57
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
BA’ZI FIZIKA FANIGA OID MASALALARNI DIFFERENSIAL
TENGLAMALAR YORDAMIDA YECHISH
M.I.Xolmatova
1-kurs talabasi
Toshkent farmatsevtika instituti, Toshkent
https://doi.org/10.5281/zenodo.14323417
Annotatsiya:
Maqolada differentsial tenglamalar yordamida fizikaga oid masalalarni
yechish usullari keltirilgan.
Kalit so’zlar:
differntsial tenglama, yechim, hususiy yeschim, jismning sovishi, tuzli
aralashma.
Аннотация:
В статье представлены методы решения физических задач с помощью
дифференциальных уравнений.
Ключевые слова:
дифференциальное уравнение, решение, частное решение,
охлаждение тела, солевая смесь.
Abstract:
The article presents methods for solving physics problems using differential
equations.
Keywords:
differential equation, solution, particular solution, cooling of a div, salt
mixture.
Ilmiy ishning dolzarbligi:
fizika, matematika, biologiya, kimyo, meditsina,
farmatsevtika va boshqa fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar
yordamida tavsiflanadi. Shu tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar haqida biror
ma’lumotga, tasavvurga ega bo’lamiz. O’sha differensial tenglamalar o’rganilayotgan
jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi. Bu model qancha mukammal bo’lsa,
diffensial tenglamalarni o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la
tavsiflaydi.
Ishning maqsadi:
differensial tenglamalarning fizik masalalarni yechishga tatbiqlari
o’rganilgan.
Tadqiqot uslubi va materiallari:
fizik masalaning shartiga ko’ra differensial
tenglamani tuzishda quyidagi ketma-ketlik tavsiya etiladi:
1. Qaralayotgan hodisada o’zgaruvchi qiymatlarni o’rnatish va ular bilan bog’liq
bo’lgan fizik qonunlarni ochib berish;
2. Biz topmoqchi bo’lgan erkli o’zgaruvchi va noma’lum funksiya tanlash;
3. Masala shartlaridan kelib chiqib boshlang’ich va chegaraviy shartlarni aniqlash;
4. Masala shartlarida asosiy rol o’ynaydigan qiymatlarni erkli o’zgaruvchi, noma’lum
funksiya uning hosilalari orqali ifodalash.
5. Qaralayotgan hodisa bo’ysunadigan fizik qonunlar va masala shartlaridan kelib
chiqib differensial tenglamani tuzish;
6. Differensial tenglamaning umumiy yechimi yoki umumiy integralini topish;
7. Boshlang’ich yoki chegaraviy shartlarga ko’ra xususiy yechimni topish;
8. Olingan yechimni tahlil qilish.
Qaralayotgan jarayonni yoki o’rganilayotgan hodisaning xarakteristikalari orasidagi
bog’liqlikni ifodalaydigan differensial tenglamani tuzish, ba’zida buni yechishdan ko’ra
osonroq bo’lib chiqadi. Differensial tenglamalar tuzishning universial usuli mavjud emas,
shuning uchun faqatgina ba’zi umumiy ko’rsatmalar berish mumkin. Faraz qilaylik,
( )
y
y t
58
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
- o’rganilayotgan jarayonning
t
va
y
xarakteristikalari orasidagi noma’lum bog’liqlik bo’lsin.
( )
y t
funksiya yechim bo’ladigan differensial tenglamani tuzishda erkli o’zgaruvchi
t
ga
t
ortirma qo’shilganda
( )
y t
funksiya qanchaga o’zgarishini ifodalash zarur, ya’ni
(
)
( )
y t
t
y t
ayirmani masalada qaqtnashadigan qiymatlar orqali ifodalash kerak. Bu
ayirmani
t
ga bo’lib va
0
t
da limitga o’tib, differensial tenglamani, ya’ni
t
nuqtada
y
qiymatning o’zgarish tezligi bog’liqligini olamiz. Ko’p hollarda ko’rsatilgan bog’liqlik qonun
yoki tabiatning u yoki bu sohasida o’rnatilgan tajriba faktlari asosida aniqlanadi. Bunda
xususan, hosilaning geometrik ma’nosi yoki uning fizik ma’nosidan foydalaniladi[1,2,3].
Jismning sovishi haqidagi masala.
Massasi m, issiqlik sig’imi c o’zgarmas bo’lgan jism boshlang’ich paytda
0
T
temperaturaga ega bo’lsin. Atrof muhit temperaturasi o’zgarmas va
T
0
(
)
M
T
T
ga
teng. Jismning cheksiz kichik dt vaqt ichida bergan issiqlik jism va uning atrofidagi muhit
temperaturalari orasidagi farqqa, shuningdek, vaqtga proportsional ekanligini (Nyuton
qonuni) etiborga olgan holda jismning sovush qonunini topish talab qilinsin [1].
Yechish.
Sovush davomida jism temperaturasi
0
T
dan
M
T
gacha pasayadi. Vaqtning
t
paytida jism temperaturasi
T
ga teng bo’lsin. Cheksiz kichik dt vaqt oralig’ida jism bergan
issiqlik miqdori yuqorida aytilganiga ko’ra
(
)
M
dQ
T
T
dt
ga teng, bunda
const
- proportsionalllik koeffitsienti.
Ikkinchi tamondan, jism
T
temperaturadan
M
T
temperaturagacha sovuganda
beradigan issiqlik miqdori
(
)
m
Q
mc T
T
ga teng , demak,
dQ
mcdT
. Endi
dQ
uchun
topilgan har ikkala ifodani taqqoslab
(
)
M
mcdT
T
T
dt
differensial tenglamani hosil qilamiz. O’zgaruvchilarni ajratib
,
M
dT
dt
T
T
mc
integrallasak,
ln(
)
ln
M
T
T
t
C
mc
yoki
t
mc
M
T
T
Ce
ekani kelib chiqadi.
0
t
da
0
T
T
boshlang’ich shartdan foydalanib
0
M
C
T
T
ekanligini topamiz, shuning
uchun jismning sovush qonuni (xususiy echim)
0
(
)
t
mc
M
M
T
T
T
T
e
ko’rinishda bo’ladi.
koeffitsient yo bevosita berilishi yoki qo’shimcha shart, masalan,
1
t
t
da
1
T
T
orqali
berilishi kerak.
Bunday holda
59
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
1
0
(
)
m
t
mc
M
M
T
T
T
T
e
bo’ladi, bundan
2
1
1
0
.
t
M
mc
M
T
T
e
T
T
Demak,
1
1
0
0
(
)
.
t
t
M
M
M
M
T
T
T
T
T
T
T
T
Masala.
Agar muhit temperaturasi
0
20
m
T
C
bo’lsa,
1
10
t
min ichida jism
0
0
100
T
C
dan
0
1
60
T
C
gacha sovisa, jism temperaturasi qancha vaqt ichida
0
25
C
gacha pasayishini toping [1]?
Yechish.
Biz quyidagi
1
1
0
0
(
)
t
t
M
M
M
M
T
T
T
T
T
T
T
T
formulaga berilgan- larni
qo’yamiz,
10
10
1
1
20 80
25
20 80 ( )
2
2
t
t
T
10
10
1
1
1
5 80 ( )
( )
2
16
2
t
t
tenglikdan
40
t
min ekanini topamiz. Demak, javob:
40
t
min.
Aralashmaga doir masalalar.
Idishda tarkibida b kg tuzdan iborat bo’lgan a kg suyuqlik bor. Agar idishga uzluksiz
ravishda minutiga c kg toza suv tushmoqda va aralashib (idishdagi suyuqlik bilan) shunday
tezlik bilan chiqib ketyapti. t vaqtdan keyin idishda qancha miqdorda tuz qoladi.
Yechish.
y(t) orqali idishga suv kirib boshlagandan t vaqt o’tgandagi idishdagi tuz
miqdorini belgilaymiz. U holda c ∙
∆t
kg suv tushib, aralashmadan chiqib ketayotgan aralashma
tarkibida
( )
y t
c
t
a
kg tuz chiqib ketadi. Demak,
,
t t
t
oraliqda tuz miqdorining
o’zgarishi quyidagi tenglamaga teng bo’ladi:
( )
(
)
( )
y t
y t
t
y t
c
t
a
( )
(
)
( )
y t
y t
t
y t
c
t
a
tenglikning har ikki tomonini
t
ga bo’lib
(
)
( )
( )
y t
t
y t
y t
c
t
a
0
t
limitga o’tsak, quyidagi differensial tenglamaga ega bo’lamiz:
( )
( )
,
y t
y t
c
a
60
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
bu tenglamani yechib,
(0)
y
b
boshlang’ich shartni ham hisobga olib quyidagi yechimga ega
bo’lamiz:
.
c
t
a
y
be
Fizikadagi ko’plab masalalar shu ko’rinishdagi tenglamaga keltirib yechiladi.
Masala.
Idishda
tarkibida 10 kg tuzdan iborat bo’lgan 100
l
suyuqlik bor. Idishga
uzluksiz ravishda minutiga 5
l
suv tushmoqda va aralashib (idishdagi suyuqlik bilan)
shunday tezlik bilan chiqib ketyapdi. 1 soat dan keyin idishda qancha miqdorda tuz qoladi?
Yechish.
y(t) orqali idishga suv kirib boshlagandan t vaqt o’tgandagi idishdagi tuz
miqdorini belgilaymiz. U holda
5
t
l suv tushib, chiqib ketayotgan aralashma tarkibida
( )
5
100
y t
t
kg tuz chiqib ketadi. Demak,
,
t t
t
oraliqda tuz miqdorining o’zgarishi
quyidagiga teng bo’ladi:
( )
(
)
( ) 5
100
y t
y t
t
y t
t
( )
(
)
( )
5
100
y t
y t
t
y t
t
tenglikning har ikki tomonini
t
ga bo’lib
(
)
( )
( )
5
100
y t
t
y t
y t
t
0
t
limitga o’tsak, quyidagi differensial tenglamaga ega bo’lamiz:
( )
( )
5
,
100
y t
y t
bu tenglama
t
vaqtga bog’liq tuz miqdorining o’zgarish tenglamasi (qonuniyati) hisoblanadi.
Topilgan differensial tenglama o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama bo’lib uni
integrallab, tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
20
20
dy
y
dy
dt
dt
y
ln
,
20
dy
dt
C
y
20
ln
ln
,
20
t
t
y
C
y
C e
Shunday qilib,
20
t
y
C e
tenglamaning umumiy yechimini beradi. Boshlang’ich vaqtda
idishdagi tuz miqdori 10 kg bo’lgan. Shuning uchun,
0
10
C e
bundan C=10 ekanligi kelib
chiqadi.
Demak,
20
( ) 10
t
y t
e
61
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
funksiya masala shartlaridan kelib chiqqan holda, azotning vaqtga bog’liq o’zga-rish qonunini
beradi. Endi, so’ralgan 1 soatdan keyin qancha tuz miqdori qolishini topish uchun soatda min
ga o’tamiz ya’ni 1 soat=60 min va t ning o’rniga qo’yamiz:
60
20
(60) 10
y
e
kg yoki
3
(60) 10
y
e
kg,
demak, 1 soatdan keyin tuz miqdori
3
10
10
(60)
19,7
y
e
kg ga teng bo’lar ekan.
Masala.
20
l
hajmli idish havo bilan to’ldirilgan (80% azot, 20% kislorod) idishga
sekundiga
0,1
l
azot uzluksiz ravishda kiryapdi va aralashib shuncha miqdordagi aralashma
chiqib ketyapdi. Qancha vaqtdan keyin idishdagi azot 99% ni tashkil qiladi.
Yechish.
( )
y t
orqali idishga azot kirish boshlangandan
t
vaqt o’tgandagi idishdagi
azot miqdorini belgilaymiz. U holda
0,1
t l
aralashmada
0,1
20
ydt
l
azot bo’ladi. Masala
shartiga ko’ra
t
vaqtda idishga
0,1
t l
azot kiradi va
( )
0,1
20
y t
t
l
azot chiqib ketadi.
Demak,
[ ,
]
t t
t
oraliqda azot miqdorining o’zgarishi quyidagiga teng bo’ladi:
( )
(
)
( )
0,1
0,1
20
y t
y t
t
y t
t
t
( )
(
)
( )
0,1
0,1
20
y t
y t
t
y t
t
t
tenglikning har ikki tomonini
t
ga bo’lib
(
)
( )
( )
0,1 0,1
20
y t
t
y t
y t
t
0
t
limitga o’tsak, quyidagi differensial tenglamaga ega bo’lamiz:
( )
( )
0,1 0,1
,
20
y t
y t
Topilgan differensial tenglama o’zgaruvchilari ajralgan diferensial tenglama bo’lib uni
integrallab, tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
20
200
20
200
dy
y
dy
dt
dt
y
ln ,
20
200
dy
dt
C
y
ln(
20) ln
,
200
t
y
C
200
20
t
y
Ce
62
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
Shunday qilib, tenglamaning umumiy yechimi
200
20
t
y
Ce
dan iborat. Boshlang’ich
vaqtda idishdagi havoning 80% i, ya’ni 16 litri azotdan iborat bo’lgan. Shuning uchun,
0
16
20
Ce
, bundan
4
C
kelib chiqadi.
Demak,
200
( )
20
4
t
y t
e
(2.3)
funksiya masala shartlaridan kelib chiqqan holda, azotning vaqtga bog’liq o’zgarish qonunini
beradi. Endi, qancha vaqtda aralashmaning 99% ini azot tashkil etishini topamiz. 99% azot
bu 19,8 azot deganidir. (2.3) dan foydalanib,
200
200
19,8 20
4
,
0, 2
4
t
t
e
e
200ln 20
t
sekund yoki
10
t
min.
topamiz.
Natijalar:
yuqoridagi masalalarni yechish uchun differentsial tenglamalar tuzildi va
tahlil qilindi.
Hulosa:
aralashmalarga oid masalalar umumiy holda ko’rib ishlab chiqildi yechim tahlil
qilindi, ularga oid masalalarni differensial tenglamalari tuzilib berilgan boshlang’ich shartlar
orqali xususiy yechim topildi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.Abduraxmonov B.A., Xurramov Sh.R. Oliy matematika. Farmatsevtik ta`lim muassalarining
talabalari uchun o’quv qo’llanma. 1-jild / -T:,2018.
2.Баврин И. И. Краткий курс высшей математики для химико-биологических и
медицинских специальностей.
