МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЗБЕКИСТАНА
имени МИРЗО УЛУГБЕКА
На правах рукописи
УДК
517.98
САДАДДИНОВА САНОБАР САБИРОВНА
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
И
ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
В ПРОСТРАНСТВАХ БАНАХА
–
КАНТОРОВИЧА
01.01.01 –
математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико
-
математических наук
Ташкент
– 2010
Работа выполнена на кафедре
«
Алгебра и функциональный анализ
»
Национального Университета Узбекистана имени Мирзо Улугбека
Научный руководитель
:
доктор физико
-
математических наук
,
профессор
Ганиев Иномжон Гуломджанович
.
Официальные оппоненты
:
доктор физико
-
математических наук
,
профессор
Абдуллаев Рустамбой Зайирович
,
кандидат физико
–
математических наук Арзикулов Фарход
Нематжанович
.
Ведущая организация
:
Каракалпакский государственный университет
.
Защита диссертации состоится
«___»__________2011
г
.
в
____
часов на
заседании специализированного совета Д
067.02.03
при Национальном
Университете Узбекистана по адресу
:
700174,
Ташкент
,
Вузгородок
,
НУУз
,
механико
-
математический факультет
,
ауд
. - 303.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке НУУз
.
Автореферат разослан
«___»__________2011
г
.
Ученый секретарь
специализированного совета
,
кандидат физико
-
математических наук Ю
.
Х
.
Эшкабилов
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность работы
.
Одним из важных разделов в теории
ограниченных линейных операторов является теория однопараметрических
полугрупп линейных операторов в банаховых и локально выпуклых
пространствах
,
использующаяся при решении важных задач теории
вероятности
,
эргодической
теории и дифференциальных уравнений
.
Изучение однопараметрических полугрупп линейных операторов было начато
Э
.
Хилле и К
.
Иосидой в
40-
х годах ХХ столетия
.
Аналитическая теория
полугрупп операторов
,
действующих в банаховых и локально выпуклых
пространствах
,
подробно изложена в монографиях Н
.
Данфорда
,
Дж
.
Шварца
,
К
.
Иосиды
,
У
.
Рудина
,
Э
.
Хилле
,
Р
.
С
.
Филлипса и др
.
С
последними достижениями теории однопараметрических полугрупп
операторов в банаховых и локально выпуклых пространствах можно
ознакомиться в монографии К
.
Ж
.
Энгеля и Р
.
Нагеля
.
В последнее время исследованиям различных вопросов теории
полугрупп операторов посвящены работы А
.
С
.
Загорского
,
С
.
В
.
Ясколко
,
С
.
Мюллера
,
В
.
А
.
Золотарева и др
.
В
60-
годах прошлого века Т
.
А
.
Сарымсаковым введено понятие
полуполнозначной нормы для линейных операторов
,
действующих в локально
выпуклых пространствах
.
Используя эти понятия Х
.
Махмудовым предложен
новый метод исследования теории полугрупп линейных операторов в
локально выпуклых пространствах
.
В
30-
х годах ХХ века в работах Л
.
В
.
Канторовича были рассмотрены
решеточно
-
нормированные пространства и введено понятие мажорируемого
оператора в этих пространствах
.
Дальнейшему существенному развитию
теории мажорируемых операторов посвящены работы А
.
Г
.
Кусраева и др
.
В начале
90-
х годов прошлого века А
.
Е
.
Гутманом впервые была дана
аксиоматика измеримых банаховых расслоений с лифтингом
.
Им же
установлено
,
что всякое пространство Банаха
–
Канторовича над кольцом
измеримых функций можно представить в виде измеримого расслоения
банаховых пространств
.
В исследованиях О
.
Я
.
Бендерского и М
.
В
.
Подорожного рассмотрена техника теории измеримых расслоений на отрезке
[0 1]
,
.
В работах И
.
Г
.
Ганиева
,
К
.
К
.
Кудайбергенова было доказано
,
что
всякий линейный циклически компактный оператор можно представить как
измеримое расслоение линейных компактных операторов и получен
векторный аналог теоремы Банаха об обратном операторе для операторов
,
действующих в пространствах Банаха
–
Канторовича над кольцом измеримых
функций
.
И
.
Г
.
Ганиевым и К
.
К
.
Кудайбергеновым был получен векторный
вариант принципа равномерной ограниченности Банаха
–
Штейнгауза для операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича
.
Полугруппы
,
порожденные марковскими процессами в
3
функциональных пространствах
,
играют важную роль в теории вероятности
,
экономике
,
математической биологии
,
молекулярной физике
,
квантовой
механике и т
.
д
.
Полугруппы
,
порожденные марковскими процессами в пространствах
L
p
и пространствах непрерывных функций
,
эргодические теоремы для таких
полугрупп
,
подробно изучены в монографиях и учебниках И
.
И
.
Гихмана и
А
.
В
.
Скорохода
,
Е
.
Б
.
Дынкина
,
К
.
Иосиды
,
М
.
Лоэва
,
В
.
Феллера и др
.
А
.
И
.
Жданок в своих работах разработал новый метод исследования
марковских операторов
,
базирующийся на общей теории конечно аддитивных
мер
.
В работе А
.
Е
.
Гутмана
,
А
.
И
.
Сотникова исследованы порядковые
свойства пространства конечно
-
аддитивных переходных функций и изучены
пространства линейных операторов
,
порожденные конечно
-
аддитивными
переходными функциями
.
Степень изученности проблемы
.
Г
.
П
.
Буцаном изучались полугруппы
операторов в гильбертовом пространстве
,
зависящие от измеримого
параметра
.
Случайные интегральные операторы в идеальных пространствах
измеримых функции рассмотрены в работах
J. Appell,
А
.
С
.
Калитвина и П
.
П
.
Забрейко
.
Полугруппы операторов в банаховых и локально выпуклых
пространствах достаточно хорошо изучены
,
но в пространствах Банаха
-
Канторовича до сих пор не рассматривались
.
В связи с развитием общей теории мажорируемых операторов в
пространствах Банаха
–
Канторовича над кольцом измеримых функций
,
естественно возникают задачи теории полугрупп операторов в этих
пространствах
,
которые разумно решать
,
используя метод измеримых
расслоений
.
Связь диссертационной работы с тематическими планами НИР
.
Тема
диссертационной работы
«
Марковские процессы и полугруппы операторов в
пространствах Банаха
–
Канторовича
»
утверждена на Ученом совете
механико
-
математического факультета НУУз
27
августа
2009
года
(
протокол
№
1)
и входит в тематику НИР
,
проводимых на кафедре НУУз
«
Алгебра и
функциональный анализ
».
Цель исследования
.
Целью диссертационной работы является развитие
теории полугрупп линейных операторов для пространств Банаха
–
Канторовича
.
Задачи исследования
.
-
описание полугруппы
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов в
пространствах Банаха
–
Канторовича
;
-
исследование инфинитезимальных операторов полугрупп
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов
,
действующих в пространствах
Банаха
–
Канторовича
;
-
установление связи между свойством сильной непрерывности
полугруппы операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича и свойством
4
сильной непрерывности полугруппы операторов в слоях
;
-
описание полугрупп операторов
,
порожденные марковскими
процессами в пространствах Банаха
–
Канторовича
[ ].
E L
p
Объекты и предмет исследования
.
Полугруппы
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича и марковские
процессы в пространствах Банаха
–
Канторовича
[ ].
E L
p
Методы исследований
.
Применены общие методы измеримых
банаховых расслоений
,
функционального анализа
,
теории пространств
Банаха
–
Канторовича
,
марковских процессов
.
Основные положения
,
выносимые на защиту
.
На защиту выносятся
:
•
представление
L
0
-
ограниченных полугруппы
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича в виде
измеримых расслоений полугрупп операторов в банаховых пространствах
;
•
представление сильно непрерывных полугрупп операторов в
пространствах Банаха
–
Канторовича
;
•
представление инфинитезимального производящего оператора при
помощи измеримых расслоений полугрупп операторов
;
•
описание полугрупп операторов
,
порожденные марковскими процессами
в пространствах Банаха
–
Канторовича
[ ].
E L
p
Научная новизна
.
–
получено представление полугруппы
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных
операторов в пространстве Банаха
–
Канторовича в виде измеримых
расслоений полугрупп ограниченных операторов
;
–
исследованы связи между свойствами сильной непрерывности
полугруппы операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича и сильной
непрерывности полугруппы операторов в слоях
;
–
доказана
( )
bo
−
замкнутость инфинитезимального производящего
оператора полугруппы
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов в
пространствах Банаха
–
Канторовича
;
–
получено представление полугрупп операторов
,
порожденные
марковскими процессами в пространствах Банаха
–
Канторовича
[ ];
E L
p
–
доказаны аналоги статистической и индивидуальной эргодических теорем
для полугруппы операторов
,
порожденной марковским процессом с
инвариантной мерой в пространстве Банаха
–
Канторовича
[ ].
E L
p
Научная и практическая значимость результатов исследования
.
Результаты диссертации являются новыми и могут применяться в теории
можарируемых операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича
,
в
эргодической теории и их приложениях
.
Реализация результатов
.
Диссертационная работа носит
5
теоретический характер
.
Апробация работы
.
Результаты диссертации докладывались на
международной конференции
«
Теория операторов
.
Комплексный анализ
.
Математическое моделирование
»
в городе Волгодонске Ростовской области
(2007
г
.),
на научной конференции
,
посвященной
90-
летнему юбилею НУУз
(2008
г
.),
на городском семинаре по функциональному анализу НУУз под
руководством профессора В
.
И
.
Чилина
(2007-2010
гг
.),
на семинаре
«
Операторные алгебры и их приложения
»
Институт Математики и
информационных технологий АН РУз под руководством академика Ш
.
А
.
Аюпова и на кафедре НУУз
«
Алгебра и функциональный анализ
» (2007-2009
гг
.)
и на научном семинаре специализированного совета Д
067.02.03
при
НУУз под руководством академика А
.
С
.
Садуллаева
.
Опубликованность результатов
.
Основные результаты диссертации
опубликованы в работах
[1]-[7]
в виде статьей и тезисов конференций
.
В
работах
[1], [4]-[6]
постановка задачи принадлежат И
.
Г
.
Ганиеву
.
Доказательства всех основных результатов принадлежат диссертанту
.
Структура и объем диссертации
.
Диссертация состоит из введения
,
трех глав
,
заключения и
47
наименований использованной литературы
.
Объём
диссертации
88
страниц
.
Нумерация
определений
,
теорем
,
предложений
,
лемм и следствий самостоятельная в каждой главе
:
первая
цифра означает номер главы
,
вторая
–
номер параграфа
,
третья
–
номер
соответствующего утверждения
.
Формулы нумеруются в пределах главы
:
номер формулы состоит из номера главы и порядкового номера формулы в
главе
.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении дан обзор работ
,
относящихся к теме диссертации
,
а также
приведено краткое содержание диссертации
.
Первая глава диссертации состоит из двух параграфов
.
В первом
параграфе приводятся необходимые определения и факты из теории
полугрупп ограниченных линейных операторов банаховых пространств и из
теории
полугрупп
,
порожденные
марковскими
процессами
в
L
p
-
пространствах
.
Во втором параграфе приводятся сведения о структуре
пространства Банаха
–
Канторовича над кольцом измеримых функций
.
Пусть
( )
Ω
,Σ,
∝
–
измеримое пространство с полной конечной мерой
,
L
0
–
алгебра всех комплексных измеримых функций на
( )
Ω
,Σ,
∝
(
равные
почти всюду функции отождествляются
).
Рассмотрим векторное пространство
U
над полем комплексных чисел
ℂ
.
⋅
:
→
называют
L
0
-
значной
Определение
1.2.4.
Отображение
U L
0
нормой
,
если оно удовлетворяет следующим аксиомам
:
6
1)
x
≥
;
0
x x x U
=
⇔
=
∈
0 0 ( )
;
2)
λ λ λ
x | | x
=
∈
(
ℂ
,
x U
∈
)
;
3)
x y x y x y U
+
≤
+ ,
∈
( )
.
Отображение
⋅
называют разложимой нормой
,
если кроме
1), 2), 3)
выполнена аксиома разложимости
:
4)
для любых
x U
∈
и
1 2 0
e e L
,
∈
,
удовлетворяющих соотношению
1 2
x e e
=
+
,
существуют
1 2
x x U
,
∈
такие
,
что
1 2
x x x
= +
и
k k
x e
=
( 1 2)
k
= ,
.
В том
случае
,
когда условие
4)
справедливо лишь для
дизъюнктных
1 2 0
e e L
,
∈
,
норму называют дизъюнктно разложимой
.
Тройку
(
U L
,
⋅
,
0
)
называют решеточно
-
нормированным пространством над
L
0
.
x U
α α
∈
⊂
называют
( )
bo
-
сходящейся к элементу
x U
∈
и
Сеть
( )
A
пишут
x bo x
=
−
( ) lim
α
,
если сеть
( )
A
x x
α
α
∈
−
(o)
-
сходится к нулю в
L
0
.
x
α α
∈
называют
( )
bo
-
фундаментальной
,
если сеть
( )
( )
A A
x x
α β α β
−
,
∈ ⋅
Сеть
( )
A
( )
bo
-
сходится к нулю
.
Говорят
,
что решеточно
-
нормированное
пространство
( )
bo
-
полно
,
если любая
( )
bo
-
фундаментальная сеть
( )
A
x
α α
∈
в нем
( )
bo
-
сходится к некоторому элементу этого пространства
.
Определение
1.2.5.
Разложимое
(
)
bo
-
полное решеточно
нормированное пространство над
L
0
называется пространством Банаха
–
Канторовича над
L
0
.
Пусть
X
–
отображение
,
ставящее в соответствие каждой точке
ω
∈Ω
некоторое банахово пространство
(
X
( ) ,
ω
,
⋅
X
( )
ω
)
где
X
( ) {0}
ω
≠
для
всех
ω
∈Ω
.
Сечением
X
называется функция
u
,
определенная почти всюду в
Ω
и принимающая значение
u X
( ) ( )
ω ω
∈
для всех
ω
∈
dom( )
u
,
где
dom( )
u
есть область определения
u
.
Пусть
L
–
некоторое множество сечений
.
Определение
1.2.6.
Пара
( )
X L
,
называется измеримым банаховым
расслоением над
Ω
,
если
1)
1 1 2 2
λ λ
c c L
+
∈
для всех
λ λ
1 2
,
∈
ℂ
и
1 2
c c L
,
∈
,
где
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
λ λ ω λ ω λ ω
c c c c c c
+ :
∈ ∩ →
+
dom( ) dom( ) ( )
( )
;
:
∈ →
ω ω
измерима при всех
c L
∈
;
2)
функция
( )
dom( ) ( )
X
c c c
ω
3)
для каждой точки
ω
∈Ω
множество
{ ( ) dom( )}
c c L c
ω ω
:
∈
,
∈
плотно в
X
( ).
ω
Вместо
( )
X L
,
будем писать просто
X
.
7
Сечение
s
называется ступенчатым
,
если
n
=
∑
,
где
s c
ω χ ω ω
( ) ( ) ( )
A i
i
=
1
i
i i A
c L A i n
∈
,
∈
Σ, = ,
−
χ
характеристическая функция
.
Сечение
u
1 ,
i
называется измеримым
,
если для каждого
A A
∈
Σ, < +
∞
∝
( )
найдется такая
последовательность
( )
n n N
s
∈
ступенчатых сечений
,
что
ω ω
− →
для почти
всех
ω
∈
.
A
s u
( )
( ) ( ) 0
n
X
ω
Пусть
M X
( )
Ω
,
–
множество всех измеримых сечений
.
Символом
0
L X
( )
Ω
,
обозначим факторизацию
M X
( )
Ω
,
по отношению равенства почти
всюду
.
Через
u
∧
обозначим класс из
0
L X
( ),
Ω
,
содержащий
∧
∈ Ω
,
измеримое сечение
u M X
∈ Ω
, .
( )
Далее
,
для каждого элемента
0
u L X
( )
вводится векторная норма
0
∧
=
∈
Пара
(
L X
0
( )
Ω
, ,
⋅
)
является
u u L
( ) .
ω
пространством Банаха
–
Канторовича над
L
0
.
Пусть
( )
∞
L
Ω
–
множество всех комплексных существенно ограниченных
измеримых функций на
( )
Ω
,Σ,
∝
.
L
( )
∞
Ω −
факторизация
( )
∞
L
Ω
по
отношению равенства почти всюду
.
Обозначим
∞
L
Ω
,
=
X( )
{ ( ) || ( ) || ( )}.
u
M X u
ω
ω
∞
∈ Ω
, :
∈ Ω
L
( )
X
∞
L
Ω
,
называются существенно ограниченными измеримыми
Элементы
( )
X
сечениями расслоения
X
.
Через
L X
( )
∞
Ω
,
обозначается множество
,
состоящее из классов эквивалентности существенно ограниченных
измеримых сечений
.
Известно
,
что
L X
( )
∞
Ω
,
пространство Банаха
–
Канторовича над
L
( )
∞
Ω
.
Пусть
X
–
измеримое банахово расслоение над
Ω
.
Рассмотрим
произвольный числовой лифтинг
p L
( ) ( )
∞ ∞
:
Ω → Ω
L
.
Определение
1.2.7.
Отображение
( ) ( )
ρ
X
L X X
∞ ∞
:
Ω
,
→ Ω
,
L
называется векторнозначным лифтингом
,
ассоциированным с числовым
лифтингом
p
,
если выполняются следующие условия
:
∧ ∧
∧∞
∈ Ω
,
выполнено
( ) ,
X
ρ
u u
а
)
для всех
u L X
( )
∧ ∧
б
)
( )
ρ ω ω
∈
и
dom ( ( )) ;
X
ρ
u
∧
=
Ω
∧∞
∈ Ω
,
и
ω
∈Ω
;
( )( )
X
=
для всех
u L X
( )
u p u
X
( )
ω
∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧∞
∈ Ω
,
то
( ) ( ) ( );
X X X
ρ ρ ρ
u v u v
в
)
Если
u v L X
, ( ),
+ = +
∧ ∧
∧∞
∈ Ω
,
и
e L
( ),
∞
∈ Ω
то
( ) ( ) ( )
X X
ρ ρ
eu p e u
г
)
Если
u L X
( )
=
;
8
∧ ∧∞
∈ Ω
,
плотно в
X
( )
ω
для всех
ω
∈Ω
.
д
)
Множество
{
ρ ω
X
( )( ) : ( )
u u L X
}
Пусть
X
–
измеримое банахово расслоение над
Ω
.
Оператор
0 0
T L L
: ( , ) ( , )
Ω
Χ
→ Ω
Χ
называется
L
0
-
линейным
,
если
1 1
(
T x + )= Tx )+ Tx )
1 2 2 1 2 2
λ λ λ λ
x ( (
для всех
1 2 1 2 0
0
λ λ
,
∈
, ,
∈
L x x L
( , ).
Ω
X
L
0
-
линейный оператор
0 0
T L L
: ( , ) ( , )
Ω
Χ
→ Ω
Χ
называется
L
0
-
ограниченным
,
если существует такой
C L
∈
0
,
что
T x C x
( )
≤
при всех
0
x L
∈
( , ).
Ω
X
Для
L
0
-
ограниченного
L
0
-
линейного оператора
T
L
0
-
значная норма задается по
правилу
T T x x
= :
≤
sup ( ) ,
{
1
}
и относительно такой нормы
пространство всех
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов является
пространством Банаха
–
Канторовича
.
Во второй главе диссертации изучаются полугруппы
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов и доказывается вариант классической теоремы о
полугруппах в пространстве Банаха
–
Канторовича
.
В первом параграфе второй главы изучаются полугруппы операторов и
доказывается
,
что
L
0
-
ограниченная полугруппа
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов в пространстве Банаха
–
Канторовича разлагается
измеримое расслоение полугрупп ограниченных операторов
.
Пусть
0 0
: ( , ) ( , )
T L L
t
Ω
Χ
→ Ω
Χ
семейство
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов
,
t
∈
+
∞
[0; )
.
Определение
2.1.1.
Семейство
{ }
[
0;
)
T
∈
+
∞
назовем полугруппой
t
t
операторов в пространстве Банаха
–
Канторовича
0
L
( , ),
Ω
Χ
если
выполняются
T I
0
=
и
,
T T T
t s t s
+
=
при всех
t s
, [0; ),
∈
+
∞
где
I
–
тождественный оператор в
0
L
( , ).
Ω
Χ
Если существует
0
C L
∈
,
такое
,
что
T C
t
≤
при всех
t
∈
+
∞
[0; ),
то
полугруппу назовем
L
0
-
ограниченной полугруппой
.
Соответственно
,
если существует
C L
( )
∞
∈ Ω
такое
,
что
T C
t
≤
при
всех
t
∈
+
∞
[0; ),
то полугруппу назовем
L
( )
∞
Ω
-
ограниченной
полугруппой
.
Пусть
( ) : ( ) ( )
T
t
ω ω ω Χ
→
Χ
полугруппа ограниченных
линейных операторов в банаховом пространстве
Χ
( )
ω
для любого
ω
∈Ω
,
t
∈
+
∞
[0; )
.
Определение
2.1.2.
Семейство
{ }
[0; )
T
ω
∈
+
∞
назовем измеримым
( )
t
t
расслоением полугрупп операторов
,
если для каждого
t
∈
+
∞
[0; )
имеет
место
( ) ( ) ( , )
T x M
t
ω ω
∈ Ω
Χ
при всех
x M
∈ Ω
Χ
( , ).
Если
{ }
[0; )
T
ω
∈
+
∞
–
измеримое расслоение ограниченных линейных
( )
t
t
9
операторов
,
то линейный оператор
0 0
: ( , ) ( , ),
T L L
t
Ω
Χ
→ Ω
Χ
определенный равенством
( ) ( ),
T x T x
t t
=
ω ω
служит
L
0
-
ограниченным
L
0
-
линейным оператором
.
Основным результатом первого параграфа второй главы является
следующая теорема
.
Теорема
2.1.2.
Если
{
0 0
}
[0; )
T L L
∈
+
∞
: ( , ) ( , )
t
t
Ω
Χ
→ Ω
Χ
–
L
0
-
ограниченная полугруппа
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов
,
то
существует измеримое расслоение ограниченных полугрупп линейных
операторов
( ) : ( ) ( )
T
t
ω ω ω Χ
→
Χ
такое
,
что
( )( ) ( ) ( )( )
ρ ω ω ρ ω
Χ Χ
T x T x
t t
=
для всех
x L
( , )
∞
∈ Ω
Χ
и
ω
∈ Ω
.
Во втором параграфе второй главы определяются сильно непрерывные
полугруппы операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича и
исследуются связи между свойствами сильной непрерывности полугруппы
операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича и сильной непрерывности
полугруппы операторов в слоях
.
Определение
2.2.1.
Полугруппу
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных
операторов
{ }
[
0;
)
T
∈
+
∞
в
0
L
( , )
Ω
Χ
назовем сильно непрерывной
,
если
t
t
T x x
t
−
( )
ο
-
сходится к нулю в
L
0
при
t
→
0
для каждого
0
x L
∈ Ω
Χ
( , ).
Следующая теорема является основным результатом второго параграфа
второй главы
:
T
∈
+
∞
–
L
( )
∞
Ω
-
ограниченная полугруппа операторов
.
Пусть
{ }
[
0;
)
t
t
Теорема
2.2.1.
Если измеримое расслоение полугруппы
T
ω
∈
+
∞
сильно
непрерывно в
Χ
( )
ω
для почти всех
ω
∈Ω
,
то
{ }
[0; )
( )
t
t
T
∈
+
∞
сильно непрерывная полугруппа операторов в
0
L
( , ).
Ω
Χ
{ }
[
0;
)
t
t
В третьем параграфе второй главы изучаются измеримые расслоения
замкнутых операторов
.
Пусть
0 0
A L L
: ( , ) ( , )
Ω
Χ
→ Ω
Χ
–
L
0
-
линейный оператор
,
с
областью определения
0
D
( ) ( , )
A L X
⊂ Ω
и пусть
A
( )
ω
–
линейный
замкнутый оператор из
X
( )
ω
в
X
( )
ω
с областью определения
D
( ( ))
A
ω
для почти
всех
ω
∈Ω
.
Определение
2.3.2.
Семейство
{
A
( ),
ω ω
∈Ω
}
назовем измеримым
расслоением замкнутых операторов
,
если
A x M
( ) ( ) ( , )
ω ω
∈ Ω
Χ
для
любого
x M x D A
∈ Ω
Χ
∈
( , ), ( ) ( ( )).
ω ω
Если
{
A
( ),
ω ω
∈Ω
}
–
измеримые расслоения замкнутых операторов
,
то линейный оператор определенный равенством
A x A x
( ) ( ),
ω ω
∧
=
(1)
10
является
L
0
-
линейным оператором из
0
L
( , )
Ω
Χ
в
0
L
( , )
Ω
Χ
с областью
определения
∧
∈ Ω ∈
D
∈ Ω
D
( )
A
=
{
x L X x A
0
( , ) : ( ) ( ( )) .
ω ω
для почти всех
ω
}
Теорема
2.3.2.
Если
{
A
( ),
ω ω
∈Ω
}
–
измеримые расслоения замкнутых операторов
,
то
L
0
-
линейный оператор
0 0
A L L
: ( , ) ( , )
Ω
Χ
→ Ω
Χ
определенный равенством
(1),
является
( )
bo
-
замкнутым оператором
.
В
четвертом параграфе второй главы изучается инфинитезимальный
производящий оператор полугрупп операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича и доказывается
( )
bo
-
замкнутость такого оператора
.
Пусть
0 0
: (
, ) ( , )
T L L
t
Ω
Χ
→ Ω
Χ
–
L
0
-
ограниченная полугруппа
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов
,
( ) : ( ) ( )
T
t
ω ω ω
Χ
→
Χ
соответствующее
измеримое расслоение полугрупп операторов и
T
ω
∈
+
∞
–
сильно непрерывно
для почти всех
ω
∈Ω
и
A
( )
ω
–
{ }
[
0;
)
( )
t
t
инфинитезимальный производящий оператор полугруппы
{ }
[0; )
T
ω
∈
+
∞
для
( )
t
t
почти всех
ω
∈Ω
.
Определим линейный оператор
0
A A L X
: ( ) ( , )
D
→ Ω
равенством
(1).
Определение
2.4.1.
Если
{
A
( ),
ω ω
∈Ω
}
–
измеримые расслоения
замкнутых операторов
,
то
L
0
-
линейный оператор
A
,
определенный
равенством
(1),
назовем инфинитезимальным производящим оператором
L
0
-
ограниченной полугруппы
{ }
[
0;
)
.
T
∈
+
∞
t
t
Следующий результат является основным результатом второй главы
:
Теорема
2.4.1.
Пусть
{ }
[
0;
)
T
∈
+
∞
–
L
0
-
ограниченная полугруппа
t
t
операторов
,
причем соответствующее измеримое расслоение полугрупп
T
ω
∈
+
∞
–
сильно непрерывна для почти всех
ω
∈Ω
.
Тогда
{ }
[
0;
)
( )
t
t
1)
A
является
( )
bo
-
плотно определенным и
( )
bo
-
замкнутым
оператором
;
=
−
где
( )
1
tA
T x bo e x
t
ε
( ) lim ,
n
2)
0
ε
→
n
A T I
;
=
−
ε ε
ε
x L
∈ Ω
Χ
( , )
вектор
-
функция
t
3)
для любого
0
dT
x AT x T Ax dt
= =
t T x
→
удовлетворяет
дифференциальному уравнению
.
t
t t
В третьей главе диссертации описываются полугруппы операторов
,
порожденные марковскими процессами в пространствах Банаха
–
Канторовича
E F
[ ]
и доказываются аналоги статистической и
индивидуальной эргодических теорем для таких полугрупп
.
11
В первом параграфе третьей главы рассматриваются полугруппы
операторов
,
порожденные марковскими процессами в пространствах Банаха
–
Канторовича
[ ].
E L
p
Пусть
E
–
идеальное пространство измеримых функций на
( , , ),
Ω ∑
∝
(S, , )
B
m
–
пространство с мерой
m
,
(S, , )
L m
p
B
–
банахово
пространство всех измеримых по Лебегу функций на
(S, , ).
B
m
Обозначим
символом
[ ]
E L
p
–
пространство всех измеримых функций
K
на
Ω⋅
S
,
удовлетворяющих следующим двум условиям
:
а
)
класс эквивалентности функции
x K x
( , )
ω
входит в
( , )
L S m
p
для почти всех
ω
∈ Ω
;
ω ω
K
⋅
измерима и ее класс эквивалентности
K
б
)
функция
( , )
L
p
входит в
E
.
Тогда
(
E L
[ ],
p
⋅
)
–
пространство Банаха
–
Канторовича над
E
и
является идеальным пространством измеримых функций на
Ω⋅
S
.
Основным результатом первого параграфа треьей главы является следующая
теорема
.
Теорема
3.1.1.
Пусть
P t x B
( , , )
–
марковский процесс с
инвариантной мерой
m t
, 0.
>
Тогда
T K x K y P t x dy
ω ω
=
∫
( )( , ) ( , ) ( , , )
t
S
определяет
L
0
-
ограниченный
L
0
-
линейный положительный оператор в
0
[ ],
L
L
p
такой
,
что
,
T TT
t s t s
+
=
при этом
T
t
1= 1
и
T K K
t
≤
при всех
t
∈
+
∞
(0; ).
Во втором параграфе третьей главы доказывается статистическая
эргодическая теорема для полугрупп операторов
,
порожденных марковским
процессом с инвариантной мерой
,
в пространствах Банаха
–
Канторовича
[ ]
E L
p
.
Основным результатом этого параграфа является следующая теорема
.
Теорема
3.2.2.
Для любой функции
[ ], 1,
K E L p
∈ ≥
p
существует
предел
1
n
−
=
∑
∗
( ) lim
bo T K K
k
n
n
k
→∞
=
1
∗ ∗
в
[ ],
E L
p
при этом
1
T K K
.
=
В третьем параграфе третьей главы доказывается индивидуальная
эргодическая теорема для полугрупп операторов
,
порожденных марковским
процессом с инвариантной мерой
,
в пространствах Банаха
–
Канторовича
12
[ ].
E L
p
Основным результатом этого параграфа является следующая
Теорема
3.3.2.
Для любой функции
0
[ ]
K L L
∈
p
последовательность
1
n
∑
( )
ο
–
сходится к
K
∗
в
0
[ ]
L L
p
для любого
p
>
1.
T K
n
=
k
k
1
Пользуясь случаем
,
автор выражает
благодарность своему научному
руководителю профессору Иномжану Гуломджановичу Ганиеву за помощь
при работе над диссертацией и профессору Владимиру Ивановичу Чилину за
советы и полезные обсуждения результатов работы
.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена развитию теории полугрупп
линейных операторов для пространств Банаха
–
Канторовича
.
Получены
следующие результаты
:
Доказано
,
что
L
0
-
ограниченная полугруппа
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных
операторов в пространстве Банаха
–
Канторовича разлагается в
измеримое расслоение полугрупп ограниченных операторов
;
Исследованы связи между свойствами сильной непрерывности
полугруппы операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича и сильной
непрерывности полугруппы операторов в слоях
;
Доказана
( )
bo
−
замкнутость инфинитезимального производящего
оператора полугруппы
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных операторов в
пространствах Банаха
–
Канторовича
;
Дано представление полугруппы в пространствах Банаха
–
Канторовича с помощью инфинитезимального производящего оператора
.
Получены представления полугрупп операторов
,
порожденные марковскими
процессами в пространствах Банаха
–
Канторовича
[ ];
E L
p
Доказаны
аналоги статистической и индивидуальной эргодических теорем для
полугруппы операторов
,
порожденной марковским процессом с инвариантной
мерой в пространстве Банаха
–
Канторовича
[ ].
E L
p
Все результаты
являются новыми
.
13
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
1.
Ганиев И
.
Г
.,
Сададдинова С
.
С
.
Сильно и равномерно непрерывные
полугруппы операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича
//
Исследования по современному анализу и математическому
моделированию
. –
Владикавказ
, 2008. –
С
. 175-185.
2.
Сададдинова С
.
С
.
Измеримые расслоения замкнутых операторов
//
Современные проблемы математики
,
механики и информационных
технологий
.
Материалы Республиканской научной конференции
. –
Ташкент
, 2008. –
С
. 241–243.
3.
Сададдинова С
.
С
.
Инфинитезимальный производящий оператор
полугрупп операторов в пространствах Банаха
-
Канторовича
//
Вестник
НУУз
. –
Ташкент
, 2009. –
№
1. –
С
. 63-67.
4.
Ганиев И
.
Г
.,
Сададдинова С
.
С
.
Полугруппа операторов в пространствах
Банаха
-
Канторовича
//
Узб
.
Мат
.
Жур
. –
Ташкент
, 2009. –
№
2. –
С
. 42-
48.
5.
Ганиев И
.
Г
.,
Сададдинова С
.
С
.
Индивидуальная эргодическая теорема
для полугрупп операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича
[ ]
E
L
p
//
Дифференциальные уравнения и их приложения
.
Материалы
Республиканской научной конференции
. –
Нукус
, 2009. –
С
. 78-82.
6.
Ганиев И
.
Г
.,
Сададдинова С
.
С
.
Марковские процессы и полугруппы в
пространствах Банаха
–
Канторовича
[ ]
E L
p
// –
Киев
,
Украинский
математический конгресс
.
http://imath.kiev.ua/~congress
2009/Abstracts.
7.
Сададдинова С
.
С
.
Об одной полугруппе операторов в пространствах
измеримых по Бохнеру функций
//
Вестник НУУз
. –
Ташкент
, 2010. –
№
3. –
С
. 169-172.
14
Физика
-
математика фанлари номзоди илмий даражасига талабгор
Сададдинова Санобар Сабировнанинг
01.01.01 –
математик анализ ихтисослиги бўйича
«
Марков жараёнлари ва Банах
-
Канторович фазоларидаги
операторлар ярим группалари
»
мавзусидаги диссертациясининг
РЕЗЮМЕСИ
Таянч сўзлар
:
вектор қийматли лифтинг
,
Банах
–
Канторович фазоси
,
ўлчовли банах тахламалари
,
операторлар ярим группалари
,
ҳосилавий
оператор
,
Марков жараёнлари
.
Тадқиқот объектлари
:
Банах
–
Канторович фазоларида операторлар
ярим группалари ва
[ ]
E L
p
Банах
–
Канторович фазоларида Марков
жараёнлари
.
Ишнинг мақсади
:
Операторлар ярим группалари назариясини Банах
–
Канторович фазолари учун умумлаштириш
.
Тадқиқот методлари
:
ўлчовли банах тахламалари
,
функционал анализ
,
Банах
–
Канторович фазолари ва марков жараёнлари назариялари методлари
.
Олинган натижалар ва уларнинг янгилиги
:
Олинган натижалар янги ва
қуйидагилардан иборат
:
-
Банах
–
Канторович фазоларида
L
0
-
чегараланган
L
0
-
чизиқли
операторлар
ярим
группаларининг
чегараланган
операторлар
ярим
группалари ўлчовли тахламалари кўринишидаги тасвири
;
-
Банах
–
Канторович фазоларида операторлар ярим группаларининг
кучли узлуксизлиги билан қатламлардаги операторлар ярим группаларининг
кучли узлуксизлиги хоссалари орасидаги богланиш
;
-
Банах
–
Канторович фазоларида
L
0
-
чегараланган
L
0
-
чизиқли
операторлар ярим группалари ҳосилавий операторининг операторлар ярим
группалари ўлчовли тахламалари кўринишидаги тасвири
;
-
[ ]
E L
p
Банах
–
Канторович фазоларида Марков жараёнлари вужудга
келтирадиган операторлар ярим группалари тасвири ва шундай ярим
группалар учун статистик ва индивидуал эргодик теоремалар вариантлари
.
Амалий аҳамияти
:
диссертация натижалари назарий характерга эга
.
Тадбиқ этиш даражаси ва иқтисодий самарадорлиги
:
Ишда келтирилган
натижалар ва методлар функционал анализнинг Банах
–
Канторович
фазоларида операторлар назарияси ва эргодик назария ҳамда унинг
тадбиқларидан махсус курслар ўқишда қўлланилиши мумкин
.
Фойдаланиш
соҳаси
:
Банах
–
Канторович фазолари назарияси
,
эргодик назария ва унинг
амалий тадбиқлари
.
15
РЕЗЮМЕ
Диссертации Сададдиновой Санобар Сабировны на тему
:
«
Марковские процессы и полугруппы операторов в пространствах
Банаха
–
Канторовича
»
на соискание ученой степени кандидата физико
-
математических наук
по специальности
01.01.01 –
математический анализ
Ключевые слова
:
векторнозначный лифтинг
,
пространство Банаха
–
Канторовича
,
измеримое банахово расслоение
,
полугруппы операторов
,
инфинитезимальный оператор
,
марковские процессы
.
Объекты исследования
:
полугруппы операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича и марковские процессы в пространствах Банаха
–
Канторовича
[ ].
E L
p
Цель работы
:
Целью диссертационной работы является развитие
теории полугрупп операторов для пространств Банаха
–
Канторовича
.
Методы исследования
:
Применены общие методы измеримых банаховых
расслоений
,
функционального анализа
,
теории пространств
Банаха
-
Канторовича
,
марковских процессов
.
Полученные результаты и их новизна
:
Все полученные результаты являются
новыми и состоит из следующих
:
–
получено представление полугруппы
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных
операторов в пространстве Банаха
–
Канторовича в виде измеримых
расслоений полугрупп ограниченных операторов
;
–
исследованы связи между свойствами сильной непрерывности
полугруппы операторов в пространствах Банаха
–
Канторовича и сильной
непрерывности полугруппы операторов в слоях
;
–
представление инфинитезимального производящего оператора
полугруппы
L
0
-
ограниченных
L
0
-
линейных
операторов при помощи
измеримых расслоений полугрупп операторов
;
–
получено представление полугрупп операторов
,
порожденные
марковскими
процессами
и
доказаны
аналоги
статистической
и
индивидуальной эргодических теорем для таких полугрупп в пространствах
Банаха
–
Канторовича
[ ].
E L
p
Практическая значимость
:
работа носит теоретический характер
.
Степень внедрения и экономическая эффективность
:
Результаты и методы
диссертации могут быть использованы при чтении специальных курсов по
функциональному анализу и теории мажорируемых операторов в
пространствах Банаха
–
Канторовича
,
в эргодической теории и их
приложениях
.
Область применения
:
Теория пространств Банаха
–
Канторовича
,
эргодическая теория и их приложения
.
16
RESUME
Thesis of
Sadaddinova Sanobar Sabirovna
on the scientific degree competition of the doctor of
р
hilosophy in
р
hysics and
mathematics on speciality 01.01.01 –mathematical analysis,
subject:
«Markov processes and semigroup operators in Banach – Kantorovich
spaces»
Key words:
vector valued lifting, Banach – Kantorovich space, measurable
Banach bundles, semigroup operators, Markov processes.
Subject of the inquiry:
semigroup operators in Banach – Kantorovich spaces and
Markov processes in Banach – Kantorovich spaces E[L
p
].
Aim of the inquiry:
The aim of the thesis is generalization of the theory of semigroup operators for
Banach – Kantorovich spaces.
Methods of inquiry:
In the work methods of measurable Banach bundles,
of functional analysis, of the theory of Banach – Kantorovich spaces, of Markov
processes are used.
The results obtained and their novelty:
А
ll obtained results of the thesis are new
and consist of the following:
- representation of the
L
0
-bounded semigroup of
L
0
-bounded
L
0
-linear
operators in Banach – Kantorovich spaces in the form of a measurable bundle of
semigroups of bounded operators;
- representation of strongly continuous semigroups of operators in Banach –
Kantorovich spaces with of strongly continuous semigroups of operators of
bundles is discribed;
- representation of infinitezimial operators of the semigroup of
L
0
-bounded
L
0
-linear operators with the help of measurable bundle of semigroups of operator is
given;
- description of the semigroup operators appeared in the result of Markov
processes in Banach – Kantorovich spaces E[L
p
] and the variants of the static and
individual ergodic theorem for all.
Practical value
: The work has a theoretical character.
Degree of embed and economic effectivity:
The results and methods
introduced in the work can be used in special courses on functional analysis, of the
theory of Banach – Kantorovich spaces and the of ergodic theory.
Field of
application:
The theory of Banach – Kantorovich spaces, the ergodic theory.
17
