International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 2 (24) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
140
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ
ЛАГРАНЖА
Исмаилова Лемара Рафатовна
Ташкентский университет информационных технологий
имени Мухаммада аль – Хорезми
Аннотация:
В данной статье рассматривается интерполирование функций с
помощью
формулы
Лагранжа.
Приведена
программная
реализация
интерполяционного метода Лагранжа.
Ключевые слова:
интерполирование функций, формула Лагранжа,
приближенное значение, аппроксимирующая функция, узлы интерполяции.
Annotatsiya:
Ushbu maqolada Lagranj formulasi yordamida funktsiyalarni
interpolatsiya qilish ko‘rib chiqiladi. Lagranj interpolatsiya usulini dastur yordamida
amalga oshirish keltirilgan.
Kalitso‘zlar:
funktsiyalarni interpolatsiya qilish, Lagranj formulasi, taxminiy
qiymat, taxminiy funktsiya, interpolatsiya tugunlari.
Abstract:
This article considered interpolation of functions by means
of Lagrange form. Program realisation interpolation of method Lagrange
is resulted.
Keywords:
interpolation of functions,
Lagrange form, the approached value,
approximating function, interpolation knots.
Интерполяция
–
математический
метод,
который
используется
для нахождения значения функции в промежуточной точке между двумя
заданными значениями функции [1, 2].
Интерполяция позволяет рассчитывать промежуточные значения функций,
не зная их точного значения в данной точке. Принцип работы интерполяции
основан на использовании заданных значений функции, чтобы найти значения
функции во всех других точках на основе определенной формулы [3-6].
На отрезке
b
a
,
заданы точки
0
1
, ,...,
n
x x
x
и значения некоторой функции в
этих точках
.
)
(
,...,
)
(
,
)
(
1
1
0
0
n
n
y
x
f
y
x
f
y
x
f
=
=
=
Требуется построить функцию
)
(
x
, принадлежащую известному классу
и принимающую в заданных точках
i
x
те же значения, что и функция
)
(
x
f
,
т. е.
)
(
)
(
i
i
x
x
f
=
, (
n
i
,...,
2
,
1
,
0
=
).
Геометрически это обозначает, что нужно найти кривую
( )
y
x
=
некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек
( , )
i
i
i
M x y
(
0,1,..., )
i
n
=
.
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 2 (24) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
141
Построение по исходной таблице приближающей функции
)
(
x
:
( )
( )
f x
x
, при условии строгого совпадения значений
( )
f x
и
)
(
x
в точках
i
x
, т. е.
( )
( )
i
i
f x
x
=
(
0,1,..., )
i
n
=
, называется интерполированием. При этом
)
(
x
называется интерполирующей функцией, а
i
x
– узлами интерполяции.
Интерполяционную формулу обычно используют для приближенного
вычисления значений данной функции
)
(
x
f
для значений аргумента
x
,
отличных от узлов интерполирования.
Выборка экспериментальных данных представляет собой массив данных,
который
характеризует
процесс
изменения
измеряемого
сигнала
в течение заданного времени (либо относительно другой переменной).
Для выполнения теоретического анализа измеряемого сигнала необходимо
найти аппроксимирующую функцию, которая свяжет дискретный набор
экспериментальных данных с непрерывной функцией – интерполяционным
полиномом
n
-степени.
Одним из способов представления данного интерполяционного полинома
n
-
степени может быть использован многочлен в форме Лагранжа.
Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа – это математическая
функция позволяющая записать полином
n
-степени, который будет соединять
все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или
методом
случайной
выборки
в
различные
моменты
времени
с непостоянным временным шагом измерений.
Интерполяционная формула Лагранжа выглядит следующим образом:
i
n
i
n
i
i
i
i
i
i
n
i
i
n
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
+
−
+
−
0
1
1
0
1
1
0
)
(
*
...
*
)
(
*
)
(
*
...
*
)
(
)
(
*
...
*
)
(
*
)
(
*
...
*
)
(
)
(
.
Y
X
0
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 2 (24) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
142
Формула Лагранжа применима для произвольно заданных узлов
интерполяции.
Интерполяционный полином в форме Лагранжа часто оказывается
удобным для проведения различных теоретических исследований в области
вычислительной математики. Так, например, полином в форме Лагранжа
используются для интерполяции, а также для численного интегрирования
таблично-заданной функцией.
Задание:
Функция
)
(
x
f
y
=
задана таблицей. Построить по имеющимся
данным интерполяционный полином Лагранжа и вычислить значение функции в
точке
x
.
Значения функции
x
X
Y
0.03
0.0296
0.38
0.3221
0.59
0.4637
0.64
0.4947
0.79
0.5822
0.86
0.6206
0.97
0.6780
0.5
В данной таблице нет интересующего нас значения аргумента.
Для того чтобы решить эту задачу нужно построить для функции
интерполянт, и его значение на аргументе принять за приближенное значение
для функции. Класс функций, к которому принадлежит исследуемая
зависимость, тоже не указан. Предположив, что функция имеет достаточную
гладкость, можно заменить её интерполяционным алгебраическим полиномом.
Иными словами, будем считать, что в промежутках между узлами значения
функции с приемлемой погрешностью можно заменить значениями
интерполяционного полинома, совпадающего с функцией в узлах.
Процесс решения данной задачи вручную будет весьма трудоёмким.
Для решения этой задачи воспользуюсь программными средствами.
Программа для реализации интерполяционного полинома Лагранжа
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 2 (24) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
143
Вывод:
Рассмотренный пример показывает, что интерполирование
функций с помощью формулы Лагранжа это один из наиболее простых
способов приближения одной функции с помощью другой. Необходимость
интерполирования возникает, например, при получении экспериментальных
данных в виде таблицы, где требуется интерполировать табличные значения
плавной (гладкой) функцией, совпадающей с табличными значениями и
дающей некоторое представление об изучаемой зависимости в промежутках
между измерениями. В другом случае, например, тогда, когда заданная
функция имеет сложную структуру и для некоторых целей (например, для её
интегрирования) ее рационально упростить.
Литература:
1.
Колдаев В.Д., Численные методы и программирование. – М.: Форум,
2009, 336 с. Бахвалов Н.С. Численные методы: учеб. пособие / Н.С. Бахвалов,
Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Наука, 1987, 598 с.
2.
Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях /
Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. – М.: Высшая школа, 2000, 190 с.
3.
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. Ч. 1 /
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ОНИКС 21 век:
Мир и Образование, 2005, 304 с.
4.
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. Ч. 2 /
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ОНИКС 21 век:
Мир и Образование, 2005, 416 с.
5.
Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978, 512 с.
6.
Копченова Н.И., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и
задачах. – М.: Лань, 2009, 370 с.
