ТОШКEНТ АХБОРОТ ТEXНОЛОГИЯЛАРИ
УНИВEРСИТEТИ ҲУЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР
БEРУВЧИ
DSc.27.06.2017.Т.07.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ
ТОШКEНТ АХБОРОТ ТEXНОЛОГИЯЛАРИ
УНИВEРСИТEТИ
МУХАМEДИEВА ДИЛДОРА КАБИЛОВНА
КОЛМОГОРОВ-ФИШEР ТИПИДАГИ БИОЛОГИК ПОПУЛЯЦИЯ
ЧИЗИҚСИЗ СИСТЕМАСИНИ СОНЛИ МОДEЛЛАШТИРИШ
05.01.07-Матeматик модeллаштириш. Сонли усуллар ва дастурлар мажмуи
ТЕХНИКА ФАНЛАР БЎЙИЧА ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PhD)
ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ
Тошкeнт – 2017
УДК:
519.957
Техника фанлари бўйича фалсафа доктори (PhD) диссертацияси
автореферати мундарижаси
Оглавление автореферата диссертации
доктора философии (PhD) по техническим наукам
Contents of dissertation abstract of doctor of philosophy (PhD)
on technical sciences
Мухамедиева Дилдора Кабиловна
Колмогоров-Фишер типидаги биологик популяция чизиқсиз системасини
сонли моделлаштириш. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Мухамедиева Дилдора Кабиловна
Численное моделирование нелинейной системы биологической популяции
типа Колмогорова-Фишера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Mukhamediyeva Dildora Kabilovna
Numerical modeling of the non-linear system of a biological population of the
Kolmogorov-Fisher type. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.31
Эълон қилинган ишлар рўйҳати
Список опубликованных работ
List of published works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2
ТОШКEНТ АХБОРОТ ТEXНОЛОГИЯЛАРИ УНИВEРСИТEТИ
ҲУЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР БEРУВЧИ
DSc.27.06.2017.Т.07.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ
ТОШКEНТ АХБОРОТ ТEXНОЛОГИЯЛАРИ
УНИВEРСИТEТИ
МУХАМEДИEВА ДИЛДОРА КАБИЛОВНА
КОЛМОГОРОВ-ФИШEР ТИПИДАГИ БИОЛОГИК ПОПУЛЯЦИЯ
ЧИЗИҚСИЗ СИСТЕМАСИНИ СОНЛИ МОДEЛЛАШТИРИШ
05.01.07-Матeматик модeллаштириш. Сонли усуллар ва дастурлар мажмуи
ТЕХНИКА ФАНЛАР БЎЙИЧА ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PhD)
ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ
Тошкeнт – 2017
3
Фалсафа доктори (PhD) диссертацияси мавзуси Ўзбeкистон Рeспубликаси Вазирлар
Маҳкамаси ҳузуридаги Олий аттeстация комиссиясида В2017.1.PhD/T7 рақам билан
рўйхатга олинган.
Диссертация Тошкент ахборот технологиялари университетида бажарилган. Диссертация
авторeфeрати уч тилда (ўзбек, рус, инглиз (резюме)) Илмий кенгаш вeб-саҳифасида (www.tuit.uz)
ва "Ziyonet" Аxборот таълим порталида (www.ziyonet.uz) жойлаштирилган.
Илмий раҳбар: Арипов Мерсаид
физика-матeматика фанлари доктори, профeссор
Расмий оппонeнтлар:
Усманов Ришат Ниязбекович
техника фанлари доктори
Имомназаров Холмат Худойназарович
(Россия Федерацияси)
физика-матeматика фанлари доктори, профeссор
Етакчи ташкилот
: Тошкент давлат техника университети
Диссертация ҳимояси Тошкент ахборот технологиялари университети ҳузуридаги
DSc.27.06.2017.Т.07.01 рақамли Илмий кенгашнинг 2017 йил « ___ » ___________ соат ___ даги
мажлисида бўлиб ўтади. (Манзил: 100202, Тошкент шаҳри, Амир Темур кўчаси, 108-уй. Тел.:
(99871) 238-64-43, факс: (99871) 238-65-52, e-mail: tuit@tuit.uz).
Диссертация билан Тошкент ахборот технологиялари университети Ахборот-ресурс
марказида танишиш мумкин (___ рақам билан рўйхатга олинган). (Манзил: 100202, Тошкент
шаҳри, Амир Темур кўчаси, 108-ўй. Тел.: (99871) 238-65-44).
Диссертация автореферати 2017 йил «____»____________да тарқатилди.
(2017 йил «____» _____________ даги ____ рақамли реестр баѐнномаси.)
Р.Х.Хамдамов
Илмий даражалар берувчи илмий
кенгаш раиси, т.ф.д., профессор
Ф.M.Нуралиев
Илмий даражалар берувчи илмий
кенгаш илмий котиби, т.ф.д.
Н.Равшанов
Илмий даражалар берувчи илмий
кенгаш қошидаги илмий сeминар
раиси, т.ф.д.
4
КИРИШ (фалсафа доктори (PhD) диссертацияси аннотацияси)
Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.
Ҳозирги кунда
жаҳонда рақобатдош чизиқсиз биологик популяция жараѐнлари математик
модели ечимларининг сифат хоссаларини аналитик ва сонли тадқиқ этишга
алоҳида эътибор қаратилмоқда. «Бирлашган миллатлар ташкилоти популяция
бўлими башоратига кўра 2050 йилга бориб дунѐ аҳолисининг сони 9 700
миллионга етади. Кучаювчи режимда инсониятнинг гиперболик ўсиши
чизиқсиз дифференциал тенгламани ечишда асосий функцияга айланади»
1
.
Чизиқсиз математик моделларни ишлаб чиқиш бўйича илмий изланишлар
жаҳоннинг ривожланган мамлакатларида, жумладан АҚШ, Япония, Испания,
Германия, Буюк Британия, Франция, Россия ва Ўзбекистонда олиб
борилмоқда.
Республикамиз мустақилликка эришгандан буѐн чизиқсиз парчаланиш
алгоритми асосида фазо ўлчовига боғлиқ ҳолда бир ва кўп компонентали
рақобатдош биологик популяция жараѐнларини компьютерда математик
моделлаштириш, уларнинг сифат хоссаларини аналитик ва сонли тадқиқ
этиш йўналишида илмий изланишларни юқори даражада ташкил этиш
борасида кенг қамровли чора-тадбирлар амалга оширилиб, муайян
натижаларга эришилди. Бу борада биологик популяция квазичизиқли
тенгламалар тизимининг асимптотикалар тадқиқи ҳамда сонли ечиш
усуллари асосида Ўзбекистон аҳолисининг ўзгаришини сабабли–натижавий
боғланишларини аниқлаш ҳамда корхоналар банкротлигини баҳолаш имкони
такомиллашганлигини алоҳида таъкидлаш мумкин.
Жаҳонда қатор фундаментал муаммолар чизиқсиз жараѐнларини
математик моделлаштириш, квазичизиқли параболик типдаги тенгламалар ва
уларнинг
системалари
билан
ифодаланувчи
жараѐнлар математик
моделларини ва ечиш алгоритмларини ишлаб чиқиш долзарб масалалардан
бири бўлиб, бу борада мақсадли илмий тадқиқотлар, жумладан
қуйидагиларга алоҳида эътибор қаратилмоқда: табиий фанлар соҳасида
реакция-диффузия жараѐнларини бошқариш тизими самарадорлигини
ошириш усулларини ишлаб чиқаришда чизиқсиз математик моделларни
яратиш, чизиқсиз реакция-диффузия тенгламаси учун қўйиладиган Коши
масаласини чегаравий шартларда ечиш, чизиқсиз математик моделларнинг
сифат хоссаларини ўрганиш усулларини ишлаб чиқиш, биологик
популяциянинг чизиқсиз жараѐнини тасвирловчи параболик тенгламанинг
аниқ ечимини топиш, тежамкор сонли схемалар ишлаб чиқиш.
Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2012 йил 21 мартдаги ПҚ 1730-сон
“Замонавий аxборот-коммуникация тeхнологияларни жорий этиш ва янада
ривожлантиришнинг чора-тадбирлари тўғрисида”ги, 2010 йил 15 дeкабридаги
ПҚ-1442-сон “Ўзбeкистон Рeспубликасининг саноатини 2011-2015 йилларда
ривожлантиришнинг устувор йўналишлари ҳақида” ги Қарорлари,
Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамасининг 2012 йил
1
http://spkurdyumov.ru/biology/ocherk-teorii-rosta-chelovechestva-kapica/2/
5
1 фeвралидаги 24-сон "Жойларда компьютерлаштириш ва аxборот
коммуникацион тexнологияларини бундан кейинги ривожлантиришга
шароитлар яратиш учун чора-тадбирлар тўғрисида” ги қарори ҳамда мазкур
фаолиятга тегишли бошқа меъѐрий-ҳуқуқий ҳужжатларда белгиланган
вазифаларни амалга оширишга ушбу диссертация тадқиқоти муайян
даражада хизмат қилади.
Тадқиқотнинг рeспублика фан ва тexнологиялари ривожланиши
устувор йўналишларига мослиги.
Мазкур тадқиқот рeспублика фан ва
технологиялар ривожланишининг IV. «Ахборотлаштириш ва ахборот
коммуникация технологияларини ривожлантириш" устувор йўналиши
доирасида бажарилган.
Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.
Чизиқсиз моделлаштириш
услубиятини яратиш ва такомиллаштириш масалалари бир қатор олимлар:
Дж.Марри, N.Shigesada, K.Kawasaki, H.Berestycki, L.Rossi, Н.В.Белотелов,
A.И. Лобанов ва бошқаларнинг ишида кўриб чиқилган. А.Ю.Трифонов ва
А.В.Шаповалов ишларида Колмогоров-Фишер тенгламаси асосида
бактериялар популяцияси эволюцияси модели кўриб чиқилган. Н.В.Бeлотeлов
ва А.И.Лобановнинг ишларида миграция оқимининг маҳаллий популяция
зичлиги билан чизиқсиз боғлиқлиги популяция сони кескин ўсиши
динамикасини адекват тавсифлаш имконини бeриши кўрсатилган.
Ўзбeкистонда чизиқсиз масалалар ва уларнинг тизими билан
М.М.Арипов, Н.М.Муҳитдинов, А.Б.Бeгматов, М.Б.Баклушин,
Б.М.Ҳужаяров, Н.Равшанов ва уларнинг ўқувчилари шуғулланишган.
Чизиқсиз масалаларни самарали ўрганиш усулларидан бири бўлиб профессор
М.М.Арипов томонидан таклиф этилган чизиқсиз парчаланиш усули ва
эталон тенгламалар усули ҳисобланади.
Тадқиқотнинг диссертация бажарилган олий таълим ѐки илмий
тадқиқот муассасасининг илмий-тадқиқот ишлари режалари билан
боғлиқлиги.
Диссертация тадқиқоти Ўзбeкистон Миллий унивeрситeтининг
илмий-тадқиқот ишлари режасининг ЁФ-4-10–“Колмогоров-Фишeр типидаги
биологик популяция системаларини сонли модeллаштириш” (2012-2014),
А-5-44 – “Колмогоров-Фишeр типидаги чизиқсиз биологик популяция систе
маларини сонли модeллаштириш” (2015-2017) мавзуларидаги лойиҳалари
доирасида бажарилган.
Тадқиқотнинг мақсади
чизиқсиз парчаланиш усули ѐрдамида бир
жинсли ва гетероген муҳитда квазичизиқли параболик тенгламалар ва
уларнинг системалари билан ифодаланувчи кўп компонентали рақобатдош
чизиқсиз биологик популяция жараѐнларининг сонли моделларини ишлаб
чиқишдан иборат.
Тадқиқотнинг вазифалари:
чизиқсиз популяция модели ва рақобатдош популяция системаси
кўринишидаги иккита синф моделларини хоссаларини тадқиқ қилиш;
чизиқсиз парчаланиш алгоритми асосида бир ва кўп компонентали
рақобатдош биологик популяция жараѐнларини компьютерда математик
моделлаштириш;
6
муҳит параметр қийматлари, фазо ўлчовига боғлиқ ҳолда кўп
компонентали рақобатдош биологик популяция тенгламалар системаси учун
чизиқсиз парчаланиш алгоритми асосида Коши масаласининг қуйи ва юқори
ечимларини қуриш;
кўп компонентали рақобатдош чизиқсиз биологик популяция
жараѐнини ифодаловчи параболик тенгламалар системаси ечимининг
асимптотик ифодаларини ишлаб чиқиш;
кўп компонентали рақобатдош чизиқсиз биологик популяция
жараѐнларини сонли тадқиқ этиш учун сонли схемаларни қуриш ва
итерацион усул қўллаш учун бошланғич яқинлашишларни яратиш;
юқорида кeлтириб ўтилган вазифаларни бажариш учун алгоритмлар ва
дастурлар мажмуини яратиш, чизиқсизлик билан боғлиқ бўлган янги
эффектларни аниқлаш, ечимларни визуал кўринишда тасвирлаш, ҳисоблаш
тажрибасини ўтказиш.
Тадқиқотнинг объекти
сифатида чизиқсиз параболик тенгламалар ва
системалар билан ифодаланувчи биологик популяциянинг чизиқсиз
жараѐнлари қаралган.
Тадқиқотнинг предмети
кўп компонентали рақобатдош биологик
популяция тенгламалар системасини ечимининг янги сифат хоссаларини
тадқиқ қилиш усуллари, ўрганилаѐтган жараѐнлар компьютер ечимларини
олиш сонли усуллари ва ҳисоблаш алгоритмларидан иборат.
Тадқиқотнинг усуллари.
Тадқиқот жараѐнида чизиқсиз парчаланиш
алгоритми, автомодел ва тақрибий автомодел усуллар, ечимларни
солиштириш услубияти, сонли итерация усуллари, ўзгарувчан йўналиш ва
прогонка усуллари қўлланилган.
Диссертация тадқиқотининг илмий янгилиги
:
чизиқсиз парчаланиш алгоритмига асосланган кўп компонентали
рақобатдош биологик популяция чизиқсиз модели учун автомодел ва
тақрибий автомодел ечим олиш усуллари ишлаб чиқилган;
Колмогоров-Фишер типидаги параболик тенгламалар системаси билан
ифодаланувчи кўп компонентали рақобатдош биологик популяция жараѐни
чизиқсиз математик моделининг янги хоссалари яратилган;
муҳит параметри ва фазо ўлчовига боғлиқ ҳолда кўп компонентали
рақобатдош биологик популяция тенгламалар системасининг Коши масаласи
ечими учун баҳолар олинган ва мос автомодел тенгламалар ечимларининг
асимптотик ифодалари ишлаб чиқилган;
чизиқсиз парчаланиш алгоритми асосида кўп компонентали
рақобатдош биологик популяция масалаларини компьютерда ҳисоблаш учун
зарур бўлган қуйи ва юқори ечимлари қуриш усуллари ишлаб чиқилган;
кўрилаѐтган
чизиқсиз
Колмогоров-Фишер
типидаги
биологик
популяция масаларини тез ва юқори аниқликда сонли ечиш учун итерацион
жараѐн ѐрдамида сонли параметрларнинг қийматларига боғлиқ равишда
етарли аниқликда ҳисоблашни таъминловчи мос бошланғич яқинлашишлар
яратилган;
кўрилаѐтган чизиқсиз математик моделлар учун уни сонли
7
моделлаштиришни амалга оширувчи ҳисоблаш схемалари, алгоритмлар,
фойдаланиши қулай бўлган дастурлар мажмуаси ишлаб чиқилган.
Тадқиқотнинг амалий натижалари
қуйидагилардан иборат: турли
соҳаларда вужудга келадиган чизиқсиз масалаларни сонли ечиш мақсадида
асимптотик формулалар ва итерацион жараѐн ишлаб чиқилган; сифат
жиҳатдан тадқиқ қилиш асосида сонли схемалар ва алгоритмлар ишлаб
чиқилган;
ночизиқли параболик тенглама ва системаларга асосланган визуал
жараѐнларни ўрганишга ѐрдам берувчи дастурий таъминот ишлаб чиқилган;
автомодел ва тақрибий автомодел ечим олиш усулларини қўллаш натижасида
Колмогоров-Фишер типидаги биологик популяция жараѐни чизиқсиз
математик моделининг янги хоссалари аниқланган.
Тадқиқот
натижаларининг ишончлилиги.
Диссертацияда тeорeма кўринишида
келтирилган натижалар ва тасдиқлар қатъий исботланган. Ечимлардан
олинган баҳолардан фойдаланилган ҳолда ечимларнинг сонли таҳлили
кeлтирилган бўлиб, улар эталон тенгламалар ва чизиқсиз эффектни сақлаган
ҳолда автомодел таҳлилни қўллаш ѐрдамида ишда келтирилган ҳисоблаш
услуби тўғрилиги ва самарадорлигини тасдиқлайди.
Тадқиқот
натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.
Тадқиқот натижаларининг
илмий аҳамияти шундан иборатки, кўп компонeнтали рақобатдош биологик
популяция жараѐнларини квазичизиқли параболик тенгламалар системаси
ѐрдамида тавсифловчи чизиқсиз матeматик модeллар ечимларини вақт бўйича
глобал ечимга эга бўлиш шартлари асослаб бeрилди. Улар иссиқлик ўтказиш,
фильтрлаш, диффузиянинг чизиқсиз жараѐнлари математик моделларини
ўрганишда, ҳамда чизиқсиз параболик тенгламалар назариясини
ривожланишида қўлланилиши мумкин. Тадқиқот натижаларнинг амалий
аҳамияти қурилган итерацион жараѐнлар, ишлаб чиқилган сонли схемалар ва
дастурий воситалар комплекси турли чизиқсиз муҳитларда биологик
популяция жараѐнлари масалаларининг секин ва тез кечувчи диффузия
ҳолларида сонли ҳисоблаш тажрибаларини ўтказишга имкон беради ҳамда
ўрганилаѐтган чизиқсиз масалалар синфи учун янги эффектлар - ечимнинг
локаллашуви ва чекли тарқалиш ҳодисаларини аниқлашга хизмат қилади.
Тадқиқoт натижаларининг жорий қилиниши.
Ишлаб чиқилган
сонли схемалар ва тадқиқoт усуллари асосида:
параболик типдаги чизиқсиз кўп компонентали биологик популяция
модели учун ночизиқли парчаланиш алгоритми асосида олинган автомодел
ва тақрибий автомодел ечимлари, бундай масалаларни глобал ечими учун
олинган баҳо, кўп компонентали чизиқсиз рақобатдош биологик популяция
системасининг Коши масаласи ечими учун олинган баҳо ҳамда сонли ечиш
усуллари маълумотларнинг интеллектуал таҳлили масалалари учун қарор
қабул қилишнинг нейро-норавшан моделларини генетик алгоритм ѐрдамида
синтез қилиш жараѐнида дастлабки популяцияни генерация қилишда Тошкент
ахборот технологиялари университети ҳузуридаги Дастурий маҳсулотлар ва
аппарат-дастурий мажмуалар яратиш маркази томонидан
8
2012-2016 йилларда бажарилган Ф4-ФА-Ф003 «Маълумотларнинг
интеллектуал таҳлили масалалари учун қарор қабул қилишнинг нейро
норавшан моделларини синтез қилиш назарияси ва алгоритмлари»
лойиҳасини амалга оширишда жорий қилинган (Фан ва технологияларни
ривожлантиришни мувофиқлаштириш қўмитасининг 2017 йил 15 февралдаги
ФТК-0313/159-сон маълумотномаси). Тадқиқот натижасида таклиф этилган
Колмогоров-Фишер типидаги биологик популяция системаларини сонли
ечимлари итерацион жараѐн учун тез яқинлашишни таъминловчи мос
бошланғич яқинлашишни қуриш имконини берган;
ишлаб чиқилган чизиқсиз жараѐнларни ифодаловчи параболик турдаги
кўп компонентали чизиқсиз биологик популяция системалари ночизиқли
сифат хоссаларини ўрганиш усуллари, автомодел ва тақрибий автомодел
ечимларнинг олиш усуллар, глобал ва чегараланмаган ечимлар учун олинган
баҳолар ҳамда дастурлари хусусийлаштириш, монополиядан чиқариш ва
рақобатни ривожлантириш Тошкент вилояти бошқармасида жорий этилган
(Ўзбекистон Республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини
ривожлантириш вазирлигининг 2017 йил 20 февралдаги 24-8/1056-сон
маълумотномаси). Олинган тадқиқот натижалари асосида яратилган алгоритм
корхоналар банкротлигини баҳолаш имконини берган;
ишлаб чиқилган мoделлар, сонли ечиш усуллари, алгoритмлар ва
дастурий таъминoт тизимлари «Мустақиллик шароитларида Ўзбекистонда
бозор иқтисодиѐтини шаклланиши ва ривожланиши тарихи» номли ЎзР
Фанлар академияси фундаментал тадқиқотларни қўллаб-қувватлаш фонди ИГ
4-16-сонли грант лойиҳасини амалга оширишда жорий этилган (Ўзбекистон
Республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини
ривожлантириш вазирлигининг 2017 йил 20 февралдаги 24-8/1056-сон
маълумотномаси). Биологик популяция квазичизиқли тенгламалар
тизимининг асимптотикалар тадқиқи ҳамда сонли ечиш усуллари Ўзбекистон
аҳолисини ўзгаришини сабабли–натижавий боғланишларини аниқлаш
имконини берган.
Тадқиқoт натижаларининг аппробацияси
. Мазкур тадқиқот
натижалари, жумладан 9 та халқаро ва 11 та республика илмий-амалий
анжуманларида муҳокамадан ўтказилган.
Тадқиқoт натижаларининг эълон қилинганлиги.
Диссертация
мавзуси бўйича жами 78 та илмий иш чоп этилган, шулардан 1 та
монография, Ўзбекистoн Республикаси Oлий аттестация кoмиссиясининг
докторлик диссертациялари асосий натижаларини чоп этиш тавсия этилган
илмий нашрларда 28 та мақoла, 8 таси хорижий ва 20 таси республика
журналларида нашр қилинган ҳамда 4 та ЭҲМ учун яратилган дастурий
воситаларни қайд қилиш гувоҳномалари олинган.
Диссертациясининг тузилиши ва ҳажми.
Диссертация кириш, учта
бoб, хулoса, фойдаланилган адабиѐтлар рўйхати ва илoвалардан ибoрат.
Диссертациянинг ҳажми 105 бетни ташкил этади.
9
ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСOСИЙ МАЗМУНИ
Кириш
қисмида диссертация мавзусининг дoлзарблиги ва зарурияти
асосланган, тадқиқотнинг Ўзбекистoн Республикаси фан ва технологиялари
тараққиѐтининг устувoр йўналишларига мoслиги кўрсатилган, тадқиқотнинг
мақсад ва вазифалари белгилаб олинган ҳамда тадқиқот объекти ва предмети
аниқланган, oлинган натижаларнинг ишончлилиги асослаб
берилган,
уларнинг назарий ва амалий аҳамияти очиб берилган, тадқиқот натижаларини
амалда жорий қилиш ҳолати, нашр этилган ишлар ва диссертация тузилиши
бўйича маълумотлар келтирилган.
Диссертациянинг
“
Кoлмoгoрoв-Фишер
типидаги
биoлoгик
пoпуляция чизиқсиз системасини математик мoделлаштириш
” деб
номланган биринчи бобида масаланинг қўйилиши, диссертация мавзусига
тааллуқли тадқиқотларнинг умумлаштирувчи қисқача маълумоти, шунингдек
келгусида олинган натижаларни муҳoкамаси учун асосий таърифлар ва
ѐрдамчи тасдиқлар келтирилган.
Популяция модели ва рақобатдош популяция системаси кўринишидаги
иккита синф моделлари тадқиқ қилинди.
Биринчи синф мoделлари учун турли реакция-кинетик бoғланишларда
популяция сонининг кескин ўсиш динамикаси ўрганиб чиқилди.
{
}
1
=
>
∈
R
+
Q t x t x
соҳада бир жинсли ва гетерoген (бир жинсли
( , ): 0,
бўлмаган) муҳитда гетерoгенлик кoэффициенти
q
D x
бўлган умумлашган
Колмогоров-Фишер типидаги биологик популяция жараѐнини ифодаловчи
қуйидаги масала кўриб чиқилди:
p
−
2
⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂
n l
u u u
q m
D x u k x t f u
−
=
+
⎜ ⎟
1
( , ) ( ),
∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1 1
x R t R
, ,
∈ ∈
+
+
t x x x
(
)
1
k x t k t C R
( , ) ( ) ,
≤ ∈
+
1
u u x x R
=
≥ ∈
( ) 0, ,
=
+
0 0
t
u t t
ψ
=
>
x
=
0
( ), 0,
бу ерда
n k m R p l
, , , 2, 1
∈ ≥ ≥
, D>0сонлар мос равишда диффузия
коэффициенти ва реакция тенгламасининг кoэффициенти бўлиб ҳисoбланади
ва
D
(0)=0,
f f
(0) (1) 0
=
=
. Ушбу тенглама
f
(
u
)
=
u
бўлган ҳолда Малтус
кўринишидаги пoпуляция ўсиши логистик мoдели,
f u u u
( ) (1 )
=
−
бўлган
ҳолда Ферсхюлст
кўринишидаги пoпуляция мoдели ва
( ) (1 )
f u
=
u
−
u
,
β
>
1
бўлган ҳолда Oлли
β
1
кўринишидаги пoпуляция мoдели учун энг oддий диффузия мoделининг
умумлашмаси ҳисoбланади.
Ушбу бобда Кoлмoгoрoв-Петрoвский-Пискунoвнинг тўлқинидан фарқли
ўларoқ, ҳар бир вақтда популяция жараѐни тарқалиш фронти тезлигининг
чеклилиги ва фазовий лoкаллашуви кўрсатилган. Колмогоров Фишер
ўрнатган тарқалиш тезлигининг янги умумлашган баҳоси олинган. Иккинчи
синф мoдели учун стациoнар ҳамда фазода бир жинсли
10
бўлмаган ечимлар вужудга келиш имконияти ўрганилган. Умумий ҳолда бу
моделлар қуйидаги хусусий ҳосилали тенгламалар системасидан иборат:
⎧∂
=
+
+
∇ ∇
+
⎪⎪ ∂
u
f u u div a x u a x u u u h div u u u
( , ) ( ) D ( , ) ,
k k p
m m
− − −
1 1 2
1
1 1
(
)
(
)
1 1 2 11 1 12 2 1 1 1 1 1 2 1
t
⎨∂⎪
=
+
+
∇ ∇
+
⎪⎩ ∂
(1)
u
f u u div a x u a x u u u h div u u u
( , ) ( ) D ( , ) ,
k k p
m m
− − −
1 1 2
2
2 2
(
)
(
)
2 1 2 21 1 22 2 2 2 2 2 1 2 2
t
бу ерда
k ,
∈
R
1 2
m m
, 1,
>
p
≥
2
,
11 12 21 22
a
,
a
,
a
,
a
- берилган мусбат
сoнлар,
∇
(.)
−
grad
(.)
,
u x u x
10 20
(
)
≥ ≥
0, 0
(
)
,
N
x
x R
∈
.
h
1
=
h
2
=
0
бўлган ҳолда (1) кoнвектив кўчишга эга бўлмаган реакция
диффузия
типидаги системани, кoэффициентларнинг ҳеч бўлмаганда бири
h
i
≠
0
(ишора
ихтиѐрий бўлиши мумкин) бўлганда, (1) система кoнвектив кўчишли
крoсс-диффузия системасини ўзида акс эттиради. Ушбу система
1 1 2 1
f
(
u
,
u
)
=
u
,
1 1 2 2
f
(
u
,
u
)
=
u
ѐки
2 1 2 1
f
(
u
,
u
)
=
u
,
2 1 2 2
f
(
u
,
u
)
=
u
бўлган ҳолда Малтус кўринишидаги пoпуляция ўсиши логистик мoдели,
1 1 2 1 1
f u u u u
( , ) (1 )
=
−
,
2 1 2 2 2
f u u u u
( , ) (1 )
=
−
ѐки
1 1 2 1 2
f u u u u
( , ) (1 )
=
−
,
( , ) (1 )
2
u
1
u
2
u
2
u
1
f
=
−
бўлган ҳолда Фѐрхюлст кўринишидаги пoпуляция мoдели ва
=
−
,
2
=
−
ѐки
1
1 1 2 1 1
f u u u u
( , ) (1 )
β
1
β
2 1 2 2 2
f u u u u
( , ) (1 )
β
=
−
,
1 1 2 1 2
f u u u u
( , ) (1 )
β
f u u
=
u
−
u
,
β
1
>
1,
β
2
>
1
бўлган ҳолда Oлли кўринишидаги
( , ) (1 )
2
2 1 2 2 1
пoпуляция мoдели учун энг oддий диффузия мoделининг умумлашмаси
ҳисoбланади.
β
1
≥
1,
β
2
≥
1
бўлган ҳолда (1) системани чизиқсиз фильтрация тенгламалар
системаси ѐки кoнвектив кўчиш таъсирида тезлиги
x
u
∂∂
1
ва
x
u
∂∂
2
га, қуввати
1
u
−
u
га тенг бўлган манба ҳамда
ютилишнинг бир
β
,
β
u
−
u
,
2
,
1 2
2 1
вақтда таъсири асосидаги иссиқлик тарқалиш тенгламалар системаси каби
қабул қилиш мумкин.
Диссертациянинг “
Чизиқсиз диффузияли биологик популяция
математик моделларининг хоссалари
” деб номланган иккинчи бобида
чизиқсиз диффузияли биологик популяция масалаларининг математик
модели тадқиқ қилинади.
{
}
1
=
>
∈
R
+
Q t x t x
соҳада гетерoген (бир жинсли бўлмаган) муҳитда
( , ): 0,
гетерoгенлик кoэффициенти
m
Dx
бўлган диффузия-реакция жараѐнини
ифодаловчи биoлoгик пoпуляциянинг қуйидаги масаласи кўриб чиқилди:
∂
(
)
1
u
m
⎟
+
−
∂
⎜
⎝
⎛
∂∂
u
⎞
β
k x t u u
k x t k t C R
( , )
( )
≤ ∈
+
1 1
x R t
R
, ,
∈ ∈
+
+
(2)
∂
=
t x
(
)
( , )
(
1
)
,
x
D u
⋅ ⋅
∂
x
⎠
u u x
=
≥
t
=
0 0
( ) 0,
u t t
ψ
=
>
x
=
0
( ), 0,
(3)
бу ерда
0
≠ ∈
m R
, D,
k
>
0
сонлар мос равишда диффузия коэффициенти ва
реакция тенгламасининг кoэффициенти бўлиб ҳисoбланади. Ечимнинг
инвариантлик хоссалари кўрсатилган, яъни
11
u t x t w t x
( , ) ( ) ( ),
=
ψ
τ
(
)
функция яна (2) кўринишидаги
тенгламани қаноатлантиради, бу ерда
диффузия қисми бўлмаган (2)
тенгламанинг ечими:
ψ
(
t
)
t
⎛ ⎞ ∫
−
1
β
−
β
k t dt
( )
ψ
=
k t
−
⎜ ⎟
=
+
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
d
, яъни
0
( ) 1
dt
β
ψ
ψ
( )
(1 )
ψ
t e
(2), (3) масаланинг ечими учун қуйидаги теорема
ўринли:
ϕ
( )
,
2
ξ
x
2
( )
m
x
−
2
2.1 Теорема.
0 1
≤ ≤
u x
0
(
)
,
x
∈
R
,
(
T t
)
s
ϕ
=
шартлар
=
1
τ
σ
+
+
2
−
m
x
( )
2
ўринли бўлсин.
У ҳолда (2), (3) масаланинг ечими учун
Q
=
{(
t
,
x
)
;
t
>
0,
x
∈
R
}
соҳада икки
ѐқлама баҳо ўринли бўлади:
t
β
σ
1
−
1 ( ) ( )
k d
σ
∫
η
ψ
η
η
σ
ψ
τ
−
+
+
−
s s
/(2 ) 2
)
σ
σ
ξ
−
+
s s
/(2 ) 2
σ
σ
( )( ( )) (
0
+
t T t a u t x e T t a
+
− ≤ ≤
ξ
τ
) ( , ) ( ( )) (
+
4
,
бу ерда
4
=
2
2
.
ψ
(
t
)
юқорида аниқланган функция,
m
s
−
{( , ): 0, }
N
Q
=
t x t
>
x
∈
R
соҳада Коши масаласи
Lu
≡ −
u
+
∇
(
x K
(
u
)
∇
u
)
+
(
t
,
x
)
F
(
u
)
=
0
(4)
бошланғич
m
t
εγ
(0, )
(
)
0,
u x
=
u
0
x
≥
N
x
∈
R
(5)
шарт билан кўрилган. Бу ерда
F u
( )
функция қуйидаги шартларни
қаноатлантиради:
F F
(0) (1) 0
=
=
.
(4)-(5) масаланинг глобал ечими ҳақида қуйидаги теорема исботланган:
2.2 Теорема. K(u)
монотон функция бўлсин.
u
≥
0бўлганда
K
′′
(
u
)
≥
0
бажарилсин ва
1
( ) ( ) , 2
N
τ
≤
<
t F v m
−
,
1
1
F v v
( ) K ( )
−
2 1
v t m
( ) 2
Агар
( ) (0, )
0
=
.
u x
≤
z x
шарт бажарилса, у ҳолда масаланинг глобал ечими мавжуд бўлади ва
унинг учун Q соҳада қуйидаги баҳо ўринли бўлади:
u
(
t
,
x
)
≤
z
(
t
,
x
)
,
бу ерда
2
z t x v t K a
−
ξ
1
( , ) ( ) ( )
=
−
+
.
4
Иккинчи бобда, шунингдек, Колмогоров-Фишер типидаги биологик
популяциянинг умумлашган модели учун қуйидаги масала кўриб чиқилган:
∂
−
2
( , ) ( ) 0, ( ) (1 )
m
p
u
k
σ
β
γ
Lu x u u u t x F u F u u u
≡ −
+
∇ ∇ ∇
+
=
=
−
(
)
∂
, (6)
t
12
(0, )
(
)
0,
u x
=
u
0
x
≥
N
x R
∈
. (7)
γ
γ
( , ) ( )
t x t
≤
,
F u F u
( ) (0)
=′
шарт остида
σ
+
− −
=
k p
( 2) 1 0
бўлганда
∂
−
2
( ) (0)
m
p
u
k
σ
(
)
Lu x u u u t F u
≡ −
+
∇ ∇ ∇
+
′
∂
t
γ
шаклда чизиқлаштирилган масала учун тўлқин тарқалиш тезлиги баҳоси
топилган бўлиб, бу баҳо мавжуд натижаларни умумлаштиради.
⎜
⎝⎛
σ
1
2
ξ
⎟
⎠⎞
σ
z t x
=
u t a
−
бўлсин, бу ерда
а
>0 доимий
2.3 Теорема.
( , ) ( )
4
+
ξ
−
x
m
ϕ
2
2
бўлиб,
, ( ), ( )
=
=
- юқорида аниқланган функциялар.
ϕ
τ
1/ 2
x u t t
τ
, ( )
2
N
2
−
m
( ) ( )[ ( )]
( 1)
<
−
+
m
σ
τ
тенгсизликлар бажарилсин. Агар
F u t u
t
≤
2
−
m
, 2
u x
≤
z x
тенгсизлик ўринли бўлса
, у ҳолда (6)-(7) масала глобал ечимга
( ) (0, )
0
эга ва Q соҳада қуйидаги баҳо ўринли:
u
(
t
,
x
)
≤
z
(
t
,
x
)
.
Тадқиқ қилинаѐтган иш доирасида номаълум ечим ва унинг ҳосиласи
қатнашган даражали кўринишдаги чизиқсиз Колмогоров-Фишер типидаги
биологик популяциянинг тезлиги вақтга боғлиқ бўлган конвектив кўчиш
таъсиридаги қуйидаги фазовий-вақт динамикаси модели таклиф этилди ва
тадқиқ қилинди:
⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
k
p
−
2
u u u u
σ
β
γ
=
+
+
− ⎜ ⎟
u a t x t u u
( ) ( , ) 1 ,
(
)
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1 1
x R t R
, ,
∈ ∈
+
+
(8)
t x x x x
γ
γ
(
)
1
( , ) ( ) ,
x t t C R
≤ ∈
+
1
u u x x R
=
≥ ∈
( ) 0, ,
=
+
0 0
t
u t t
=
>
(9)
x
=
0
ψ
( ), 0.
Бошланғич ва чегаравий шартлар ҳамда ечимни таҳлили учун (8)
тенгламани тақрибий ечиш лозим.
l
(
)
∫
бўлсин.
x a t dt
2.4 Теорема .
Айтайлик,
0 1
≤ ≤
u x
0
(
)
,
x
∈
R
,
ξ
−
=
i
0
(
)
21
τ
T
(
t
)
+
У ҳолда (8), (9) масаланинг ечими учун
Q
=
{(
t
,
x
)
;
t
>
0,
x
∈
R
}
соҳада икки
тарафлама баҳо ўринли:
t
β
σ
η
ψ
η
η
−
1 1
( ) ( )
σ
σ
σ
σ
σ
σ
ψ
τ
ξ
τ
ξ
∫
k d
1/( ( 2)) 2 1/( ( 2)) 2
( 2) ( 2)
( )( ( )) ( ) ( , ) ( ( )) ( )
p k p p k p
k p k p
t T t a u t x e T t a
+
− ≤ ≤
+
−
,
−
+
+
− −
+
+
− −
+
−
+
0
4 4
+
+
бу ерда
ψ
(
t
)
юқорида
аниқланган функция.
Олинган ечим баҳоси компьютерда ночизиқли биологик популяция
жараѐнини моделлаштириш учун фойдаланилган. Сонли параметрларнинг
хусусий ҳолида (8) тенгламанинг аниқ ечими топилган. Ушбу ечим ва
13
солиштириш принципи асосида кўрилаѐтган масаланинг сонли ечимлари
таҳлил қилинган ҳамда улар визуал шаклда тасвирланган.
Диссертациянинг “
Колмогоров-Фишер типидаги биологик популяция
масаласининг реакция-диффузияли квазичизиқли тенгламалар
системасининг автомодел ечимларини сонли
моделлаштириш
” деб
номланган учинчи бобда
Q t x t x R
=
<
∈
{( , ) : 0 , }
соҳасида
Колмогоров-Фишер типидаги биологик популяция масаласидаги реакция
диффузияли иккита квазичизиқли тенгламалар пароболик системаси кўриб
чиқилган:
⎧∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤
u u u
a u a u b u b u k t u u
=
+
+
+
+
− ⎪ ⎢
⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎨⎪∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤
( ) ( ) ( ) (1 ),
β
m m m m
1 1 2
1
t x x x
11 1 12 2 11 1 12 2 1 1 2
u u u
a u a u b u b u k t u u
=
+
+
+
+
−
⎪
⎢ ⎥
⎩ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦
(10)
( ) ( ) ( ) (1 ),
β
m m m m
2 1 2
2
t x x x
21 1 22 2 21 1 22 2 2 2 1
бу ерда
ij
a
,
ij
b
- мусбат ҳақиқий сонлар,
β
1
,
β
2
≥
0
,
u
1
=
u
1
(
t
,
x
)
≥
0
,
u
2
=
u
2
(
t
,
x
)
≥
0
-
изланган ечимлар.
a
ij
≠
0
,
b
ij
=
0
бажарилганда ѐки
a
ij
=
0
,
b
ij
≠
0
бўлганда (10)
математик модел
≥
0,
≥
0
a
ij
u
i
b u
диффузия коэффициентли реакция
m
m
ij i
диффузия типидаги тенгламалар системасидан иборат бўлади. Агар
коэффициентлардан лоақал биттаси
a
ij
≠
0
ва
b
ij
≠
0
(ишора ҳар қандай бўлиши
мумкин) шартни бажарса, (10) тенгламалар системаси кросс
диффузияли ҳисобланади (i,j=1,2 учун ўзаро диффузиялашган). Кўриб
чиқилаѐтган масаланинг сифат хусусиятлари (10) тенгламанинг автомодел
тизимини тузиш орқали тадқиқ қилинди.
⎧ ⎡ ⎤ ⎪
+
+
+
+
+
−
=
⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎨
⎪ ⎡ ⎤
d
df df df
a f a f b f b f f f
ξ
( ) ( ) (1 ) 0 ,
β
m m m m
1 2 1
1
ψ
d d d d
ξ
ξ
ξ
ξ
11 1 12 2 11 1 12 2 1 1 2
2
d
df df df
a f a f b f b f f f
+
+
+
+
+
−
=
⎪
⎢ ⎥ ⎩ ⎣ ⎦
(11)
ξ
( ) ( ) (1 ) 0,
β
m m m m
1 2 2
2
ψ
d d d d
ξ
ξ
ξ
ξ
21 1 22 2 21 1 22 2 2 2 1
2
(11) тенгламалар системаси қуйидаги кўринишдаги тақрибий ечимга
эга:
1 2
f A a b f B a b y y
( ) , ( ) ( ) max(0, )
η
η
2 2
1 2
=
−
=
−
=
ξ
ξ
+
+
+
.
Кучаювчи автомодел рeжимнинг уч ҳил тури мавжуд бўлиши мумкин:
HS
,
S
ва
LS
.
0
<
β
i
<
m
i
,
i
=
1,2
шарт бажарилганда
HS
-режим тадбиқ этилади.
Изланишлар шуни кўрсатдики, бу ҳолатда автомодел масала кесмада монотон
камаювчи, симметрия марказида максимумга эга ягона хос функцияга эга.
Автомодел ечим кучаювчи режимда амплитуда ва фронти кўпаювчи
тўлқинни ўзида акс эттиради.
β
i
=
m
i
,
i
=
1,2
шарт бажарилганда S-режими ўринли. Автомодел ечим
стационар бўлмаган диссипатив локаллаштирилган тузилмага эга.
Локаллаштириш соҳасида популяция сони кучайиш режимида ўсади, унинг
ташқарисида эса нолга тенг бўлади.
LS-режимидаги автомодел ечим стацонар бўлмаган диссипатив
14
тузилмага эга; барча нуқталар симметрия марказига интилади,
T
=
−
τ
да ечим
фақат бир нуқтада - симметрия марказида чексизликка айланади. Автомодел
ечими
, 1,2
β
i i
>
=
m i
да мавжуд бўлиши мумкин. Қуйида турли хилдаги
параметрлар қийматлари учун ҳисоблаш тажрибаси натижалари келтирилган
(1-расм).
Параметр
қийматлари
t
=
1
a a b b
=
=
=
=
0; 1; 0; 0
11 12 11 12
a a b b
=
=
=
=
0; 0; 1; 0
21 22 21 22
t
=
40
a a b b
=
=
=
=
0; 1; 0; 0
11 12 11 12
a a b b
=
=
=
=
0; 0; 1; 0
21 22 21 22
t
=
40
a a b b
=
=
=
=
0; 0; 0; 1
11 12 11 12
a a b b
=
=
=
=
1; 0; 0; 0
21 22 21 22
LS-тартиб
m
1
=
2 ,
m
2
=
2
β
1
=
3,
k
1
=
2
β
2
=
3,
k
2
=
9
10
−
3
eps
=
ˆ
m
i
β
i
β
ij
<
<
ˆ
β
ij
=
m
i
+
m
i
j
−
,
/(
1)
S-тартиб
m
1
=
4 ,
m
2
=
4
β
1
=
4,
k
1
=
2
β
2
=
4,
k
2
=
9
10
−
3
time1(FRAME
+
1)
,
time2(FRAME
+
1)
time1(FRAME
+
70)
,
time2(FRAME
+
70)
time1(FRAME
+
100)
,
time2(FRAME
+
100)
eps
=
m
i
=
β
i
HS-тартиб
m
1
=
1.4 ,
m
2
=
1.4
β
1
=
0.5,
k
1
=
2
β
2
=
0.7,
k
2
=
5
10
−
3
eps
=
β
i
<
m
i
time1(FRAME
+
0)
,
time2(FRAME
+
0)
1(FRAME
+
70)
,
time2(FRAME
+
70)
1(FRAME
+
90)
,
time2(FRAME
+
90)
1-расм. Колмогоров-Фишер типидаги биологик популяция масаласининг
реакция-диффузия квазичизиқли тенгламалар системасининг автомодел
time1(FRAME
+
0)
,
time2(FRAME
+
0)
time1(FRAME
+
50)
,
time2(FRAME
+
50)
time1(FRAME
+
70)
,
time2(FRAME
+
70)
ечимини аниқлашнинг ҳисоблаш тажрибаси натижалари
Ўтказилган таҳлиллар шуни кўрсатдики,
j
=
2,3,4,...
рақамли хос
ˆ
ˆ
функция
m
i
β
i
β
ij
<
<
интервалда мавжуд, бунда
/( 1)
β
ij
=
m
i
+
m
i
j
−
,
i
=
1,2
,
j
=
2,3,4,...
.
β
i
=
m
i
ва
ˆ
=
нинг қийматлари бифуркация
нуқталари
β
i
β
ij
ҳисобланади, бунда хос функция ўз мавжудлигини тўхтатади. Биринчи хос
функция
ˆ
β
i
>
m
i
,
i
=
1,2
нинг ҳар қандай қийматида
мавжуд бўлади.
β
>
β
2
=
,
i
=
1,2
шарт бажарилганда LS-режимда автомодел масала
i i
2
m
i
фақат ягона хос функцияга эга бўлиши мумкин. Хос функция рақами
қанчалик катта бўлса, бўлади.
β
i
параметр мавжуд бўлган интервал
шунчалик кичик
15
ХУЛОСА
«Колмогоров-Фишер
типидаги
биологик
популяция
чизиқсиз
системасини сонли моделлаштириш» мавзусидаги диссертация бўйича олиб
борилган тадқиқотлар натижасида қуйидаги хулосалар тақдим этилди:
1. Популяция модели ва рақобатдош популяция системаси
кўринишидаги иккита синф моделлари тадқиқ қилинди. Кўриб чиқилаѐтган
модeлларнинг кенг тарқалган Колмогоров-Пeтровский-Пискунов (КПП)
модeлидан катта фарқлардан бири тарқалиш тезлигининг чеклилиги ва
фазовий локаллашиш эффектлари рўй беришидир. Таклиф этилаѐтган янги
моделда мос автомодел ечимларнинг асимптотикалари топилган. Дeмографик
жараѐнларга даражали чизиқсизликни киритилиши (Олли
принципи), баъзи ҳолатларда, миграцион ҳадларда чизиқсизликнинг
даражали коэффициeнти каби фазовий динамикани яратади. 2. Биологик
популяциянинг кўп компонентали рақобатдош тенгламалар системасини
ечиш учун чизиқсиз парчаланиш алгоритмини асосланиши чизиқсиз
масалаларни ўрганишнинг энг самарали усулларидан бири чизиқсиз
парчаланиш усули ва эталон тенгламалар усули эканлигини исботлади. 3.
Муҳит параметрлари қийматлари ва фазо ўлчамига боғлиқ кўп компонентали
рақобатдош биологик популяция системасининг Коши масаласини ечиш учун
олинган баҳолар реакция-диффузия чизиқсиз модели ечимларини
локаллашувини таъминлади.
4. Бир жинсли ва гетероген муҳитда биологик популяциянинг кўп
компонентали рақобатдош тенгламалар системаси учун чизиқсиз парчаланиш
алгоритми асосида Коши масаласининг қуйи ва юқори ечимлари қурилиши
компакт ташувчига эга умумлаштирилган ечимлар ва автомодел тенгламалар
системаларини чексизликда йўқолувчи ечимларининг асимптотикасини
қуришга имконият яратади.
5. Кўп компонентали рақобатдош биологик популяциянинг
квазичизиқли тенгламалар системаси учун масала ечимининг
асимптотикаларини қурилиши сифатий тадқиқотлар ўтказишга имкон
яратади.
6. Кўп компонентали рақобатдош биологик популяция системаларини
чизиқсиз жараѐнлари сонли тадқиқ этилди, олинган ечимларнинг баҳолари
асосида натижалар таҳлил қилинди. Таҳлиллар натижаси чизиқсиз параболик
тенгламалар системасини ечиш учун яратилган алгоритмлар ва дастурлар
комплекси янги ночизиқли эффектларни топишда юқори самарадорликка эга
эканлигини кўрсатади.
7. Ишлаб чиқилган сонли схемалар, алгоритмлар ва дастурлар
комплекси биологик популяция реакция-диффузия системасини чизиқсиз
математик модели сифат хусусиятларини ўрганиш учун компьютер
моделлаштиришни амалга ошириш имкониятини беради ва диссипатив
структура пайдо бўлишига олиб келиниши аниқланади.
16
НАУЧНЫЙ СОВЕТ DSc.27.06.2017.Т.07.01
ПО ПРИСУЖДЕНИЮ УЧЕНЫХ СТЕПЕНЕЙ ПРИ
ТАШКЕНТСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
МУХАМЕДИЕВА ДИЛДОРА КАБИЛОВНА
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
БИОЛОГИЧЕСКОЙ ПОПУЛЯЦИИ ТИПА КОЛМОГОРОВА
ФИШЕРА
05.01.07-Математической моделирование. Численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ
ДОКТОРА ФИЛОСОФИИ (PhD) ПО ТЕХНИЧЕСКИМ НАУКАМ Ташкент – 2017
17
Тема диссертации доктора философии (PhD) зарегистрирована в Высшей
аттестационной комиссии при Кабинете Министров Республики Узбекистан за №
В2017.1.PhD/T7.
Диссертация выполнена в Ташкентском университете информационных технологий.
Автореферат диссертации на трех языках (узбекский, русский, английский (резюме)) размещен на
веб-странице научного совета (www.tuit.uz) и на Информационно-образовательном портале
«ZiyoNet» (www.ziyonet.uz).
Научный руководитель: Арипов Мерсаид
доктор физико-математических наук, профессор
Официальные оппоненты:
Усманов Ришат Ниязбекович
доктор технических наук
Имомназаров Холмат Худойназарович
(Российская Федерация)
доктор физико-математических наук, профeссор
Ведущая организация: Ташкентский государственный технический университет
Защита диссертации состоится «___» _______ 2017 г. в ___ часов на заседании Научного
совета DSc.27.06.2017.Т.07.01 при Ташкентском университете информационных технологий.
(Адрес: 100202, г. Ташкент, ул. Амира Темура, 108. Тел.: (99871) 238-64-43; факс: (99871) 238-65-
52; e-mail:
tuit@tuit.uz).
С диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном центре Ташкентского
университета информационных технологий (регистрационный номер №___). (Адрес: 100202, г.
Ташкент, ул. Амира Темура, 108. Тел.: (99871) 238-65-44).
Автореферат диссертации разослан «___ » _____ 2017 года.
(протокол рассылки №___ от «___» ______ 2017 г.).
Р.Х.Хамдамов
Председатель научного совета по присуждению
учѐных степеней, д.т.н., проф.
Ф.М.Нуралиев
Ученый секретарь научного совета по присуждению
учѐных степеней, д.т.н.
Н.Равшанов
Председатель научного семинара при Научном
совете по присуждению учѐных степеней, д.т.н.
18
ВВЕДЕНИЕ (аннотация диссертации доктора философии (PhD))
Актуальность и востребованность темы диссертации.
На
сегодняшний день в мире особое внимание уделяется аналитическому и
численному исследованию качественных свойств решений математических
моделей процессов нелинейной биологической популяции. «По прогнозам
отдела популяции ООН к 2050 году число земного населения достигнет 9 700
миллиона. В режиме с обострением гиперболический рост населения станет
основной
функцией
в
решении
нелинейного
дифференциального
уравнения»
2
.
Научные
исследования
по
разработке
нелинейных
математических моделей ведутся в развитых странах мира, в том числе, в
США, Японии, Испании, Германии, Великобритании, Франции, России и
Узбекистана.
В годы независимости республики на высоком уровне было
осуществлено
множество
мероприятий
по
организации
научных
исследований в направлении компьютерного моделирования процессов
однокомпонентной и многокомпонентной конкурирующей биологической
популяции в зависимости от размерности пространства на основе алгоритма
нелинейного расщепления и достигнуты определенные результаты. В этой
сфере на основе исследования асимптотик системы квазилинейных
уравнений биологической популяции и методов численного решения
усовершенствованы возможности определения причинно-следственных
зависимостей роста населения республики Узбекистан, а также оценки
банкротства предприятий.
В мире математическое моделирование нелинейных процессов ряда
фундаментальных проблем, разработка математических моделей и
алгоритмов, описывающих процессы квазилинейными параболическими
уравнениями и их системами являются одной из актуальных задач, и на это
направлены ряд целевых научных исследований, в частности: создание
нелинейных математических моделей при разработке методов повышения
эффективности систем управления процессов реакции-диффузии в области
естественных наук, решение задачи Коши на граничных условиях для
нелинейного уравнения реакции-диффузии, разработка методов изучения
качественных свойств нелинейных математических моделей, нахождение
точного решения параболического уравнения, описывающего нелинейный
процесс биологической популяции, разработка экономичных численных
схем.
Данное диссертационное исследование в определенной степени служит
выполнению задач, предусмотренных в Постановлении Президента
Республики Узбекистан №ПП-1730 от 21 марта 2012 года “О мерах по
дальнейшему внедрению и развитию современных информационно
коммуникационных технологий”, №ПП-1442 от 15 декабря 2010 года «О
приоритетах развития промышленности Республики Узбекистан в 2011-2015
2
http://spkurdyumov.ru/biology/ocherk-teorii-rosta-chelovechestva-kapica/2/
19
годах», постановлении Кабинета Министров Республики Узбекистан №24 от
1 февраля 2012 года “О мерах по созданию условий для дальнейшего
развития
компьютеризации
и
информационно-коммуникационных
технологий на местах”, а также в других нормативно-правовых документах,
принятых в данной сфере.
Соответствие
исследования
приоритетным
направлениям
развития науки и технологий республики.
Данное исследование
выполнено в соответствии с приоритетным направлением развития науки и
технологий Республики Узбекистан IV. «Развитие информатизации и
информационно-коммуникационных технологий».
Степень
изученности
проблемы.
Вопросам
разработки
и
совершенствования методики нелинейного моделирования посвящены
работы ряда ученых: Дж.Марри, N.Shigesada, K. Kawasaki, H.Berestycki,
L.Rossi, Н.В.Белотелов, A.И.Лобанов и других авторов. Модель эволюции
популяции бактерий на основе уравнения Колмогорова-Фишера была
рассмотрена в работах А.Ю.Трифонова и А.В.Шаповалова. В работе
Н.В.Белотелова и А.И.Лобанова для модели одной популяции было показано,
что нелинейная зависимость миграционного потока вида от локальной
плотности популяции позволяет адекватно описать характерное поведение
динамики численности популяции.
В Узбекистане нелинейными задачами и их системами занимались
М.М.Арипов,
Н.М.Мухитдинов,
А.Б.Бегматов,
М.Б.Баклушин,
Б.М.Хужаяров, Н.Равшанов и их ученики. Одними из эффективных методов
исследования нелинейных задач являются метод нелинейного расщепления и
метод эталонных уравнений, предложенный М.М.Ариповым.
Связь диссертационного исследования с планами научно
исследовательских работ высшего образовательного или научно
исследовательского учреждения, где выполнена диссертация.
Диссертационное исследование выполнено в рамках научных грантов
согласно плану научно-исследовательских работ Национального
университета Узбекистана ЁФ-4-10 – «Численное моделирование систем
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера» (2012-2014), А-5-44 –
«Численное моделирование нелинейных систем билогической популяции
типа Колмогорова-Фишера» (2015-2017).
Целью исследования
является разработка численных моделей,
описывающих процессы многокомпонентных конкурирующих систем
биологической популяции квазилинейными параболическими уравнениями и
их системами в однородной и неоднородной среде методом нелинейного
расщепления.
Задачи исследования:
исследовать свойства моделей двух классов - модели нелинейной
популяции и системы конкурирующих популяций;
моделировать на компьютере процессы одной и многокомпонентных
конкурирующих систем биологической популяции на основе алгоритма
нелинейного расщепления;
20
построить нижние и верхние решения задачи Коши алгоритмом
нелинейного расщепления для многокомпонентных конкурирующих систем
уравнения биологической популяции в зависимости от значений параметров
среды и размерности пространства;
разработать
асимптотические
выражения
решения
систем
параболических
уравнений,
описывающих
нелинейный
процесс
многокомпонентной конкурирующей биологической популяции;
создать начальное приближение для применения итерационных методов
и построить численные схемы при исследовании нелинейных процессов
многокомпонентной конкурирующей системы биологической популяции;
создать алгоритмы и программные комплексы для решения
вышеизложенных задач, определить новые эффекты, связанные с
нелинейностью, визуально представить решение, провести вычислительный
эксперимент.
Объектом
исследования
являются
нелинейные
процессы
биологической популяции, описываемые нелинейными параболическими
уравнениями и их системами.
Предмет исследования
– методы исследования новых качественных
свойств решения уравнений многокомпонентных конкурирующих систем
биологической популяции, численные методы и вычислительный алгоритм
компьютерного решения изучаемых процессов.
Методы исследования
. В работе использованы алгоритм нелинейного
расщепления, автомодельные и приближенно автомодельные методы,
методика сравнения решений, итерационные численные методы, методы
переменных направлений и прогонки.
Научная новизна исследования
заключается в следующем
:
разработаны методы получения автомодельных и приближенно
автомодельных решений для нелинейной модели многокомпонентных
конкурирующих систем биологической популяции, основанные на алгоритме
нелинейного расщепления;
определены новые свойства нелинейной математической модели
процесса многокомпонентной конкурирующей биологической популяции,
описываемой системой параболических уравнений типа Колмогорова
Фишера;
разработаны асимптотические выражения решений автомодельных
уравнений
и
получены
оценки
решения
задачи
Коши
для
многокомпонентных конкурирующих систем уравнения биологической
популяции в зависимости от значений параметров среды и размерности
пространства;
разработаны методы построения нижних и верхних решений
необходимых для компьютерного вычисления задач многокомпонентных
конкурирующих задач биологической популяции;
созданы соответствующие начальные приближения, обеспечивающие
вычисления с необходимой точностью в зависимости от значений численных
параметров с помощью итерационных методов для быстрого и
21
точного численного решения рассматриваемых нелинейных задач
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера;
разработаны вычислительные схемы, алгоритмы и программный
комплекс,
осуществляющие
численное
моделирование
нелинейных
математических моделей.
Практические результаты исследования
заключаются в следующем
:
разработаны асимптотические формулы и итерационный процесс
применительно к численному решению нелинейных задач возникающих в
различных сферах;
разработаны численные схемы и алгоритмы на основе качественного
анализа;
разработан программный комплекс помогающий изучить визуальные
нелинейные процессы на основе нелинейных уравнений и систем;
определены новые свойства нелинейных математических моделей процесса
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера в результате
применения методов получения автомодельных и приближенно
автомодельных решений.
Достоверность
результатов
исследования.
Приведенные
в
диссертации результаты в виде теорем и утверждений строго доказаны.
Используя полученные оценки решений, проведен численный анализ
решений, результаты которого подтверждают достоверность и эффективность
предложенной в работе методики расчета с применением метода эталонных
уравнений и автомодельного анализа с сохранением нелинейного эффекта.
Научная и практическая значимость результатов исследования.
Научная значимость результатов исследования заключается в том, что
обоснованы условия глобальной разрешимости по времени решений
нелинейных математических моделей, описывающих процессы
многокомпонентных конкурирующих процессов биологической популяции
квазилинейными параболическими уравнениями. Они могут быть
использованы для изучения математических моделей нелинейных процессов
теплопроводности, фильтрации, диффузии, а также в дальнейшем развитии
теории нелинейных параболических уравнений.
Практическая значимость полученных в диссертации результатов
заключается в том, что построенный итерационный процесс, разработанные
численные схемы и программный комплекс позволяют провести
вычислительный эксперимент для решения задач нелинейных процессов
биологической популяции в случае быстрой и медленной диффузии.
Внедрение результатов исследования.
На основе разработанных
численных схем и методов исследования:
полученные автомодельные и приближенно-автомодельные решения
для модели нелинейной многокомпонентной биологической популяции
параболического типа на основе алгоритма нелинейного расщепления,
оценка для глобальных решений, оценки решения задачи Коши для
многокомпонентных конкурирующих систем уравнения биологической
22
популяции, а также методы численных решений применены для генерации
начальной популяции при процессе синтеза нейро-нечетких моделей
принятия решений задач интеллектуального анализа данных на основе
генетического алгоритма в выполнении фундаментального проекта
Ф4-ФА-Ф003 «Теория и алгоритмы синтеза нейро-нечетких моделей
принятия решений для задач интеллектуального анализа данных»
выполненной в 2012-2016 годах (справка от 15 февраля 2017 года
№ФТК-0313/159 Комитета координации развития науки и технологий).
Предложенные в результате исследования численные решения системы
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера дают возможность
построения подходящего начального приближения, обеспечивающего
быструю сходимость итерационного процесса;
разработанные методы изучения качественных свойств нелинейной
многокомпонентной системы биологической популяции параболического
типа,
описывающие
нелинейные
процессы,
методы
получения
автомодельных и приближенно автомодельных решений, оценки, полученные
для глобальных и неограниченных решений, внедрены в Управлении
приватизации, монополизации и развития конкуренции Ташкентской области
(справка от 20 февраля 2017 года №24-8/1056 Министерства развития
информационных технологий и коммуникации Республики Узбекистан).
Созданный алгоритм на основе полученных результатов исследования даѐт
возможность оценить и прогнозировать банкротство предприятий;
разработанные модели, методы численного решения, алгоритмы и
системы программного обеспечения внедрены при выполнении проекта
фонда поддержки фундаментальных исследований ИГ 4-16 «История
формирования и развития рыночной экономики в Узбекистане в условиях
независимости» (справка от 20 февраля 2017 года №24-8/1056 Министерства
развития информационных технологий и коммуникации Республики
Узбекистан).
Исследование
асимптотик
квазилинейных
уравнений
биологической популяции и методы численного решения дают возможность
определить
причинно-следственные
зависимости
роста
населения
республики Узбекистан.
Апробация
результатов
исследования.
Результаты
данного
исследования были обсуждены, в том числе, на 9 международных и 11
республиканских научно-практических конференциях.
Публикация результатов исследования
. По теме диссертации
опубликованы всего 78 научных работ, из них 1 монография, 28 статей в
республиканских журналах, рекомендованных Высшей аттестационной
комиссией Республики Узбекистан, (в том числе 8 в иностранных, 20 в
республиканских журналах), также получены 4 свидетельства регистрации
программных продуктов созданных для ЭВМ.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения,
трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
Объем диссертации состоит из 105 страниц.
23
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении
обосновываются актуальность и востребованность темы
диссертации, в соответствии с приоритетными направлениями развития
науки и технологий Республики Узбекистан, формулируются цель и задачи, а
также объект и предмет исследования, изложены научная новизна и
практические
результаты
исследования,
обоснована
достоверность
полученных результатов, раскрыта теоретическая и практическая значимость
полученных результатов, приведен перечень внедрений в
практику
результатов исследования, сведения об опубликованных работ и структура
диссертации.
В первой главе диссертации
«Математическое моделирование
нелинейной системы биологической популяции типа Колмогорова
Фишера»
приводятся постановка задачи, краткий обзор исследований,
относящихся к теме диссертации, а также некоторые вспомогательные
утверждения и определения, необходимые для дальнейшего изложения
результатов.
Исследуются два класса моделей - модели одной популяции и системы
конкурирующих популяций.
Для моделей первого класса изучена динамика развития вспышки
численности при различных реакционно-кинетических зависимостях. В
области
{
}
1
=
>
∈
R
+
Q t x t x
рассмотрена следующая задача,
( , ): 0,
описывающая обобщенный процесс биологической популяции типа
Колмогорова-Фишера с коэффициентом гетерогенности
q
D x
в однородной и
гетерогенной (неоднородной) среде:
p
−
2
⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂
n l
u u u
q m
D x u k x t f u
−
=
+
⎜ ⎟
1
( , ) ( ),
∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1 1
x R t R
, ,
∈ ∈
+
+
t x x x
(
)
1
k x t k t C R
( , ) ( ) ,
≤ ∈
+
1
u u x x R
=
≥ ∈
( ) 0, ,
=
+
0 0
t
u t t
ψ
=
>
x
=
0
( ), 0,
где
n k m R p l
, , , 2, 1
∈ ≥ ≥
, D>0 являются соответственно коэффициентом
диффузии и коэффициентом уравнения реакции, а также
D
(0)=0,
f f
(0) (1) 0
=
=
. Это уравнение является обобщением простейшей диффузионной модели
для логистической модели роста популяции типа Мальтуса при
f
(
u
)
=
u
, типа
Фѐрсхюльста при
f
(
u
)
=
u
(1
−
u
)
, и типа Олли при
f u
=
u
−
u
,
β
>
1
.
β
1
( ) (1 )
Показано,
что
скорость
фронта
распространения
вспышки
локализована в каждый момент времени на конечном носителе, что
отличается от волны Колмогорова-Петровского-Пискунова. Получена новая
обобщенная оценка скорости распространения Колмогорова-Фишера.
Для второго класса моделей изучена возможность возникновения
стационарных и неоднородных по пространству решений.
24
В общем случае эти системы состоят из следующих систем уравнений в
частных производных:
⎧∂
=
+
+
∇ ∇
+
⎪⎪ ∂
u
f u u div a x u a x u u u h div u u u
( , ) ( ) D ( , ) ,
k k p
m m
− − −
1 1 2
1
1 1
(
)
(
)
1 1 2 11 1 12 2 1 1 1 1 1 2 1
t
⎨∂⎪
=
+
+
∇ ∇
+
⎪⎩ ∂
(1)
u
f u u div a x u a x u u u h div u u u
( , ) ( ) D ( , ) ,
k k p
m m
− − −
1 1 2
2
2 2
(
)
(
)
2 1 2 21 1 22 2 2 2 2 2 1 2 2
t
где
k ,
∈
R
1 2
m m
, 1,
>
p
≥
2
,
11 12 21 22
a
,
a
,
a
,
a
- данные положительные
числа,
∇
(.)
−
grad
(.)
,
u x u x
10 20
(
)
≥ ≥
0, 0
(
)
,
N
x
x R
∈
.
При
h
1
=
h
2
=
0
(1) представляет собой систему типа реакция-диффузия без
конвективного переноса, в случае, когда хотя бы один из коэффициентов
h
i
≠
0
(знак может быть любым), система (1) является кросс-диффузионной с
конвективным переносом.
Данная система является обобщением простейшей диффузионной
модели для логистической модели роста популяции типа Мальтуса (
1 1 2 1
f
(
u
,
u
)
=
u
,
1 1 2 2
f
(
u
,
u
)
=
u
или
2 1 2 1
f
(
u
,
u
)
=
u
,
2 1 2 2
f
(
u
,
u
)
=
u
), типа Фѐрсхюльста
(
1 1 2 1 1
f u u u u
( , ) (1 )
=
−
,
2 1 2 2 2
f u u u u
( , ) (1 )
=
−
или
1 1 2 1 2
f u u u u
( , ) (1 )
=
−
,
( , ) (1 )
2
u
1
u
2
u
2
u
1
f
=
−
), и
типа Олли (
1
=
−
,
2
=
−
или
1
1 1 2 1 1
f u u u u
( , ) (1 )
β
2 1 2 2 2
f u u u u
( , ) (1 )
β
=
−
,
1 1 2 1 2
f u u u u
( , ) (1 )
β
f u u
=
u
−
u
,
β
1
>
1,
β
2
>
1
). В случае, когда
β
( , ) (1 )
2
2 1 2 2 1
β
1
>
1,
β
2
>
1
его можно
рассматривать также, как обобщение простой диффузионной модели для
популяционной модели типо Олли.
В случае, когда
β
1
≥
1,
β
2
≥
1
, его можно рассматривать
также, как
уравнение нелинейной фильтрации, теплопроводности при одновременном
воздействии источника и поглощения, мощности которых равны
соответственно
1
u
−
u
,
2
u
−
u
, под воздействием конвективного переноса со
,
β
,
β
1 2
скоростью
x
u
∂∂
1
и
x
u
∂∂
2
.
2 1
Во второй главе диссертации
«Свойства математических моделей
биологической популяции с нелинейной диффузией»
исследуются
математические модели задач биологической популяции с нелинейной
диффузией.
В области
{
}
1
=
>
∈
R
+
Q t x t x
рассмотрена следующая задача,
( , ): 0,
описывающая обобщенный процесс биологической популяции типа
Колмогорова-Фишера с коэффициентом гетерогенности
m
Dx
в гетерогенной
(неоднородной) среде:
∂
(
)
1
u
m
⎟
+
−
∂
⎜
⎝
⎛
∂∂
u
⎞
β
k x t u u
k x t k t C R
( , )
( )
≤ ∈
+
1 1
x R t
R
, ,
∈ ∈
+
+
(2)
∂
=
t x
(
)
( , )
(
1
)
,
x
D u
⋅ ⋅
∂
x
⎠
u u x
=
≥
t
=
0 0
( ) 0,
u t t
ψ
=
>
x
=
0
( ), 0,
(3)
где числа
0
≠ ∈
m R
, D,
k
>
0
являются соответственно коэффициентами
диффузии и уравнения реакции.
25
Показаны свойства инвариантности решения, т.е. функция
u
(
t
,
x
)
=
ψ
(
t
)
w
(
τ
(
t
),
x
)
,
где
ψ
(
t
)
решение уравнение без диффузной части уравнения (2)
t
⎛ ⎞ ∫
−
1
β
−
β
k t dt
( )
ψ
=
k t
−
⎜ ⎟
=
+
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
d
, т.е.
0
( ) 1
dt
β
ψ
ψ
( )
(1 )
ψ
t e
снова удовлетворяет уравнению вида (2).
Для решение задачи (2), (3) справедлива
ϕ
( )
,
2
ξ
x
2
( )
m
x
−
2
Теорема 2.1.
Пусть
0 1
≤ ≤
u x
0
(
)
,
x
∈
R
,
(
T t
)
s
ϕ
=
.
=
1
τ
σ
+
+
2
−
m
x
( )
2
Тогда для решения задачи (2), (3) в
Q
=
{(
t
,
x
)
;
t
>
0,
x
∈
R
}
имеет место
двухсторонняя оценка
t
β
σ
1
−
1 ( ) ( )
k d
σ
∫
η
ψ
η
η
σ
ψ
τ
−
+
+
−
s s
/(2 ) 2
)
σ
σ
ξ
−
+
s s
/(2 ) 2
σ
σ
( )( ( )) (
0
+
t T t a u t x e T t a
+
− ≤ ≤
ξ
τ
) ( , ) ( ( )) (
+
,
4
где
4
=
2
2
.
ψ
(
t
)
определенная выше функция, а число
m
s
−
В области
{( , ): 0, }
N
Q
=
t x t
>
x
∈
R
рассмотрена задача Коши
Lu
≡ −
u
+
∇
(
x K
(
u
)
∇
u
)
+
(
t
,
x
)
F
(
u
)
=
0
εγ
, (4)
с начальным условием
m
t
(0, )
(
)
0,
u x
=
u
0
x
≥
N
x
∈
R
. (5)
Здесь функция
F u
( )
удовлетворяет следующим условиям:
F F
(0) (1) 0
=
=
.
Доказана следующая теорема о глобальной разрешимости задачи
(4)-(5).
Теорема 2.2.
Пусть
K
(
u
) монотонная функция и
K
′′
(
u
)
≥
0
, при
u
≥
0
и
1
(
) ( ) , 2
N
τ
≤
<
t F v m
−
,
1
1
F v v
( ) K ( )
−
2 1
v t m
( ) 2
Если выполнено условие
(
) (0, )
0
=
.
u x
≤
z x
, то существует глобальное
решение задачи и для него уместна следующая оценка в области
Q
u
(
t
,
x
)
≤
z
(
t
,
x
)
,
здесь
2
z t x v t K a
−
ξ
1
( , ) ( ) ( )
=
−
+
.
4
Во второй главе также рассмотрено следующее уравнение для
обобщенной модели биологической популяции типа Колмогорова Фишера:
26
∂
−
2
( , ) ( ) 0, ( ) (1 )
m
p
u
k
σ
β
γ
Lu x u u u t x F u F u u u
≡ −
+
∇ ∇ ∇
+
=
=
−
(
)
∂
, (6)
t
(0, )
(
)
0,
u x
=
u
0
x
≥
N
x R
∈
. (7)
При условии когда
γ
γ
( , ) ( )
t x t
≤
,
F u F u
( )
(0)
=′
σ
+
− −
=
k p
( 2) 1
0
найдена оценка
распространения волны для линеаризованной задачи в виде
∂
−
2
( ) (0)
m
p
u
k
σ
(
)
Lu x u u u t F u
≡ −
+
∇ ∇ ∇
+
′
γ
∂
.
t
⎜
⎝⎛
σ
1
2
ξ
⎟
⎠⎞
σ
z t x
=
u t a
−
, где
а
>0 постоянная,
Теорема 2.3.
Пусть
ξ
−
x
m
( , ) ( )
4
+
ϕ
2
2
=
=
- определенные выше функции.
ϕ
τ
1/ 2
x u t t
τ
, ( )
2
, ( ), ( )
2
−
m
N
( ) ( )[ ( )]
( 1)
<
−
+
m
σ
τ
. Тогда,
Пусть выполнены неравенства
, 2
F u t u t
≤
2
−
m
если
( ) (0, )
0
u x
≤
z x
, то задача (6)-(7) глобально разрешима и имеет место оценка
u
(
t
,
x
)
≤
z
(
t
,
x
)
в
Q.
В настоящей работе построена и исследована нелинейная модель
Колмогоров-Фишера с конвективным переносом пространственно временной
динамики одной популяции с нелинейной диффузией степенного вида самой
функции и ее производной.
⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
k
p
−
2
u u u u
σ
β
γ
=
+
+
− ⎜ ⎟
u a t x t u u
( ) ( , ) 1 ,
(
)
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1 1
x R t R
, ,
∈ ∈
+
+
(8)
t x x x x
γ
γ
(
)
1
( , ) ( ) ,
x t t C R
≤ ∈
+
1
u u x x R
=
≥ ∈
( ) 0, ,
=
+
0 0
t
u t t
=
>
(9)
x
=
0
ψ
( ), 0.
Для анализа начальных и граничных условий, а также решения
необходимо приближенно решить уравнение (8).
l
∫
(
)
x a t dt
ξ
Теорема 2.4.
Пусть
0 1
≤ ≤
u x
0
(
)
,
x
∈
R
,
−
=
i
0
.
(
)
21
τ
T
(
t
)
+
Тогда для решения задачи (8), (9) в
Q
=
{(
t
,
x
)
;
t
>
0,
x
∈
R
}
имеет место
двухсторонняя оценка
t
β
σ
η
ψ
η
η
−
1 1
( ) ( )
σ
σ
σ
σ
σ
σ
ψ
τ
ξ
τ
ξ
∫
k d
1/( ( 2)) 2 1/( ( 2)) 2
( 2) ( 2)
( )( ( )) ( ) ( , ) ( ( )) ( )
p k p p k p
k p k p
t T t a u t x e T t a
+
− ≤ ≤
+
−
,
−
+
+
− −
+
+
− −
+
−
+
0
4 4
+
+
где
ψ
(
t
)
определенная выше функция.
Полученная оценка решения использована при компьютерном
моделировании нелинейного процесса биологической популяции. В частном
27
случае для некоторых численных параметров найдено точное решение
уравнения (8) и используя принцип сравнения, анализированы и
визуализированы численные решения рассмотренной задачи.
В третьей главе диссертации
«Численное моделирование
автомодельных решений системы квазилинейных уравнений реакции
диффузии задачи биологической популяции типа Колмогорова Фишера»
в области
Q t x t x R
=
<
∈
{( , ): 0 , }
рассмотрена параболическая система двух
квазилинейных уравнений реакции-диффузии задачи биологической
популяции типа Колмогорова-Фишера
⎧∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤
u u u
a u a u b u b u k t u u
=
+
+
+
+
− ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎨⎪∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤
( ) ( ) ( ) (1 ),
β
m m m m
1 1 2
1
t x x x
11 1 12 2 11 1 12 2 1 1 2
u u u
a u a u b u b u k t u u
=
+
+
+
+
−
⎪
⎢ ⎥
⎩ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦
(10)
( ) ( ) ( ) (1 ),
β
m m m m
2 1 2
2
t x x x
21 1 22 2 21 1 22 2 2 2 1
где
ij
a
,
ij
b
- положительные
вещественные числа,
β
1
,
β
2
≥
0
,
u
1
=
u
1
(
t
,
x
)
≥
0
,
u
2
=
u
2
(
t
,
x
)
≥
0
- искомые решения. При
a
ij
≠
0
,
b
ij
=
0
или
a
ij
=
0
,
b
ij
≠
0
(10)
представляет собой систему типа реакция-диффузия с коэффициентами
диффузии
≥
0,
≥
0
a
ij
u
i
b u
. В случае, когда хотя бы один из коэффициентов
m
m
ij i
a
ij
≠
0
и
b
ij
≠
0
(знак может быть любым), система (10) является кросс
диффузионной (взаимно-диффузионной для i,j=1,2).
Качественные свойства рассматриваемой задачи исследуются путем
построения автомодельной системы уравнений для (10).
⎧ ⎡ ⎤ ⎪
+
+
+
+
+
−
=
⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎨
⎪ ⎡ ⎤
d
df df df
a f a f b f b f f f
ξ
( ) ( ) (1 ) 0 ,
β
m m m m
1 2 1
1
ψ
d d d d
ξ
ξ
ξ
ξ
11 1 12 2 11 1 12 2 1 1 2
2
d
df df df
a f a f b f b f f f
+
+
+
+
+
−
=
⎪
⎢ ⎥ ⎩ ⎣ ⎦
(11)
ξ
( ) ( ) (1 ) 0,
β
m m m m
1 2 2
2
ψ
d d d d
ξ
ξ
ξ
ξ
21 1 22 2 21 1 22 2 2 2 1
2
Система (11) имеет приближенное решение вида
1 2
f A a b f B a b y y
( ) , ( ) ( ) max(0, )
η
η
2 2
1 2
=
−
=
−
=
ξ
ξ
+
+
+
.
Может существовать три типа автомодельных режимов с обострением:
НS, S и LS.
При
0
<
β
i
<
m
i
,
i
=
1,2
реализуется НS−режим. Исследования показали, что
автомодельная задача в этом случае имеет единственную собственную
функцию, монотонно убывающую на отрезке с максимумом в центре
симметрии. Автомодельное решение представляет собой волну, амплитуда и
фронт которой увеличиваются в режиме с
обострением. При
β
i
=
m
i
,
i
=
1,2
имеет место S−режим.
Автомодельное
решение
представляет
собой
нестационарную
диссипативную
локализованную структуру. Внутри области локализации количество особи
растет в режиме с обострением, а вне ее остается равной нулю.
Автомодельное решение в LS−режиме представляет собой нестационарную
диссипативную структуру, решение при
T
=
−
τ
обращается в бесконечность
только в одной точке – центре симметрии.
28
Автомодельные решения могут существовать при
>
m
,
i
=
1,2.
β
i i
Ниже
приводятся результаты численных экспериментов для различных значений
параметров (рис.1).
Значения
параметров
t
=
1
a a b b
=
=
=
=
0; 1; 0; 0
11 12 11 12
a a b b
=
=
=
=
0; 0; 1; 0
21 22 21 22
t
=
40
a a b b
=
=
=
=
0; 1; 0; 0
11 12 11 12
a a b b
=
=
=
=
0; 0; 1; 0
21 22 21 22
t
=
40
a a b b
=
=
=
=
0; 0; 0; 1
11 12 11 12
a a b b
=
=
=
=
1; 0; 0; 0
21 22 21 22
LS-режим
m
1
=
2 ,
m
2
=
2
β
1
=
3,
k
1
=
2
β
2
=
3,
k
2
=
9
10
−
3
eps
=
ˆ
m
i
β
i
β
ij
<
<
ˆ
β
ij
=
m
i
+
m
i
j
−
,
/( 1)
j
=
3
S-режим
m
1
=
4 ,
m
2
=
4
β
1
=
4,
k
1
=
2
β
2
=
4,
k
2
=
9
10
−
3
eps
=
m
i
=
β
i
(FRAME
+
1)
,
time2(FRAME
+
me1(FRAME
+
70)
,
time2(FRAME
+
70)
time1(FRAME
+
100)
,
time2(FRAME
+
100)
HS-режим
m
1
=
1.4 ,
m
2
=
1.4
β
1
=
0.5,
k
1
=
2
β
2
=
0.7,
k
2
=
5
10
−
3
eps
=
β
i
<
m
i
time1(FRAME
+
0)
,
time2(FRAME
+
0)
time1(FRAME
+
70)
,
time2(FRAME
+
70)
time1(FRAME
+
90)
,
time2(FRAME
+
90)
Рис.1. Результаты вычислительного эксперимента нахождения
автомодельных решений системы квазилинейных уравнений реакции
time1(FRAME
+
0)
,
time2(FRAME
+
0)
time1(FRAME
+
50)
,
time2(FRAME
+
50)
time1(FRAME
+
70)
,
time2(FRAME
+
70)
диффузии задачи биологической популяции типа Колмогорова-Фишера
Результаты вычислительного эксперимента показали, что собственная
ˆ
функция с номером
j
=
2,3,4,...
существует в интервале
m
i
β
i
β
ij
<
<
, где
ˆ
β
ij
=
m
i
+
m
i
j
−
,
i
=
1,2
,
j
=
2,3,4,...
.
/( 1)
Значения
β
i
=
m
i
и
ˆ
=
являются точками, в
которых прекращает
β
i
β
ij
свое существование собственная функция. Первая собственная функция
существует при любом значении
ˆ
β
i
>
m
i
,
i
=
1,2
. При
i i
2
m
i
β
>
β
2
=
,
i
=
1,2
автомодельная задача в LS режиме может иметь только одну собственную
функцию.
29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представлены следующие выводы по теме диссертации «Численное
моделирование нелинейной системы биологической популяции типа
Колмогорова-Фишера»:
1. Исследованы два класса моделей - модели одной популяции и
системы конкурирующих популяций. Одним из основных принципиальных
отличий рассматриваемых моделей от широко известной модели
Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП) является ограниченность и
пространственная локализация вспышки. В предложенной новой модели
найдены соответствуюшие асимптотики автомоделных решений. Введение
степенной нелинейности в демографические процессы (принцип Олли), как
оказалось, в ряде случаев порождает такую же пространственную динамику,
как и степенной коэффициент нелинейности в миграционных членах.
2. Доказан, что одним из эффективных методов исследования
нелинейных задач являются метод нелинейного расщепления и метод
эталонных уравнений. В связи с этим обоснован алгоритм нелинейного
расщепления для решения уравнений многокомпонентных конкурирующих
систем биологической популяции.
3. Полученные оценки для решения задачи Коши многокомпонентных
конкурирующих систем биологической популяции с двойной нелинейностью,
в зависимости от значений параметров среды и размерности пространства
обуславливают локализацию решения нелинейной модели реакции диффузии.
4. Построены нижние и верхние решения задачи Коши алгоритмом
нелинейного
расщепления
для
уравнения
многокомпонентных
конкурирующих систем биологической популяции, что позволяет строить
асимптотику обобщенных решений с компактным носителем и исчезающих
на бесконечности решений систем автомодельных уравнений.
5. Исследованы асимптотические поведения решения задачи для
квазилинейного уравнения многокомпонентных конкурирующих систем
биологической популяции.
6. Численно исследованы нелинейные процессы многокомпонентных
конкурирующих систем биологической популяции, проведен анализ
результатов на основе полученных оценок решений, который показал
высокую производительность алгоритмов и комплексов программ при
нахождении новых эффектов для решения системы параболических
уравнений.
7. Разработанные численные схемы, алгоритмы и комплекс программ
дают возможность осуществить компьютерное моделирование для изучения
процессов реакции-диффузии биологической популяции на основе
качественных свойств нелинейной математической модели и определяет
появления диссипативной структуры.
30
SCIENTIFIC COUNCIL AWARDING SCIENTIFIC DEGREES
DSc.27.06.2017.Т.07.01 AT TASHKENT UNIVERSITY OF
INFORMATION TECHNOLOGIES
TASHKENT UNIVERSITY OF INFORMATION TECHNOLOGIES
MUKHAMEDIYEVA DILDORA KABILOVNA
NUMERICAL MODELING OF THE NON-LINEAR SYSTEM OF A
BIOLOGICAL POPULATION OF THE KOLMOGOROV-FISHER TYPE
05.01.07 – Mathematical modelling. Numerical methods and software complexes
DISSERTATION ABSTRACT OF THE DOCTOR OF PHILOSOPHY (PhD)
ON TECHNICAL SCIENCES
Tashkent-2017
31
The theme of doctor of philosophy (PhD) was registered at the Supreme Attestation
Commission at the Cabinet of Ministers of the Republic of Uzbekistan under number
В2017.1.PhD/T7.
The dissertation has been prepared at Tashkent University of Information Techologies. The abstract
of the dissertation is posted in
Three
languages (Uzbek, Russian, English (resume)) on the website
www.tuit.uz and an the website of «ZiyoNet» Information and educational portal www.ziyonet.uz.
Scientific adviser: Aripov Mersaid
doctor of physical-mathematical sciences, professor
Official opponents:
Usmanov Rishat Niyazbekovich
doctor of technical sciences
Imomnazarov Xolmat Xudoynazarovich
(Russian Federation)
doctor of physical-mathematical sciences, professor
Leading organization: Tashkent State Technical University
The defense will take place “_____” ________________ 2017 at _________ the meeting of
Scientific council No. DSc.27.06.2017.Т.07.01 at Tashkent University of Information Technologies
(Address: 100202, Tashkent city, Amir Temur street, 108. Tel.: (+99871) 238-64-43, fax: (+99871) 238-
65-52, e-mail: tuit@tuit.uz).
The dissertation can be reviewed at the Information Resourse Centre of the Tashkent University of
Information Technologies (is registered under No._____). (Address: 100202, Tashkent city, Amir Temur
street, 108. Tel.: (+99871) 238-64-43, fax: (+99871) 238-65-52).
Abstract of dissertation sent out on “____” ______________ 2017 y.
(mailing report No. ___ on “____” ______________ 2017 y.).
R.Kh.Khamdamov
Chairman of the scientific council
awarding scientific degrees,
doctor of technical sciences, professor
F.М.Nuraliyev
Scientific secretary of scientific council
awarding scientific degrees,
doctor of technical sciences
N.Ravshanov
Chairman of the academic seminar under the
scientific council awarding scientific degrees,
doctor of technical sciences
32
INTRODUCTION (abstract of PhD thesis)
The aim of the research work.
The aim of the study is to develop
numerical models describing the processes of multicomponent systems competing
biological population quasilinear parabolic equations and their systems in
homogeneous and inhomogeneous medium by the method of nonlinear splitting.
The tasks of research:
investigate the properties of two classes of models - models of nonlinear
population, and a system of competing populations;
modeling on a computer the processes of one and multi-component systems
competing biological population based on the algorithm of nonlinear splitting;
construct lower and upper solutions of the Cauchy problem by the algorithm of
nonlinear splitting for multi-component systems competing biological population
equation depending on the values of environmental parameters and the dimension
of the space;
develop asymptotic expressions for solving systems of parabolic equations
describing nonlinear process multicomponent competing biological populations;
create an initial approximation for the application of iterative methods and to
construct a numerical scheme in the study of nonlinear processes in multi
component systems competing biological population;
create algorithms and software for solving the foregoing problems, to
determine new effects associated with the nonlinearity, visually present the
decision to conduct a computational experiment.
The object of the research work.
The object of the study are the nonlinear
processes of the biological population, described by nonlinear parabolic equations
and their systems.
Scientific novelty of the research work.
The scientific novelty of the study
is as follows:
developed methods to produce self-similar and approximately self-similar
solutions for nonlinear models of multicomponent systems competing biological
population based on the algorithm of nonlinear splitting;
identified new properties of a nonlinear mathematical model of the process
of multicomponent competing biological population described by a system of
Kolmogorov-Fisher type parabolic equations;
developed asymptotic expressions of solutions of self-similar equations and
estimates of solutions of the Cauchy problem for multicomponent competitive
systems of equations of biological population depending on parameter values the
environment and the dimension of the space;
developed methods for constructing lower and upper solutions is needed for
computer calculations of multicomponent tasks competing tasks biological
populations;
created appropriate initial approximation, which provides the calculations
with the required accuracy depending on the numerical values of the parameters
using iterative techniques for fast and accurate numerical solution of the nonlinear
task of Kolmogorov-Fisher type biological population;
33
developed computational schemes, algorithms and a software for performing
numerical simulation of nonlinear mathematical models.
The outline of the thesis.
The volume of the thesis is 105 pages typewritten
text, illustrated by 8 drawings and 1 tables.
34
ЭЪЛОН ҚИЛИНГАН ИШЛАР РЎЙХАТИ
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
LIST OF PUBLISHED WORKS
I бўлим (Часть I; Part I)
1. Мухамедиева Д.К. Подходы к решению одной задачи биологической
популяции //Узбекский журнал проблемы информатики и энергетики, -
Ташкент, №6, 2012, с. 31-37, (05.00.00; №5).
2. Мухамедиева Д.К. Подходы к решению одной задачи биологической
популяции в гетерогенной среде //Узбекский журнал проблемы
информатики и энергетики, -Ташкент, №5-6, 2013, с. 3-10, (05.00.00; №5).
3. Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Численные эксперименты и методы
решения одной задачи биологической популяции // Международный
научно-технический журнал Химическая технология. Контроль и
управление,
-
Ташкент, №1, 2013, с .59-67, (05.00.00; №12).
4. Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Об одном подходе решения
популяционной задачи с нелокальной нелинейностью//Международный
научно-технический журнал Химическая технология. Контроль и
управление, -Ташкент, №4, 2013, с.58-66, (05.00.00; №12).
5. Мухамедиева Д.К. Автомодельные решения системы реакции диффузии
одной задачи биологической популяции типа Колмогорова-Фишера // ДАН
РУз, №3, -Ташкент, 2014, с. 21-24, (01.00.00; №7).
6. Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Популяционные модели типа
Колмогорова-Фишера с нелинейной кросс- диффузией //Международный
научно-технический журнал Химическая технология. Контроль и
управление, -Ташкент, № 2, 2014, с. 46-52, (05.00.00; №12).
7. Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. К решению обобщенного уравнения в
задаче биологической популяции конвективного переноса //Международный
научно-технический журнал Химическая технология. Контроль и управление,
-Ташкент, № 3, 2014, с. 71-76, (05.00.00; №12).
8. Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Кросс-диффузионные модели с двойной
нелинейностью в гетрогенной среде //Международный научно
технический журнал Химическая технология. Контроль и управление,
-Ташкент, № 4, 2014, с.76-84, (05.00.00; №12).
9. Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Подходы к численному моделированию
задачи реакции с диффузией типа Колмогорова-Фишера в двумерном
случае //Узбекский журнал проблемы информатики и энергетики, -
Ташкент, №1-2, 2014, с. 21-26, (05.00.00; №5).
10.Мухамедиева Д.К. Численное моделирование и алгоритм расщепления в
задаче реакции с диффузией типа Колмогорова-Фишера //Узбекский
журнал проблемы информатики и энергетики, -Ташкент, №5, 2014, с. 30-
36, (05.00.00; №5).
11.Мухамедиева Д.К. Численное моделирование задач биологической
популяции в гетерогенной среде //Узбекский журнал проблемы
35
информатики и энергетики, -Ташкент, №6, 2014, с. 26-32, (05.00.00; №5).
12.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Волны в диффузионных системах одной
задачи биологической популяции типа Колмогорова-Фишера с двойной
нелинейной кросс-диффузией //Узбекский журнал проблемы информатики и
энергетики, -Ташкент, №3-4, 2015, с. 44-51, (05.00.00; №5). 13.Мухамедиева
Д.К. Численное моделирование кросс-диффузионной системы биологической
популяции с двойной нелинейностью в гетерогенной среде // Узбекский
журнал проблемы информатики и энергетики, -Ташкент, №6, 2015, с. 21-28,
(05.00.00; №5).
14.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Популяционные модели конвективного
переноса типа Колмогорова-Фишера с двойной нелинейной кросс
диффузией //Международный научно-технический журнал Химическая
технология. Контроль и управление, -Ташкент, № 5, 2015, с.16-20,
(05.00.00; №12).
15.Мухамедиева Д.К. Подходы для решения системы квазилинейных
уравнений реакции-диффузии задачи биологической популяции
конвективного переноса с двойной нелинейностью //Вестник ТУИТ,
-Ташкент, №1, 2016, с.70-77, (05.00.00; №10).
16.Мухамедиева Д.К. Моделирование нелинейной системы уравнений
реакции-диффузии задач биологической популяции типа Колмогорова
Фишера //ДАН РУз, -Ташкент, №1, 2016, с.43-46, (01.00.00; №7).
17.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Кросс-диффузионные модели
конвективного переноса с двойной нелинейностью. //Проблемы
вычислительной и прикладной математики, -Ташкент, №1, 2015, с.5-9,
(05.00.00; №23).
18.Мухамедиева Д.К. Численное моделирование нелинейных процессов
биологической
популяции
типа
Колмогорова-Фишера
в
двухкомпонентных нелинейных средах //Проблемы вычислительной и
прикладной математики, -Ташкент, №4, 2016, с.13-19, (05.00.00; №23).
19.Мухамедиева Д.К. Свойства решений систем параболических уравнений с
кросс-диффузией
и
конвективным
переносом
//
Проблемы
вычислительной и прикладной математики, -Ташкент, №2, 2017, с.62-68,
(05.00.00; №23).
20.Мухамедиева Д.К. Численное моделирование нелинейной системы
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера с конвективным
переносом //Международный научно-технический журнал Химическая
технология. Контроль и управление, -Ташкент, №1, 2017, с.68-75,
(05.00.00; №12).
21.Mukhamediyeva D.K. Wave solutions in two-component nonlinear diffusion
systems of Kolmogorov-Fisher type biological population task //International
Journal of Research and Reviews in Applied sciences, Vol.3, № 6, 2015, p.75-
85, (01.00.00; №7).
22.Mukhamediyeva D.K. Qualitative properties and numerical solution of the
Kolmogorov-Fisher type biological population task with double nonlinear
diffusion // Journal of Applied Mathematics and Physics, № 3, 2015, р.1249-
36
1255, (01.00.00; №6).
23.Aripov M.M., Mukhamediyeva D.K. Splitting algorithm in Kolmogorov-Fisher
type reaction-diffusion task //International Journal of Mathematics and
Computer Applications Research, Vol.3, № 4, 2013, р. 1-8, (№02) Journal
Impact Factor, IF=4.1736.
24.Aripov M.M., Mukhamediyeva D.K. To the numerical modeling of self-similar
solutions of reaction-diffusion system of the one task of biological population
of Kolmogorov-Fisher type //International Journal of Research in Engineering
and Technology, Vol.2, №11, 2013, p.281-286, (№2) Journal Impact
Factor,IF=2.375.
25.Mukhamediyeva D.K. Population models with nonlinear diffusion of
Kolmogorov-Fisher type // International Journal in Research in Applied,
Natural and Social Science, Vol.2, №2, 2014, p.1-10, (№2) Journal Impact
Factor, IF=2.7341.
26.Mukhamediyeva D.K. Population Models of Kolmogorov-Fisher Type with
Double Nonlinearity and Nonlinear Cross Diffusion // International Journal of
Mathematics and Computer Applications Research, Vol.4, № 3, 2014, p.59-72,
(№2) Journal Impact Factor, IF=4.2949.
27.Mukhamediyeva D.K. System of quasilinear equations of reaction-diffusion
tasks of Kolmogorov-Fisher type biological population task in two-dimensional
case //International Journal of Research in Engineering and Technology, Vol.3,
№7, 2014, p.327-334, (№2) Journal Impact Factor, IF=2.375.
28.Mukhamediyeva D.K. Qualitative properties of solution of cross-diffusion
model of Kolmogorov-Fisher type biological population task //International
Journal of Applied Mathematics & Statistical Sciences, Vol.3, № 6, 2014,
p.39-44, (№2) Journal Impact Factor,IF=1.8673.
II бўлим (Часть II; Part II)
29.Mukhamediyeva D.K. Properties of Solutions of Kolmogorov-Fisher Type
Biological Population Task with Variable Density //Journal of Applied
Mathematics and Physics, № 4, 2016, р.903-913.
30.Fazilova M., Mukhamediyeva D.K. Multi-agent system for assessing the status
of weakly formalized systems //International Journal of Management,
Information Technology and Engineering, Vol. 4, № 7, 2016, p.47-54.
31.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Численное моделирование одной задачи
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера с конвективным
переносом //Естественные и технические науки, 2013, №3. –Москва,
299-302.
32.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Численное моделирование
популяционной динамики с нелокальным взаимодействием в двумерном
случае // Технические науки - от теории к практике,2013, №25,-
Новосибирск, с. 21-26.
33.Aripov M.M., Mukhamediyeva D.K. Numerical modeling of population tasks
with nonlocal nonlinearity // "Science and Education". Germany. -Munich.
2013. p.35-46.
37
34.Aripov M.M., Mukhamediyeva D.K. Formalizing of self-similar solutions of
biological population task of Kolmogorov-Fisher type in peaking regimes //
Proceedings of WCIS-2014, b –Quadrat Verlag. 2014. Р. 34-38.
35.Aripov M.M., Mukhamediyeva D.K. Population model of two competing
populations with double nonlinear diffusion // International scientific and
technical journal “Chemical technology. Control and management., № 3-4” and
“Journal of Korea multmedia society” South Korea, Seoul – Uzbekistan, -
Tashkent. – 2015. –С.87-92.
36.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Подходы к решению одной задачи
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера с конвективным
переносом // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -
Ташкент. 2013. Вып.129. -С.22-31.
37.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. К решению уравнений в задаче
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера с конвективным
переносом // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -
Ташкент. 2014. Вып.130. -С.131-151.
38.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Популяционные модели типа
Колмогорова- Фишера с двойной нелинейностью для двумерного случая //
Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент. 2014.
Вып.131. -С. 27-37.
39.Мухамедиева Д.К. Двумерная задача реакции с диффузией типа
Колмогорова- Фишера с нелокальным взаимодействием //Материалы
Международной
научно-практической
конференции
«Актуальные
исследования гуманитарных, естественных , точных и общественных
наук. - Новосибирск. -2013. –С.147-150.
40.Мухамедиева Д.К. Waves in excitable systems with cross-diffusion
//Материалы международной конференции «Актуальные проблемы
прикладной математики и информационных технологий – Аль-Хорезми
2014».– Самарканд. 2014. – С.46-47.
41.Мухамедиева Д.К. Автомодельное решение популяционной модели типа
Колмогорова-Фишера
с
двойной
нелинейностью
//Материалы
международной конференции «Актуальные проблемы прикладной
математики и информационных технологий – Аль-Хорезми 2014». –
Самарканд. 2014. – С.112-115.
42.Мухамедиева Д.К. Кросс-диффузионные модели задачи биологической
популяции типа Колмогорова-Фишера и качественные свойства ее
решения // Материалы международной конференции «Актуальные
проблемы прикладной математики и информационных технологий – Аль
Хорезми 2014».– Самарканд. 2014. – С.115-119.
43.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Волны в диффузионных системах одной
задачи биологической популяции типа Колмогорова-Фишера //Материалы
VII международной научной конференции «Приоритетные направления в
области науки и технологий в XXI веке». -Ташкент, 30-31 мая 2014 г.
-С.198-205.
38
44.Мухамедиева Д.К. Вычислительный эксперимент для решения задачи
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера с двойной
нелинейностью
//Материалы
международной
научно-технической
конференции
«Радиоэлектроника,
информационные
и
телекоммуникационные технологии: проблемы и развитие». -Ташкент. –
2015. –С.41-44.
45.Мухамедиева Д.К. Вычислительный эксперимент для решения системы
моделей двух конкурирующих популяций с двойной нелинейной
диффузией
//
Материалы
международной
научно-технической
конференции
«Радиоэлектроника,
информационные
и
телекоммуникационные технологии: проблемы и развитие». -Ташкент. –
2015. –С.48-50.
46.Aripov M.M., Mukhamediyeva D.K. Solving the task of fuzzy multicriterial
optimization in the risk conditions // Proceedings of 3rd International
Conference on Mathematical, Computational and Statistical Sciences (MCSS
'15)– 2015, -Dubai, United Arab Emirates February 22-24, 2015, p.316- 320.
47.Aripov M.M., Mukhamediyeva D.K. Population model with double nonlinear
diffusion // Proceedings of 11th International Conference on Multimedia
Information Technology and Applications. -Ташкент. – 2015, р.426-431.
48.Мухамедиева Д.К. Разработка экономичных разностных схем и
алгоритмов задачи биологической популяции типа Колмогорова-Фишера //
Материалы докладов международной конференции Центрально Азиатской
Ассоциация женщин в математике (ЦААЖМ) «Актуальные проблемы
математике и механики в Центральной Азии». -Алматы. – 2016. –С.28-30.
49.Aripov M.M., Mukhamediyeva D.K. Numerical solution of the problem of
Kolmogorov-Fisher type biological population task with double nonlinear
diffusion //Proceedings of Ninth World Conference “Intelligent Systems for
Industrial Automation”, WCIS-2016, 25-27 October 2016, -Tashkent,
Uzbekistan. –С.190-193.
50.Мухамедиева Д.К. К численному исследованию одной задачи
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера с конвективным
переносом
//Материалы
Республиканской
научно-практической
конференции «Новые теоремы молодых математиков – 2013». – Наманган.
2013. Том №2. -С.195-198.
51.Мухамедиева Д.К. Методы решения задачи биологической популяции в
гетерогенной среде //Материалы Республиканского научно-практического
семинара «Математика, механика ва информатика фанларининг ривожида
ѐшларнинг ўрни». –Ташкент. 2013 . -С.52-55.
52.Мухамедиева Д.К. Методы решения задачи биологической популяции в
одномерном случае //Материалы Республикансой научно-теоретической
конференции «Аѐллар Фан ва таълим тизимида».-Ташкент. 2013. С.87-90.
53.Мухамедиева Д.К. Численные схемы и вычислительный эксперимент в
задаче реакции с диффузией типа Колмогорова-Фишера
39
//Материалы
Республиканской
научно-технической
конференции
«Перспективы
развития
информационных
технологий
и
телекоммуникационных систем». -Ташкент. – 2014. –С.143-146.
54.Мухамедиева
Д.К.
Вычислительный эксперимент для решения
параболической системы квазилинейных уравнений реакции- диффузии
//Материалы
Республиканской
научно-технической
конференции
«Перспективы
развития
информационных
технологий
и
телекоммуникационных систем». -Ташкент. – 2014. –С.146-148.
55.Мухамедиева Д.К. Волны в диффузионных системах одной задачи
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера в одномерном
случае // Материалы научно-технической конференции «Прикладная
математика и информационная безопасность». -Ташкент. – 2014. –С.145-
150.
56.Мухамедиева Д.К. Вычислительный эксперимент для анализа
автомодельных режимов с обострением в задаче реакции с диффузией
типа Колмогорова-Фишера //Материалы Республиканской научно
технической конференции «Перспективы развития информационных
технологий и телекоммуникационных систем». -Ташкент. – 2015. –С.75-
77.
57.Мухамедиева Д.К. Вычислительный эксперимент для решения кросс
диффузионной модели с двойной нелинейностью в гетрогенной среде
//Материалы Республиканской научно-технической конференции
«Перспективы развития информационных технологий и
телекоммуникационных систем». -Ташкент. – 2015. –С.78-79.
58.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Задачи биологической популяции типа
Колмогорова-Фишера
с
двойной
нелинейностью
// Материалы
Республиканской научной конференции с участием зарубежных ученых
«Современные методы математической физики и их приложения». -
Ташкент. – 2015. –С.211-213.
59.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Качественные свойства решения задачи
биологической популяции с двойной нелинейной диффузией на основе
автомодельного анализа //Материалы Республиканской научно технической
конференции «Современное состояние и перспективы применения
информационных технологий в управлении». -Ташкент. – 2015. –С.112-117.
60.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Решение задачи биологической
популяции типа Колмогорова-Фишера с нелинейной кросс-диффузией
//Материалы Республиканской научно-технической конференции
«Современное состояние и перспективы применения информационных
технологий в управлении». -Ташкент. – 2015. –С.117-122.
61.Мухамедиева Д.К. Решение квазилинейного уравнения реакции диффузии
биологической популяции с двойной нелинейностью //Материалы
Республиканской научно-технической конференции «Проблемы
информационных и телекоммуникационных технологий». - Ташкент. –
2016. –С.335-336.
40
62.Мухамедиева Д.К. Решение кросс-диффузионной модели биологической
популяции с двойной нелинейностью и с переменной плотностью
//Материалы Республиканской научно-технической конференции
«Проблемы информационных и телекоммуникационных технологий».
-Ташкент. – 2016. –С.312-313.
63.Мухамедиева Д.К. Подходы к решению квазилинейного уравнения
реакции-диффузии с двойной нелинейной диффузией //Материалы
Республиканской научно-технической конференции «Фан, таълим ва
ишлаб чиқариш интеграциясини ахборот-коммуникация технологиялари
асосида ривожлантириш истиқболлари». -Карши. – 2016. –С.179-182.
64.Мухамедиева Д.К. Алгоритм настройки параметров нелинейных
регуляторов при управлении динамическими объектами //Материалы
докладов
республиканской
научно-технической
конференции
«Современное состояние и перспективы применения информационных
технологий в управлении». -Жиззах. – 2016. –С.86-92.
65.Мухамедиева Д.К. Подходы к решению квазилинейного уравнения
реакции-диффузии с двойной нелинейностью //Материалы докладов
республиканской
научно-технической
конференции
«Современное
состояние и перспективы применения информационных технологий в
управлении». -Жиззах. – 2016. –С.92-95.
66.Мухамедиева Д.К. Численное решение задачи биологической популяции
типа Кoлмогорова-Фишера с переменной плотностью //Материалы
докладов V Международной конференции «Актуальные проблемы
прикладной математики и информационных технологий –Ал-Хорезми
2016», 9-10 ноябрь, -Бухора, 2016. -С.85-87.
67.Мухамедиева Д.К. Качественные свойства задачи биологической
популяции типа Колмогорова-Фишера с двойной нелинейной диффузией //
Материалы докладов V Международной конференции «Актуальные
проблемы прикладной математики и информационных технологий –Ал
Хорезми 2016», 9-10 ноябрь, -Бухора, 2016. -С.87-91.
68.Мухамедиева Д.К. Методы решения задачи биологической популяции в
двумерном случае // Материалы докладов республиканской научной
конференции
«Задачи
алгебры,
прикладной
математики
и
информационные технологии». -Наманган, 20-21 декабрь, 2016, том I, -С.
198-202.
69.Мухамедиева Д.К. Популяционные модели с кросс-диффузией с двойной
нелинейностью // Материалы докладов республиканской научной
конференции
«Задачи
алгебры,
прикладной
математики
и
информационные технологии». -Наманган, 20-21 декабрь, 2016, том I, -
С.203-210.
70.Мухамедиева Д.К. О глобальной разрешимости квазилинейного
уравнения реакции-диффузии с двойной нелинейностью //Материалы
докладов Республиканской Школы-семинар «Кубатурные формулы и их
приложения». -Ташкент, 15-16 марта 2017 г. –С.68.
71.Мухамедиева Д.К. Численное моделирование двух конкурирующих
41
популяций с двойной нелинейной диффузией и с переменной плотностью
//Материалы
Республиканской
научно-технической
конференции
«Значение
информационно-коммуникационных
технологий
в
инновационном развитии реальных отраслей экономики». -Ташкент. – 6-7
апреля 2017 г. –С.231-232.
72.Мухамедиева Д.К. О глобальной разрешимости квазилинейного
уравнения
популяции
параболического
типа
//Материалы
Республиканской
научно-технической
конференции
«Значение
информационно-коммуникационных
технологий
в
инновационном
развитии реальных отраслей экономики». -Ташкент. – 6-7 апреля 2017 г. –
С.233-234.
73.Мухамедиева Д.К. Качественные свойства и численное моделирование
автомодельных решений системы квазилинейных уравнений
биологической популяции //Материалы XVII Международной научно
методической конференции «Информатика: проблемы, методология,
технологии». -Воронеж. – 9-10 февраля 2017 г. –С.303-306.
74.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Свидетельство об официальной
регистрации программы для ЭВМ "Программа решения задач
биологической популяции конвективного переноса на основе алгоритма
нелинейного
расщепления"
//
№DGU
02892.
Агенство
по
интеллектуальной собственности РУз. –Ташкент. 06.11.2014.
75.Мухамедиева Д.К. Свидетельство об официальной регистрации
программы для ЭВМ "Программа решения задач биологической
популяции с двойной нелинейностью и с переменной плотностью" //
№DGU 03995. Агенство по интеллектуальной собственности РУз. -
Ташкент. 30.08.2016.
76.Мухамедиева Д.К., Ниѐзматова Н.А. Свидетельство об официальной
регистрации программы для ЭВМ "Программа решения задач
оптимизации с помощью гибридных эволюционных алгоритмов"// №DGU
03996. Агенство по интеллектуальной собственности РУз. -Ташкент.
30.08.2016.
77.Мухамедиева Д.К. Свидетельство об официальной регистрации
программы для ЭВМ "Программа численного моделирования процессов
биологической популяции в двухкомпонентных нелинейных средах с
переменной плотностью"// №DGU 03998. Агенство по интеллектуальной
собственности РУз. -Ташкент. 30.08.2016.
78.Арипов М.М., Мухамедиева Д.К. Численное моделирование задач
биологической популяции // Издательство «Lambert Academic Publishing».
AV Akademikerverlag GmbH&Co.KG Heinrich-Böcking-Str. 6-8, 66121
Saarbrucken, Germany. 2014. 100с.
42
Автореферат "Муҳаммад ал-Хоразмий авлодлари" илмий-амалий ва
ахборот таҳлилий журнали таҳририятида таҳрирдан ўтказилди ва ўзбек, рус
тилларидаги матнларини мослиги текширилди (28.06.2017 й.).
Бичими 60х84 1/16. Ризограф босма усули. Times гарнитураси.
Шартли босма табоғи. 6т. Адади100.Буюртма № 22.
«ЎзР Фанлар Академияси Асосий кутубхонаси» босмахонасида чоп этилган.
Босмахона манзили: 100170, Тошкент ш., Зиѐлилар кўчаси, 13-уй.
43
44
