Существеный и дискретный спектр одной обобщенной модели Фридрихса

1

САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ

ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PhD) ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ

PhD.27.06.2017.FM.02.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ

ЛАТИПОВ ШЕРДОР МИРЗОЕВИЧ

БИР УМУМЛАШГАН ФРИДРИХС МОДЕЛИНИНГ МУХИМ ВА ДИСКРЕТ

СПЕКТРЛАРИ

01.01.01 – Математик анализ

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ БЎЙИЧА ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PhD)

ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

Самарқанд шаҳри – 2017 йил

2

УДК: 517.984

Физика-математика фанлари бўйича фалсафа доктори (PhD) диссертацияси

автореферати мундарижаси

Оглавление автореферата диссертации

доктора философии (PhD) по физико-математическим наукам

Contents of dissertation abstract of doctor of philosophy (PhD) on physical-

mathematical sciences

Латипов Шердор Мирзоевич

Бир умумлашган Фридрихс моделининг мухим ва дискрет спектрлари . . . . . . . . . . . . . 3

Латипов Шердор Мирзоевич

Существеный и дискретный спектр одной обобщенной

модели Фридрихса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Latipov Sherdor Mirzoevich

Essential and discrete spectra of a certain generalized

Friedrics model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Эълон қилинган ишлар рўйхати

Список опубликованных работ
List of published works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3

САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ

ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PhD) ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ

PhD.27.06.2017.FM.02.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ

ЛАТИПОВ ШЕРДОР МИРЗОЕВИЧ

БИР УМУМЛАШГАН ФРИДРИХС МОДЕЛИНИНГ МУХИМ ВА ДИСКРЕТ

СПЕКТРЛАРИ

01.01.01 – Математик анализ

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ БЎЙИЧА ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PhD)

ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

Самарқанд шаҳри – 2017 йил

4

Физика-математика фанлари бўйича фалсафа доктори (Doctor of Philosophy)

диссертацияси мавзуси Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамаси ҳузуридаги

Олий аттестация комиссиясида B2017.2.PhD/FM51 рақам билан рўйхатга олинган.

Диссертация Самарқанд давлат университетида бажарилган.

Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек, рус, инглиз (резюме)) Илмий кенгаш веб-

саҳифасида (www.samdu.uz) ва «Ziyonet» Ахборот таълим порталида (www.ziyonet.uz)
жойлаштирилган.

Илмий раҳбар:

Лақаев Саидаҳмат Норжигитович

физика-математика фанлари доктори, профессор

Расмий оппонентлар:

Эшкабилов Юсуп Халбаевич

физика-математика фанлари доктори

Қўчқоров Эркин Иброхимович

физика-математика фанлари номзоди

Етакчи ташкилот: Математика институти

Диссертация

ҳимояси

Самарқанд

давлат

университети

ҳузуридаги

PhD.27.06.2017.FM.02.01 рақамли Илмий кенгашнинг 2017 йил «___»_________ соат____
даги мажлисида бўлиб ўтади. (Манзил: 140104, Самарқанд ш., Университет хиѐбони, 15-
уй. Тел.: (+99866) 231-06-32, факс: (+99866) 235-19-38, 239-12-47, e-mail:
patent@samdu.uz).

Диссертация билан Самарқанд давлат университетининг Ахборот-ресурс марказида

танишиш мумкин (___ рақами билан рўйхатга олинган). Манзил: 140104, Самарқанд ш.,
Университет хиѐбони, 15-уй. Тел.: (+99866) 231-06-32.

Диссертация автореферати 2017 йил «____» _______________куни тарқатилди.
(2017 йил «____» ___________ даги _______ рақамли реестр баѐнномаси)

А.С. Солеев

Илмий даражалар берувчи Илмий

кенгаш раиси, ф.-м.ф.д., профессор

А.М. Халхўжаев

Илмий даражалар берувчи Илмий

кенгаш илмий котиби, ф.-м.ф.д.

И.А.Икромов

Илмий даражалар берувчи Илмий

кенгаш қошидаги илмий семинар

раиси ўринбосари , ф.-м.ф.д., профессор

5

КИРИШ (фалсафа доктори (PhD) диссертацияси аннотацияси)

Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.

Жаҳон миқѐсида

олиб борилаѐтган кўплаб илмий-амалий тадқиқотлар панжарада сони
сақланмайдиган заррачалар системасига мос умумлашган Фридрихс
моделларини ўрганишга келтирилади. Тартибланган муҳитларда мураккаб
турғун объектлар пайдо бўлишини тавсифлашда фойдаланиладиган Бозе-
Хаббард модели, хусусан, панжарадаги икки заррачали Шредингер опера-
торлари экспериментал кузатишларнинг назарий асоси ва қўллашнинг
назарий базаси ҳисобланади. Шунинг учун қаттиқ жисмлар физикаси ҳамда
квант майдонлар назарияси ва чизиқли чегараланган ўз-ўзига қўшма
операторларнинг спектрал назариясида учрайдиган панжарадаги заррачалар
системасига мос Шредингер операторлари ва умумлашган Фридрихс
моделларига оид тадқиқотларни ривожлантириш муҳим вазифалардан бири
бўлиб қолмоқда.

Мустақиллик йилларида мамлакатимизда фундаментал фанларнинг

илмий ва амалий тадбиқига эга бўлган математик анализнинг долзарб
йўналишларига эътибор кучайтирилди. Жумладан, панжарадаги сони
сақланадиган ва сақланмайдиган икки заррачали системага мос Фридихс
моделларини ўрганишга алоҳида эътибор қаратилди. Умумлашган Фридрихс
моделлари узлуксиз спектри, хос қийматлари, хос қийматларнинг пайдо
бўлиши ва ютилиши, хос қийматлар сонини аниқлашга оид салмоқли
натижаларга эришилди. “Математика, физика, амалий математика
фанларининг устивор йўналишлари бўйича халқаро стандартлар даражасида
илмий тадқиқотлар олиб бориш асосий вазифалар ва фаолият йўналишлари”
этиб белгиланди

1

. Қарор ижросини таъминлашда квант майдонлар назарияси

ва чизиқли операторларнинг спектрал назариясини ривожлантириш муҳим
аҳамиятга эга.

Ҳозирги кунда жаҳонда ўз-ўзига қўшма операторларнинг спектри ва
резонансларини ўрганиш ҳақидаги муаммо замонавий математик анализ
долзарб масалаларидан бири ҳисобланади. Таъкидлаш жоизки, ушбу масала
панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган заррачалар системасига мос

умумлашган Фридрихс модели спектри ва резонансларини ўрганиш билан
чамбарчас боғлиқ. Хусусан, панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган

заррачалар системасига мос умумлашган Фридрихс моделини нуқтада ва бир
қадамда тасирлашувчи икки заррачали Шредингер оператори ѐрдамида
аниқлаш ва унинг спектрини тадқиқ қилиш муҳим аҳамият касб этмоқда. Бу
борада: панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган заррачалар системасига мос

умумлашган Фридрихс модели муҳим спектри ўрнини тавсифлаш; муҳим
спектрдан ташқаридаги хос қийматлар сонининг ўзгаришини оператор
параметрларига ва қаралаѐтган фазонинг ўлчамига боғлиқлигини кўрсатиш
мақсадли илмий тадқиқотлар ҳисобланади.

1

Ўзбекистон Республикаси Вазирлар маҳкамасининг 2017йил 18 майдаги “Ўзбекистон Республикаси

Фанлар академиясининг янгидан ташкил этилган илмий тадқиқот муассасалари фаолиятини ташкил этиш
тўғрисида”ги 292-сонли қарори.

6

Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2008 йил 15 июлдаги

ПҚ-916-сон «Инновацион лойиҳалар ва технологияларни ишлаб чиқаришга
татбиқ этишни рағбатлантириш борасидаги қўшимча чора-тадбирлар
тўғрисида»ги, 2017 йил 17 февралдаги ПҚ-2789-сон «Фанлар академияси
фаолияти, илмий-тадқиқот ишларини ташкил этиш, бошқариш ва
молиялаштиришни янада такомиллаштириш чора-тадбирлари тўғрисида»ги
Қарори ва 2017 йил 8 февралдаги ПФ-4947-сон «Ўзбекистон Республикасини
янада ривожлантириш бўйича ҳаракатлар стратегияси тўғрисида»ги Фармони
ҳамда мазкур фаолиятга тегишли бошқа норматив-ҳуқуқий хужжатларда
белгиланган вазифаларни амалга оширишга ушбу диссертация тадқиқоти
муайян даражада хизмат қилади.

Тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланиши-

нинг устувор йўналишларига боғлиқлиги.

Мазкур тадқиқот республика

фан ва технологиялар ривожланишининг IV. «Математика, механика ва
информатика» устувор йўналиши доирасида бажарилган.

Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.

Атом

ва

молекуляр ҳамда

қаттиқ жисмлар физикаси, математик физика, квант майдонлар
назариясининг асосий масалалари аксарият ҳолларда Фридрихс моделлари
ва Шредингер операторлари деб аталувчи чизиқли чегараланган ўз-ўзига
қўшма операторлар махсус синфларининг спектрал хоссаларини ўрганишга
келтирилади.

К.О. Фридрихс томонидан биринчи бўлиб, ўз-ўз қўшма операторлар

қўзғалишлар назарияси модели сифатида эркли ўзгарувчига кўпайтириш ва
унинг интеграл оператор ѐрдамидаги қўзғалиши киритилган. Кейинчалик
О.А.Ладиженская ва Л.Д.Фаддеевларнинг ишларида бу оператор Фридрихс
модели деб аталган ҳамда Шредингер операторини ўрганиш масаласи
Фридрихс моделини ўрганиш масаласига келтирилган. Фридрихс моделида
узлуксиз спектрнинг карралиги ўзгармас бўлгани учун С.Н.Лақаев
томонидан умумлашган Фридрихс модели узлуксиз спектрнинг карралиги
ўзгарувчан бўлган ҳол модели сифатида киритилди. Бу моделнинг спектрал
хоссалари, яъни узлуксиз спектри, хос қийматлари ва резонанслари, хос
қийматларнинг пайдо бўлиши ва ютилиши, ҳамда хос қийматлар сонининг
чеклилиги

Р.А.Минлос,

С.Н.Лақаев,

Ж.И.Абдуллаев,

С.А.Степен,

С.Албеверио, Е.Л.Лакштанов, Э.Р.Акчурин, И.А.Икромов, Ф.Шарипов, Ю.
Эшқобилов ва Т.Ҳ.Расулов ишларида ўрганилган.

С.Н.Лақаев, Ж.И.Абдуллаевларнинг ишларида заррачалар

сони иккидан

ошмайдиган системага мос умумлашган Фридрихс моделининг хос
қийматлари ва резонанслари ҳамда улар сонининг чеклилиги исботланган.

С.А.Степен ва М.Э.Мўминов ишларида ўз-ўзига қўшма бўлмаган

Фридрихс моделининг спектрал хоссалари ўрганилган, жумладан хос
қийматлари сонининг чеклилик шартлари топилган. Ҳозирги пайтда ҳам
умумлашган Фридрихс моделининг спектрал хоссаларини тадқиқ қилишга
оид тадқиқотларни ривожлантириш муҳим вазифалардан бири бўлиб
қолмоқда.

7

Диссертация тадқиқотининг диссертация бажарилган олий таълим
муассасасининг илмий-тадқиқот ишлари режалари билан боғлиқлиги.

Диссертация тадқиқоти ЎзР ФА Самарқанд бўлимининг ФА-Ф1-Ф045
«Панжарадаги кўп заррачали система гамильтонианлари. Спектр ва
резонанслар» (2007-2011 йй.), Самарқанд давлат университетининг Ф4-ФА-
Ф079

“Панжарадаги

сони

сақланмайдиган

заррачалар

системаси

гамильтонианларининг спектрал таҳлили” (2012-2016 йй) ва ОТ-Ф4-66
"Панжарадаги чекли сондаги заррачалар системаси моделлари. Энергия
операторларининг муҳим ва дискрет спектрлари" (2017) мавзусидаги илмий
тадқиқотлар лойиҳалари доирасида бажарилган.

Тадқиқотнинг мақсади

Панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган

заррачалар системасига мос бир умумлашган Фридрихс моделининг муҳим
спектри ўрнини ҳамда муҳим спектрдан ташқаридаги хос қийматларининг
сонини оператор параметрларидан боғлиқлигини кўрсатишдан иборат
иборат.

Тадқиқотнинг вазифалари:

панжарадаги сони иккидан ошмайдиган заррачалар системасига мос,

яратувчи ва йўқотувчи операторлар ҳамда нуқтада ва бир қадамда
таъсирлашувчи икки заррачали дискрет Шредингер оператори ѐрдамида
аниқланган бир умумлашган Фридрихс моделининг муҳим спектри ўрнини
топиш;

бир ва икки ўлчамли панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган

заррачалар системасига мос, яратувчи ва йўқотувчи операторлар ҳамда
нуқтада таъсирлашувчи икки заррачали дискрет Шредингер оператори
ѐрдамида аниқланган бир умумлашган Фридрихс моделининг муҳим спектр
ташқарисида камида битта хос қийматга эга эканлигини кўрсатиш;

ўлчами учдан кам бўлмаган панжарадаги сони иккидан ошмайдиган

заррачалар системасига мос, яратувчи ва йўқотувчи операторлар ҳамда
нуқтада таъсирлашувчи икки заррачали дискрет Шредингер оператори
ѐрдамида аниқланган бир умумлашган Фридрихс модели муҳим спектридан
ташқаридаги хос қийматининг мавжуд ѐки мавжуд эмаслиги оператор
параметрларига боғлиқлигини кўрсатиш;

бир ўлчамли панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган заррачалар

системасига мос, яратувчи ва йўқотувчи операторлар ҳамда нуқтада ва бир
қадамда таъсирлашувчи икки дискрет Шредингер оператори ѐрдамида
аниқланган бир умумлашган Фридрихс моделининг муҳим спектрдан қуйида
камида битта хос қийматга эга эканлигини ҳамда иккинчи хос қийматнинг
мавжуд ѐки мавжуд эмаслиги оператор параметрларига боғлиқлигини
ўрнатиш;

Тадқиқотнинг объекти

Панжарада сони иккитадан ошмайдиган

заррачалар системасига мос умумлашган Фридрихс моделидан иборат.

Тадқиқотнинг предмети.

Яратувчи ва йўқотувчи операторлар ҳамда

нуқтада ва бир қадамда таъсирлашувчи икки заррачали Шредингер
оператори ѐрдамида аниқланган сони иккидан ошмайдиган заррачалар

8

системасига

мос

умумлашган

Фридрихс

моделининг

спектрал

тадқиқотларидан иборат.

Тадқиқотнинг усуллари.

Тадқиқот ишида математик анализ,

математик физика, функционал анализ ва комплекс ўзгарувчили функциялар
назарияси, чизиқли чегараланган ўз-ўзига қўшма операторлар назарияси
усулларидан фойдаланилган.

Тадқиқотнинг илмий янгилиги

қуйидагилардан иборат:

панжарадаги сони иккидан ошмайдиган заррачалар системасига мос,

яратувчи ва йўқотувчи операторлар ҳамда нуқтада ва бир қадамда
таъсирлашувчи икки заррачали дискрет Шредингер оператори ѐрдамида
аниқланган бир умумлашган Фридрихс моделининг муҳим спектри ўрни
топилган;

бир ва икки ўлчамли панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган

заррачалар системасига мос, яратувчи ва йўқотувчи операторлар ҳамда
нуқтада таъсирлашувчи икки заррачали дискрет Шредингер оператори
ѐрдамида аниқланган бир умумлашган Фридрихс моделининг муҳим спектр
ташқарисида камида битта хос қийматга эга эканлиги кўрсатилган;

ўлчами учдан кам бўлмаган панжарадаги сони иккидан ошмайдиган

заррачалар системасига мос, яратувчи ва йўқотувчи операторлар ҳамда
нуқтада таъсирлашувчи икки заррачали дискрет Шредингер оператори
ѐрдамида аниқланган бир умумлашган Фридрихс модели муҳим спектридан
ташқаридаги хос қийматининг мавжуд ѐки мавжуд эмаслиги оператор
параметрларига боғлиқлиги кўрсатилган;

бир ўлчамли панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган заррачалар

системасига мос, яратувчи ва йўқотувчи операторлар ҳамда нуқтада ва бир
қадамда таъсирлашувчи дискрет Шредингер оператори ѐрдамида аниқланган
бир умумлашган Фридрихс моделининг муҳим спектрдан қуйида камида
битта хос қийматга эга эканлиги ҳамда иккинчи хос қийматнинг мавжуд ѐки
мавжуд эмаслиги оператор параметрларига боғлиқлиги исботланган;

Тадқиқотнинг

амалий

натижалари.

У

мумлашган

Фридрихс

моделининг хос функциялари ҳақидаги хулосалар қаттиқ жисмлар физикаси
ва квант механикасида экспериментал татқиқотларнинг сифат кўрсаткичини
аниқлашда ва сонли ҳисоблашларда қўлланилган.

Тадқиқот натижаларининг ишончлилиги

математик анализ, чизиқли

чегараланган ўз-ўзига қўшма операторлар назарияси ва комплекс
ўзгарувчили функциялар назарияси усулларидан фойдаланилганлиги ҳамда
математик мулоҳазаларнинг қатъийлиги билан асосланган.

Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.

Тадқиқот

натижаларининг илмий аҳамияти ўз-ўзига қўшма чегараланган операторлар
спектрал назарияси, қатиқ жисмлар физикаси, квант майдонлар
назариясининг умумлашган Фридрихс модели боғланган ҳолатлари
мавжудлиги билан боғлиқ масалаларни ҳал этишда фойдаланиш мумкинлиги
билан изоҳланади.

9

Тадқиқот

натижаларининг

амалий

аҳамияти

олинган

илмий

натижаларнинг қатиқ жисмлар физикаси соҳасидаги экспериментал
тадқиқотлар натижаларини назарий ва қатъий математик асослаш ҳамда янги
экспериментлар ўтказишга асос сифатида хизмат қилади.

Тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши.

Диссертация тадқиқоти

жараѐнида олинган илмий натижалар қуйидаги йўналишларда амалиѐтга
жорий қилинган:

бир умумлашган Фридрихс моделининг муҳим ва дискрет спектрлари

билан боғлиқ натижаларидан QJ130000.2726.01K82 рақамли грант
лойиҳасида дискрет Шредингер операторининг спектрал хоссаларини тадқиқ
қилишда фойдаланилган (Малайзия технология университети, 2017 йил 16
ноябрдаги маълумотномаси). Илмий натижанинг қўлланилиши дискрет
Шредингер операторининг хос қийматларининг сони топиш имконини
берган;

бир умумлашган Фридрихс моделининг дискрет спектрларини

мавжудлигини ўрганиш усулидан QJ130000.2726.01K82 рақамли грант
лойиҳасида дискрет Шредингер операторининг дискрет спектрини
ўрганишда фойдаланилган (Малайзия технология университети, 2017 йил 16
ноябрдаги маълумотномаси). Илмий натижанинг қўлланилиши Шредингер
оператори спектрал назариясида муҳим ўрин эгаллаган интеграл
операторларнинг хоссаларини ўрганиш имконини берган;

умумлашган Фридрихс моделининг параметларига боғлиқ аналитик

хос қийматидан QJ130000.2726.01K82 рақамли грант лойиҳасида икки
заррачали Шредингер операторинин боғланган ҳолатларининг мавжудлигини
кўрсатиш учун фойдаланилган (Малайзия технология университети, 2017
йил 16 ноябрдаги маълумотномаси). Илмий натижанинг қўлланилиши
Шредингер оператори спектрал назариясида муҳим ўрин эгаллаган интеграл
операторларига мисол қуриш имконини берган.

Тадқиқот натижаларининг апробацияси.

Мазкур

тадқиқот натижалари, 11

та илмий-амалий анжуманларда, жумладан 2 та халқаро ва 9 та республика
илмий-амалий анжуманларида муҳокамадан ўтказилган.

Тадқиқот натижаларининг эълон қилинганлиги.

Диссертация

мавзуси бўйича жами 16 та илмий иш чоп этилган, шулардан, Ўзбекистон
Республикаси Олий Аттестация комиссиясининг докторлик диссертациялари
асосий илмий натижаларини чоп этиш тавсия этилган илмий нашрларда 5 та
мақола, жумладан, 1 таси хорижий ва 4 таси республика журналларида нашр
этилган.

Диссертациянинг ҳажми ва тузилиши.

Диссертация кириш қисми,

учта боб, хулоса ва фойдаланилган адабиѐтлар рўйхатидан ташкил топган.
Диссертациянинг ҳажми 107 бетни ташкил этган.

10

ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ

Кириш

қисмида

диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати

асосланган, тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланиши-
нинг устувор йўналишларига мослиги кўрсатилган, мавзу бўйича хорижий
илмий-тадқиқотлар шарҳи, муаммонинг ўрганилганлик даражаси келтирил-
ган, тадқиқот мақсади, вазифалари, объекти ва предмети тавсифланган,
тадқиқотнинг илмий янгилиги ва амалий натижалари баѐн қилинган, олинган
натижаларнинг назарий ва амалий аҳамияти очиб берилган, тадқиқот
натижаларининг жорий қилиниши, нашр этилган ишлар ва диссертация
тузилиши бўйича маълумотлар келтирилган.

Диссертациянинг

«Ҳилберт фазосида ўз-ўзига қўшма операторлар ва

уларнинг

баъзи

хоссалари»

деб номланувчи биринчи бобида

диссертациянинг асосий натижаларини баѐн қилишда зарур бўладиган
ѐрдамчи маълумотлар, чизиқли нормаланган фазолар, ички кўпайтмали
фазолар, Ҳилберт фазосида чизиқли чегараланган операторлар, Ҳильберт
фазосида тескари операторлар, Ҳилберт фазосида қўшма операторлар,
мусбат ва компакт операторлар, операторнинг спектри ҳақидаги таърифлар
ҳамда муҳим теоремалар, панжарада сони иккитадан ошмайдиган заррачалар
системасига мос Фридрихс моделининг импульс кўриниши келтирилган.

Диссертациянинг

«Панжарадаги сони иккитадан ошмайдиган

заррачалар системасига мос бир умумлашган Фридрихс моделининг хос
қиймати мавжудлиги»

деб номланувчи иккинчи бобида Ўлчами

бўлган

панжарада сони иккитадан ошмайдиган заррачалар системасига мос
Фридрихс модели яратувчи ва йўқотувчи операторлар ва нуқтада
таъсирлашувчи икки заррачали Шредингер оператори ѐрдамида аниқланган
операторнинг муҳим спектрдан ташқаридаги хос қийматининг мавжудлик
шартлари топилади ва муҳим спектр бўсағалари виртуал сатҳ ѐки хос қиймат
бўлиши заррачалар квазиимпульсига боғлиқлиги кўрсатилади.

1

0

H

H

H



=

билан

1

0

С

H

=

комплекс сонлар Ҳилберт фазоси ва

)

,

(

=

2,



d

T

L

d

e

1

H

-

d

d

T

]

,

(

=







да

модулининг

квадрати

билан

интегралланувчи жуфт функциялар Ҳилберт фазоси тўғри йиғиндисидан
иборат Ҳилберт фазосини белгилаймиз, бунда



d

Хаар ўлчови, яъни

.

)

(2

d

=

)

d

(

d

d

p

p





),

(

k

E





d

d

T

k

k

k

)

,...,

(

=

1

оператор

0

H

Ҳилберт фазосида кўпайтириш

оператори бўлиб, қуийидагича аниқланган:

,

,

)

(

=

)

(

0

0

0

0

H



f

f

k

f

k

E



бунда

).

cos

(1

=

)

(

1

=

i

d

i

k

k







11

),

(

k

H



,

d

k

T



R









,

0

оператор

1

H

фазода аниқланган нуқтада ва бир

қадамда таъсирлашувчи икки заррачали Шредингер оператори бўлиб,
қуйидаги формула билан аниқланган:

.

)

(

=

)

(

0





V

k

H

k

H



Қўзғалмас

)

(

0

k

H

оператор

)

(



k



функцияга кўпайтириш операторидан

иборат, яъни

,

),

(

)

(

=

)

)(

)

(

(

1

1

1

0

1

Η



f

q

f

q

q

f

k

H

k



бунда

,

2

2

=

)

(











 













 

q

k

q

k

q

k











V

ўзаро таъсир (қўзғатиш) оператори қуйидаги формула билан

аниқланган:





,

),

d

(

)

(

cos

cos

=

)

)(

(

1

1

1

1

1

H











f

s

s

f

q

s

q

f

V

d

i

i

i

d









T

),

(

k

H



,

d

T

k



R





оператор

H

Ҳилберт фазосида қуйидаги

формула ѐрдамида аниқланган:

,

)

)(

)

(

(

)

(

=

)

(

)

(

1

0

1

0

1

0

































q

f

k

H

f

C

f

C

f

k

E

q

f

f

k

H









бунда

1

H

,1)

(

=

)

)(

(

1

1

f

q

f

C







ва

0

H

,1)

(

=

0

0

f

f

C





мос равишда йўқотувчи ва

яратувчи операторлар.

)

(

0

k

H



операторни

)

(

k

H



оператори деб қараб кетамиз.

)

(

k

H



ва

),

(

0

k

H



d

T

k



операторлар айирмасининг ранги иккига тенг

бўлгани учун муҳим спектр турғунлиги ҳақидаги Вейл теоремасига кўра

)

(

k

H



ва

)

(

0

k

H



операторларнинг муҳим спектрлари устма-уст тушади,

яъни

)]

(

),

(

[

=

))

(

(

=

))

(

(

))

(

(

=

))

(

(

max

min

0

0

k

k

k

H

k

H

k

H

k

H

ess

ess

ess





















тенглик ўринли бўлади, бунда

,

2

cos

1

2

=

)

(

min

=

)

(

)

(

1

=

min



















i

d

i

k

d

q

k

q

k





T

.

2

cos

1

2

=

)

(

max

=

)

(

)

(

1

=

max



















i

d

i

k

d

q

k

q

k





T

Ҳар бир тайинланган

,

R





0





лар учун қуйидаги тўпламларни

аниқлаймиз:

))},

(

)

(

(

:

{

=

max

2

max

,

k

k

T

k

M

d



















12

))}.

(

)

(

(

>

:

{

=

max

2

>

max

,

k

k

T

k

M

d















1-Теорема .

Фараз қилайлик

1,2

=

d

ва

,

R





0





бўлсин.

а)

0

>

2

2







ва

d

T

k



бўлсин. У ҳолда

)

(

k

H



оператор

))

(

,

(

min

k





интервалда ягона

)

(

,

k

E

L



хос қийматга эга. Унга мос

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

хос

вектор

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

,

,

2

1,

,

0,

k

E

q

c

k

E

k

q

f

k

E

k

c

f

L

k

L

k

L

k











































кўринишга эга ва

d

T

да аналитик бўлади, бунда





0

c

нормалловчи

кўпайтувчи.

Бундан ташқари,

,

:

)

(

,

R

T

k

E

d

L





)

(

,

k

E

k

L





акслантириш

d

T

да

жуфт ва аналитик,

,

:

H



d

T

f

H





k

f

k

акслантириш эса

d

T

даги вектор

қийматли аналитик акслантириш бўлади.

б)

0





ва

>

max

,



M

k



бўлсин. У ҳолда

)

(

k

H



оператор

)

),

(

(

max



k



интервалда ягона

)

(

,

k

E

R



хос қийматга эга. Унга мос

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

хос

вектор

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

,

,

2

1,

,

0,

k

E

q

c

k

E

k

q

f

k

E

k

c

f

R

k

R

k

R

k











































кўринишга эга ва

>

max

,



M

да аналитик бўлади, бунда





0

c

нормалловчи

кўпайтувчи.

Бундан ташқари,

,

:

)

(

>

max

,

,

R

M

k

E

R







)

(

,

k

E

k

R





акслантириш

>

max

,



M

да жуфт ва аналитик,

,

:

>

max

,

H





M

f

H





k

f

k

акслантириш эса

>

max

,



M

даги вектор қийматли аналитик акслантириш бўлади.

в)





max

,



M

k

бўлсин. У ҳолда

)

(

k

H



оператор

)

),

(

(

max



k



интервалда хос қийматга эга эмас.

Ҳар бир тайинланган

,

R





0





лар учун қуйидаги тўпламларни

аниқлаймиз:

))},

(

)

(

(

:

{

=

min

2

min

,

k

k

T

k

M

d



















))}.

(

)

(

(

>

:

{

=

min

2

>

min

,

k

k

T

k

M

d















2-

Теорема .

Фараз қилайлик

1,2

=

d

ва

,

R





0





бўлсин.

а)

d

T

k



бўлсин. У ҳолда

)

(

k

H



оператор

)

),

(

(

max



k



интервалда

ягона

)

(

,

k

E

R



хос қийматга эга. Унга мос

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

хос вектор

13

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

,

,

2

1,

,

0,

k

E

q

c

k

E

k

q

f

k

E

k

c

f

R

k

R

k

R

k











































кўринишга эга ва

d

T

да аналитик бўлади, бунда





0

c

нормалловчи

кўпайтувчи.

Бундан ташқари,

,

:

)

(

,

R

T

k

E

d

R





)

(

,

k

E

k

R





акслантириш

d

T

да

жуфт ва аналитик,

,

:

H



d

T

f

H





k

f

k

акслантириш эса

d

T

даги вектор

қийматли аналитик акслантириш бўлади.

б)

0





ва

>

min

,



M

k



бўлсин. У ҳолда

)

(

k

H



оператор

))

(

,

(

min

k





интервалда ягона

)

(

,

k

E

L



хос қийматга эга. Унга мос

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

хос

вектор

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

,

,

2

1,

,

0,

k

E

q

c

k

E

k

q

f

k

E

k

c

f

L

k

L

k

L

k











































кўринишга эга ва

>

min

,



M

да аналитик бўлади, бунда





0

c

нормалловчи

кўпайтувчи.

Бундан ташқари,

,

:

)

(

>

min

,

,

R

M

k

E

L







)

(

,

k

E

k

L





акслантириш

>

min

,



M

да жуфт ва аналитик,

,

:

>

min

,

H





M

f

H





k

f

k

акслантириш эса

>

min

,



M

даги вектор қийматли аналитик акслантириш бўлади.

в)





min

,



M

k

бўлсин. У ҳолда

)

(

0

k

H



оператор

))

(

,

(

min

k





интервалда хос қийматга эга эмас.

(3)





- шундай

d

d

T

k

k

k



)

,...,

(

=

)

(

(1)

векторларнинг тўпламики, уларнинг

ҳеч бўлмаганда учта координатаси



дан фарқли ва





,

~



- шундай

d

d

T

k

k

k



)

,...,

(

=

)

(

(1)

векторларнинг

тўпламики,

уларнинг

барча

координаталари ѐ



га,

ѐ



га

тенг.





,

~





орқали

шундай

d

d

T

k

k

k



)

,...,

(

=

)

(

(1)

векторлар тўпламини белгилаймизки, уларнинг ҳеч

бўлмаганда битта координатаси



га ҳам,



га ҳам тенг эмас, яъни

.

=









,

,

~

\

~







d

T

3-Теорема.

3



d

бўлсин. У ҳолда ихтиѐрий

0,





0





ва



,

~

0





k

ларда

)

(

k

H



оператор

)

(

min

k



дан қуйида ѐтувчи ягона хос қийматга эга.

4-Теорема.

3,



d

0





ва

0





бўлсин. У ҳолда қуйидаги тасдиқлар

ўринли:

а) Агар

}

{

0







\

~

,





k

бўлса, бунда

),

,

,

(

=











яъни унинг

координаталарининг ҳар бири ѐ

0

га, ѐ



га тенг бўлса у ҳолда

)

(

=

min

k

z



сони

)

(

k

H



операторнинг хос қиймати ҳам, виртуал сатҳи ҳам бўлмайди.

14

б) Агар

)

,...,

(

=

=









k

бўлса, у ҳолда

)

(

=

min

k

z



сони

)

(

k

H



операторнинг чексиз каррали хос қиймати бўлади. Бундан ташқари, унга мос
барча хос векторлар

1

H



1

бирлик векторга ортогонал бўлади.

Ҳар бир тайинланган

d

T

k



учун

)]

(

),

(

[

max

min

k

k





\

C

даги аналитик

функция (Фредгольм детерминанти) ни қуйидагича аниқлаймиз

).

,

(

)

(

1

=

)

;

(

2

z

k

a

z

k

z

k





























3



d

бўлсин. У ҳолда ихтиѐрий





,

~

0

(3)











k

учун қуйидаги чекли

))

(

;

(

=

)

;

(

lim

=

)

(

min

)

(

min

k

k

z

k

k

k

z





















лимит мавжуд.

Қуйидаги тўпламларни киритамиз:

0},

=

)

(

:

{

=

0

(3)

0

k

k

G





















,

~

0},

<

)

(

:

{

=

0

(3)

<

k

k

G





















,

~

0}.

>

)

(

:

{

=

0

(3)

>

k

k

G





















,

~

5

-

Теорема.

3



d

бўлсин. У ҳолда

а)

0,

>

2

2











,

~

0

(3)











k

ва

0

<

)

(

max





бўлсин, у ҳолда







,

~

0

(3)

<

=









G

бўлади.

б) Ихтиѐрий

<



G

k



учун

)

(

k

H



оператор

))

(

,

(

min

k





интервалда

ягона

)

(

<

)

(

min

k

k

E





хос қийматга эга. Унга мос

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

хос

вектор

,

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

2

1,

0,

k

E

q

c

k

E

k

q

f

k

E

k

c

f

k

k

k











































кўринишга эга ҳамда

<



G

да аналитик, бунда





0

c

нормалловчи

кўпайтувчи. Бунда

)

(





E

<



G

даги жуфт аналитик функция.

,

:

<

H





G

f

H





k

f

k

акслантириш вектор қийматли аналитик акслантириш бўлади.

в)

0

>

2

2







ва

0



G

k



бўлсин. У ҳолда

)

(

=

min

k

z



сони











,

~

0

4,

3,



















d

d

k

да

)

(

k

H



операторнинг виртуал сатҳи (





,

~

0

(5)











k

да хос қиймати) бўлади. Унга мос

k

f

виртуал (мос равишда

боғланган) ҳолат

)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

кўринишда бўлади,

,

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

min

min

2

1,

min

0,

k

q

c

k

k

q

f

k

k

c

f

k

k

k









































бунда





0

c

нормалловчи кўпайтувчи.

15

г)

>

0





G

G

k





бўлсин. У ҳолда

)

(

k

H



оператор

)

(

min

k



дан қуйида

ѐтувчи хос қийматга эга эмас.

3



d

бўлсин. У ҳолда ихтиѐрий

(3)







k

учун

))

(

;

(

=

)

;

(

lim

=

)

(

max

)

(

max

k

k

z

k

k

k

z





















тенглик ўринли.

Қуйидаги тўпламларни киритамиз:

0},

=

)

(

:

{

=

(3)

0

k

T

k

M

d















0},

<

)

(

:

{

=

(3)

<

k

T

k

M

d















0}.

>

)

(

:

{

=

(3)

>

k

T

k

M

d















6-Теорема .

3



d

ва

,

R





0





бўлсин.

У ҳолда

а) Ихтиѐрий

<



M

k



ларда

)

(

k

H



оператор

)

),

(

(

max



k



интервалда

ягона

)

(

k

E



хос қийматга эга бўлади ва бу хос қийматга мос хос вектор

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

қуйидаги кўринишга эга бўлади:

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

2

1,

0,

q

k

E

c

k

k

E

q

f

k

k

E

c

f

k

k

k









































ва у

<



M

да аналитик бўлади, бунда





0

c

нормалловчи кўпайтувчи. Бу

ҳолда

)

(





E

функция

<



M

да жуфт аналитик функция бўлади.

,

:

<

H





M

f

H





k

f

k

акслантириш вектор қийматли аналитик акслантириш бўлади.

б)

0

>

2

2







ва

0



M

k



бўлсин. У ҳолда

)

(

=

max

k

z



сони





d

d

d

k

T



















4,

3,

ларда

)

(

k

H



операторнинг виртуал сатҳи(мос равишда

5



d

ва

d

k

T







(3)



ларда хос қиймати) бўлади. Унга мос

)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

виртуал (мос равишда боғланган) ҳолат қуйидаги кўринишга эга бўлади:

,

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

max

max

2

1,

max

0,

q

k

c

k

k

q

f

k

k

c

f

k

k

k







































бунда





0

c

нормаловчи кўпайтувчи.

в)

>

0





M

M

k





бўлсин. У ҳолда

)

(

k

H



оператор

)

),

(

(

max



k



интервалда хос қийматга эга бўлмайди.

Диссертациянинг

«Панжарадаги сони иккидан ошмайдиган

заррачалар системасига мос бир умумлашган Фридрихс моделининг
муҳим спектрдан қуйидаги хос қийматлари сони»

деб номланувчи учинчи

бобида бир ўлчамли панжарада сони иккитадан ошмайдиган заррачалар
системасига мос Фридрихс модели яратувчи ва йўқотувчи операторлар ҳамда
нуқтада ва бир қадамда таъсирлашувчи икки заррачали Шредингер
оператори ѐрдамида аниқланган операторнинг муҳим спектридан қуйидаги
хос қийматлари сони ва жойлашиш ўрнинг ўзгариши заррачалар

16

квазиимпульси ва ўзаро тасир энергиялари, ҳамда яратувчи ва йўқотувчи
операторларга боғлиқлиги кўрсатилади.

7-Теорема.

,

1



d

0

>

2

2







ва

0

>



бўлсин. У ҳолда ихтиѐрий

d

T

k



лар учун



H

ва



00

H

операторлар

))

(

,

(

k

min





интервалда мос равишда

ягона

)

(

k

E



ва

)

(

00

k

E



хос қийматга эга.

Қуйидаги белгилашларни киритамиз:

)},

(

),

(

{

min

=

)

,

,

,

(

00

k

E

k

E

k

E

min











)}

(

),

(

{

max

=

)

,

,

,

(

00

k

E

k

E

k

E

max











Ҳар бир тайинланган

0

,

,











R

лар учун

]

,

(

=

1







T

да қуйидаги

)]

(

2

cos

2

)[

2

cos

(1

2

cos

2

)

2

cos

2

(

=

)

(

2























k

k

k

k

k

F

жуфт функцияни аниқлаймиз. Тайинланган

R





ва

0







,

лар учун

қуйидаги тўпламларни киритамиз:

0},

=

)

(

:

{

=

1

=

k

F

T

k

G







0},

<

)

(

:

{

=

1

<

k

F

T

k

G







0}.

>

)

(

:

{

=

1

>

k

F

T

k

G







8-Теорема.

)

a

<

=





G

G

k





бўлсин. У ҳолда

)

(

k

H



оператор

))

(

,

(

k

min





интервалда

ягона

)

(

(1)

k

E



хос

қийматга эга. Бунда

)

(

,

:

(1)

<

=

(1)

k

E

k

R

G

G

E















функция

<

=





G

G



даги

жуфт,

ҳақиқий-аналитик бўлади ва қуйидаги

)

,

,

,

(

<

)

(

(1)

k

E

k

E

min









тенгсизликни

қаноатлантиради. Мос

H



k

f

хос вектор

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

кўринишга эга,

,

)

(

)

(

=

(1)

1

0,

k

E

k

c

f

k











)

(

)

(

cos

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

(1)

2

(1)

1

(1)

2

1,

k

E

q

q

c

k

E

q

c

k

E

k

q

f

k

k

k











































ва

<

=





G

G



да аналитик, бунда



2

1

,

c

c

нормаловчи кўпайтувчилар.

Натижада,

,

:

<

=

H









G

G

f

H





k

f

k

акслантириш вектор-қийматли

аналитик бўлади.

)

b

>



G

k



бўлсин. У ҳолда

)

(

k

H



оператор

))

(

,

(

k

min





интервалда

иккита

)

(

(1)

k

E



ва

)

(

(2)

k

E



хос

қийматларга эга бўлади. Бунда

2

1

)

(

,

:

)

(

>

)

(

,

,







j

k

E

k

R

G

E

j

j







функция

>



G

да жуфт, ҳақиқий-

аналитик бўлади ва

17

)

(

,

,

,

,

,

,

)

(

(2)

max

min

(1)

k

E

k)

(

E

k)

(

E

k

E























тенгсизликлар бажарилади.

1,2

=

),

(

)

(

j

k

E

j



хос қийматга мос

H



)

(

j

k

f

хос вектор

,

)

(

)

(

=

)

(

0,

k

E

k

c

f

j

j

k











,

)

(

)

(

cos

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

)

(

2

)

(

)

(

2

1,

k

E

q

q

c

k

E

q

c

k

E

k

q

f

j

k

j

k

j

j

k











































кўринишга эга бўлади, бунда



2

1

,

c

c

нормалловчи кўпайтувчилар.

Бундан ташқари

2

1,

j

H,

H









k

j

j

f

k

T

f

,

:

)

(

акслантириш

>



G

даги

вектор қийматли аналитик акслантириш бўлади.

18

ХУЛОСА

Диссертация иши панжарада сони иккитадан ошмайдиган заррачалар

системасига мос Фридрихс моделининг муҳим ва дискрет спектрларини
ўрганишга бағишланган.

Диссертацияда олинган илмий натижалар асосида қуйидаги хулосаларга

келинди:

1. Яратувчи ва йўқотувчи операторлар, нуқтада ва бир қадамда

таъсирлашувчи икки заррачали Шредингер оператори ѐрдамида аниқланган
панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган заррачалар системасига мос бир

умумлашган Фридрихс моделининг муҳим спектри ўрни топилган;

2. Бир ва икки ўлчамли панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган

заррачалар системасига мос ва нуқтада таъсирлашувчи икки заррачали
Шредингер оператори ѐрдамида аниқланган бир умумлашган Фридрихс
моделининг муҳим спектр ташқарисида камида битта хос қийматга эга
эканлигин кўрсатилган;

3. Ўлчами учдан кам бўлмаган панжарада нуқтада таъсирлашувчи икки

заррачали Шредингер оператори ѐрдамида аниқланган

сони иккидан

ошмайдиган заррачалар системасига мос умумлашган Фридрихс моделининг
муҳим спектрдан ташқаридаги хос қийматининг мавжуд ѐки мавжуд
эмаслиги оператор параметрларига боғлиқлиги кўрсатилган;

4. Яратувчи ва йўқотувчи операторлар, нуқтада ва бир қадамда

таъсирлашувчи икки заррачали Шредингер оператори ѐрдамида аниқланган
бир ўлчамли панжарадаги

сони иккидан ошмайдиган заррачалар системасига

мос бир умумлашган Фридрихс моделининг муҳим спектрдан қуйида камида
битта хос қийматга эга эканлигини ҳамда иккинчи хос қийматнинг мавжуд
ѐки мавжуд эмаслиги оператор параметрига боғлиқлиги исботланган;

5. Қаралаѐтан операторнинг хос қиймат ва хос функциялари

квазиимпульснинг аналитик функцияси эканлиги кўрсатилган;

Олинган натижалар қаттиқ жисмлар физикаси ва квант майдонлар

назарияси экспериментал татқиқотларнинг сифат кўрсаткичини аниқлашда
ҳамда математик физикада қўлланилиши мумкин.

19

НАУЧНЫЙ СОВЕТ PhD.27.06.2017.FM.02.01 ПО ПРИСУЖДЕНИЮ

УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ФИЛОСОФИИ (PhD) ПРИ

САМАРКАНДСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

САМАРКАНДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЛАТИПОВ ШЕРДОР МИРЗОЕВИЧ

СУЩЕСТВЕННЫЙ И ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТРЫ ОДНОЙ

ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ ФРИДРИХСА

01.01.01 – Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ ДОКТОРА ФИЛОСОФИИ (PhD)

ПО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ НАУКАМ

г. Самарканд – 2017 год

20

Тема диссертации доктора философии (Doctor of Philosophy) по физико-

математическим наукам зарегистрирована в Высшей аттестационной комиссии при
Кабинете Министров Республики Узбекистан за № В2017.2.PhD/FM51

Диссертация выполнена в Самаркандском государственном университете.

Автореферат диссертации на трех языках (узбекский, русский, английский (резюме))

размещен на веб-странице Научного совета (www.samdu.uz) и на Информационно-
образовательном портале «Ziyonet» (www.ziyonet.uz).

Научный руководитель:

Лакаев Саидахмат Норжигитович

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Эшкабилов Юсуп Халбаевич

доктор физико-математических наук

Кучкоров Эркин Иброхимович

кандидат физико-математических наук

Ведущая организация:

Институт Математики

Защита диссертации состоится «____» _____________2017 года в ____ часов на заседании

Научного совета PhD.27.06.2017.FM.02.01 при Самаркандском государственном университете.
(Адрес: 140104, г. Самарканд, Университетский бульвар, 15. Тел.: (99866)231-06-32, факс: (99866)
235-19-38, e-mail: patent@samdu.uz).

С диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном центре Самаркандского

государственного университета (зарегистрирована за №_____). (Адрес: 140104, г. Самарканд,
Университетский бульвар, 15. Тел.: (99866)231-06-32, факс: (99866) 235-19-38).

Автореферат диссертации разослан «____» _______________2017 года.
(протокол рассылки №________ от «____» _______________2017 года).

А.С. Солеев

Председатель Научного совета по

присуждению ученых степеней,

д.ф.-м.н., профессор

А.М. Халхужаев

Ученый секретарь Научного совета по

присуждению ученых степеней, д.ф.-м.н.

И.А. Икромов

Замиститель председателья научного семинара при

Научном совете по присуждению ученых

степеней, д.ф.-м.н., профессор

21

ВВЕДЕНИЕ (аннотация диссертации доктора философии(PhD))

Актуальность и востребованность темы диссертации.

Многие

научно-прикладные исследования, проводимые на мировом уровне,
приводятся

к

исследованию

обобщенных

моделей

Фридрихса,

соответствующих системе с несохраняющимся числом частиц на решетке.
Модель Бозе-Хаббарда, в частности, двухчастичные операторы Шредингера
на решетке, используемые для описания существования устойчивых
сложных объектов в упорядоченных средах, является теоретическим
обоснованием экспериментального наблюдения и теоретической базой для
применения. Поэтому развитие исследования операторов Шредингера,
соответствующих системам частиц на решетке, и обобщенных моделей
Фридрихса, которые встречаются в моделях физики твердого тела, а также
квантовой теории поля и спектральной теории самосопряженных операторов,
является одним из приоритетных направлений.

В нашей стране за годы независимости большое внимание уделялось и

продолжает уделяться направлениям, имеющим фундаментальное и
прикладное значения современного математического анализа. В частности,
особое внимание было уделено исследованию моделей Фридрихса,
соответствующих системам с сохраняющимся и несохраняющимся числом
частиц. Значительные результаты были достигнуты по нахождения
непрерывного спектра, собственных значений, появления и поглощения
собственных значений, число собственных значений обобщенных моделей
Фридрихса. Проведение научных исследований по приоритетным
направлениям математических наук, на уровне международных стандартов
по математике, физике, прикладной математике, обозначено основной
задачей и направлением деятельности

2

. Развитие квантовой теории поля и

спектральной теории линейных операторов играет важную роль в
исполнении постановления.

В настоящее время в мире одной из важнейших задач математического

анализа и его приложения является задача об исследовании спектров и
резонансов самосопряженных операторов. Следует отметить, что эта задача
имеет тесную связь с исследованием спектров и резонансов обобщенной
модели Фридрихса, соответствующей системе, состоящей из не более чем
двух частиц на решетке. В частности, в настоящее время актуальную роль
играет определение обобщенной модели Фридрихса, соответствующей
системе, состоящей из не более чем двух частиц на решетке, с помощью
двухчастичного оператора Шредингера с контактным взаимодейтвием, как
самосопряженный ограниченный оператор и исследование еѐ спектральных
свойств. В связи с этим реализация целевых научных исследований в
следующих направлениях является одной из важных задач: описывать

2

Постановление Кабинета Министров Республики Узбекистан от 18 мая 2017 года №292 «О мерах по

организации деятельности вновь созданных научно-исследовательских учреждений академии наук
Республики Узбекистан»

22

местонахождение существенного спектра обобщенной модели Фридрихса,
соответствующей системе состоящей из не более чем двух частиц на
решетке; устанавливать число собственных значений вне существенного
спектра в зависимости от параметров оператора и размерности
рассматриваемого пространства.

Эта диссертация, в определенной степени, служит осуществлению задач,

обозначенных в Постановлениях Президента Республики Узбекистан №-ПП-
916

«О

дополнительных

мерах

по

стимулированию

внедрения

инновационных проектов и технологий в производство» от 15 июля 2008
года, №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию
деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования
научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года и №-УП-
4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики
Узбекистан» от 8 февраля 2017 года а также в других нормативно-правовых
актах по данной деятельности.

Соответствие исследования приоритетным направлениям развития

науки и технологий республики.

Данное исследование выполнено

в

соответствии с приоритетным направлением развития науки и технологий в
Республике Узбекистан IV. «Математика, механика и информатика».

Степень изученности проблемы.

Основные задачи атомной и

молекулярной физики, физики твердого тела, математической физики и
квантовой теории поля приводятся к изучению спектральных свойств
специального класса линейных ограниченных самосопряженных операторов,
так называемых моделями Фридрихса и операторами Шредингера.

Впервые К.О. Фридрихсом был введен, в качестве модели теории

возмущений самосопряженных операторов, оператор умножения на
независимую переменную и его возмущение с помощью интегрального
оператора. Позднее, в работах российских ученых О.А.Ладыженской и
Л.Д.Фаддеева этот оператор назывался моделью Фридрихса и задача
изучения оператора Шредингера приведена к задаче изучения модели
Фридрихса. Поскольку, кратность непрерывного спектра модели Фридрихса
постоянная, обобщенная модель Фридрихса введена С.Н.Лакаевом, когда
кратность непрерывного спектра непостоянная. Спектральные свойства этой
модели, т.е. непрерывный спектр, собственные значения и резонансы,
появление и поглощение собственных значений и конечность числа
собственных значений изучены в работах Р.А.Минлоса, С.Н.Лакаева,
Ж.И.Абдуллаева, С.А.Степена, С.Албеверио, Е.Л.Лакштанова, Э.Р.Акчурина,
И.А.Икромова, Ф.Шарипова, Ю.Эшкобилова и Т.Х.Расулова.

В работах С.Н.Лакаева, Ж.И.Абдуллаева изучены собственные значения

и резонансы обобщенной модели Фридрихса системы, состоящей из не более
двух частиц, и доказана ограниченность их числа.

В работах С.А.Степена и М.Э.Муминова изучены спектральные

свойства несамосопряженной модели Фридрихса, в частности, установлены
условия ограниченности числа собственных значений. В настоящее время

23

развитие исследования спектральных свойств обобщенной модели
Фридрихса является одним из существенных задач.

Связь темы диссертации с научно-исследовательскими работами

высшего учебного заведения, в которой выполняется диссертация.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с плановой темой
научно-исследовательских работ ФА-Ф1-Ф045 «Гамильтонианы систем
нескольких частиц на решетке. Спектр и резонансы» Самаркандского
отделения АН РУз (2007-2011 гг.), Ф4-ФА-Ф079 «Спектральный анализ
гамильтонианов систем с несохраняющимся ограниченным числом частиц на
решетке» (2012-2016 гг.) и ОТ-Ф4-66 «Модели системы с ограниченным
числом частиц на решетке. Существенный и дискретный спектры операторов
энергии» (2017 г.) Самаркандского государственного университета.

Целью

исследования

является

изучение

местонахождения

существенного спектра и число собственных значений вне существенного
спектра одной обобщенной модели Фридрихса, соответствующей системе,
состоящей из не более чем двух частиц на решетке, в зависимости от
параметров оператора.

Задачи исследования:
-

изучить местоположение существенного спектра одной обобщенной

модели Фридрихса, соответствующей системе, состоящей из не более чем
двух частиц на решетке, определенной с помощью операторов рождения и
уничтожения, а также двухчастичного дискретного оператора Шредингера с
контактным взаимодействием и взаимодействием на соседних узлах;

- показать существование по крайней мере одного собственного

значения, вне существенного спектра, одной обобщенной модели Фридрихса,
ассоциированной системе, состоящей из не более чем двух частиц на
одномерной и двухмерной решетках, определенной с помощью операторов
рождения и уничтожения, а также двухчастичного дискретного оператора
Шредингера с контактным взаимодействием;

- установить, наличие или же, отсутствие собственного значения вне

существенного спектра, обобщенной модели Фридрихса, ассоциированной
системе, состоящей из не более двух частиц на решетке размерности не
меньше трех, определенной с помощью операторов рождения и
уничтожения, а также двухчастичного дискретного оператора Шредингера с
контактным взаимодействием, в зависимости от параметров оператора;

- доказать существование по крайней мере одного собственного

значения вне существенного спектра, и наличие или отсутствие второго
собственного

значения

одной

обобщенной

модели

Фридрихса,

ассоциированной системе, состоящей из не более двух частиц на
одномерной и двухмерной решетках, определенной с помощью операторов
рождения и уничтожения, а также двухчастичного дикретного оператора
Шредингера с контактным взаимодействием и взаимодействием на соседних
узлах, в зависимости от параметров оператора.

24

Объект

исследования.

Обобщенная

модель

Фридрихса,

ассоциированная системе, состоящей из не более двух частиц на решетке.

Предмет исследования

. Спектральный анализ обобщенной модели

Фридрихса, ассоциированной системе, состоящей из не более двух частиц,
взаимодействующихся с помощью операторов рождения и уничтожения, а
также двухчастичного оператора Шредингера, взаимодействующего
контактно и на соседних узлах решетки.

Методы исследования.

В диссертационной работе использованы

методы математического анализа, математической физики, функционального
анализа, теории функций комплексного переменного и теории линейных
ограниченных самосопряженных операторов.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

Изучено местоположение существенного спектра одной обобщенной

модели Фридрихса, соответствующей системе, состоящей из не более чем
двух частиц на решетке, определенной с помощью операторов рождения и
уничтожения, а также двухчастичного дискретного оператора Шредингера с
контактным взаимодействием и взаимодействием на соседних узлах.

Показано существование по крайней мере одного собственного значения

вне существенного спектра одной обобщенной модели Фридрихса,
ассоциированной системе, состоящей из не более чем двух частиц на
одномерной и двухмерной решетках, определенной с помощью операторов
рождения и уничтожения, а также двухчастичного дискретного оператора
Шредингера с контактным взаимодействием.

Установлено наличие или же, отсутствие собственного значения вне

существенного спектра, обобщенной модели Фридрихса, ассоциированной
системе, состоящей из не более двух частиц на решетке размерности не
меньше трех, определенной с помощью операторов рождения и
уничтожения, а также двухчастичного дискретного оператора Шредингера с
контактным взаимодействием, в зависимости от параметров оператора.

Доказано существование по крайней мере одного собственного значения

вне существенного спектра, и наличие или отсутствие второго собственного
значения одной обобщенной модели Фридрихса, ассоциированной системе,
состоящей из не более двух частиц на одномерной и двухмерной решетках,
определенной с помощью операторов рождения и уничтожения, а также
двухчастичного дискретного оператора Шредингера, с контактным
взаимодействием и взаимодействием на соседних узлах, в зависимости от
параметров оператора.

Практические результаты

исследования состоят в возможности

применения выводов о собственных функциях обобщенной модели
Фридрихса при исследовании качественных свойств экспериментальных
наблюдений и численных вычислений в физике твердого тела и квантовой
механики.

Достоверность результатов исследования

обоснована строгостью

математических рассуждений и использованием методов математического

25

анализа, теории линейных ограниченных самосопряженных операторов и
теории функций комплексного переменного.

Научная и практическая значимость результатов исследования.

Научное значение результатов исследования заключается в том, что они
могут быть использованы в спектральной теории ограниченных
самосопряженных операторов, физике твердого тела, при решениях задач
квантовой теории поля, связанных с существованием связанных состояний
обобщенной модели Фридрихса.

Практическая значимость диссертации состоит в том, что результаты

диссертации, могут служить теоретической и строго математической основой
результатов экспериментальных наблюдений и основой проведения новых
экспериментов в физике твердого тела.

Внедрение результатов исследования.

Полученные в диссертации

результаты были использованы в следующих научно-исследовательских
проектах:

результаты, связанные с существенным и дискретным спектрами одной

обобщенной модели Фридрихса, использованы в исследованиях гранта
QJ130000.2726.01K82, при исследовании спектральных свойств дискретного
оператора Шредингера (Университет технологии Малайзии, справка от 16
ноября 2017 года). Применение этих научных результатов дало возможность
нахождения числа собственных значений;

методы исследования существования дискретных спектров одной

обобщенной модели Фридрихса, использованы в исследованиях гранта
QJ130000.2726.01K82, для изучения дискретного спектра дискретного
оператора Шредингера (Университет технологии Малайзии, справка от 16
ноября 2017 года). Применение этих научных результатов дало возможность
исследования свойств интегральных операторов, играющую важную роль в
спектральной теории операторов Шредингера;

аналитические собственные значения, зависящие от параметров,

обобщенной модели Фридрихса, использовано в исследованиях гранта
QJ130000.2726.01K82, для показания существования связанных состояний
двухчастичного оператора Шредингера (Университет технологии Малайзии,
справка от 16 ноября 2017 года). Применение этих научных результатов дало
возможность составить примеры интегральных операторов, играющую
важную роль в спектральной теории операторов Шредингера.

Апробация

результатов

исследования.

Результаты

данного

исследования были обсуждены на 11 научно-практических конференциях, в
том числе на 2 международных и 9 республиканских научно - практических
конференциях.

Публикация результатов исследования.

По теме диссертации

опубликовано 16 научных работ, из них 5 входят в перечень научных
изданий, предложенных Высшей аттестационной комиссией Республики
Узбекистан для защиты докторских диссертаций, в том числе 1 опубликована
в зарубежном журнале и 4 – в республиканских научных изданиях.

26

Объѐм и структура диссертации

. Диссертация состоит из введения,

трех глав, заключения и списка использованной литературы. Объем
диссертации составляет 107 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении

обоснованы актуальность и востребованность темы

диссертации, определено соответствие исследования приоритетным
направлениям развития науки и технологий республики, приведен обзор
зарубежных научных исследований по теме диссертации и степень
изученности проблемы, сформулированы цели и задачи, выявлены объект и
предмет исследования, изложены научная новизна и практические
результаты исследования, раскрыта теоретическая и практическая
значимость полученных результатов, даны сведения о внедрении результатов
исследования, об опубликованных работах и о структуре диссертации.

В первой главе диссертации, названной

«Самосопряженные

операторы в гильбертовом пространстве и некоторые их свойства»

,

приведены необходимые предварительные сведения, определения и теоремы
о линейных нормированных пространствах, пространствах со скалярными
произведениями, линейных ограниченных операторов в гильбертовом
пространстве, самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве,
положительных и компактных операторов, спектрах операторов, которые
будут использованы при изложении результатов диссертации, а так же,
импульсное представление одной модели Фридрихса, ассоциированной
системой не более двух частиц на решетке.

Во

второй

главе

диссертации,

названной

«Существование

собственного значения одной обобщенной модели Фридрихса,
соответствующей системе, состоящей из не более двух частиц на
решетке»

, найдены условия существования собственного значения вне

существенного спектра модели Фридрихса, ассоциированной системе,
состоящей из не более двух частиц на

мерной

решетке,

взаимодействующихся с помощью операторов рождения и уничтожения а
также двухчастичного оператора Шредингера, взаимодействующего с
помощью контактных потенциалов и в соседних узлах, и установлено что,
что пороги существенного спектра являются либо виртуальным уровнем,
либо собственным значением в зависимости от квазиимпульса частиц.

Обозначим через

1

0

H

H

=

H



- гильбертово пространство, состоящее

из прямой суммы комплексного гильбертова пространства

1

0

C

=

H

и

гильбертова

пространства

)

,

(

=

2,



d

T

L

d

e

1

H

-чѐтных

квадратично

интегрируемых функций на

d

d

T

]

,

(

=







, где



d

мера Хаара, т.е.,

.

)

(2

d

=

)

d

(

d

d

p

p





27

Пусть







d

T

k

k

k

k

E

)

,...,

(

),

(

2

1

оператор произведения на число,

действующий в гильбертовом пространстве по формуле

,

,

)

(

=

)

(

0

0

0

0

H



f

f

k

f

k

E



где

).

cos

(1

=

)

(

1

=

i

d

i

k

k







Пусть оператор

),

(

k

H



,

d

T

k



R









,

0

- двухчастичный оператор

Шредингера, действующий в гильбертовом пространстве

1

H

по формуле

.

)

(

=

)

(

0





V

k

H

k

H



Невозмущенный оператор

)

(

0

k

H

- оператор умножения на функцию

)

(



k



:

1

H



1

1

1

0

),

(

)

(

=

)

)(

)

(

(

f

q

f

q

q

f

k

H

k



где

,

2

2

=

)

(











 













 

q

k

q

k

q

k







и





V

оператор взаимодействия (возмущения) определяется по формуле:





1

H











1

1

1

1

),

d

(

)

(

cos

cos

=

)

)(

(

f

s

s

f

q

s

q

f

V

d

i

i

i

d

T









Оператор

),

(

k

H



,

d

T

k



R





действует в гильбертовом

пространстве

H

по формуле:

,

)

)(

)

(

(

)

(

=

)

(

)

(

1

0

1

0

1

0

































q

f

k

H

f

C

f

C

f

k

E

q

f

f

k

H









где

1

H

,1)

(

=

)

)(

(

1

1

f

q

f

C







и

1

H

,1)

(

=

0

0

f

f

C





операторы уничтожения и

рождения, соответственно.

Так как разность операторов

)

(

k

H



и

),

(

k

H



d

T

k



является

оператором ранга два, согласно теореме Вейля об устойчивости
существенного спектра, существенные спектры операторов

)

(

k

H



и

)

(

0

k

H



совпадают, а именно верны равенства

,

)]

(

),

(

[

=

))

(

(

=

))

(

(

))

(

(

=

))

(

(

max

min

0

0

k

k

k

H

k

H

k

H

k

H

ess

ess

ess





















где

,

2

cos

1

2

=

)

(

min

=

)

(

)

(

1

=

min



















i

d

i

k

d

T

q

k

q

k





28

.

2

cos

1

2

=

)

(

max

=

)

(

)

(

1

=

max



















i

d

i

k

d

T

q

k

q

k





Для каждого фиксированного

,

R





0





определяем

следующие

множества:

))},

(

)

(

(

:

{

=

max

2

max

,

k

k

T

k

M

d



















))}.

(

)

(

(

>

:

{

=

max

2

>

max

,

k

k

T

k

M

d















Теорема 1.

Пусть

1,2

=

d

и

,

R





0





.

а) Пусть

0

>

2

2







и

d

T

k



. Тогда оператор

)

(

k

H



имеет

единственное собственное значение

)

(

,

k

E

L



в интервале

))

(

,

(

min

k





.

Соответствующий собственный вектор

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

имеет вид

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

,

,

2

1,

,

0,

k

E

q

c

k

E

k

q

f

k

E

k

c

f

L

k

L

k

L

k











































и является аналитическим в

>

max

,



M

, где





0

c

нормирующий множитель.

Более того, отображение

,

:

)

(

,

R

T

k

E

d

L





)

(

,

k

E

k

L





является

чѐтным и аналитическим в

d

T

, а отображение

,

:

H



d

T

f

H





k

f

k

является векторнозначным аналитическим отображением в

d

T

.

б) Пусть

0





и

>

max

,



M

k



. Тогда оператор

)

(

k

H



имеет

единственное собственное значение

)

(

,

k

E

R



в интервале

)

),

(

(

max



k



.

Соответствующий собственный вектор

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

имеет вид

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

,

,

2

1,

,

0,

k

E

q

c

k

E

k

q

f

k

E

k

c

f

R

k

R

k

R

k











































и является аналитичиским в

>

max

,



M

, где





0

c

нормирующий множитель.

Более того, отображение

,

:

)

(

>

max

,

,

R

M

k

E

R







)

(

,

k

E

k

R





является

чѐтным и аналитическим в

>

max

,



M

, а отображение

,

:

>

max

,

H





M

f

H





k

f

k

является векторнозначным аналитическим отображением в

>

max

,



M

.

29

в) Пусть





max

,



M

k

. Тогда оператор

)

(

k

H



не имеет собственного

значения в интервале

)

),

(

(

max



k



.

Для каждого фиксированного

,

R





0





определяем

следующие

множества:

))},

(

)

(

(

:

{

=

min

2

min

,

k

k

T

k

M

d



















))}.

(

)

(

(

>

:

{

=

min

2

>

min

,

k

k

T

k

M

d















Теорема 2.

Пусть

1,2

=

d

и

,

R





0





.

а) Пусть

d

T

k



. Тогда оператор

)

(

k

H



имеет единственное

собственное значение

)

(

,

k

E

R



в интервале

)

),

(

(

max



k



. Соответствующий

собственный вектор

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

имеет вид

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

,

,

2

1,

,

0,

k

E

q

c

k

E

k

q

f

k

E

k

c

f

R

k

R

k

R

k











































и является аналитическим в

d

T

, где





0

c

нормирующий множитель.

Более того, отображение

,

:

)

(

,

R

T

k

E

d

R





)

(

,

k

E

k

R





является чѐтным и

аналитическим в

d

T

, а отображение

H,



d

T

f

:

H





k

f

k

является

векторнозначным аналитическим отображением в

d

T

.

б) Пусть

0





и

>

min

,



M

k



. Тогда оператор

)

(

k

H



имеет единственное

собственное значение

)

(

,

k

E

L



в интервале

))

(

,

(

min

k





. Соответствующий

собственный вектор

H



)

,

(

=

1,

0,

k

k

k

f

f

f

имеет вид

)

(

)

(

)

(

)

(

=

)

(

,

)

(

)

(

=

,

,

2

1,

,

0,

k

E

q

c

k

E

k

q

f

k

E

k

c

f

R

k

R

k

R

k











































и является аналитичиским в

>

min

,



M

, где





0

c

нормирующий множитель.

Более того, отображение

,

:

)

(

>

min

,

,

R

M

k

E

L







)

(

,

k

E

k

L





является чѐтным и

аналитическим в

>

min

,



M

, а отображение

,

:

>

min

,

H





M

f

H





k

f

k

является векторнозначным аналитическим отображением в

>

min

,



M

.

в) Пусть





min

,



M

k

. Тогда оператор

)

(

k

H



не имеет собственного

значения в интервале

))

(

,

(

min

k





.

30

(3)





- множество векторов

d

d

T

k

k

k



)

,...,

(

=

)

(

(1)

, у которых по крайней

мере три координаты отличны от



и





,

~



- множество векторов

d

d

T

k

k

k



)

,...,

(

=

)

(

(1)

у которых все координаты равны либо



, либо



.

Обозначим через





,

~





множество векторов

d

d

T

k

k

k



)

,...,

(

=

)

(

(1)

у которых

хотябы одна координата отлична от



и



т.е.

.

~

\

=

~

,

,















d

T

Теорема 3.

Пусть

3



d

. Тогда при любых

0,





0





и



,

0

~





k

оператор

)

(

k

H



имеет единственное собственное значение, лежащее ниже

)

(

min

k



.

Теорема 4.

Пусть

3,



d

0





и

0





. Тогда имеют места следующие

утверждения:

а) Если

}

{

0







\

~

,





k

, где

),

,

,

(

=











т.е. каждая из его координат

равна либо

0

, либо



, то число

)

(

=

min

k

z



не является ни собственным

значением, ни виртуальным уровнем оператора

)

(

k

H



.

б) Если

)

,...,

(

=

=









k

, то число

)

(

=

min

k

z



является собственным

значением оператора

)

(

k

H



бесконечной кратности. Более того, все

соответствующие собственные векторы ортогональны единичному вектору

1

H



1

.

Для каждого фиксированного

d

T

k



определим аналитическую в

)]

(

),

(

[

\

max

min

k

k





C

функцию (определитель Фредгольма)

).

,

(

)

(

1

=

)

;

(

2

z

k

a

z

k

z

k





























Пусть

3



d

. Тогда для любого





,

0

(3)

~











k

существует конечный предел

))

(

;

(

=

)

;

(

lim

=

)

(

min

)

(

min

k

k

z

k

k

k

z





















.

Введѐм следующие множества:

0},

=

)

(

:

~

{

=

,

0

(3)

0

k

k

G





















0},

<

)

(

:

~

{

=

,

0

(3)

<

k

k

G





















0}.

>

)

(

:

{

=

0

(3)

>

k

k

G





















,

~

Теорема 5.

Предположим, что

3



d

.