XUSUSIY HOSILA DIFFERENSIAL TENGLAMANING
INVARIANTLIK ALGEBRASI
Nizomxonov Erkinxon Nizom o‘g‘li
1
Nizomxonov Sanjarxon Erkinxon o‘g‘li
1
Botirov Sadulla
3
1
University Tashkent of Applied Sciences, Gavhar Str. 1, Tashkent 100149, Uzbekistan.
2
Karshi State University, Kochabog Str. 17, Karshi 180119, Uzbekistan
.
(sanbestmamax@gmail.com, sanjarxonnizomxonov@utas.uz)
https://doi.org/10.5281/zenodo.10471343
Kalit so‘zlar:
Invariantlik sharti, kommutatorlik munosabatlari, Li algebrasi, Galiley operatorlari..
Annotasiya:
Mazkur maqolada xususiy hosilali to‘rtinchi tartibli differensial tenglamaning invariantlik algebrasi
o‘rganilgan.
1. KIRISH
Quyida biz
(𝑃
0
− 𝑘
1
𝑃
2
⃗⃗⃗⃗ − 𝑘
1
𝑃
2
⃗⃗⃗⃗ 𝑃
2
⃗⃗⃗⃗ ) 𝑈 = 0
(1)
ko‘rinishdagi xususiy hosilali to‘rtinchi tartibli
chiziqli differensial tenglamani qaraylik, bunda
𝑃
0
= 𝑖
𝜕
𝜕𝑡
, 𝑃
0
= −𝑖
𝜕
𝜕𝑥
𝑎
, 𝑎 = 1,3
̅̅̅̅
,
𝑃
2
⃗⃗⃗⃗ = 𝑃
1
2
+ 𝑃
2
2
+ 𝑃
3
2
,
𝑈 = 𝑈(𝑡 = 𝑥
0
, 𝑥 ), 𝑥 = (𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
)
,
k
1
,k
2
– const, k
1
,k
2
≠ 0.
(1)
tenglamani qulaylik uchun
(𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
)𝑈 = 0
(2)
ko‘rinishida yozilishi mumkin, bunda
𝜕
0
=
𝜕
𝜕𝑡
bo‘lib,
∆ =
𝜕
2
𝜕𝑥
1
2
+
𝜕
2
𝜕𝑥
2
2
+
𝜕
2
𝜕𝑥
3
2
esa Laplas
operatoridir.
Endi
(2)
tenglamaning
invariantlik
algebrasini barcha birinchi tartibli differensial
operatorlar sinfidan aniqlaylik. Ma’lumki (2)
tenglamaning invariantlik algebrasi quyidagi
[𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
, 𝑄
𝐴
]𝑈(𝑡, 𝑥) = 0
(3)
shartdan aniqlanadi, bunda Q
A
– almashtirishlar
operatori bo‘lib, A indeks esa ko‘pgina qiymatlarga
ega bo‘lishi mumkin. (3) – invariantlik sharti
quyidagi
[𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
, 𝑄
𝐴
] =
= 𝑖𝜆
𝐴
(𝑡, 𝑥)(𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
)
(4)
tenglamaga ekvivalentdir, bunda
𝑖𝜆
𝐴
(𝑡, 𝑥)
hozircha
aniqlanmagan funksiya. (4) – invariantlik sharti
[𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
, 𝑄
𝐴
] = 0
(5)
invariantlik shartiga nisbatan umumiy holdir, chunki
Q
A
operatorlardan ba’zi birlari (4) - invariantlik
shartini
qanoatlantirib,
ammo
(5)
shartni
qanoatlantirmasligi mumkin.
Ma’lumki, (2)
tenglamaning invariantlik
algebrasini aniqlash deganda, bu Li algebrasini
ifodalovchi va bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan, hamda
(4) –
invariantlik shartini
qanoatlantiruvchi barcha
Q
A
operatorlarni aniqlashdan iboratdir. Shunday
qilib, biz (2)
tenglamaning invariantlik
Q
A
operatorlarni birinchi tartibli diffrensial operatorlar
sinfi ichida aniqlaymiz. Demak, bu holda
Q
A
operatorni quyidagi
𝑄
𝐴
= 𝑖 (𝑎(𝑡, 𝑥 )
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑏
𝑖
(𝑡, 𝑥 )
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
+ 𝑐(𝑡, 𝑥 ))
, (6)
umumiy ko‘rinishida izlaymiz, bunda
i =
1, 3.
̅̅̅̅̅,
𝑎(𝑡, 𝑥 )
,
𝑏
𝑖
(𝑡, 𝑥 )
va
𝑐(𝑡, 𝑥 )
hozircha noma’lum
funksiyalar bo‘lib ular barcha o‘zgaruvchilar
bo‘yicha uzluksiz differensiyalanuvchi bo‘lsin.
Izlanayotgan
Q
A
operatori (4) ga qo‘yib, quyidagi
operatorli tenglamani hosil qilamiz, yani,
[𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
, 𝑄
𝐴
] =
= [𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
, 𝑎(𝑡, 𝑥 )
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑏
𝑖
(𝑡, 𝑥 )
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
+ 𝑐(𝑡, 𝑥 ) ] =
= [𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
, 𝑎(𝑡, 𝑥 )]
𝜕
𝜕𝑡
+
+[𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
, 𝑏
𝑖
(𝑡, 𝑥 )]
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
+
(7)
+[𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
, 𝑐(𝑡, 𝑥 )] =
= 𝜆
𝐴
(𝑡, 𝑥 )(𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
)
,
bunda
𝜕
𝜕𝑡
va
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
lar
L=
𝑖𝜕
0
+ 𝑘
1
∆ + 𝑘
2
∆
2
operatorning
o‘rin almashinuvchi operatorlaridir.
(7) tenglamaning chap tomonida kommutatorlik
munosabatlarini bajarib, hamda bir xil darajali
koeffisientlarni tenglashtirib olganimizdan so‘ng va
bajarilishi zarur bo‘lgan hisoblashlardan keiyn
a, b
i
,
c
koeffisientlarni aniqlab olish uchun biz quyidagi
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
1.
𝜕𝑎
𝜕𝑥
𝑖
= 0; 2.
𝜕𝑎
𝜕𝑡
=
𝜆
𝐴
(
𝑡, 𝑥
)
;
3.
1
4
𝜕𝑎
𝜕𝑡
=
𝜕𝑏
1
𝜕𝑥
1
;
4.
𝜕𝑏
1
𝜕𝑥
1
=
𝜕𝑏
2
𝜕𝑥
2
=
𝜕𝑏
3
𝜕𝑥
3
;
5.
𝜕
2
𝑏
𝑖
𝜕𝑥
𝑎
𝜕𝑥
𝑏
= 0; 6.
𝜕𝑏
𝛼
𝜕𝑥
𝛽
+
𝜕𝑏
𝛽
𝜕𝑥
𝛼
= 0
(α ≠ β);
(8)
7.
𝜕𝑏
𝑖
𝜕𝑡
= 0; 8.
𝜕𝑐
𝜕𝑡
= 0;
9.
𝜕𝑐
𝜕𝑥
𝑖
= 0; 10.
1
2
𝜕𝑎
𝜕𝑡
=
𝜕𝑏
1
𝜕𝑥
1
.
2. ADABIYOTLAR TAHLILI VA
METODOLOGIYA
Xususiy hosila differensiyal tenglamaning
invariantlik haqida mutahassis olimlarning qarashlari
turlicha bo‘lib, ilmiy ishlarida va o‘tkazilgan ilmiy
anjumanlarda
ular
o‘z
fikr
mulohazalarini
bildirishgan.
Sibir
matematiklari
jurnalidagi
О.V.Каpsovning “Инвариантные тензоры и
дифференциальные уравнения с частными
производными” nomli maqolasida Li hosilasidan
foydalanib,
A
algebrasining
mulohazasiga
differensiallanishdagi
tenzor
o‘zgarmasligi
tushunchasi kiritiladi. Har bir qisman differensial
tenglamalar sistemasi ba’zi differensial algebrada
hosil qilib, magnit suyuqlik dinamikasining uch
o‘lchovli tenglamalari holatida r -1 (B1dx + B2dy +
b3dz) ning differentsial shakli D ga nisbatan
o‘zgarmasdir. Ushbu bayonoti qaysi ma’noda
tushunish kerakligi aniq emas [3].
F.E.Qodirov ilmiy rahbarligidagi “Birinchi va
ikkinchi tartibli hususiy hosilalar. to’la differensial.
taqribiy hisoblash” nomli maqolasida Differensial
tenglamalar faniga ko‘ra birinchi va ikkinchi tartibli
hususiy hosilalar, To‘la differensial haqida
ma’lumotlar keltirilgan quyidagi ikkinchi tartibli
to’la differensial
d(dz)
=
d
2
z
kabi aniqlanib, xususiy
hosilalar orqali quyidagicha topiladi.
d
2
=
𝑑
2
𝑧
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
2
+ 2
𝑑
2
𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦 +
𝑑
2
𝑧
𝑑𝑦
2
𝑑𝑦
2
Unda
z
=
x
2
y
3
funksiyaning ikkinchi tartibli to‘la
differensialini topilgan bo‘lib,
formulaga
asosan ikkinchi tartibli to’la differensial
d
2
z = 2y
3
dx
2
+ 12xy
2
dxdy + 6x
2
ydy
2
[4].
Xususiy hosilali differensial tenglamalarning
va
differensial
tenglamalar
sistemasining
klassifikatsiyasi masalasini, hamda ikkinchi tartibli
xususiy hosilali differensial tenglamalarning umumiy
yechimini topish usullari haqida Sh.G. Kasimov, Y.E.
Fayziyevlar o‘z qo‘llanmalarida xususiy hosilali
differensial
tenglama
yoki
xususiy
hosilali
differensial tenglamalar sistemasini oldindan berilgan
boshlang‘ich va chegaraviy shartlarda yechish
masalalarini o‘rganishga va bunday jarayonni
ifodalavchi
matematik
masalalar
ko‘pgina
umumiylikka ega bo‘lgani, hamda matematik fizika
tenglamalari matematikaning asosiy fundamental va
tadbiqiy bo‘limlaridan bo‘lishi, shuningdek, xususiy
hosilali differensial tenglama yoki xususiy hosilali
differensial tenglamalar sistemasini o‘rganish uchun
ularni sinflarga ajratish maqsadga muavfiqligiga
e’tibor qaratilgan [5].
3. NATIJALAR VA MUHOKAMA
Shunday
qilib,
(2)
tenglamaning
invariantligini aniqlovchi (3) shartdagi
Q
A
operatorni
izlash uchun (8) – tenglamalar
sistemasining umumiy yechimini aniqlashimiz
lozim. (8) -
tenglamalar sistemasining
yechilishi ancha k
o‘p ish bo‘lganligi uchun, biz
faqat oxirgi natija, ya’ni (8) – sistema yechimining
umumiy ko‘rinishini yozamiz:
𝑎(𝑡, 𝑥 )
=
const,
𝑏
1
(𝑡, 𝑥 )
= r
12
x
2
+ r
13
x
3
+ d
1
𝑏
2
(𝑡, 𝑥 )
= r
21
x
1
+ r
23
x
3
+ d
2
, r
12
= - r
21
,
𝑏
3
(𝑡, 𝑥 )
= r
31
x
1
+ r
32
x
2
+ d
3
, r
23
= - r
32
, r
13
= - r
31
𝑐(𝑡, 𝑥 )
=
const,
𝜆(𝑡, 𝑥 )
= 0
,
bunda
r
ab
, d
1
, d
2
, d
3
lar doimiy integrallanuvchilardir.
Bu aniqlab olgan yechimlarimizni (6) ga mos
ravishda qo‘yib,
Q
A
operatori uchun quyidagi ifodani
aniqlab olamiz:
Q
A
=
𝑎
𝜕
𝜕𝑡
+ (𝑟
12
𝑥
2
+ 𝑟
13
𝑥
3
+ 𝑑
1
)
𝜕
𝜕𝑥
1
+
+(𝑟
21
𝑥
1
+ 𝑟
23
𝑥
3
+ 𝑑
2
)
𝜕
𝜕𝑥
2
+
(9)
+
(𝑟
31
𝑥
1
+ 𝑟
32
𝑥
2
+ 𝑑
3
)
𝜕
𝜕𝑥
3
+ 𝑐
(9) dagi bir xil doimiy integrallanuvchi va o‘zaro
bog‘liq bo‘lmagan parameter ifodalardan quyidagi
operatorlarni hosil qilamiz:
P
0
=i
𝜕
𝜕𝑡
,
P
0
= -i
𝜕
𝜕𝑥
𝑎
, a=
1,3
̅̅̅̅
,
(10)
J
ab
= x
a
P
b
– x
b
P
a
, I = U
𝜕
𝜕𝑈
.
4. XULOSA
Bu topilgan (10) – dagi operatorlar (3) –
invariantlik shartini qanoatlantirib va ular quyidagi
kommutatorlik munosabatlarini ham bajaradi, ya’ni:
[
P
0
, P
a
] = 0, [
P
0
, J
ab
] = 0,
(11)
[
J
ab
, P
c
] =
i
(
g
ac
P
b
– g
bc
P
a
),
[
J
ab
, J
cd
] =
i
(
g
ac
J
bd
+ g
bd
J
ac
– g
bc
J
ad
– g
ad
J
bc
)
(11) dagi {
P
0
, P
a
, J
ab
, I
} operatorlar esa Galiley
operatorlaridir.
Demak, bu yuqoridagilarga asosan quyidagi
teoremaning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:
Teorema. (1) – tenglama sakkiz parametrli
Galiley operatoriga nisbatan invariant bo‘lib, ular
uchun (11) – kommutatorlik munosabatlari o‘rinli
ekan.
5.
ADABIYOTLAR
[1]
Ovsyanikov L.V. Gruppovoy analiz differensialnix
uravneniy. M. Nauka, 1978;
[2]
Fushich V.I. O novom metode issledovaniya
gruppovix svoystv sistem differensialnix uravneniy v
chastnix proizvodnix. Kiyev. In-t metematiki AN
USSR, 1978.
[3]
Каpsov
О.V.
Инвариантные
тензоры
и
дифференциальные
уравнения
с
частными
производными. Mart 2006, Siberian Mathematical
Journal 47, № 2, УДК 517.956.
[4]
Qodirov, F.E., Usmonov, M.T., Sayifov, B.Z.,
Negmatova, N.E. Birinchi va ikkinchi tartibli hususiy
hosilalar. to’la differensial. taqribiy hisoblash
(2022)
Journal of Advanced Research and Stability, pp. 153-
158., ISSN: 2181-2608.
[5]
Kasimov Sh.G., Fayziyev Yu.E. “Xususiy hosilali
differensial tenglamalarni kanonik ko‘rinishga
keltirish va uning umumiy yechimini topishga oid
mashqlar” Uslubiy qo‘llanma, Toshkent – 2011, b. 62-
70.
