −𝜔
2
cos 𝜃
0
ekanligini topib tenglamaga keltirib
qo`ysak:
1
2
(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
= 𝜔
2
cos 𝜃 − 𝜔
2
cos 𝜃
0
,
(23)
Tenglamani soddalashtirsak:
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 𝜔√2√cos 𝜃 − cos 𝜃
0
(24)
Bu nuqtada, dastlabki ikkinchi tartibli
differensial tenglama birinchi tartibli
differensial tenglamaga aylantirildi. Biroq,
Universal International Scientific Journal
18
bu hali ham matematik mayatnikning
tebranish davrini aniq ko‘rsatish uchun
yetarli emas.
Davom etishdan oldin, ba'zi narsalarni
o`zimizga qayd qilib olishimiz kerak.
Sinusning yarim burchak formulasi:
sin
𝜃
2
= ±√
1−cos 𝜃
2
(25)
Bu tenglikni yana quyidagicha
yozishimiz mumkin:
cos 𝜃 = 1 − 2 (sin
𝜃
2
)
2
(26)
cos 𝜃 = 1 − 2 (sin
𝜃
2
)
2
va
cos 𝜃
0
=
1 − 2 (sin
𝜃
0
2
)
2
tengliklarni, (24) ga
qo`yish orqali quyidagi natijani olamiz:
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 2𝜔√(sin
𝜃
0
2
)
2
− (sin
𝜃
2
)
2
(27)
Endi
𝑘 = sin
𝜃
0
2
deb belgilaymiz (bu
o‘zgarmas), va o‘rniga qo`yamiz:
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 2𝜔√𝑘
2
− (sin
𝜃
2
)
2
(28)
Keyingi qadamda, (28) ning teskari
qiymatini olib
𝜃
bo‘yicha integrallash
uchun tayyorlaymiz:
𝑑𝑡
𝑑𝜃
=
1
2𝜔√𝑘
2
−(sin
𝜃
2
)
2
(29)
Chap tomonda 0 dan
𝑇
4
gacha va o‘ng
tomonda 0 dan
𝜃
0
gacha integrallashni
bajaramiz, chunki matematik mayatnik
muvozanat vaziyatidan uning maksimal
burchak og`guncha ketgan vaqt
𝑇
4
ga teng
bo‘ladi. Shu sababli, bu integral
quyidagiga teng bo‘ladi:
∫
𝑑𝑡
𝑑𝜃
𝑑𝜃 = ∫
𝑑𝜃
2𝜔√𝑘
2
−(sin
𝜃
2
)
2
𝜃
0
0
𝑇
4
0
(30)
Chap tomonni integrallab, o`ng
tomondagi
ifodalarni
soda
holatga
keltiramiz:
𝑇 =
2
𝜔
∫
𝑑𝜃
√𝑘
2
−(sin
𝜃
2
)
2
𝜃
0
0
(31)
Shunday
qilib,
biz
matematik
mayatnikning davrini (4) differensial
tenglamadan topdik. Bu davr mayatnik ip
uzunligi
𝑙
ga, erkin tushish tezlanishi
𝑔
ga
va mayatnikning maksimal og`ish burchagi
𝜃
0
ga bog‘liq.Qiziqarli tomoni shundaki,
(31) integral birinchi turdagi elliptik
integral sifatida tanilgan va u kriptografiya
sohasida nihoyatda muhim. Elliptik
integralning teskari funksiyalari elliptik
funksiyalar
deb
ataladi
va
ular
mayatniklardan
tashqari
ko‘plab
qo‘llanmalarga ega. Elliptik integrallar
aniq yechimlarga ega emasligi isbotlangan
va ularni faqat sonli usullar bilan
integrallash mumkin.
KICHIK BURCHAKLAR
Universal International Scientific Journal
19
UCHUN TAQRIBIY
HISOBLASHNING XATOLIGINI
BAHOLASH
Oldingi ikki bo‘limda biz matematik
mayatnikning tebranish davri uchun ikki
xil ifodani topdik: ulardan biri kichik
burchaklar uchun:
𝑇(𝑔, 𝑙) ≈ 𝑇
𝑡𝑎𝑞
=
2𝜋
𝜔
(32)
Ikkinchisi esa aniq integral bilan
ifodalanadi:
𝑇(𝑔, 𝑙, 𝜃
0
) = 𝑇
𝑎𝑛𝑖𝑞
=
2
𝜔
∫
𝑑𝜃
√𝑘
2
−(sin
𝜃
2
)
2
𝜃
0
0
(33) Ikki usul bo`yicha
matematik mayatikning tebranish davri
(32) va (33) tenglamalari matematik
mayatniklarni
modellashtirishda
keltirilgan
doimiylar
asosida
sonli
hisoblash orqali aniqlanishi mumkin. Har
ikkala tenglamada gravitatsion tezlanish
𝑔
va mayatnik uzunligi
𝑙
funksiyalari bo‘lsa-
da, faqat aniq davr maksimal og‘ish
burchagi funksiyasi hisoblanadi.
3-rasm. Matematik mayatnikning aniq va taqribiy davrlari. Bu yerda
𝝎 = 𝝅
holati
ko`rilgan.
Kichik burchaklar uchun taqribiy hisoblashning nisbiy xatosi
𝜃
0
te
br
an
ish
T
Universal International Scientific Journal
20
4-rasm. Kichik burchaklar uchun taqribiy hisoblashning nisbiy xatoligi va
maksimal og`ish burchagining bir biriga bog`liqligi.
Keyingi bosqichda
𝜃
0
ning katta
qiymatlarida
taqribiy
hisoblashning
qanchalik xato ekanligini aniqlashimiz
mumkin. Nisbiy xatolik foiz ifodasi uchun
tenglama:
𝑅 = 100% ∗
𝑇
𝑎𝑛𝑖𝑞
−𝑇
𝑡𝑎𝑞𝑟𝑖𝑏
𝑇
𝑎𝑛𝑖𝑞
(34)
(34) orqali biz 4-rasmda keltirilgan
grafikni hosil qilamiz.
XULOSA
Matematik
mayatnik
davrini
hisoblashda kichik burchaklarni taqribiy
hisoblash yetarlicha yaxshi natija beradi.
Agar
𝜃 <
𝜋
4
bo‘lsa,
𝑅 < 3,84%
. Biroq,
hatto bu kichik noaniqlik ham yig`ilib
borishi mumkin: masalan,
𝜔 = 𝜋
va
𝜃
0
=
𝜋
4
bo‘lgan mayatnik 13 marta to‘liq
tebranishidan so‘ng,
𝑇
𝑡𝑎𝑞𝑟𝑖𝑏
haqiqiy
mayatnikdan yarim davrga ortda qoladi. Bu
shuni anglatadiki, 13 tebranishdan so`ng,
yaqinlashuvda
mayatnik
muvozanat
holatida bo‘lsa, aniq mayatnik maksimal
muvozanat
vaziyatidan
chetlashish
holatida bo‘ladi va aksincha. Shu sababli,
matematik mayatnik harakatini uzoq
muddatli modellashtirishda bu xatolar
muhim ahamiyatga ega bo‘ladi. Ammo
qisqa vaqt oralig‘ida xatolik deyarli
sezilmaydi, ayniqsa kichik burchaklarda,
masalan,
𝜋
8
holatida yaqinlashuv xatosi 1
foizdan kam bo‘ladi. Bunday kichik
burchakli mayatniklar amalda kam
𝜃
0
Re
lat
iv
ee
rr
or
(%
)
Universal International Scientific Journal
21
uchramaydi: ko‘plab soatlarda uzun,
ingichka mayatniklar mavjud bo‘lib, ular
yuqori
𝑙
va past
𝜃
0
qiymatlariga ega. Bu
ikki doimiy qiymat mayatnikning uzoq va
aniq davrini ta’minlashga yordam beradi.
Oxir-oqibat, kichik burchaklarni taqribiy
hisoblash aniq tenglamaga nisbatan
foydalanish qulayligini sezilarli darajada
oshiradi. (33)-tenglamada mavjud bo‘lgan
aniq integral uchun algebraik ifodani
olishning iloji yo‘q, chunki bu integral
elliptik integral deb ataladi. U dastlab ellips
egri
chizig‘ining
uzunligini
va
mayatnikning davrini topish uchun
o‘rganilgan, keyinchalik kengaytirilgan va
hozirda
matematikaning
ko‘plab
sohalarida qo‘llanilmoqda.
𝑇
𝑎𝑛𝑖𝑞
elliptik
integralni o‘z ichiga oladi va uni faqat sonli
hisoblash orqali baholash mumkin,
𝑇
𝑡𝑎𝑞𝑟𝑖𝑏
esa bunday integrallarni o‘z ichiga olmaydi
va juda sodda. Shuning uchun imkon qadar
taqribiy
hisoblashdan
foydalanish
mantiqan
to`g`ri
bo`ladi.
Agar
mayatnikning maksimal og`ish burchagi
nisbatan katta bo‘lsa ham, agar mayda
kamchiliklarga e’tibor berilmasa, taqribiy
hisoblashdan foydalanish ma’qul. Ammo,
aniq kompyuter modeli uchun aniq
tenglamadan foydalanish kerak. Aks holda,
oldin muhokama qilingan faza xatolari
vaqt o‘tishi bilan mayatnik harakatiga
sezilarli ta’sir ko‘rsatadi
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. Anthony Zee, Fly by Night Physics: How Physicists Use the Backs of Envelopes,
(Princeton University Press, Princeton, NJ, 2020). 9
2. Zhiwei Chong, “A qualitative analysis to simple harmonic motion,” arXiv preprint
arXiv:2209.12662 (2022). ( Accepted by The Physics Teacher)
3. The subscript in
𝑇𝑝
stands for physical, while that in
𝑦𝑝
actually stands for the
center of percussion.
4. Hugh G. Gauch, Scientific Method in Practice, (Cambridge University Press,
Cambridge, 2003) p. 269.
5. P. N. Raychowdhury, and J. N. Boyd, “Center of percussion,” Am. J. Phys.
47(12):1088- 1089 (1979).
6. J. Hass, C. Heil, and M. D. Weir, Thomas’ Calculus, 14th ed. (Pearson Education,
Boston, 2018), p. 191.
7.. Helden, A. V. Pendulum Clock 1995.
<http://galileo.rice.edu/sci/instruments/pendulum. html>.
8. Nave, R. Simple Harmonic Motion HyperPhysics. <http://hyperphysics.phy-
astr.gsu.edu/hbase/ shm.html>.
Universal International Scientific Journal
22
9. Daniel, R. Acoustics and Vibration Animations <http : / / www . acs . psu . edu /
drussell / Demos / Pendulum/Pendula.html>.
10. Austin Christian. Math 31A Discussion Session 2016.
<http://www.math.ucla.edu/˜archristian/ teaching/31a-w16/week-
2.pdf>.
