ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
335
IMPULS TÁSIRINE IYE SIZIQLI BIRTEKLI ЕМЕS DIFFERENCIALLIQ
TEŃLEMELER SISTEMASI USHIN ÚSH TOCHKALI SHEGARALIQ
MÁSELELERDI SHESHIWDIŃ IZBE IZ JUWIQLASIWLAR USILI
Qurbanbaev Ó.O.
Berdaq atındaǵı Qaraqalpaq mámleketlik universiteti, docent
Djakaeva K.D.
Nókis innovatsion instituti, PhD.
Askarova D.B
Berdaq atındaǵı Qaraqalpaq mámleketlik universiteti, stajyor oqıtıwshı
https://doi.org/10.5281/zenodo.13137284
Annotaciya.
Maqalada impulslıq tásirge iye sızıqlı birtekli emes differenciallıq teńlemeler
sisteması ushın úsh tochkalı shegaralıq máseleler qarastırılıp, sheshimdi A.M.Samoylenkonıń
sanlı analitikalıq usılı járdeminde juwıq tabıw máselesi qarastırıladı.
Tayanısh sózler:
Sızıqlı differenciallıq teńlemeler sisteması, úsh tochkalı shegaralıq
másele, impulslıq tásir, juwıq sheshim, dál sheshim.
A SEQUENTIAL APPROXIMATION METHOD FOR SOLVING THREE-POINT
BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A SYSTEM OF LINEAR NON-
HOMOGENEOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH IMPULSE EFFECTS
Abstract .
In the article, three-point boundary value problems for a system of linear non-
homogeneous differential equations with impulse effect are considered, the problem of finding the
solution using the numerical analytical method of A.M. Samoilenka is considered.
Key words:
System of linear differential equations, three-point boundary value problem,
impulse effect, approximate solution, exact solution
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ
ТРЕХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ
ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
Аннотация.
В статье рассмотрены трехточечные краевые задачи для системы
линейных неоднородных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием,
рассмотрена задача поиска решения численно-аналитическим методом А.М. Самойленки.
Ключевые слова:
Система линейных дифференциальных уравнений, трехточечная
краевая задача, импульсный эффект, приближенное решение, точное решение.
Teoriyalıq fizikanıń, kvantlıq elektronikanıń, mexanikanıń, raketalıq hám elektronlı
texnikanıń hám ilimniń basqada tarawlarınıń kóplegen máselelerinde impulslıq tásirge iye
ádettegi differenciallıq teńlemeler sisteması ushın shegaralıq máselelerdi úyreniw zárúrligi payda
bolıp, bul teoriyanıń tiykarģı sorawların izertlewde kóplegen jumıslar islenbekte. Ásirese
keyingi dáwirleri tez pát penen rawajlanģan impulslıq tásirge iye differenciallıq teńlemeler
teoriyasınıń tiykarģı mashqalaların izertlewge A.M.Samoylenko, sonda-aq taģı basqa ullı
matematiklerdiń ilimiy jumısları baģıshlanģan [1,2].
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
336
Bul maqalada impulslıq tásirge iye birinshi tártipli ádettegi sızıqlı birtekli emes
differenciallıq teńlemeler sisteması ushın úsh tochkalı shegaralıq máseleler qarastırılıp, sheshimdi
dúziw usılları bayan etiledi.
Meyli endi joqarıda qarastırģan usıldı birtekli emes sızıqlı differenciallıq teńlemeler
sisteması jaģdayında qarastırayıq, yaģnıy Samoylenkonıń sanlı analitikalıq usılın impulslıq tásirge
iye sızıqlı birtekli emes
( )
( ),
,
1, 2,...,
,
i
dx
P t x
f t
t
i
N
dt
(1)
(
0)
(
0)
i
i
i
i
t
x
x
x
d
(2)
differenciallıq teńlemeler sisteması ushın úsh tochkalı
1
(0)
( )
( )
Ax
Bx t
Cx T
d
(3)
shegaralıq shàrtti qanaatlandıratuģın sheshimdi tabıw màselesine qollanayıq, bul jerde
x
hám
,
,
1, 2,...,
i
d d i
n
ler
n
E
Evklid keńisliginiń tochkaları,
( )
P t
bolsa
0,
T
aralıģında
ùziliksiz bolģan
n
òlshemli kvadrat matrica,
,
A B
hám
C
lar turaqlı
n
òlshemli kvadrat
matricalar, sonıń menen birge
det(
)
0
A+ B + C
hàm
(0, )
i
T
bolıp, bul tochkalar bir-
birinen teńdey qashıqlıqta jaylasqan tochkalar, yaģnıy
1
.
i
i
h
const
Al
( )
f t
funkciyası
0,
T
aralıqta ùziliksiz bolģan vector funkciya.
Meyli
( )
P t
matricası ushın
0,
max
( )
t
T
P
P t
bolsın hàm
T
Q
P
matricasınıń menshikli mànisleri absolyut shaması boyınsha
birden kishi bolsın, yaģnıy
1
Q
shàrtler orınlı bolsın. Bul jaģdayda Dirak hàm Xevisayda funkciyaları arasındaģı
( )
( )
t
s ds
X t
qatnastı esapqa ala otırıp, berilgen (1),(2) impulslıq tàsirge iye sistemanı
( )
( )
(
)
i
i
i
dx
P t x
f t
d
t
dt
(4)
tùrinde jazıp alamız hàm bul sistemaģa
0
x
hám
T
x
parametrleriniń bazı-bir mànislerinde
teń kùshli bolģan
0
0
0
0
0
( ,
,
)
( ,
,
)
( ) ( ,
,
)
( )
t
T
T
T
x t x x
x t x x
P s x s x x
f s
(5)
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
337
0
1
0
( ) ( ,
,
)
( )
,
0,1, 2,
i
T
N
T
i
i
r t
i
t
t
P s x s x x
f s ds ds
d
d
m
T
T
integrallıq teńlemeni qarastıramız, bul jerde
0
(0),
( ),
T
x
x
x
x T
0
0
0
( ,
,
)
1
.
T
T
t
t
x t x x
x
x
T
T
Bul integrallıq teńlemeniń sheshimi erikli
0
x
hám
T
x
parametrleriniń bazı bir mánisleri
ushın (4) impulslıq tàsirge iye sistemanı qanaatlandıradı.
Endi (5) integrallıq teńlemeni
1
0
0
0
0
0
( ,
,
)
( ,
,
)
( )
( ,
,
)
( )
t
m
T
T
m
T
x
t x x
x t x x
P s x s x x
f s
(6)
0
1
0
( )
( ,
,
)
( )
,
0,1, 2,
i
T
N
m
T
i
i
r t
i
t
t
P s x s x x
f s ds ds
d
d
m
T
T
formula boyınsha juwıq sheshemiz.
Egerde (3),(4) shegaralıq máseleniń tek
(
1)
m
-juwıqlasıwin tabıw menen sheklenetuģın
bolsaq, onda
1
0
( ,
,
)
m
T
x
t x x
funkciyası erkli
0
x
hám
T
x
lar ushın
1
( )
( )
(
)
m
m
i
i
i
dx
P s x
f t
d
t
dt
0
0
1
0
0
1
1
1
1
(
)
( )
( ,
)
( )
T
T
N
T
i
m
i
x
x
d
P s x
s x ds
f s ds
T
T
T
T
differenciallıq teńlemeler sistemasınıń sheshimi bolģanlıqtan
0
x
hám
T
x
nı
0
0
0
1
0
1
1
( ,
)
( )
( ,
)
T
N
m
T
T
i
m
i
x x
x
x
d
P s x
s x ds
T
T
vector funkciyasın nolge aylandıratuģınday etip saylap alamız.
Endi (6) funkciyalar izbe-izliginiń jıynaqlı izbe-izlik ekenligin kórsetemiz, onıń ushın
aldınģı paragraftaģıday Koshidiń jıynaqlılıq belgisin paydalanamız:
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
( ,
,
)
( ,
,
)
( ) ( ,
,
)
( ) ( ,
,
)
t
T
T
T
T
T
x t x x
x t x x
P s x s x x
P s x s x x ds ds
T
1
0
0
1
( )
( )
i
t
T
N
i
i
t
i
t
f s
f s ds ds
d
d
T
T
0
0
0
0
0
1
( ) ( ,
,
)
( ) ( ,
,
)
t
T
T
T
t
t
t
P s x s x x
ds
P s x s x x
ds
T
T
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
338
0
1
1
( )
( )
i
i
t
T
i
i
t
t
t
t
t
t
t
d
d
f s ds
f s ds
T
T
T
T
0
0
1
1
1
1
i
i
t
T
T
r t
r t
t
t
t
t
t
Px
ds
ds
D
T
T
T
T
0
1
1
1
0
1
1
( )
( )
( )
t
T
T
t
t
t
M
ds
ds
Px
t
D
t
M
t
T
T
N
0
1
1
( ),
T
Px
D
M
t
N
bul jerde
0,
max
( ) .
t
T
M
f t
Usınday jollar menen (6) dan
2
0
1
0
1
0
0
0
( ,
)
( ,
)
1
( ,
)
t
t
x t x
x t x
P x s x
x ds
T
1
0
0
0
1
0
1
( ,
)
1
( )
T
t
T
t
t
t
P x s x
x ds
P
Px
D
M
s ds
T
T
N
0
1
0
2
1
1
( )
( )
T
T
T
t
t
Px
D
M
s ds
P
Px
D
M
t
T
N
N
hám usıģan uqsas
2
3
0
2
0
0
3
1
( ,
)
( ,
)
( )
T
x t x
x t x
P
Px
D
M
t
N
teńsizliklerin alıwģa boladı. Matematikalıq indukciya boyınsha barlıq
0,
t
T
hàm
m
ler ushın
1
0
0
0
1
1
( ,
)
( ,
)
( )
m
m
m
T
m
x
t x
x t x
P
Px
D
M
t
N
0
1
0
1
1
1
( )
( )
m
m
m
T
T
m
T
P
Px
D
M
t
Q
Px
D
M
t
N
N
boladı. Jıynaqlılıqtıń Koshi belgisi boyınsha
0
0
0
1
0
1
( ,
)
( ,
)
,
( ,
)
j
m j
m
m i
m i
i
x
t x
x t x
x
t x
x
t x
(7)
1
0
1
0
1
0
0
1
1
( )
( )
j
j
m i
m
i
T
T
i
i
Q
Px
D
M
t
Q
Q
Px
D
M
t
N
N
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
339
bolıp,
lim
0
m
m
Q
ekenligin esapqa alsaq, onda (7) dеn
m
shek ala otırıp
0
( ,
)
m
x t x
funkciyalar izbe-izliginiń teń òlshemli jıynaqlı izbe-izlik ekenligin kòriwge boladı,
yaģnıy
0
0
lim
( ,
)
( ,
)
m
m
x t x
x t x
(20) dan
j
daģı shek alsaq
1
0
0
0
1
1
* ( ,
)
( ,
)
(
)
( )
m
m
T
x
t x
x t x
Q
E
Q
Px
D
M
t
N
(8)
1, 2,
m
boladı. Endi
0
( ,
)
x t x
funkciyası (1)-(3) impulslıq tàsirge iye shegaralıq
màseleniń sheshimi bolıw ushın
0
x
hám
T
x
nı saylap alamız, onıń ushın
0
x
hám
T
x
lardı
0
0
0
1
0
1
1
( ,
)
( )
( ,
,
)
T
N
m
T
T
i
T
i
x x
x
x
d
P s x s x x ds
T
T
hám
0
0
0
( ,
)
(
( ,
,
))
T
T
T
x x
Ax
Cx
x t x x
vector funkciyaların nolge aylanatuģınday etip alıw kerek boladı, yaģnıy
0
0
( ,
)
0,
( ,
)
0
T
T
x x
x x
(9)
algebralıq teńlemeler sistemasınıń kòreni bolatuģınday etip saylap alamız, bul jerde
1
1
0
0
0
(
( ,
,
))
(
)
(
)
( )
( ,
,
)
t
T
T
x t x x
A
B
C
A C d
BA P s x s x x ds
1
0
( )
( ,
,
)
.
T
T
t
BC P s x s x x ds
Meyli
0
0
,
T
T
x
x
x
x
bul sistemanıń sheshimi bolsın. Onda
0
( ,
,
)
T
x t x x
(1)-(3)
impulslıq tàsirge iye shegaralıq màseleniń sheshimi bolıp tabıladı.
Alınģan nàtiyjelerdı ulıwmalastırıp, tòmendegi teorema menen juwmaqlastırıwģa boladı.
Teorema.
Meyli
( )
P t
matricası hàm
( )
f t
vector funkcıyası
0,
T
aralıģında ùziliksiz
bolsın hàm sonıń menen birge
T
Q
P
matricasınıń menshikli mànisleri absolyut shaması
boyınsha birden kishi bolsın. Onda (9) nıń sheshimi bolıp tabılatuģın
0
0
,
T
T
x
x
x
x
ushın
(6) funkciyalar izbe-izliginiń
m
daģı shegi, yaģnıy
0
( ,
,
)
T
x t x x
funkciyası (1)-(3)
impulslıq tàsirge iye sızıqlı shegaralıq màseleniń sheshimi bolıp tabıladı.
Dál sheshim menen juwıq sheshim arasındaģı qàtelik (8) teńsizlik penen bahalanadı.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 7 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
340
REFERENCES
1.
Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с
импульсным воздействием. –Киев. “Вища школа”, 1987.
2.
Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы в теории
краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. –Киев.
“Наукова думка”, 1992. стр.280.
