МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЗБЕКИСТАНА
имени МИРЗО УЛУГБЕКА
На правах рукописи
УДК 517.98
Кудайбергенов Каримберген Кадирбергенович
ИЗМЕРИМЫЕ РАССЛОЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ
ПРИЛОЖЕНИЯ К ОПЕРАТОРНЫМ АЛГЕБРАМ И
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯМ
01.01.01 – математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Ташкент – 2008
Работа выполнена в отделе «Алгебра и анализ» института Математики и
информационных технологий Академии Наук Республики Узбекистан
Научный консультант:
доктор физико-математических наук, профессор,
академик АН Республики Узбекистан Аюпов Шавкат Абдуллаевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, доцент
Абдуллаев Рустамбай Зайирович, доктор физико-математических наук,
доцент Джалилов Ахтам
Абдурахманович,
доктор физико-математических наук, Рахимов Абдугафур
Абдумажидович.
Ведущая организация – Южный математический институт
Владикавказского научного центра
РАН
Защита состоится «____» ______________ 2008 г. в _____ часов на
заседании объединенного специализированного совета Д 067.02.03 при
Национальном Университете Узбекистана имени Мирзо Улугбека по
адресу: 700174, г.Ташкент, ВУЗ городок, Национальный Университет
Узбекистана, механико-математический факультет, ауд. Г – 303.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Национального
университета Узбекистана имени Мирзо Улугбека.
Автореферат разослан «___» ____________ 2008 г.
Ученый секретарь
специализированного совета
доктор физико-математических наук А.А. Абдушукуров
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность работы.
Развитие теории решеточно-нормированных
пространств восходит к работам Л.В. Канторовича середины 30-х годов
прошлого века. Важнейшим классом решеточно-нормированных пространств
являются пространства Банаха – Канторовича. Впервые эти пространства
были рассмотрены Л.В. Канторовичем. В середине прошлого века
исследованию свойств этих пространств были посвящены работы Б.З.
Вулиха, А.Г.Пинскера, Г.П.Акилова и других. В последнее время
исследованиям в этой области посвящены работы А.Г. Кусраева, С.С.
Кутателадзе, А.Е. Гутмана, В.И. Чилина, И.Г. Ганиева и других. В начале 80- х
годов XX века в работах А.Г. Кусраева была получена булевозначная
реализация пространств и решеток Банаха – Канторовича. В частности, им
было доказано одно из важных свойств таких пространств о том, что всякое
K
пространство Банаха – Канторовича над расширенным -пространством
K
является модулем над -пространством и модульные операции согласованы с
векторной нормой пространства. В 60-х годах прошлого века в работах Т.А.
Сарымсакова были заложены основы теории топологических полуполей –
K
специального класса -пространств, которая нашла многие приложения в
топологии, функциональном анализе, теории вероятностей. Важным
инструментом при изучении модулей Банаха – Канторовича, наряду с
булевозначным анализом стала теория непрерывных и измеримых банаховых
расслоений. В начале 90-х годов прошлого века в работах А.Е. Гутмана было
дано представление пространств Банаха – Канторовича в виде измеримых
банаховых расслоений с лифтингом и это дало возможность представления
различных классов операторов, действующих в абстрактных векторных
решетках.
Техника измеримых банаховых расслоений позволила В.И. Чилину и
И.Г. Ганиеву представить решетки Банаха – Канторовича над кольцом
измеримых функций в виде измеримого расслоения банаховых решеток, а
также булевы алгебры с векторнозначной мерой в виде измеримого
расслоения булевых алгебр с числовыми мерами. С помощью таких
представлений удалось получить варианты индивидуальных эргодических
теорем для сжатий в
L
p
-пространствах, построенных по полной булевой
алгебре с мерой со значениями в кольце измеримых функций.
В связи с развитием общей теории пространств Банаха – Канторовича
над кольцом измеримых функций возникла необходимость исследования
таких подмножеств в них, которые обладают тем или иным свойством
компактности. К сожалению, компактность в общепринятом топологическом
смысле не обеспечивает справедливость тех свойств в пространствах Банаха
– Канторовича, которые были бы аналогичны соответствующим свойствам в
банаховых пространствах. Это послужило причиной введения нового класса
3
множеств – циклических компактов. Понятия циклически компактного
множества и оператора было введено А.Г. Кусраевым. В работах А.Г.
Кусраева был получен общий вид самосопряженного циклически
компактного оператора в модулях Гильберта – Капланского. Оставался
открытым вопрос о представлении циклически компактных операторов в
виде измеримого расслоения компактных линейных
∇
операторов, а также -фредгольмовых операторов в виде измеримого
расслоения Фредгольмовых операторов.
Структурная теория
C
∗
-модулей начинается с работ И. Капланского,
использовавшего эти обьекты для алгебраического подхода к теории
W
∗
-
алгебр. Рассмотрение -
C
алгебр,
∗
AW
∗
-алгебр и
W
∗
-алгебр как модулей над
их центрами, позволили использовать методы булевозначного анализа для
описание различных свойств указанных классов *-алгебр.
C
∗
-модули являются полезными примерами модулей Банаха –
Канторовича. В работах В.И. Чилина, И.Г. Ганиева было получено
C
∗
представление -модулей над кольцом измеримых функций в виде
измеримого расслоения классических
C
∗
C
∗
-алгебр, что дает возможность
получать свойства -модулей с помощью "склейки" соответствующих
C
∗
свойств -алгебр над полем комплексных чисел.
*
С
Естественным образом возникает вопрос о реализаций -алгебр над
кольцом измеримых функций в виде алгебр операторов на модулях Гильберта
– Капланского (теорема Гельфанда – Наймарка и Гельфанда – Наймарка –
Сигала).
Изучение дифференцирований операторных алгебр начинается с работы
И. Капланского, доказавшего, что всякое дифференцирование
AW
∗
- алгебры
типа I является внутренним. В этой же работе И. Капланский сформулировал
проблему о том, что всякое дифференцирование алгебры фон Неймана должно
быть внутренним. Эта проблема была решена в работах С.
Сакаи. Диффференцирования на
C
∗
-алгебрах и алгебрах фон Неймана
исследованы в монографиях Сакаи. Всестороннее рассмотрение
дифференцировании в общих банаховых алгебрах дано в монографии Г.
Дейлса, где детально изучены условия, гарантирующие автоматическую
непрерывность дифференцирований на различных банаховых алгебрах.
Пусть
A
– некоторая алгебра. Линейный оператор
D
:
→
A A
называется
дифференцированием
, если
D xy D x y xD y
( ) () (
= +
)
при всех
x
,
∈
.
y A
Каждый элемент
a A
∈
определяет дифференцирование
DA A
a
:
→
( )
D x ax xa x A
a
=
−
,
∈
.
D
a
по правилу Дифференцирования вида
a
называются
внутренними
. Если элемент , порождающий
D
a
B
,
дифференцирование , принадлежит более широкой алгебре содержащей
A
,
то
называется
пространственным
дифференцированием.
D
a
4
Следующие результаты являются наиболее известными:
а) Если
A
– коммутативная
C
∗
-алгебра, то всякое дифференцирование
на
A
тождественно равно нулю.
б) Если
D
– дифференцирование на
C
∗
-алгебре
A
,
то – непрерывно
D
по норме.
в) Если
A
– алгебра фон Неймана, то любое дифференцирование на
A
является внутренним.
Развитие теории некоммутативного интегрирования восходит к работе
S
M
( )
И. Сигала, в которой было начато изучение алгебры – всех измеримых
операторов, присоединенных к алгебре
фон Неймана
M
.
В 2000 году Ш.А.
Аюповым была сформулирована проблема о возможности распространения
M L
(0 1)
∞
= ;
результатов а), б), в), для случая алгебры
S M
( )
.
Если – алгебра
(0 1)
; ,
S M
(
)
всех комплексных ограниченных измеримых функций на то
0
L
(0 1)
;
изоморфна – алгебре всех комплексных измеримых функций на
(0 1)
; .
В 2004 году в работе А.Ф. Бера, Ф.А.
Сукочева, В.И. Чилина и в 2005
году независимо в работе А.Г.
Кусраева было доказано, что алгебра
допускает нетривиальные
дифференцирования.
0
L
(0 1)
;
Таким образом, структура дифференцирований алгебры
S M
( )
,
существенно
отличается от случая дифференцирований алгебр фон Неймана. Имеется ряд
других важных классов алгебр неограниченных операторов, имеющих
приложения как в функциональном анализе так и
EW
∗
математической физике:
O
∗
-алгебры,
GB
∗
-алгебры, -алгебры и др.
Интересными примерами упомянутых алгебр являются некоммутативные
алгебры Аренса.
В связи с этим актуальной является проблема описания
дифференцирований алгебры локально измеримых операторов,
присоединенных к алгебре фон Неймана (и её некоторых подалгебр), а также
некоммутативных алгебр Аренса, ассоциированных с алгеброй фон Неймана и
точным нормальным полуконечным следом.
Диссертационная работа посвящена решению вышеназванных
проблем.
Степень изученности проблемы.
В середине 90-годов прошлого века в
работах А.Е. Гутмана было введено понятие векторнозначного лифтинга и
доказано, что всякое пространство Банаха – Канторовича над кольцом
измеримых функций представляется в виде измеримого банахово расслоения с
векторнозначным лифтингом. В работах В.И. Чилина и И.Г. Ганиева было
получено представление некоммутативных
L
p
-пространств, ассоциированных
с конечной алгеброй фон Неймана и с центрозначным следом в виде
измеримого расслоения некоммутативных
L
p
-пространств,
ассоциированных с числовым следом.
5
В 2004 году в работе А.Ф. Бера, Ф.А. Сукочева, В.И. Чилина были
получены необходимые и достаточные условия существования нетривиальных
дифференцирований в коммутативных регулярных алгебрах. В частности,
было показано, что алгебра
0
L
(0 1)
;
допускает нетривиальные
дифференцирования;
более
того,
линейное
пространство
всех
дифференцирований на
0
L
(0 1)
;
имеет несчетный базис. В работах А.Г.
Кусраева методами булевозначного анализа были получены необходимые и
достаточные условия существования нетривиальных дифференцирований и
автоморфизмов в расширенных
f
-алгебрах. В частности, также было
показано,
что
алгебра
0
L
(0
1)
;
допускает
нетривиальные
дифференцирования и автоморфизмы. В 2006 году в работе М. Уейта была
доказана непрерывность в топологий сходимости по мере дифференцирований
алгебры измеримых операторов, присоединенных к атомической алгебре фон
Неймана.
Связь диссертационной работы с тематическими планами НИР.
Исследования проводились по гранту Ф.1.1.3 программы фундаментальных
исследований I Ф «Математика, механика, информатика».
Цель
исследования.
Целью диссертационной работы является решение
перечисленных выше проблем теории измеримых расслоений
*
С
линейных операторов, -модулей над кольцом измеримых функций и
дифференцирований алгебр неограниченных операторов.
*
С
Задачи исследования.
Реализация -алгебр над кольцом измеримых функций в
виде алгебр операторов на модулях Гильберта – Капланского и описание
дифференцирований алгебры локально измеримых операторов,
присоединенных к алгебре фон Неймана и её некоторых подалгебр.
Объекты
и предмет исследования:
модули Банаха – Канторовича,
*
С
-алгебры, алгебра измеримых операторов, некоммутативные алгебры
Аренса, дифференцирования.
Методы исследования.
Применены общие методы измеримых
банаховых расслоений, функционального анализа, теории операторных
алгебр.
Основные положения, выносимые на защиту.
На защиту выносятся:
1. векторный вариант критерия Никольского
∇
-фредгольмовости для
операторов на модулях Банаха – Канторовича;
2. прицип равномерной ограниченности для операторов на модулях Банаха –
Канторовича;
*
С
3. представление коммутативных унитальных -алгебр над кольцом
измеримых функций в виде алгебры непрерывных сохраняющих
0
L
;
перемешивания отображений на циклических компактах со значениями в
4. ГНС-представление -алгебр над
*
С
0
L
;
5. общий вид дифференцирований алгебры локально измеримых операторов,
6
присоединенных к алгебре фон Неймана типа I и её некоторых подалгебр; 6.
полное описание дифференцирований некоммутативных алгебр Аренса,
ассоциированных с алгеброй фон Неймана и точным нормальным
полуконечным следом.
Научная новизна
. В работе получены следующие новые результаты: –
доказано, что всякий циклически компактный оператор на модуле Банаха –
Канторовича над
0
L
представляется в виде измеримого расслоения
компактных линейных операторов;
∇
– доказано, что всякий -фредгольмов оператор представляется в виде
измеримого расслоения фредгольмовых операторов;
– получен прицип равномерной ограниченности для операторов на модулях
Банаха – Канторовича;
*
С
– доказано, что коммутативная унитальная -алгебра над кольцом измеримых
функций изометрически *-изоморфна алгебре непрерывных сохраняющих
перемешивания отображений на циклических компактах со
значения
ми в
0
L
;
– доказано, что всякая -алгебра над
*
С
0
L
изометрически *-изоморфна
замкнутой подалгебре алгебры всех
0
L
-ограниченных
0
L
-линейных
операторов на модуле Гильберта – Капланского над
0
L
;
– найден общий дифференцирований алгебры локально измеримых
операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана типа I и её некоторых
подалгебр;
– получено полное описание дифференцирований некоммутативных алгебр
Аренса, ассоциированных с алгеброй фон Неймана и точным нормальным
полуконечным следом.
Научная и практическая значимость результатов исследования.
В
работе получено решение важных проблем теории операторов на модулях
Гильберта – Капланского и теории дифференцирований на неограниченных
операторных алгебрах. Результаты и методы, представленные в работе, могут
быть использованы при исследованиях по функциональному анализу, теории
операторных алгебр, а также в алгебраическом обосновании квантовой
статистической механики.
Реализация результатов.
Диссертационная работа носит
теоретический характер.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на семинаре
«Операторные алгебры и их приложения» (Институт Математики и
информационных технологии АН РУз, руководитель: академик Ш.А. Аюпов),
на городском семинаре по функциональному анализу (Национальный
Университет Узбекистана, руководитель: проф. В.И. Чилин), на семинаре
кафедры алгебра и функциональный анализ (Национальный Университет
Узбекистана, руководитель: академик Ш.А. Аюпов), на городском семинаре по
комплексному анализу (Национальный Университет
7
Узбекистана, руководитель: академик А.С. Садуллаев), во время научных
командировок в институт прикладной математики университета Бонна
(Германия,
2006,
2007),
на
международной
научной
конференции
«Операторные алгебры и квантовая теория вероятностей» (Ташкент, 2005),
на международной конференции «Порядковый анализ» (Владикавказ, Россия,
2006), на республиканской конференции «Современные проблемы и
актуальные вопросы функционального анализа» (Нукус, 2006).
Опубликованность результатов.
Основные результаты диссертации
опубликованы в работах [1]-[31]. В работах [11], [13], [18] постановка задач
принадлежит Ш.А. Аюпову, в работах [14], [16], [17], [19], [20], [21],[22]
постановка задач принадлежит С. Альбеверио и Ш.А. Аюпову, в работах [1],
[3], [4], [5], [7] постановка задач принадлежит И.Г. Ганиеву, в работах [12],
[15] постановка задач принадлежит В.И. Чилину и И.Г. Ганиеву.
Доказательства основных результатов, полученных в этих работах,
принадлежат диссертанту.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех
глав, разбитых на 14 параграфов, заключения и 129 наименований
использованной литературы. Полный объём диссертации – 213 страниц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В
первом
параграфе
первой
главы
диссертации
приводятся
необходимые определения и результаты из теории меры, теорий решеточно
нормированных пространств, измеримых банаховых расслоений и др.
Пусть
(
Ω,Σ,
μ
)
– измеримое пространство с мерой, обладающей
свойством прямой суммы, а
0 0
L L
=
(
Ω,Σ,
μ
)
– алгебра всех комплексных
измеримых
функций
на
(
Ω,Σ,
μ
)
(равные
почти
всюду
функции
отождествляются).
Пусть
X
– отображение, ставящее в соответствие каждой точке
ω
∈
Ω
X
ω
ω ,
⋅
,
где
X
( ) {0}
ω
≠
для всех
некоторое банахово пространство
( )
( () )
X
ω
∈
Ω
.
Сечением
называется функция , определенная почти всюду
X
u
Ω
u X
() ()
ω
∈
ω
для всех
ω
∈
dom( )
u
, где
в и принимающая значение
dom( )
u
есть область определения
u
.
Пусть
L
– некоторое множество сечений.
Определение 1.1.6.
Пара
(
X L
,
)
называется
измеримым банаховым
расслоением
(ИБР) над
Ω
, если
а)
11 2 2
λ
c c
+
∈
λ
L
для всех
λ
1 2
,
λ
∈
и
1 2
cc L
,
∈
,
где
11 2 2 1 2 11 2 2
λ
cc c c c c
+ :
∈ ∩ →
+
λ ω
dom( ) dom( ) ( ) ( )
λωλ ω
; б)
функция
( )
dom( ) ( )
X
c cc
ω
:
∈ →
ω ω
измерима при всех
c
∈
L
; в) для
каждой точки
ω
∈
Ω
множество
{ ( ) dom( )}
c cL c
ω
:
∈
,
∈
ω
плотно в
8
X
( )
ω
.
Сечение
s
называется ступенчатым,
если
n
=
∑
, где
s c
ω χω ω
() ()()
i
A i
i
=
1
1
i i
c LA i n
∈
,
∈
Σ, = , .
Сечение
u
называется измеримым, если для всякого
A
∈
Σ, <
∞
μ
( )
A
найдется такая последовательность ступенчатых
( )
n n
s
∈
сечений, что
( )
() () 0
n
X
s u
ω
ω
−
ω
→
для почти всех
ω
∈
A
.
Пусть
M
(
Ω,
X
)
– множество всех измеримых сечений. Символом
0
L
(
Ω,
X
)
обозначим факторизацию
M
(
Ω,
X
)
по отношению равенства почти
всюду. Через
u
€
обозначим класс из
0
L
(
Ω,
X
)
, содержащий сечение
uM X
∈
Ω,
( )
.
Отметим, что функция
( )
( )
X
u
ω
ω
→
ω
измерима для любого
uM X
∈
Ω,
( )
. Класс эквивалентности, содержащий функцию
( )
( )
X
u
ω
ω
, обозначим
через
u
€
. Пространство
0
(( ) )
L X
Ω, ,
⋅
является ПБК над
0
L
.
Во втором параграфе первой главы изучены измеримые расслоения
компактных множеств.
Пусть
∇
– булева алгебра всех идемпотентов в
0
L
. Если
∑
0
() (
A
u L
α α
∈
⊂
Ω,
X
)
( )
π
α α
∈
A
–
разбиение единицы в
∇
, то ряд
и
α
π
u
α α
∈
A
(bo)-сходится в
0
L
(
Ω,
X
)
и сумма этого ряда называется
перемешиванием
( )
A
u
α α
∈
относительно
( )
π
α α
∈
A
.
Это сумма обозначается через
mix( )
u
π
α α
.
Для
0
K
⊂
Ω,
L X
( )
через обозначается множество всех
mix
K
K K
перемешиваний произвольных семейств элементов из . Множество
называется
циклическим,
если
mix
K K
=
. Для направленного
множества
A
через
∇
( )
A
обозначается множество всех разбиений единицы в
∇
,
заиндексованных элементами
A
. Отношение порядка на
∇
( )
A
определяется
следующим образом:
1 2 1 2 1 2
ν
≤ ⇔ ∀
,
∈
,
∧ ≠ ⇒ ≤
,
∈∇
ν αβ ν α ν β α β ν ν
A
( ( ) ( ) 0 ) ( (
))
A
.
Пусть
( )
A
u
α α
∈
сеть в
0
L
(
Ω,
X
)
. Для каждого
ν
∈∇
( )
A
положим
u
mix(
( ) )
u
ν
=
ν α
α
и получим новую сеть
( )
( )
A
u
ν ν
∈∇
. Произвольная подсеть сети
( )
( )
A
u
ν ν
∈∇
называется
циклической подсетью
сети
( )
A
u
α α
∈
.
Определение 1.2.1
. Подмножество
0
K
⊂
Ω,
L X
( )
называется
K
циклически компактным,
если оно циклично и всякая сеть в имеет
K
.
циклическую подсеть, сходящуюся к некоторой точке из
Основным результатом этого параграфа является следующая
9
Teoрема 1.2.2.
Пусть
K
– циклический компакт в
0
L
( )
Ω,
X
и
{ ( )( ) ( )}
K
X A A
ω
l x xKA xL X
χ ω χ
∞
= :
∈
,
∈
Σ,
∈
Ω, .
Тогда
K
ω
– компакт для почти всех
ω
∈
Ω
,
при этом
0
K xL X x K
{ ( ) () для почти всех }
=
∈
Ω, :
∈
ω ω
ω
∈
Ω .
В третьем параграфе первой главы выясняется структура модулей над
кольцом измеримых функций, которые представляются как измеримое
расслоение конечномерных пространств.
Определение 1.3.1
. Говорят, что модуль
E
над
0
L
конечно
порожденный,
если в
E
существует конечное число элементов
1 2
n
x
,
x x
,...,
таких, что всякое
x E
∈
можно представить в виде
1 1
n n
x
= + ... +
λ
x x
λ
, где
0
1
λ
i
∈
, =,
L i n
. Модуль
E
над
0
L
называется
σ
-
конечно-порожденным,
если
существует такое разбиение
{ }
π
n
единицы в
∇
, что каждый модуль
π
n
E
–
конечно-порожденный.
Основным результатом этого параграфа является следующая
Теорема
1.3.2.
Модуль
0
L
( )
Ω,
X
–
σ
-конечно-порожден в том и только в том случае,
когда
X
( )
ω
– конечномерен для почти всех
ω
∈
Ω
. Вторая глава посвящена
измеримым расслоениям ограниченных и компактных линейных операторов и
доказательству с их помощью аналогов основных принципов
функционального анализа для модулей Банаха – Канторовича.
В первом параграфе второй главы изучены измеримые расслоения
ограниченных и компактных линейных операторов.
X Y
Ω
Пусть и измеримые банаховы расслоения над с лифтингами
l
,
{ () (
TX
Y
ω
:
→
ω ω
)}
– измеримое расслоение
X
l
Y
и соответственно,
ограниченных операторов, т.е.
Tx M Y
( ( )) ( )
ω
ω
∈
Ω,
для любого
x
∈
Ω,
M
X
( )
.
Равенство
Tu T u
( ) ( ( ))
$
=
ω
ω
(1)
определяет
0
L
-линейный оператор .
0 0
TL X L Y
: Ω,
→
Ω,
() ( )
И.Г.Ганиевым
было показано, что если
{ () (
TX Y
)}
ω
:
→
ω ω
– измеримое расслоение
ограниченных линейных операторов такое, что
10
функция
BX Y
( ( ) ( ))
T
ω
ω ω
ω
→
,
измерима, то оператор
T
,
заданный по правилу
(1), является
0
L
-ограниченным.
Следующий результат показывает, что требование
0
BX Y
( ( ) ( ))
T L
ω
ω ω
,
∈
является лишним при установление ограниченности оператора
T
.
T
Предложение 2.1.1.
Оператор , определенный равенством (1),
является
0
L
-ограниченны
м.
Напомним, что
0
L
-линейный
оператор
0 0
TL X L Y
: Ω,
→
Ω,
() ( )
называется циклически компактным, если образ всякого ограниченного
множества в
)
0
L
(
Ω,
X
является относительно
циклически компактным.
Следующий результат является основным результатом параграфа.
0 0
TL X L Y
: Ω,
→
Ω,
() ( )
Теорема 2.1.2.
Пусть – циклически
компактный
0
L
-линейный оператор. Тогда
существует измеримое
расслоение компактных линейных операторов
{ () ()
TX Y
ω
:
→
,
∈
ω ω ω
Ω
}
такое, что
Tx T x
( ) ( ( ))
=
ω
ω
для всех
0
x
∈
L X
( )
Ω, .
Второй параграф второй главы посвящен векторному варианту теоремы
Банаха об открытом операторе для операторов в пространствах Банаха –
Канторовича и ее применениям к измеримым расслоениям операторов с
замкнутой областью значений.
Для каждого
0
L
-линейного
оператора
0
0
TL X L Y
: Ω,
→
Ω,
() ( )
положим
ke
r { ( ) 0}
T xTx
= : =
и
0
RT T x
x L X
( ) { ( ) ( )}
= :
∈
Ω, .
Теорема 2.2.1.
Пусть –
0 0
TL X L Y
: Ω,
→
Ω,
() ( )
0
L
-ограниченный
0
L
-
1
T
−
0
L
-
линейный оператор,
ker 0
T
=
,
0
RT L Y
() ( )
= Ω, .
Тогда является
ограниченным оператором.
0
r L
∈
r
0
означает, что
r
() 0
ω
>
для почти
Для элемента запись
всех
ω
∈
Ω.
Положим
0
1
BX x L X x
(){ ( ) }
=
∈
Ω, :
≤
1
.
Следующий результат является векторным вариантом теоремы Банаха об
открытом операторе для операторов в модулях Банаха – Канторовича.
Теорема 2.2.2.
Пусть –
0 0
TL X L Y
: Ω,
→
Ω,
() (
0
L
-ограниченный
0
L
-
)
линейный оператор и
0
RT L Y
() ( )
= Ω,
. Тогда существует элемент
0
r Lr
∈
,
0
1
( ) ( ( ))
B Y TB X
⊂
r
.
такой, что
Третий параграф второй главы посвящен вариантам классической
теоремы Банаха – Штейнгауза о равномерной ограниченности и ее
применениям.
Следующий результат показывает, что если семейство
0
L
-
ограниченных
0
L
-линейных операторов, действующих в ПБК над
0
L
,
11
ограничено поточечно, то оно равномерно ограничено.
Теорема 2.3.1.
Пусть
F
– семейство
0
L
-ограниченных
0
L
-линейных
операторов из
0
L
( )
Ω,
X
в
0
L
(
Ω,
Y
)
. Если для всякого
0
x
∈
Ω,
L X
( )
существует
0
sup{ ( ) }
Tx T F L
:
∈ ∈
,
то существует
0
sup{ }
TTF L
:
∈ ∈
.
В четвертом параграфе второй главы исследуется измеримое
расслоение Фредгольмовых операторов.
Пусть –
0 0
TL X L Y
: Ω,
→
Ω,
() (
0
L
-ограниченный
0
L
-линейный
)
оператор, – сопряженный оператор.
0 0
TL Y L X
() (
∗ ∗
: Ω,
→
Ω,
)
∗
Рассмотрим однородные уравнения
Tx T g
() 0 () 0
∗
= , =
и соответствующие основное и сопряженное уравнения
Tx y T g f
() ()
∗
= , = .
T
∇
Говорят, что для оператора справедлива
-альтернатива
Фредгольма,
если существует счетное
разбиение что выполнены условия:
{ }
π
n
единицы в
∇
такое,
1) Однородное уравнение
0
π
T x
() 0
=
(сопряженное однородное уравнение )
имеет единственное нулевое решение. Уравнение
0
π
T g
() 0
∗
=
∗
=
)
разрешимо и имеет
0
Tx y
( )
π = π
0
(соответственно
0
Tg f
( )
π π
0
единственное решение для любой правой части
0
yL Y
∈
(
Ω,
)
(соответственно
0
f L X
( )
∗
∈
Ω,
);
2) для любого
n
∈
однородные уравнения
() 0
π
n
T x
=
и
() 0
π
n
T g
∗
=
имеют
по -
n
∇
линейно независимых решений
n n
1
n
x x
, ,
...,
n nn
1
g g
, ,
,
и
,...,
; 3)
основное уравнение (сопряженное уравнение) разрешимо в том и только в
том случае, если
() 0 ,
n ni
π
g y i nn
,
=,
≤ ∈
12
(
( )0 ,
n ni
π
fx i nn
,
,
=,
≤ ∈
соответственно); 4) общее
решение основного уравнения имеет вид
∞ ∗
n
= +
∑ ∑
,
x
π
x cx
( )
, ,
n n ni ni
= =
1 1
n i
а общее решение сопряженного уравнения –
∞ ∗
g
, ,
n
= +
∑ ∑
,
g gc
π
( )
n n ni ni
= =
1 1
n i
где
n
x
∗
(соответственно
n
g
∗
) – частное решение уравнения
( )
π
n
Tx y
=
(соответственно
( )
), где
π
n
Tg f
∗
=
0
,
n i
c L i nn
,
∈
,
≤ ∈
.
Следующий результат является векторным вариантом критерия Никольского
фредгольмовости ограниченных линейных операторов в ПБК.
Теорема 2.4.2.
Для
0
L
-ограниченного
0
L
-линейного оператора
0 0
TL X L Y
: Ω,
→
Ω,
() ( )
следующие условия
эквивалентны:
1) операторы
T
ω
– Фредгольмовы для почти всех
ω
∈
Ω
;
2) оператор
T
является
∇
-Фредгольмовым;
3) существуют
0
L
-линейные операторы
A
и
K
из
0
L
( )
Ω,
X
в
0
L
( )
Ω,
Y
такие,
что
A
– обратим,
K
–
σ
-конечно-порожден и
T A
= +
K
; 4) существуют
0
L
-линейные операторы
A
и
K
из
0
L
( )
Ω,
X
в
0
L
( )
Ω,
Y
такие, что
A
– обратим,
K
– циклически компактен и
T A
= +
K
.
В третьей главе результаты предыдущих глав применены для
*
С
построения основ теории -алгебр над кольцом измеримых функций и
доказана теорема о реализаций таких алгебр в виде алгебр операторов на
модулях Гильберта – Капланского (теоремы Гельфанда – Наймарка и
Гельфанда – Наймарка – Сигала).
В первом параграфе третьей главы изучаются алгебры Банаха –
Канторовича над
0
L
и свойства спектра элементов таких алгебр.
U
Пусть – произвольная алгебра над полем комплексных чисел и
одновременно модуль над
0
L
, причем
( ) () (
λ
u v uv u v
=
λ λ
=
)
для всех
0
λ
∈
,,
∈
L uv U
. Рассмотрим на
U
некоторую
0
L
-значную норму
⋅
,
U
наделяющую структурой пространства Банаха – Канторовича, в
частности,
λ
u
=| |
λ
u
для всех
0
λ
∈
L
,
∈
u U
.
U
называется алгеброй Банаха – Канторовича над
0
L
, если для всех
uv
U
,
∈
имеет место соотношение:
uv u v
⋅ ≤
.
Если
U
алгебра
13
Банаха – Канторовича над
0
L
с единицей
e
такой, что
e
= ,
1
где –
1
единица в
0
L
, то
U
назовем унитальной
алгеброй Банаха – Канторовича.
Теорема 3.1.1
. Для всякой алгебры Банаха – Канторовича
U
над
0
L
существует единственное с точностью до изоморфизма измеримое
X
l
расслоение банаховых алгебр
( )
X L
,
с векторнозначным лифтингом
U
0
L
( )
Ω, ,
X
и такое, что изометрически изоморфна
{ ( )( ) ( )} ( )
X
lx xL X X
ω ω
∞
:
∈
Ω, =
для всех
ω
∈
Ω.
При этом, если
U
унитальная алгебра, то
X
( )
ω
также унитальная алгебра
для всех
ω
∈
Ω
.
Во втором параграфе третьей главы изучается представления коммутативных
C
-алгебр над кольцом измеримых функций.
∗
U U
Пусть – произвольная *-алгебра и – алгебра Банаха –
Канторовича над
0
L
, причем
( )
λ
u
λ
u
∗ ∗
=
для
всех
0
λ
∈
L
,
∈
.
u U
Определение 3.2.1
.
U
называется
C
∗
-алгеброй над
0
L
, если для всех
uv
U
,
∈
имеет место соотношение
2
u uu
∗
=
⋅
.
0
L
-линейный функционал
0
f
:
→
U L
называется: положительным (
f
≥
0
),
если
f xx
( )
для всех
∗
≥
0
x U
∈
;
0
L
-состоянием, если
f
≥
0
и
f
= ;
1
0
L
-состояние
ϕ
называется чистым, если из
ϕ
≥ ≥
ψ
0
,
где
ψ
–
0
L
-
линейный функционал, вытекает
ψ
=
λϕ
для некоторого .
0
λ λ
∈
,
≤ ≤
L
0
1
Множество
F U
∗
⊂
называется *
-слабо циклически компактным,
если
F
оно циклично и всякая сеть в имеет циклическую подсеть, *-слабо
сходящуюся к
некоторой точке из
F
.
Через
E
U
обозначим множество всех
0
L
-состояний на
U
.
Предложение 3.2.3.
Пусть
U
–
C
∗
-алгебра над
0
L
. Тогда
(a)
E
U
– *-слабо циклически компактно;
(b) если
U
коммутативна, то множество
K
( )
U
всех чистых
0
L
-состояний на
U
*-слабо циклически компактно.
Отображение
0
f
:
→
KU L
( )
называется
сохраняющим перемешивания,
если
для произвольного разбиения единицы
( )
π
α α
∈
I
в
∇
и
() (
ϕ
α α
I
K U
)
∈
⊂
∑
∑
= .
π ϕ πϕ
)
имеет место
() (
f f
αα α α
α α
∈ ∈
I I
Рассмотрим на
K
( )
U
*-слабую топологию, индуцированную из
U
∗
.
Через
0
(() )
C KU L
m
,
обозначим множество всех непрерывных,
сохраняющих перемешивания отображений из
K
( )
U
в
0
L
. Для каждого
0
(() )
m
f
∈
,
C KU L
положим
14
f
=
sup{ ( ) ( )}
| |:
∈
f x x KU
.
Рассмотрим в
0
(() )
C KU L
m
,
поточечные алгебраические операции и
инволюцию.
Предложение 3.2.6.
0
( (() )
C KU L
m
, ,
⋅
)
является
C
-алгеброй над
∗
0
L
. Следующие две теоремы являются основными результатами главы, в них
получена реализация -алгебр над
*
С
0
L
в виде алгебр операторов на модулях
Гильберта – Капланского, а в коммутативном случае – в виде алгебры
непрерывных сохраняющих перемешивания отображений на циклических
компактах со значениями в
0
L
.
Теорема 3.2.1.
Пусть
U
унитальная коммутативная -
C
алгебра над
∗
0
L
и
K
( )
U
множество всех чистых состояний на
U
. Тогда
U
изометрически *-
изоморфна алгебре
C K
0
( ( ) )
m
U L
, .
В третьем параграфе третьей главы изучается ГНС-представление
C
∗
-
алгебр над кольцом измеримых функций.
Пусть
A
– модуль Гильберта – Капланского над
0
L
. Пространство
B A
( )
всех
0
L
-ограниченных
0
L
-линейных операторов на
A
является
C
∗
- алгеброй
над
0
L
.
Следующий результат является векторным вариантом классической
теоремы Гельфанда – Наймарка – Сигала.
Теорема 3.3.1.
Если
U
–
C
∗
-алгебра над
0
L
, то существует
U
изометрический *-изоморфизм алгебры на некоторую замкнутую *-
B A
( )
A
– некоторый модуль Гильберта – Капланского.
подалгебру , где
В четвертой главе аппарат теории модулей Гильберта – Капланского
применяется
к
исследованию
дифференцировании
на
алгебрах
неограниченных измеримых операторов, присоединенных к алгебрам фон
Неймана. Здесь решена проблема описания дифференцирований для двух
важных классов алгебр: алгебры локально измеримых операторов,
присоединенных к алгебре фон Неймана типа I (и её некоторых подалгебр), а
также для некоммутативных алгебр Аренса, ассоциированных с алгеброй фон
Неймана и точным нормальным полуконечным следом.
В первом параграфе четвертой главы изучается алгебра локально измеримых
операторов относительно алгебры фон Неймана типа I.
H
B H
( )
Пусть – гильбертово пространство, – алгебра всех
ограниченных линейных операторов,
действующих на
H
,
M
– подалгебра
фон Неймана в
B H
( )
,
P M
( )
– полная решетка всех ортопроекторов в
M
.
Напомним, что замкнутый линейный оператор
x
,
действующий в
15
гильбертовом пространстве
H
,
называется измеримым относительно алгебры
фон Неймана
M
, если
x
η
M
и
D
( )
x
является сильно плотным в
H
.
S M
( )
Обозначим через множество всех измеримых операторов,
присоедине
нных к
M
.
Замкнутый линейный оператор
x
,
действующий в гильбертовом
H
,
пространстве называется локально измеримым относительно алгебры
фон Неймана
M
, если
x
η
M
и существует такая
последовательность
1
{ }
n n
z
∞
=
центральных проекторов из
M
, что
n
z
↑
1
и
(
n
zx SM
∈
)
для всех
n
∈
.
LS M
( )
Множество всех локально измеримых операторов,
присоединенных к
M
, является унитальной *-алгеброй
относительно
операций сильного сложения и умножения и перехода сопряженному
оператору. При этом
S M
( )
является заполненной *-подалгеброй в
LS M
( )
.
Пусть
H
– гильбертово пространство и
0
L
(, )
Ω
H
пространство классов
эквивалентности измеримых отображений из
Ω
в
H
.
0
L
(, )
Ω
H
является
модулем Гильберта – Капланского над
0
L
, а
L
(, )
H
∞
Ω
является модулем
Гильберта – Капланского над
L
( )
∞
Ω
. Через обозначим
0
BL H
( ( , ))
Ω
алгебру всех
0
L
-ограниченных
0
L
-линейных
операторов на
0
L
(, )
Ω
H
, а
через
BL H
( (, )
алгебру всех
∞
Ω
)
L
( )
∞
Ω
-ограниченных -линейных
L
( )
∞
Ω
операторов
на
L
(, )
H
∞
Ω
.
Напомним, что алгебра фон Неймана
M
называется
типа I
, если она
изоморфна алгебре фон Неймана с абелевым коммутантом. Известно, что
если
M
алгебра фон Неймана типа I, то существует единственная
(кардинальна-индексированная) система центральных
∑
=
1
такая, что
ортогональных
проекторов
() (
с
I
q P
α α
∈
⊂
M
)
I
q
α
α
∈
q M
α
изоморфна однородной алгебре фон
Неймана типа I
qM BL H
( ( ))
α α α
,
∞
≅
Ω,
dim
H
α
=
α,
и
⊕ ∞
≅
∑
Ω, .
M BL H
( ( ))
α α
α
Основным результатом параграфа
является следующая
⊕ ∞
α
,
т. е.
≅
Ω,
∑
LS M
( )
M BL H
α α
( ( ))
Теорема 4.1.1.
Для алгебра *-
∈
α
I
изоморфна алгебре
∏
Ω , .
))
0
( (
BL H
α α
α
∈
I
Во втором параграфе четвертой главы изучается дифференцирования
16
алгебры локально измеримых операторов относительно алгебры фон
Неймана типа I.
n
∈
Пусть
M
однородная алгебра фон Неймана типа I
n
, . В этом
LS M
( )
0
( )
M
n
L
всех -матриц над
случае алгебра изоморфна
алгебре
n n
⋅
0
L
.
Пусть
0
L L
0
δ
:
→
– произвольное дифференцирование и
D
δ
–
"покоординатное" дифференцирование на
0
( )
M
n
L
определенное по правилу
1
(( ) ) ( ( ) )
n
D
δ
λ δλ
ij i j
, =
ij i j
, =
1
n
= ,
(2)
где
0
1
() ()
n
λ
ij i j n
, =
∈
M L
.
Оператор
D
δ
является дифференцированием на
0
( )
M
n
L
.
Предложение 4.2.1.
Всякое дифференцирование
D
алгебры
0
( )
M
n
L
единственным образом представляется в виде
DD D
=
a
+ ,
δ
где – внутреннее дифференцирование,
D
a
D
δ
– дифференцирование,
определенное по правилу (2).
⊕ ∞
≅
Ω,
∑
M BL H
α α
( ( ))
Пусть алгебра фон Неймана типа I с центром
∈
α
I
L
( )
∞
Ω
D
LS M
( )
,
δ
– его сужение на
0
L
.
Тогда
и – дифференцирование на
δ
отображает каждое в себя, и поэтому
0
q L
α
δ
порождает
0
q L
α
α.
Положим
дифференцирование
α
δ
на для каждого
F IH
{ dim
α
=
α
∈
: = <
∞
.
α
}
Пусть
D
α
δ
(
α
∈
F
)
дифференцирование на матричной алгебре , определенное
по правилу (2). Для
0
q LS M M q L
() (
α α
≅
)
α
α
∈
I F
‚
положим
D
0
Положим
α
δ
≡
.
D x D x x x LS M
( ) ( ( )) ( ) ( )
(3)
α
δ δα α
= ,=
∈
.
Отображение
D LS M LS M
() ()
является дифференцированием на
δ
:
→
17
LS M
( )
.
Следующий результат является одним из основным результатов главы,
и дает общий вид дифференцирований алгебры локально измеримых
операторов относительно алгебр фон Неймана типа I, а также играет
ключевую роль при описании дифференцирований алгебр измеримых,
τ
-
измеримых и
τ
-компактных операторов относительно алгебр фон Неймана
типа I.
Теорема 4.2.4.
Пусть
M
– алгебра фон Неймана типа I. Всякое
D
LS M
(
)
дифференцирование на единственным образом представляется в виде
DD D
=
a
+ ,
δ
где – внутреннее дифференцирование и
D
a
D
δ
– дифференцирование вида (3).
Следствие 4.2.3.
Пусть
M
– алгебра фон Неймана типа I
∞
.
Тогда всякое
дифференцирование алгебры
LS M
( )
является внутренним. В третьем
параграфе четвертой главы изучаются дифференцирования на подалгебрах
алгебры локально измеримых операторов относительно алгебр фон Неймана
типа I.
Пусть
M
алгебра фон Неймана и
τ
– точный нормальный полуконечный
след на
M
.
Напомним, что замкнутый линейный оператор
x
называется
τ
-измеримым относительно алгебры фон Неймана
M
,
если
x
η
M
и
D
( )
x
–
область определение
x
,
является
τ
-плотной в
H
,
т.е.
D
( )
x
η
M
и для каждого
ε
>
0
существует проектор
p
∈
M
такое, что
p
( ) ()
H x
⊂
D
и
τ
( )
p
ε
⊥
<
. Множество
S M
(
,
τ
)
всех
τ
-измеримых операторов
относительно
M
является заполненной *-алгеброй в
S M
( )
.
Теорема 4.3.2.
Пусть
M
– алгебра фон Неймана типа I. Всякое
дифференцирование
D
на
S M
( )
или
S M
( ,)
τ
единственным образом
представляется в виде
DD D
=
a
+ ,
δ
где – внутреннее дифференцирование и
D
a
D
δ
– дифференцирование вида (3).
В алгебре
S M
(
,
τ
)
рассмотрим подмножество
0
S M
(
,
τ
)
состоящее из
операторов
x
таких, что для любого
ε
>
0
существует проектор
p
∈
P M
( )
с
τ
( )
p xp M
⊥
<
∞
,
∈
и
xp
<
ε.
18
0
S M
(
,
τ
)
является идеалом в
S M
( )
,
τ
и называется алгеброй
τ
-
компактных операторов.
Следующий результат является основным результатом параграфа.
Теорема 4.3.3.
Если
M
– алгебра фон Неймана типа I с центром
Z
,
то всякое
Z
-линейное дифференцирование алгебры
0
S M
(
,
τ
)
является
пространственным и порождается элементом из
S M
( ,)
τ
.
В четвертом параграфе четвертой главы изучается дифференцирования
некоммутативных алгебр Аренса.
Для
p
≥
1
положим
( ){ ( ) ( )
p p
L M x
SM x
,
τ ττ
=
∈
, : | | <
∞
}
.
(
p
L M
,
τ
–
банахово пространство, относительно
нормы
)
x x x LM
τ τ
/
= || ,
∈
, .
Тогда
1
( ( )) ( )
pp p
p
Рассмотрим
множество
, = ,
I
.
LM LM
ω
τ τ
() ()
p
p
≥
1
L M
(
ω
,
τ
является локально полной выпуклой метризуемой *-алгеброй
)
относительно топологии
t
,
порожденной системой норм
1
{ }
p p
≥
⋅
.
Алгебра
L M
(
ω
,
τ
)
называется (некоммутативной)
алгеброй Аренса
.
Введем обозначение
, = ,
I
,
LM LM
ω
τ τ
() ()
p
2
p
≥
2
и на множестве
)
2
L M
(
ω
,
τ
рассмотрим топологию
2
t
,
порожденную
системой норм
2
{ }
p p
≥
⋅
.
Предложение 4.4.4.
2
(( )
2
L M t
)
ω
,
τ
,
является полной метризуемой
локально выпуклой *-алгеброй.
Отметим, что при
τ
(1)
<
∞
имеет место равенство
2
LM LM
() ()
ω ω
,= ,
τ τ
,
и топология совпадает с топологией
2
t
t
.
На
2
M LM
(
ω
+ ,
τ
)
введем семейство норм
''
2
{ }
n n
≥
⋅
, положив
'' 0
1 2 1 21 2 2
inf{ ( )}
n n
x x x x x x x Mx LM
ω
τ
∞
= + := + ,
∈
,
∈
, ,
19
где
0
m
= : =, ,
∈
I
, .
n
x x n mx L M
τ
max{ 2 } ( )
m n
2
=
n
Пусть – топология на
)
0
t
2
M LM
(
ω
+ , ,
τ
порожденная семейством
норм
''
2
{ }
n n
≥
⋅
.
Предложение 4.4.6.
(
2
( )
0
M LM t
)
ω
+ , ,
τ
является локально
выпуклой полной метризуемой *-алгеброй. Более того, алгебра Аренса
L M
( )
ω
,
τ
является идеалом в
2
M LM
( )
ω
+ ,
τ
.
Основным результатом этого параграфа является следующая теорема,
которая дает полное описание дифференцирований на некоммутативных
алгебрах Аренса.
Теорема 4.4.3.
Пусть
M
– полуконечная алгебра фон Неймана с точным
нормальным полуконечным следом
τ
.
Тогда всякое дифференцирование
D
алгебры
L M
(
ω
,
τ
)
является пространственным, при этом оно имеет вид
D x ax xa x L M
( ) ( )
ω
=
−
,
∈
,
τ
для некоторого
2
a M LM
( )
ω
∈
+ ,
τ
.
Следствие 4.4.5.
Если
M
– абелева алгебра фон Неймана с точным
нормальным полуконечным следом
τ
,
то все дифференцирования алгебры
L
M
(
ω
,
τ
)
тождественно равны нулю.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В первой главе получено представление циклически компактных
множеств в виде измеримого расслоения компактных множеств и выяснена
структура
модулей
над
кольцом
0
L
измеримых функций, которые
представляются как измеримое расслоение конечномерных пространств.
Во второй главе получены векторные варианты теорем Банаха об
открытом операторе и Банаха – Штейнгауза о равномерной ограниченности, а
также доказан векторный вариант критерия Никольского фредгольмовости
ограниченных операторов.
В третьей главе изучены алгебры Банаха – Канторовича над кольцом
измеримых функций.
C
∗
Доказано, что всякая унитальная коммутативная -алгебра над
кольцом
0
L
,
изометрически
*
-изоморфна
алгебра всех непрерывных
сохряняющих перемешивания отображений из множества всех чистых
0
L
-
20
состояний в кольцо
0
L
.
Доказан векторный вариант классической теоремы Гельфанда –
Наймарка – Сигала
C
-алгебр над
∗
0
L
.
В четвертой главе найден общий вид дифференцирований алгебр всех
локально измеримых, измеримых и
τ
-измеримых операторов,
присоединенных к алгебрам фон Неймана типа I, а также найдены
необходимые и достаточные условие пространственности
дифференцирований алгебры всех
τ
-компактных операторов,
присоединенных к алгебрам фон Неймана типа I.
Дано полное описание дифференцирований некоммутативных алгебр
Аренса, ассоциированных с полуконечной алгеброй фон Неймана. Работа
носит теоретический характер. Результаты и методы, изложенные в
диссертации, могут быть использованы при различных исследованиях по
функциональному анализу, в теории операторных алгебр, математической
физике.
Автор выражает глубокую признательность своему научному
консультанту академику АН Республики Узбекистан, профессору Шавкату
Абдуллаевичу Аюпову за ценные советы и внимание к работе.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
I. Статьи, опубликованные в научных журналах:
1. Кудайбергенов К.К., Ганиев И.Г. Измеримые расслоения компактных
множеств // Узб. Мат. Жур. – Ташкент, 1999. – № 6. – C. 37-44. 2.
Кудайбергенов К. К. Измеримые расслоение непрерывных отображений
циклических компактов // Узб. Мат. Жур. – Ташкент, 2000. – № 3. – С. 7-14.
3. Ganiev I.G. Kudaybergenov K.K Measurable bundles of compact operators //
Methods of functional analysis and topology. – Kiev, 2001. – № 3 (7). – P. 1-
6.
4. Ганиев И.Г., Кудайбергенов К.К. Теорема Банаха об обратном операторе в
пространствах Банаха – Канторовича // Владикавказ. Мат. Жур. –
Владикавказ, 2004. – № 3 (6). – С. 21-25.
5. Ганиев И.Г. Кудайбергенов К.К. Конечномерные модули над кольцом
измеримых функций // Узб. Мат. Жур. – Ташкент, 2004. – № 4. – С. 3-9. 6.
Кудайбергенов К. К. Измеримые расслоения операторов с замкнутой
областью значений // Узб. Мат. Жур. – Ташкент, 2005. – № 3. – С. 54- 62.
7. Ганиев И. Г., Кудайбергенов К.К. Принцип равномерной ограниченности
Банаха – Штейнгауза для операторов в расширенных пространствах
Банаха – Канторовича над
0
L
// Математические труды.
21
– Новосибирск, 2006. – № 1 (9). – С. 21-33.
8. Кудайбергенов К. К. Теорема Гельфанда – Мазура для С*-алгебр над
кольцом измеримых функции // Владикавказ. Мат. Жур. – Владикавказ,
2006. – № 1 (8). – С. 45-49.
9. Кудайбергенов К. К. Измеримое расслоение интегральных операторов //
Узб. Мат. Жур. – Ташкент, 2006. – № 1. – C. 49-57.
10. Kudaybergenov K. K. Fredholm operators in Banach – Kantorovich spases //
Methods of functional analysis and topology, – Kiev, 2006. – № 2 (12). – P.
234-242.
*
C
11. Аюпов Ш. А., Кудайбергенов К. К. Дифференцирования -алгебр над
кольцом измеримых функции // Узб. Мат. Жур. – Ташкент, 2007. – № 1. –
С. 39-47.
12. Чилин В. И., Ганиев И. Г., Кудайбергенов К. К. Теорема Гельфанда –
*
C
Наймарка – Сигала для -алгебр над кольцом измеримых функции //
Владикавказ. Мат. Жур. – Владикавказ, 2007. – № 2 (9). – С. 33-39. 13.
Аюпов Ш. А., Кудайбергенов К. К. Дифференцирования алгебр Аренса //
Функциональный анализ и его приложения. – Москва, 2007. – № 4 (41). –
C. 70-72.
14. Albeverio S., Ayupov. Sh.A., Kudaybergenov K. K. Non commutative Arens
algebras and their derivations // Journal of Functional Analysis. –
Amsterdam, 2007. – № 1 (253). – P. 287-302.
15. Чилин В. И., Ганиев И. Г., Кудайбергенов К. К. Теорема Гельфанда –
*
C
Наймарка для коммутативных -алгебр над кольцом измеримых функции
// Известия ВУЗов. “Математика”. – Казань, 2008. – № 2 (58). – С. 60-68.
16. Albeverio S., Ayupov. Sh.A., Kudaybergenov K. K. Derivations on the
algebra of
τ
-compact operators affiliated with a type I von Neumann algebra
// Positivity, – Basel, 2008. – № 2 (12). – P. 375-386.
17. Albeverio S., Ayupov. Sh.A., Kudaybergenov K. K. Derivations on the
algebra of measurable operators affiliated with a type I von Neumann algebra
// Siberian Advances in Mathematics, – Novosibirsk, 2008. – № 2 (18). – P.
86-94.
18. Ayupov. Sh.A., Kudaybergenov K. K. Innerness of Derivations on
Subalgebras of Measurable Operators // Lobachevskii Journal of
Mathematics, – Kazan, 2008. – № 2 (29). – P. 60-67.
III. а) Работы, опубликованные в препринтах:
19. Albeverio S., Ayupov. Sh.A., Kudaybergenov K. K. Non commutative
Arens algebras and their derivations // SFB 611, Universitat Bonn, Preprint,
№ 290, – Bonn, 2006. – 18 p.
20. Albeverio S., Ayupov. Sh.A., Kudaybergenov K. K. Derivations on the
algebra of measurable operators affiliated with a type I von Neumann algebra
// SFB 611, Universitat Bonn, Preprint, № 301, – Bonn, 2006. – 14 p.
22
21. Albeverio S., Ayupov. Sh.A., Kudaybergenov K. K. Derivations on the
algebra of
τ
-compact operators affiliated with a type I von Neumann algebra
// SFB 611, Universitat Bonn, Preprint, № 324, – Bonn, 2007. – 13 p.
22. Albeverio S., Ayupov Sh. A., Kudaybergenov K. K., Description of
derivations on measurable operator algebras of type I // SFB 611, Universitat
Bonn, Preprint, № 361, – Bonn, 2007. – 14 p.
III. б) Работы, опубликованные в материалах и сборниках тезисов
конференции:
23. Аюпов Ш. А., Кудайбергенов К. К. Некоммутативные алгебры Аренса и
их дифференцирования // Современные проблемы и актуальные вопросы
функционального анализа: Тез. докл. Респ. науч. конф. 25 – 27 июня
2006. Нукус, 2006. – С. 6-8.
24. Ганиев И. Г., Кудайбергенов К. К. Конечномерные модули над кольцом
измеримых функции // Геометрия и анализ: Тез. докл. межд. науч. конф.
24 – 26 августа 2004. Ростов-на-Дону, 2004. – С. 92-94.
25. Ганиев И. Г., Кудайбергенов К. К. Представление некоммутативных
*
C
-алгебр над кольцом измеримых функции // Операторные Алгебры и
Квантовая Теория Вероятностей: Труды международной конференций. 8
– 10 сентября 2005. Ташкент, 2005. – С. 54-56.
26. Кудайбергенов К. К. Измеримые расслоения фредгольмовых операторов
// Дифференциальные уравнения и их приложения: Тез. докл. Респ. науч.
конф. 24 – 26 июня 2004. Нукус, 2004. – С. 42-44.
27. Кудайбергенов К. К. Фредгольмовые операторы в пространствах Банаха
– Канторовича // Тез. докл. Респ. науч. конф. 24 – 26 декабря 2004. –
Ташкент, 2004. – С. 43-44.
*
C
28. Кудайбергенов К. К. Дифференцирования -алгебр над кольцом
измеримых функций // Современные проблемы и актуальные вопросы
функционального анализа: Тез. докл. Респ. науч. конф. 25 – 27 июня
2005. – Нукус, 2006. – С. 27-28.
29. Кудайбергенов К. К. Спектр элементов алгебры Банаха – Канторовича
функции // Тихонов и современная математика: Тез. докл. межд. науч.
конф. 19 – 25 июня 2006. – Москва, 2006. – С. 158-159.
30. Кудайбергенов К. К. Измеримое расслоение интегральных операторов //
Тез. докл. Респ. науч. конф. 8 – 10 июня 2006. – Хива, 2006. – С. 15. 31.
Кудайбергенов К. К. Спектр элементов алгебры Банаха — Канторовича
функции // Исследования по математическому анализу, математическому
моделированию и информатике: Материалы международной научной
конференций. – Владикавказ: Институт прикладной математики и
информатики ВНЦ РАН, 2007. – С. 50-59.
23
Физика-математика фанлари доктори илмий даражасига талабгор
Кудайбергенов Каримберген Кадирбергеновичнинг 01.01.01 – математик
анализ ихтисослиги бўйича «Чизиқли операторлар ўлчовли тахламалари ва
уларнинг оператор алгебралари ва дифференциаллашларга тадбиқи»
мавзусидаги диссертациянинг
РЕЗЮМЕСИ
Таянч сўзлар
: дифференциаллаш, ички дифференциаллаш, лифтинг,
ўлчов, Банах – Канторович модули, фон Нейман алгебраси, ўлчовли оператор,
Аренс алгебралари.
*
С
Тадқиқот объектлари:
Банах – Канторович модули, -алгебралар,
ўлчовли
операторлар
алгебраси,
нокоммутатив
Аренс
алгебралари,
дифференциаллашлар.
*
С
Ишнинг
мақсади:
Ўлчовли
функциялар
ҳалқаси
устидаги
-
алгебраларни Гильберт – Капланский модулида аниқланган операторлар
алгебраси кўринишида ифодалаш ва фон Нейман алгебраларига нисбатан
локал ўлчовли операторлар алгебраси ва унинг баьзи алгебраостилари
дифференциаллашларини тавсифлаш
Тадқиқот методлари:
ўлчовли банах тахламалари, функционал анализ,
оператор алгебралар назариясининг усулларидан фойдаланилди.
Олинган
натижалар ва уларнинг янгилиги:
0
L
устидаги Банах – Канторович
модулидаги ҳар бир циклик компакт оператор компакт чизиқли
операторларнинг ўлчовли тахламаси кўринишида тасвирланиши
∇
исботланган; -фредгольм операторлари Фредгольм операторлари ўлчовли
тахламаси кўринишида тасвирланиши исботланган; ўлчовли функциялар
*
С
ҳалқаси устидаги -алгебраларни Гильберт – Капланский модулида аниқланган
операторлар алгебраси кўринишида ифодаланиши исботланган; фон Нейман
алгебраларига бириктирилган локал ўлчовли операторлар алгебраси ва унинг
бази алгебраостилари дифференциаллашларининг умумий кўриниши
топилган; фон Нейман алгебралари ва аниқ нормал ярим чекли из билан
ассоциирланган нокоммутатив Аренс алгебралари дифференциаллашлари
тўлиқ тавсифланган.
Амалий аҳамияти:
иш назарий характерга эга.
Тадбиқ этиш даражаси ва иқтисодий самарадорлиги:
Ишда
келтирилган натижалар ва методлар функционал анализ ва операторлар
алгебралари назарияларидан махсус курслар ўқишда қўлланилиши мумкин.
Қўлланиш соҳаси:
ўлчовлар назарияси, функционал анализ,
операторлар алгебралари назарияси, математик физика ва уларнинг
тадбиқлари.
24
РЕЗЮМЕ
диссертации Кудайбергенова Каримбергена Кадирбергеновича на тему
«Измеримые расслоения линейных операторов и их приложения к
операторным алгебрам и дифференцированиям» на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 –
математический анализ.
Ключевые
слова:
дифференцирование,
внутреннее
дифференцирование, лифтинг, мера, модуль Банаха – Канторовича, алгебра
фон Неймана, измеримый оператор, алгебра Аренса.
*
С
Объекты исследования:
модули Банаха – Канторовича, -алгебры,
алгебра
измеримых
операторов,
некоммутативные
алгебры
Аренса,
дифференцирования.
*
С
Цель работы:
Реализация -алгебр над кольцом измеримых функций в
виде алгебр операторов на модулях Гильберта – Капланского, описание
дифференцирований алгебры локально измеримых операторов,
присоединенных к алгебре фон Неймана и её некоторых подалгебр.
Метод
исследования:
применены
общие
методы
измеримых
банаховых расслоений, функционального анализа, теории операторных
алгебр.
Полученные результаты и их новизна:
Доказано, что всякий
циклически компактный оператор на модуле Банаха – Канторовича над
0
L
представляется в виде измеримого расслоения компактных линейных
операторов; доказано, что всякий
∇
-фредгольмов оператор представляется в
виде измеримого расслоения Фредгольмовых операторов; доказано, что
всякая -алгебра над
*
С
0
L
изометрически *-изоморфна замкнутой подалгебре
алгебры всех
0
L
-ограниченных
0
L
-линейных операторов на модуле Гильберта
– Капланского над
0
L
; найден общий дифференцирований алгебры локально
измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана типа I и её
некоторых подалгебр; получено полное описание дифференцирований
некоммутативных алгебр Аренса, ассоциированных с алгеброй фон Неймана
и точным нормальным полуконечным следом.
Практическая значимость:
работа носит теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность:
Результаты и методы
представленные в работе могут быть использованы при чтении специальных
курсов по функциональному анализу и теорий операторных алгебр.
Область применения:
теория мер, функциональный анализ, теория
операторных алгебр, математическая физика и их приложения.
25
RESUME
Thesis of Kudaybergenov Karimbergen Kadirbergenovich on the scientific degree
competition of the doctor of physical and mathematical sciences, speciality
01.01.01 – mathematical analysis
subject:
«Measurable bundles of linear operators and their applications to operator
algebras and derivations»
.
Key words:
derivation, inner derivation, lifting, Banach – Kantorovich module,
von Neumann algebra, measurable operator, Arens algebra.
*
С
Subject of the inquiry:
Banach – Kantorovich module, -algebras, measurable
Banach bundles, non commutative Arens algebras , derivation.
Aim of the
inquiry:
the realization of -algebras over
*
С
0
L
as algebras of operators on a
Hilbert – Kaplansky module and description of derivation of the algebras of locally
measurable operators affiliated with von Neumann algebra and of its subalgebras.
Method of inquiry:
In the work methods of measurable banach Bundles, of
functional analysis, of theory operator algebras are used.
The results achieved and their novelty:
It is proved that any cyclically compact operator on a Banach – Kantorovich
module can be represented as a measurable bundle of compact operators; it is
proved that every
∇
-Fredholm operator can be represented as a measurable bundle
of Fredholm operators; it is proved that every -algebras over
*
С
0
L
is isometrically
*-isomorphic to a closed subalgebra of the algebra of all
0
L
-bounded
0
L
-linear
operators on a Hilbert – Kaplansky module; a general form of derivations of the
algebras of locally measurable operators affiliated with a von Neumann algebra is
given; a complete description of derivations on the non commutative Arens
algebras associated with von Neumann algebra and faithful normal semi-finite
trace is obtained.
Practical value
: the work has a theoretical character.
Degree of embed and economic effectivity:
Results and methods
introduced in the work can be used in special courses on functional analysis and
theory of operator algebras.
Sphere of usage:
the measure theory, functional analysis, theory of operator
algebras, mathematical physics.
26
