МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЗБЕКИСТАНА
имени МИРЗО УЛУГБЕКА
________________________________________________________________
На правах рукописи
УДК 517.98
НУРЖАНОВ Бердах Орынбаевич
ЛОКАЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
НА АЛГЕБРАХ ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ
01.01.01 – Математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Ташкент – 2012
2
Работа выполнена в отделе «Алгебра и анализ» Института математики при
Национальном университете Узбекистана имени Мирзо Улугбека
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор,
академик АН Республики Узбекистан
Аюпов Шавкат Абдуллаевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Абдуллаев Рустам Заирович
кандидат физико-математических наук,
Бер Алексей Феликсович
Ведущая организация:
Самаркандский государственный университет
имени А. Навои
Защита состоится «____» _____________ 2012 года в ____ часов на
заседании объединенного специализированного совета Д. 067.02.03 при
Национальном университете Узбекистана имени Мирзо Улугбека по
адресу: 100174, г. Ташкент, ВУЗ городок, Национальный университет
Узбекистана, механико-математический факультет, ауд. _____.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке
Национального университета Узбекистана имени Мирзо Улугбека.
Автореферат разослан «___» _______________ 2012 г.
Ученый секретарь
специализированного совета Д. 067.02.03,
доктор физико-математических наук
Тухтасинов М.
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность работы.
Теория дифференцирований на ограничен-
ных операторных алгебрах является важной и хорошо изученной частью
общей теории операторных алгебр.
Изучение дифференцирований операторных алгебр начинается с
работы И. Капланского, установившего, что всякое дифференцирование
AW
-алгебры типа I является внутренним. В этой же работе
И. Капланский сформулировал проблему о том, всякое ли дифференциро-
вание алгебры фон Неймана является внутренним. Эта проблема была
решена в работах С. Сакаи. Дифференцирования на
C
-алгебрах и
алгебрах фон Неймана исследованы в известных монографиях С. Сакаи.
Всестороннее рассмотрение дифференцирований в общих банаховых
алгебрах дано в монографии Г. Дейлса, в которой детально изучены
условия, гарантирующие автоматическую непрерывность дифференциро-
ваний на различных банаховых алгебрах.
Пусть
A
– некоторая алгебра. Линейный оператор
:
D A
A
назы-
вается
дифференцированием
, если
(
)
( )
( )
D xy
D x y
xD y
при всех
,
x y
A
(правило Лейбница). Каждый элемент
a
A
определяет дифференцирова-
ние
a
D
на алгебре
A
по правилу
( )
,
a
D x
ax
xa
.
x
A
Дифференцирова-
ния вида
a
D
называются
внутренними
. Если элемент ,
a
порождающий
дифференцирование
,
a
D
принадлежит более широкой алгебре
,
B
содержа-
щей
,
A
то
a
D
называется
пространственным дифференцированием
.
Одной из главных проблем в теории дифференцирований является
доказательство внутренности или пространственности дифференцирова-
ний, или же существования не внутренних дифференцирований (в частнос-
ти, нетривиальных дифференцирований на коммутативных алгебрах).
Развитие некоммутативной теории интегрирования было начато
И. Сигалом, который рассмотрел новые классы (не обязательно банаховых)
алгебр неограниченных операторов, в частности, алгебру
(
)
S M
всех изме-
римых операторов относительно алгебры фон Неймана
.
M
В 2000 году
Ш.А. Аюпов выдвинул программу исследования дифференцирований на
алгебрах неограниченных операторов и, в частности, на алгебрах сигалов-
ского типа, т.е. на различных алгебрах измеримых операторов относитель-
но алгебр фон Неймана.
Следуя программе Ш.А. Аюпова, были решены проблемы описания
дифференцирований для различных классов алгебр. В работе А.Ф. Бера,
В.И. Чилина, Ф.А. Сукочева были получены необходимые и достаточные
условия существования нетривиальных дифференцирований в регулярных
коммутативных алгебрах. А.Г. Кусраев методами булевозначного анализа
получил необходимые и достаточные условия существования нетривиаль-
4
ных дифференцирований и автоморфизмов в расширенных
f
-алгебрах. В
работах С. Альбеверио, Ш.А. Аюпова и К.К. Кудайбергенова были получе-
ны описания дифференцирований алгебры
(
)
LS M
– всех локально изме-
римых операторов, алгебры
(
)
S M
– всех измеримых операторов, алгебры
(
, )
S M
– всех
-измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон
Неймана типа I, а также для некоммутативных алгебр Аренса, ассоцииро-
ванных с алгеброй фон Неймана, и точным нормальным полуконечным
следом. Другой подход к подобным проблемам для
AW
-алгебр типа I
был предложен в работе А.Е. Гутмана, А.Г. Кусраева и С.С. Кутателадзе, а
в работе А.Ф. Бера, Б. де Пагтера и Ф.А. Сукочева – с помощью
представлений алгебры измеримых операторов в виде алгебры операторно-
значных функций были изучены дифференцирования на них.
В то же время актуальной является задача изучения различных
классов линейных операторов типа дифференцирования.
Одним из важных таких классов являются локальные дифференциро-
вания, впервые введенные в 1990 году независимо Р. Кэйдисоном и
Д. Ларсоном и А. Суруром. Р. Кэйдисон в своей работе отметил, что
локальные дифференцирования имеют важное значение в построении
дифференцирований со специфическими свойствами.
Линейный оператор
на алгебре
A
называется
локальным диффе-
ренцированием
, если для каждого
x
A
существует дифференцирование
:
D A
A
(зависящее от
x
) такое, что
( )
( ).
x
D x
Разным вопросам теории локальных дифференцирований посвящены
работы Д. Ларсона, А. Сурура, Р. Кэйдисона, М. Брешара, П. Шемрла,
Р. Криста, Б. Джонсона, Е. Шольца, В. Тиммермана, В. Шульмана и других
авторов.
В то же время проблема описания локальных дифференцирований на
алгебре измеримых операторов до сих пор оставалась открытой. В
частности,
актуальными
являются
задача
описания
локальных
дифференцирований на коммутативных регулярных алгебрах, алгебрах
измеримых
операторов
относительно
алгебр
фон
Неймана
и
некоммутативных алгебрах Аренса, а также выявление локальных
дифференцирований,
не
являющихся
дифференцированиями
на
вышеуказанных алгебрах.
Диссертационная работа посвящена изучению локальных дифферен-
цирований на алгебрах измеримых операторов.
Степень изученности проблемы.
Д. Ларсон и А. Сурур доказали,
что каждое локальное дифференцирование на алгебре
(
)
B X
всех ограни-
ченных линейных операторов на банаховом пространстве
,
X
является
дифференцированием. Р. Кэйдисон рассматривал локальные дифференци-
рования на алгебрах фон Неймана и в некоторых полиномиальных
алгебрах. Было доказано, что каждое непрерывное локальное дифференци-
рование из алгебры фон Неймана
M
в дуальный
M
-бимодуль является
дифференцированием. Этот результат был обобщен в работе М. Брешара,
5
для более широкого класса линейных операторов (точнее, в случае
произвольного нормированного
M
-бимодуля), т.е. для операторов
из
M
в нормированный
M
-бимодуль
E
, которые удовлетворяют тождеству
( )
( )
( )
p
p p
p
p
для каждого идемпотента
.
p
M
Каждое локальное
дифференцирование удовлетворяет тождеству
( )
( )
( )
p
p p
p
p
. М.
Брешар и П. Шемрл доказали, что всякий линейный оператор
на
( ),
n
M
R
удовлетворяющий тождеству
( )
( )
( )
p
p p
p
p
, где
( )
n
M
R
- алгебра
n n
матриц над кольцом
R
с единицей, содержащим элемент
1
,
2
является
дифференцированием.
Б. Джонсон обобщил вышеуказанный результат Р. Кэйдисона и
показал, что каждое локальное дифференцирование из
*
C
-алгебры
A
в
произвольный банаховый
A
-бимодуль является дифференцированием. Он
также доказал, что каждое локальное дифференцирование из
*
C
-алгебры
A
в произвольный банаховый
A
-бимодуль является непрерывным.
Примеры локальных дифференцирований, которые не являются
дифференцированиями были приведены в работах Р. Кэйдисона и
Р. Криста.
Связь диссертационной работы с тематическими планами НИР.
Исследование
проводились
по
гранту
Ф.1.1.3
программы
фундаментальных исследований I Ф «Математика, механика, информати-
ка» в Институте математики при Национальном университете Узбекистана
имени Мирзо Улугбека.
Цель исследования.
Целью диссертационной работы является изу-
чение локальных дифференцирований на алгебрах измеримых операторов.
Задачи исследования.
В диссертационной работе рассматриваются
следующие задачи:
1.
Изучение
локальных
дифференцирований
на
алгебрах
измеримых операторов относительно алгебр фон Неймана типа I.
2.
Описание локальных дифференцирований некоммутативных
алгебр Аренса, ассоциированных с конечной алгеброй фон Неймана и с
точным нормальным полуконечным следом.
3.
Изучение
отображений
типа
дифференцирования
на
стандартных алгебрах.
Объект и предмет исследования.
Алгебра измеримых операторов,
некоммутативные алгебры Аренса, локальные дифференцирования, отоб-
ражения типа дифференцирования.
Методы исследований.
В работе использовались общие методы
функционального анализа и теории операторных алгебр.
Основные положения, выносимые на защиту.
На защиту выносят-
ся следующие результаты:
1. Описание локальных дифференцирований некоммутативных
алгебр Аренса, ассоциированных с конечной алгеброй фон Неймана и с
точным нормальным полуконечным следом;
6
2. Описание непрерывных локальных дифференцирований на
алгебре
-измеримых операторов;
3. Исследование отображений типа дифференцирования на
стандартных алгебрах;
4. Исследование локальных дифференцирований на коммутативных
регулярных алгебрах;
5. Описание локальных дифференцирований на алгебрах измеримых
операторов относительно алгебр фон Неймана типа I без абелевой
компоненты.
Научная новизна.
В работе получены следующие новые резуль-
таты:
– описаны локальные дифференцирования некоммутативных алгебр
Аренса, ассоциированных с конечной алгеброй фон Неймана и с точным
нормальным полуконечным следом;
– доказано, что в случае алгебры фон Неймана
M
с точным нормальным
полуконечным следом
,
всякий
t
-непрерывный линейный оператор
на алгебре
(
, ),
S M
удовлетворяющий тождеству
( )
( )
( )
p
p p
p
p
является дифференцированием;
– установлено, что всякий линейный оператор
: ( )
(
)
D A X
B X
, удовлет-
воряющий тождеству
1
1
(
)
( )
,
n
n
k
n k
k
D x
x
D x x
(
)
x
A X
для некоторого
фиксированного числа
3
n
,
является пространственным дифференциро-
ванием;
– в коммутативном случае найдены необходимые и достаточные условия
существования на алгебрах
(
)
S M
и
(
, )
S M
локальных дифференцирова-
ний, не являющихся дифференцированиями;
– описаны локальные дифференцирования алгебр
(
),
LS M
(
)
S M
и
(
, )
S M
относительно алгебр фон Неймана типа I без абелевой компоненты.
Научная и практическая значимость результатов исследования.
В работе получено решение важных проблем теории локальных
дифференцирований на неограниченных алгебрах.
Все результаты и
методы, представленные в работе, могут быть использованы при
исследованиях по функциональному анализу, теории операторных алгебр,
а также в алгебраическом обосновании квантовой статистической
механики.
Реализация результатов.
Диссертационная работа носит теорети-
ческий характер. Полученные результаты диссертации могут быть исполь-
зованы в дальнейших исследованиях по теории локальных дифференци-
рований и при чтении специальных курсов.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на
семинаре «Операторные алгебры и их приложения» под руководством
академика Ш.А. Аюпова (Институт математики при Национальном
университете Узбекистана имени Мирзо Улугбека), на городском семинаре
по функциональному анализу в НУУз под руководством проф.
7
В.И. Чилина, на научном семинаре кафедры «Алгебра и функциональный
анализ» механико-математического факультета НУУз под руководством
академика Ш.А. Аюпова, на научном семинаре при Специализированном
Совете
Д.067.02.03
при
НУУз
под
руководством
академика
А.С. Садуллаева, на республиканских научных конференциях «Современ-
ные проблемы математики, механики и информационных технологий»
(Ташкент, 8 мая 2008 г.) и «Дифференциальные уравнения и их приложе-
ния» (Нукус, 25-27 октября, 2009 г.).
Опубликованность результатов.
Основные результаты диссерта-
ции опубликованы в виде статей, тезисов и трудов конференций. Список
публикаций приведен в конце автореферата, в разделе «Список опублико-
ванных работ». Постановка задач и некоторые идеи доказательств работ
[2-5] принадлежат Ш.А. Аюпову, С. Альбеверио и К.К. Кудайбергенову, а
остальные основные результаты получены диссертантом.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения,
трех глав, разбитых на 7 параграфов, заключения и 54 наименований
использованной литературы. Полный объём диссертации – 91 страниц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении дается краткий анализ современного состояния
изучаемых в диссертации проблем теории дифференцирований и
локальных дифференцирований, формируется цель исследования и
приводится аннотация полученных результатов.
В
первой
главе
излагаются
предварительные
сведения
и
обозначения, необходимые для изложения результатов диссертации.
В первом параграфе первой главы диссертации приводятся
некоторые предварительные сведения об алгебрах измеримых и локально
измеримых операторов относительно алгебр фон Неймана.
Во
втором параграфе первой главы приводятся описания
дифференцирований на коммутативных регулярных алгебрах и алгебрах
измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана типа I .
Вторая глава посвящена исследованию отображении типа дифферен-
цирования на операторных алгебрах.
В первом параграфе второй главы изучаются локальные дифферен-
цирования на некоммутативных алгебрах Аренса.
Пусть
M
– алгебра фон Неймана с точным нормальным полуконеч-
ным следом
.
Для каждого оператора
(
, )
x
S M
положим
0
( )
sup
,
n
n
x
de
где
0
{ }
e
– спектральное семейство проекторов оператора
x
.
Для
1
p
положим
(
, )
{
(
, ) : (| | )
}
p
p
L M
x
S M
x
. Тогда
(
, )
p
L M
– банахово пространство относительно нормы
8
1/
( (| | ))
,
(
, ).
p
p
p
p
x
x
x
L M
Рассмотрим пересечение
1
(
, )
(
, )
p
p
L M
L M
.
(
, )
L M
является локально выпуклой полной метризуемой
-алгеброй
относительно топологии
t
порожденной системой норм
1
{
}
p
p
Алгебра
(
, )
L M
называется (некоммутативной)
алгеброй Аренса
.
Отметим, что
(
, )
L M
является *-подалгеброй в
(
, )
S M
и если
–
конечный след, то
(
, ).
M
L M
Теперь рассмотрим следующие пространства
2
2
(
, )
(
, )
p
p
L M
L M
и
2
2
(
, )
{
:
,
(
, )}.
M
L M
x
y x
M y
L M
Отметим, что
2
(
, )
L M
и
2
(
, )
M
L M
являются
-алгебрами, при
этом алгебра Аренса
(
, )
L M
является идеалом в
2
(
, )
M
L M
.
Если
( )
1
, то выполняются равенства
2
2
(
, )
(
, )
(
, ).
M
L M
L M
L M
Так как алгебра Аренса
(
, )
L M
является идеалом в
2
(
, )
M
L M
,
то всякий элемент
2
(
, )
a
M
L M
определяет пространственное диффе-
ренцирование на
(
, )
L M
по правилу
( )
,
(
, ).
D x
ax
xa
x
L M
Всякое
дифференцирование
D
алгебры
(
, )
L M
является
пространственным, при этом оно порождается элементом
2
(
, )
M
L M
,
т.е.
( )
,
(
, ),
D x
ax
xa
x
L M
для некоторого
2
(
, )
a
M
L M
.
Следующее утверждение является основным результатом этого
параграфа.
Теорема 2.1.3.
Пусть
M
– конечная алгебра фон Неймана с точным
нормальным полуконечным следом
.
Всякое локальное дифференцирова-
ние
на алгебре
(
, )
L M
является дифференцированием.
Из теоремы 2.1.3 вытекает следующее утверждение.
Следствие 2.1.2.
Пусть
M
– коммутативная алгебра фон Неймана с
точным нормальным полуконечным следом
.
Тогда всякое локальное
дифференцирование
на алгебре
(
, )
L M
тождественно равно нулю.
Второй параграф второй главы посвящен описанию непрерывных
локальных дифференцирований на алгебре
-измеримых операторов.
Топология сходимости по мере
t
на алгебре
(
, )
S M
задается
следующим семейством окрестностей нуля:
( , )
(
, ) :
(
), (
)
,
,
,
M
V
x
S M
e
P M
e
xe
M
xe
9
где
,
– положительные числа и
M
означает операторную норму на
.
M
Основным результатом этого параграфа является следующая
теорема.
Теорема 2.2.1.
Пусть
M
– алгебра фон Неймана с точным нормаль-
ным полуконечным следом
.
Всякий
t
-непрерывный линейный оператор
на
(
, ),
S M
удовлетворяющий тождеству
( )
( )
( )
p
p p
p
p
является дифференцированием.
В случае алгебр типа I теорема 2.2.1 усиливается следующим
образом:
Следствие 2.2.1.
Пусть
M
– алгебра фон Неймана типа I с точным
нормальным полуконечным следом
.
Тогда всякий
t
-непрерывный
линейный оператор
на
(
, ),
S M
удовлетворяющий тождеству
( )
( )
( )
p
p p
p
p
(в частности, локальное дифференцирование),
является внутренним дифференцированием.
В третьем параграфе второй главы изучаются отображения типа
дифференцирования на стандартных алгебрах.
Пусть
A
– некоторая алгебра. Напомним, что линейный оператор
:
D A
A
называется
йордановым
дифференцированием,
если
2
(
)
( )
( )
D x
D x x
xD x
для всех
x
A
. Ясно, что всякое дифференцирова-
ние на алгебре
A
является йордановым дифференцированием. Обратное,
вообще говоря, неверно. Одним из важных задач операторных алгебр
является описание классов алгебр, для которых всякое йордановое
дифференцирование является дифференцированием.
Пусть
X
– вещественное или комплексное нормированное
пространство,
(
)
B X
– алгебра всех ограниченных линейных операторов,
действующих в
,
X
(
)
X
– идеал всех конечномерных операторов из
(
).
B X
Алгебра
( )
(
)
A X
B X
называется
стандартной
,
если
( )
(
).
X
A X
Заметим, что всякое дифференцирование на
( )
A X
удовлетворяет
более общему тождеству, а именно
1
1
(
)
( )
,
n
n
k
n k
k
D x
x
D x x
( ),
x
A X
(1)
где
3
n
–
некоторое фиксированное число.
В этом параграфе рассматривается вопрос о том, что всякий ли
линейный
оператор,
удовлетворяющий
тождеству
(1)
является
дифференцированием.
Основной
результат
настоящего
параграфа
заключается
в
следующем утверждении.
Теорема 2.3.3.
Пусть
X
– вещественное или комплексное
нормированное пространство,
( )
A X
– стандартная алгебра в
(
)
B X
и
10
: ( )
(
)
D A X
B X
– линейный оператор, удовлетворяющий тождеству (1)
для всех
( ).
x
A X
Тогда
D
– пространственное дифференцирование, т.е.
( )
,
( )
D x
ax
xa x
A X
для некоторого
( ).
a
B X
В частности,
D
–
непрерывно.
Третья глава посвящена изучению локальных дифференцирований
на алгебрах измеримых операторов относительно алгебр фон Неймана
типа I.
В первом параграфе третьей главы описываются локальные
дифференцирования на коммутативных регулярных алгебрах.
Пусть
A
– коммутативная унитальная регулярная алгебра над полем
комплексных чисел
,
– булева алгебра всех идемпотентов алгебры
A
и
– конечная строго положительная счетно-аддитивная мера на
.
Далее
предположим,
что
A
–
полна
относительно
метрики
( , )
( (
)),
a b
s a
b
,
a b
A
.
Содержательным
примером
таких
алгебр
является
алгебра
0
0
( )
( , , )
L
L
– алгебра классов эквивалентности комплексных
измеримых функций на некотором измеримом пространстве
( , , )
с
конечной мерой
.
Так как всякое дифференцирование
D
на коммутативной регулярной
алгебре
A
не увеличивает носитель элемента и
0,
D
то по определе-
нию, каждое локальное дифференцирование
на
A
удовлетворяет
следующим условиям
( ( ))
( ),
,
s
a
s a
a
A
(2)
0.
(3)
Таким образом, условия (2), (3) являются необходимыми условиями для
того, чтобы линейный оператор
был локальным дифференцированием.
Оказывается, что эти условия являются также и достаточными.
Лемма 3.1.2.
Линейный оператор
на
,
A
удовлетворяющий соот-
ношениям (2), (3), является локальным дифференцированием.
Пусть
A
– коммутативная унитальная регулярная алгебра над полем
комплексных чисел
.
Элемент
a
A
называется
счетно-значным
, если
1
,
k k
k
a
e
где
,
k
,
k
e
0,
,
k
j
e e
k
j
,
1,..., ,
k j
где
– натуральное число
или
. Через
( )
c
K
обозначим множество всех счетно-значных
элементов из
.
A
Следующая теорема дает условия существования локальных
дифференцирований, которые не являются дифференцированиями на
коммутативных унитальных регулярных алгебрах.
Теорема 3.1.1.
Пусть
A
– коммутативная унитальная регулярная
алгебра над полем
или
,
– конечная строго положительная счетно-
11
аддитивная мера на булевой алгебре
всех идемпотентов алгебры
A
и
A
– полна относительно метрики
( , )
( (
)),
,
.
a b
s a
b
a b
A
Тогда
следующие условия эквивалентны:
1)
( )
;
c
K
A
2) алгебра
A
допускает нетривиальные дифференцирования;
3) алгебра
A
допускает нетривиальные локальные дифференцирования;
4) алгебра
A
допускает локальные дифференцирования, не являющиеся
дифференцированием.
Следующее утверждение дает условия существования локальных
дифференцирований, которые не являются дифференцированиями на
алгебрах
(
)
S M
и
(
, )
S M
.
Теорема 3.1.2.
Пусть
M
– коммутативная алгебра фон Неймана с
точным нормальным полуконечным следом
.
Тогда следующие условия
эквивалентны:
1) решетка проекторов
(
)
P M
– неатомична;
2) алгебра
(
)
S M
(соответственно
(
, )
S M
) допускает невнутренние диф-
ференцирования;
3) алгебра
(
)
S M
(соответственно
(
, )
S M
) допускает нетривиальные
локальные дифференцирования;
4) алгебра
(
)
S M
(соответственно
(
, )
S M
) допускает локальные
дифференцирования, не являющиеся дифференцированием.
Замечание 3.1.1.
Отметим, что эквивалентность условий 1) и 2) в
теоремах 3.1.1 и 3.1.2 доказана в работе А.Ф. Бера, В.И. Чилина,
Ф.А. Сукочева.
Второй, и заключительный параграф третьей главы посвящен
описанию локальных дифференцирований на алгебрах измеримых опера-
торов относительно алгебр фон Неймана типа I без абелевой компоненты.
Пусть
A
– коммутативная алгебра и
( )
n
M
A
– алгебра
n n
-матриц
над
.
A
Если
, ,
1,
ij
e
i j
n
– единичные матрицы в
( )
n
M
A
, то каждый
элемент
( )
n
x
M
A
имеет форму
,
1
,
, ,
1, .
n
ij ij
ij
i j
x
a e
a
A i j
n
Пусть
:
A
A
– дифференцирование. Полагая
,
1
,
1
(
)
n
n
ij ij
ij
ij
i j
i j
D
a e
a e
(4)
получим корректно определенное дифференцирование
D
на алгебре
( ),
n
M
A
при этом его сужение на центр алгебры
( )
n
M
A
совпадает с
данным
.
Пусть
M
– однородная алгебра фон Неймана типа
I ,
n
n
с
центром
(
).
Z M
Тогда алгебра
M
-изоморфна алгебре
( (
))
n
M Z M
всех
n n
-матриц над
(
)
Z M
и алгебра
(
)
(
)
LS M
S M
-изоморфна алгебре
12
( ( (
)))
n
M S Z M
всех
n n
-матриц над
( (
))
S Z M
, где
( (
))
S Z M
– алгебра
измеримых операторов относительно коммутативной алгебры фон
Неймана
(
)
Z M
.
Если
M
– произвольная конечная алгебра фон Неймана типа I с
центром
(
),
Z M
то существует семейство
{ }
,
n
n F
z
F
центральных
проекторов в
M
с sup
n
n F
z
1
такое, что алгебра
M
-изоморфна
C
-
произведению алгебр фон Неймана
n
z M
типа
I ,
,
n
n
F
т.е.
.
n
n F
M
z M
Тогда
(
)
(
).
n
n F
S M
S z M
Предположим, что
D
– дифференцирование на
(
)
S M
и
– его
сужение на её центр
( (
)).
S Z M
Тогда
отображает каждое
( (
))
( (
))
n
n
z S Z M
Z S z M
в себя. Поэтому
порождает дифференцирование
n
на
( (
))
n
z S Z M
для каждого
.
n
F
Пусть
n
D
–
дифференцирование
на
матричной
алгебре
(
( (
)))
(
),
n
n
n
M
z Z S M
S z M
определенное по правилу (4). Положим
({ }
)
{
(
)}, { }
(
).
n
n
n F
n
n
n F
D
x
D
x
x
S M
(5)
Тогда отображение
D
является дифференцированием на
(
)
(
).
S M
LS M
Теперь рассмотрим дифференцирования на алгебре
(
)
LS M
локально
измеримых операторов относительно алгебры фон Неймана типа I .
Пусть
M
– алгебра фон Неймана типа I . Тогда существует
центральный проектор
0
z
M
такой, что
1)
0
z M
является конечной алгеброй фон Неймана;
2)
0
z M
является алгеброй фон Неймана типа
I
.
Рассмотрим дифференцирование
D
на
(
)
LS M
и пусть
– его
сужение на
(
(
))
Z LS M
– центр алгебры
(
).
LS M
Тогда
0
z D
является внут-
ренним и следовательно, имеем
0
0,
z
т.е.
0
z
.
Пусть
D
– дифференцирование на
0
(
)
z LS M
определенное по
правилу
(5).
Рассмотрим
продолжение
D
на
0
0
(
)
(
)
(
)
LS M
z LS M
z LS M
определенное по правилу
1
2
1
1
0
2
0
(
) :
( ),
(
),
(
).
D x
x
D x
x
z LS M
x
z LS M
(6)
Если
M
– алгебра фон Неймана типа I и
(
),
A
LS M
(
)
S M
или
(
, ),
S M
то каждое дифференцирование
D
на
A
единственным образом
представляется в виде
,
a
D
D
D
где
a
D
– внутреннее дифференцирование, порожденное элементом
a
A
,
D
– дифференцирование вида (6), порожденное дифференцированием
на центр
.
A
13
Основным результатом этого параграфа является следующая
теорема.
Теорема 3.2.3.
Пусть
M
– алгебра фон Неймана типа I без абелевой
компоненты. Всякое локальное дифференцирование
на
(
)
LS M
является
дифференцированием.
Из теоремы вытекает следующее утверждение.
Следствие 3.2.4.
Пусть
M
– алгебра фон Неймана типа I без
абелевой компоненты и с точным нормальным полуконечным следом
,
– локальное дифференцирование на
(
)
S M
или
(
, ).
S M
Тогда
является дифференцированием.
14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В первой главе приведены предварительные сведения и обозначения,
необходимые для изложения результатов диссертации.
Во второй главе получены результаты для отображении типа
дифференцирования на операторных алгебрах.
Дано описание локальных дифференцирований некоммутативных
алгебр Аренса, ассоциированных с конечной алгеброй фон Неймана и с
точным нормальным полуконечным следом.
Доказано, что в случае алгебры фон Неймана
M
с точным
нормальным полуконечным следом
,
всякий
t
-непрерывный линейный
оператор
на
алгебре
(
, ),
S M
удовлетворяющий
тождеству
( )
( )
( )
p
p p
p
p
является дифференцированием.
Показано, что всякий линейный оператор
: ( )
(
)
D A X
B X
, удовлет-
воряющий тождеству
1
1
(
)
( )
,
n
n
k
n k
k
D x
x
D x x
(
)
x
A X
является пространственным дифференцированием, где
3
n
–
некоторое
фиксированное число.
В третьей главе описаны локальных дифференцирований алгебр всех
локально
измеримых,
измеримых
и
-измеримых
операторов
относительно алгебр фон Неймана типа I без абелевой компоненты. Также
в коммутативном случае найдены необходимые и достаточные условия
существования на алгебрах
(
)
S M
и
(
, )
S M
локальных дифференцирова-
ний, не являющихся дифференцированиями.
В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему
научному руководителю академику АН Республики Узбекистан, доктору
физико-математических
наук,
профессору
Шавкату
Абдуллаевичу
АЮПОВУ за постановку задач, ценные предложения, замечания и
постоянное внимание к работе.
15
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
1.
Нуржанов Б.О. Дифференцирования на стандартных операторных
алгебрах // Современные проблемы математики, механики и
информационных технологий: Тез. докл. Респ. науч. конф. 8 мая
2008. – Ташкент, 2008. – С. 210-212.
2.
Аюпов Ш.А., Кудайбергенов К.К., Нуржанов Б.О. Локальные
дифференцирования алгебры
-измеримых операторов // Узбекский
математический журнал. – Ташкент, 2009. – № 2. – C. 20-34.
3.
Albeverio S., Ayupov. Sh.A., Kudaybergenov K.K., Nurjanov B.O. Local
derivations on algebras of measurable operators // SFB 611, Universitat
Bonn, Preprint. – Bonn, 2009. – № 436. – 20 p.
4.
Аюпов Ш.А., Кудайбергенов К.К., Нуржанов Б.О. Локальные
дифференцирования алгебры измеримых операторов относительно
алгебр фон Неймана типа I // Узбекский математический журнал. –
Ташкент, 2010. – № 3. – C. 9-18.
5.
Albeverio S., Ayupov Sh.A., Kudaybergenov K.K. and Nurjanov B.O.
Local derivations on algebras of measurable operators // Communications
in Contemporary Mathematics. – New Jersey, 2011. – № 4 (13). –
P. 643-657.
6.
Нуржанов Б.О. Локальные дифференцирования алгебр фон Неймана
типа I // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тез. докл.
Респ. науч. конф. 25-27 октября 2009. – Нукус, 2009. – С. 109-110.
7.
Нуржанов Б.О. Описание локальных дифференцирований на
некоммутативных алгебрах Аренса // Вестник Каракалпакского
государственного университета им. Бердаха. – Нукус, 2011. – № 1-2.
– С. 17-20.
16
Физика-математика фанлари номзоди илмий даражасига талабгор
Нуржанов
Бердах
Орынбаевич
нинг
01.01.01-математик
анализ
ихтисослиги бўйича
«Ўлчовли операторлар алгебраларидаги локал
дифференциаллашлар»
мавзусидаги диссертациясининг
РЕЗЮМЕСИ
Таянч сўзлар:
Дифференциаллаш, ички дифференциаллаш, локал
дифференциаллаш, фон Нейман алгебраси, ўлчовли оператор, Аренс
алгебраси.
Тадқиқот объектлари:
Ўлчовли операторлар алгебраси, нокомму-
татив Аренс алгебралари, локал дифференциаллашлар.
Ишнинг мақсади:
Ўлчовли операторлар алгебраларида локал
дифференциаллашларни тавсифлаш.
Тадқиқот методлари:
Ишда функционал анализ ва операторлар
алгебралари назариясининг умумий усуллари фойдаланилди.
Олинган натижалар ва уларнинг янгилиги:
Чекли фон Нейман
алгебралари ва аниқ нормал ярим чекли из билан ассоциирланган
нокоммутатив Аренс алгебралари локал дифференциаллашлари тавсиф-
ланган; аниқ нормал ярим чекли
из билан
M
фон Нейман алгебраси
ҳолидаги
(
, )
S M
алгебрасидаги
( )
( )
( )
p
p p
p
p
айниятни
қонаотлантирувчи ихтиёрий
t
-узлуксиз чизиқли операторнинг диффе-
ренциаллаш бўлиши исботланган;
1
1
(
)
( )
,
n
n
k
n k
k
D x
x
D x x
(
)
x
A X
айниятни
қаноатлантирувчи
ихтиёрий
: ( )
(
)
D A X
B X
чизиқли
операторнинг ташқи дифференциаллаш бўлиши исботланган, бу ерда
3
n
– бирор фиксирланган сон; коммутатив ҳолда
(
)
S M
ва
(
, )
S M
алгебраларида дифференциаллашлар бўлмаган локал дифференциаллаш-
лар мавжудлиги учун зарур ва етарли шартлар топилган; типи I абел
компонентаси бўлмаган фон Нейман алгебраларига нисбатан
(
),
LS M
(
)
S M
ва
(
, )
S M
алгебраларида локал дифференциаллашлари тавсифлан-
ган.
Амалий аҳамияти:
Диссертацияда олинган натижалар илмий-
назарий аҳамиятга эга.
Татбиқ этиш даражаси ва иқтисодий самарадорлиги:
Ишда
келтирилган натижалар функционал анализ ва операторлар алгебралари
назариясидан магистрантлар ва аспирантлар учун махсус курслар ўқитиш-
да қўлланилиши мумкин.
Қўлланиш соҳаси:
Функционал анализ, операторлар алгебралари
назарияси, математик физика ва уларнинг тадбиқлари.
17
РЕЗЮМЕ
диссертации
Нуржанова Бердаха Орынбаевича
на тему:
«Локальлные
дифференцирования на алгебрах измеримых операторов»
на соискание
ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности
01.01.01 – математический анализ.
Ключевые слова:
Дифференцирование, внутреннее дифференциро-
вание, локальное дифференцирование, алгебра фон Неймана, измеримый
оператор, алгебра Аренса.
Объекты исследования:
Алгебра
измеримых операторов, некомму-
тативные алгебры Аренса, локальные дифференцирования.
Цель работы:
Описание локальных дифференцирований на алгеб-
рах измеримых операторов.
Методы исследования:
В работе применены общие методы функ-
ционального анализа и теории операторных алгебр.
Полученные результаты и их новизна:
Получено описание локаль-
ных дифференцирований некоммутативных алгебр Аренса, ассоциирован-
ных с конечной алгеброй фон Неймана и с точным нормальным полу-
конечным следом; доказано, что в случае алгебры фон Неймана
M
с
точным нормальным полуконечным следом
,
всякий
t
-непрерывный
линейный оператор
на алгебре
(
, ),
S M
удовлетворяющий тождеству
( )
( )
( )
p
p p
p
p
является дифференцированием; показано, что
всякий линейный оператор
: ( )
(
)
D A X
B X
, удовлетворяющий тождест-
ву
1
1
(
)
( )
,
n
n
k
n k
k
D x
x
D x x
(
)
x
A X
является пространственным диффе-
ренцированием, где
3
n
–
некоторое фиксированное число; в коммута-
тивном
случае
найдены
необходимые
и
достаточные
условия
существования на алгебрах
(
)
S M
и
(
, )
S M
локальных дифференцирова-
ний,
не
являющихся
дифференцированиями;
получено
описание
локальных дифференцирований алгебр
(
),
LS M
(
)
S M
и
(
, )
S M
относи-
тельно алгебр фон Неймана типа I без абелевой компоненты.
Практическая значимость:
Результаты, полученные в диссертации,
имеют научно – теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность:
Результаты,
представленные в работе, могут быть использованы при чтении
специальных курсов по функциональному анализу и теорий операторных
алгебр для магистрантов и аспирантов.
Область применения:
Функциональный анализ, теория оператор-
ных алгебр, математическая физика и их приложения.
18
RESUME
Thesis of
Nurjanov Berdakh Orinbayevich
on the scientific degree
competition of the doctor of philosophy in physics and mathematics on specialty
01.01.01 - Mathematical analysis, subject: «
Local derivations on algebras of
measurable operators».
Key words:
Derivation, inner derivation, local derivation, von Neumann
algebra, measurable operator, Arens algebra.
Subjects of inquiry:
Algebra of measurable operators, non commutative
Arens algebras, local derivations.
Aim of the inquire:
Description of local derivations on algebras of
measurable operators.
Methods of the inquire:
In the work general methods of functional
analysis, of theory operator algebras are used.
The results achieved and their novelty:
a description of local derivations on
the non commutative Arens algebras associated with von Neumann algebra and
faithful normal semi-finite trace is obtained; it is proved that every
t
-
continuous linear operator
on the algebra
(
, )
S M
satisfying the identity
( )
( )
( )
p
p p
p
p
is a derivation, where
M
be a von Neumann algebra
with a faithful normal semi-finite trace
; it is proved that every linear operator
: ( )
(
)
D A X
B X
satisfying the identity
1
1
(
)
( )
,
n
n
k
n k
k
D x
x
D x x
(
)
x
A X
is a spatial derivation, where
3
n
– some fix number; necessary and sufficient
conditions for the existence of local derivations which are not derivations on
algebras
(
)
S M
and
(
, )
S M
affiliated with a commutative von Neumann
algebra are obtained; a description of local derivations of the algebras
(
),
LS M
(
)
S M
and
(
, )
S M
concerning type I von Neumann algebras without abelian
direct summands is obtained.
Practical value:
The results of the dissertation have a theoretical
character.
Degree of embed and economic effectivity:
The results, presented in the
work can be used in special courses on functional analysis and theory of
operator algebras for masters and post-graduate students.
Field of application:
Functional analysis, theory of operator algebras,
mathematical physics and its applications.
