172
https://eyib.uz
1-sho‘ba.
O‘zbekiston iqtisodiyoti va boshqa sohalarida raqamlashtirish jarayonlari.
Chiziqli sistemalar bilan tavsiflanuvchi jarayonlarni trayektoriyasini turg‘unligini
o‘rganish uchun turg‘unlik nazariyasini tadqiq qilish usullarini qo‘llaymiz.
Eng avvalo, chiziqli tenglamalar sistemasi bilan tavsiflanuvchi jarayonni ko‘rib
chiqaylik [1]
,
x Ax B
=
+
(1)
bu yerda,
1
2
( , ,..., ),
n
x
x x
x
=
( ), ,
1,..., ,
i
j
A
a
i j
n
=
=
1
2
( , ,..., ).
n
B
b b
b
=
Aytaylik,
( )
x t
−
biz turg‘unlikka tekshirishimiz kerak bo‘lgan (1) sistemaning
xususiy yechimi bo‘lsin. Bu holda o‘zgaruvchilarni
𝑦
𝑖
= 𝑥
𝑖
− 𝑥̅
𝑖
(𝑡)
yangi
o‘zgaruvchilarni kiritish kerak bo‘ladi. Buni (1) sistemaga olib borib qo‘ygandan so‘ng,
𝑦 = (𝑦
1
, 𝑦
2
, … , 𝑦
𝑛
)
o‘zgaruvchilar uchun
𝑦̇ = 𝐴𝑥,
(2)
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz, natijada maqsad asosiy masalaning nol
yechimini tadqiq qilishga keltiriladi.
Yuqoridagi aytib o‘tilgan mulohazalarni makroiqtisodiy modellarning
trayektoriyasi turg‘unligini o‘rganishga tadbiq qilamiz. Ilgari, milliy iqtisodiyotning
chiziqli yagona mahsulot modeli (1-band, 3-misolga qarang) [2] ko‘rib chiqilganda,
modelning trayektoriyalari to‘g‘ridan-to‘g‘ri topilganda, uning turg‘un yechimlari
yo‘qligi ko‘rsatib o‘tilgan. Keling, ushbu natijani turg‘unlikni tadqiq qilish apparati
IQTISODIY DINAMIKANING CHIZIQLI
MODELLARIDA TRAYEKTORIYALAR
HARAKATINING TURG’UNLIGI HAQIDA
Mamadaliev N
O‘zbekistan Milliy universiteti, Toshkent, O‘zbekiston
m_numana59@mail.ru
Xakimova Z
O‘zbekistan Milliy universiteti, Toshkent, O‘zbekiston
zilolaxakimova94@gmail.com
Mamadalieva M.N
Andijon iqtisodiyot va qurilish instituti
A
nno
ta
ts
iy
a
Iqtisodiy dinamikaning chiziqli modellarida traektoriyalar xarakatining
turg’unligi haқida tadqiqot olib borilgan. Traektoriyalar xarakatining turg’un
va turg’un bo‘lmasligi uchun zaruriy va yetarli shartlar olingan.
Kalit so‘zlar:
173
https://eyib.uz
1-sho‘ba.
O‘zbekiston iqtisodiyoti va boshqa sohalarida raqamlashtirish jarayonlari.
yordamida qanday olish mumkinligini ko‘rsatamiz. (2) sistema biz ko‘rib chiqayotgan
misolda quyidagi ko‘rinishga
𝑦̇ =
1−𝑎
𝑏
𝑦
ega bo‘ladi. Turg‘unlikni o‘rganish uchun endi
biz xos qiymatni hisoblashimiz kerak bo‘ladi, bu yerda
𝜆 =
1−𝑎
𝑏
ga teng. Shunday qilib,
xos qiymat haqiqiy va musbat bo‘lganligi sababli, qaralayotgan modelning
trayektoriyalarini turg‘un bo‘lmasligi shundan kelib chiqadi.
Keling, milliy iqtisodiyot tarmog‘i ikki guruhga bo‘lingan holdagi yanada qiziqarli
bo‘lgan bir misolni ko‘rib chiqaylik. Ularning birinchisi ishlab chiqarish vositalarini,
ikkinchisi esa xalq iste’moli mollarini ishlab chiqaradi. Bu holda, qaralayotgan
modelning tenglamalari quyidagi [2]
𝑋
1
= 𝑎
1
1
𝑋
1
+ 𝑎
2
1
𝑋
2
+ 𝑏
1
𝑋̇
1
+ 𝑏
2
𝑋̇
2
+ 𝐶
1
,
𝑋
2
= 𝑎
1
2
𝑋
1
+ 𝑎
2
2
𝑋
2
+ 𝑏
1
𝑋̇
1
+ 𝑏
2
𝑋̇
2
+ 𝐶
2
ko‘rinishga ega bo‘ladi. Ikkinchi tenglama yordamida
𝑋
2
ni sistemadan chiqarib
tashlasak, boshqacha qilib aytganda sistemadan
𝑋
2
ni yo‘qotsak, u holda sistema bitta
differensial tenglamaga qisqarishini anglab yetamiz. Ba’zi o‘zgarishlardan keyin bu
tenglama o‘xshash bo‘ladi
𝑋̇
1
= 𝑎𝑋
1
+ 𝑝,
bu yerda
𝑎 =
1−𝑎
1
1
−𝑎
2
2
+𝑎
1
1
𝑎
2
2
−𝑎
2
1
𝑎
1
2
𝑏(1−𝑎
2
2
)+𝑏
2
,
𝑝 =
(1−𝑎
2
2
)𝐶
1
−𝑎
2
1
𝐶
2
𝑏(1−𝑎
2
2
)+𝑏
2
.
(3)
Bu holatda turg‘unlikni o‘rganish masalasi
𝑎
parametrni ishorasini aniqlashga
keltiriladi. Agar
𝑎
parametrning ishorasi manfiy bo‘lsa, ushbu modelning barcha
trayektoriyalari turg‘un, aks holda ular turg‘un bo‘lmaydi. (3) formulada
𝑎
parametrning
𝑏(1 − 𝑎
2
2
) + 𝑏
2
maxraji musbat bo‘lganligi uchun,
𝑎
parametrning ishorasi quyidagi
kasrning sonining
1 − 𝑎
1
1
− 𝑎
2
2
+ 𝑎
1
1
𝑎
2
2
− 𝑎
2
1
𝑎
1
2
(4)
ishorasi bilan mos (ustma-ust) tushadi.
Oxirgi (4) ifodaning ishorasini aniqlash uchun biz Leontev modelidagi to‘g‘ridan-
to‘g‘ri harajatlar matritsasining unumdorlik xususiyatidan foydalanamiz. Mazkur
xususiyat hossasidan kelib chiqadiki,
𝐴
matritsaning maksimal xos qiymati birdan kichik
bo‘lishi kerakligi kelib chiqadi.
𝐴
matritsaning xarakteristik tenglamasi
𝑓 (𝜆) = det(𝐴 −
𝜆𝐸)
ko‘phad ko‘rinishga ega bo‘ladi, ya’ni
𝑓(𝜆) = 𝜆
2
− (𝑎
1
1
+ 𝑎
2
2
)𝜆 − 𝑎
2
1
𝑎
1
2
.
Demak, bu
ko‘phadning
𝜆 = 1
bo‘lgandagi qiymati musbat bo‘lishi kerak bo‘ladi. Aks holda,
agar
𝑓(1) < 0
manfiy bo‘lsa,
lim
𝜆→∞
𝑓(𝜆) = +∞
bo‘lganligi tufayli,
𝑓(𝜆)
tenglamaning birdan katta bo‘lgan ildizi mavjud, aslida
esa, bunday bo‘lishi mumkin emas.
U holda (3) tenglikdan
𝑎 > 0
parametrni musbat bo‘lishligi kelib chiqadi.
Binobarin, bir xil mahsulot misolida trayektoriyalari turg‘un bo‘lmagani kabi, Leontev
modelining ikki turdagi maxsulot uchun ham trayektoriyalari turg‘un bo‘lmaydi.
Leontev modelining modifikatsiyasi (o‘xshashi) bo‘lgan yana bir chiziqli
modelni ko‘rib chiqaylik, bu ham bo‘lsa, - kapital qo‘yilmalarining (jamg‘arma)
kechikishi va asosiy vositalarning ishdan chiqishini hisobga olingan holi.
Agar kapital qo‘yilmalarning kechikishi eksponensial (o‘suvchi) taqsimotga
ega bo‘lsa, u holda quyidagi model munosabatlarni olamiz:
174
https://eyib.uz
1-sho‘ba.
O‘zbekiston iqtisodiyoti va boshqa sohalarida raqamlashtirish jarayonlari.
𝑋 = 𝑎𝑋 + 𝐼 + 𝐶,
𝐾̇ = −𝜇𝐾 + 𝑉,
𝑉̇ = −𝜆𝑉 + 𝜆𝐼.
Asosiy fondlar va yalpi mahsulot o‘rtasidagi bog‘liqlik chiziqli deb, ya’ni
𝑋 = 𝑓𝐾,
bu yerda
𝑓 −
ishlab chiqarishning kapital sig‘imi, deb faraz qilsak, transformatsiyalardan
so‘ng modelning tenglamalarini quyidagi ko‘rinishda olishimiz mumkin bo‘ladi:
𝐾̇ = −𝜇𝐾 + 𝑉,
𝑉̇ = 𝜆(1 − 𝑎)𝑓𝐾 − 𝜆𝑉 − 𝜆𝐶.
(5)
Biz iste’mol
𝐶(𝑡) −
vaqtning berilgan funksiyasi deb faraz qilamiz. Yuqorida
ta’kidlab o‘tilganidek, (5) sistemaning har qanday trayektoriyasining turg‘unligi uning
chiziqli bo‘lganligi sababli, matritsaning xarakteristik tenglamasining ildizlariga bog‘liq
bo‘ladi:
𝐴 = (
−𝜇
1
𝜆(1 − 𝑎)𝑓
−𝜆
).
𝐴
matritsaning xarakteristik tenglamasi quyidagi
𝑝
2
+ 𝑎
1
𝑝 + 𝑎
2
= 0
ko‘rinishga
ega bo‘ladi, bu yerda
𝑎
1
= 𝜆 + 𝜇 , 𝑎
2
= 𝜆(𝜇 − (1 − 𝑎)𝑓).
Bunga Gurvis kriteriyasini qo‘llagan holda, biz xarakteristik tenglama ildizlarini
haqiqiy qismining manfiy bo‘lishi uchun zaruriy va yetarli shart, u uning
koeffitsientlarining musbatligi, ya’ni
𝑎
1
, 𝑎
2
parametrlarning ishorasi musbat ekanligiga
guvoh bo‘lamiz. Ulardan birinchisi aniq musbat bo‘ladi, ikkinchisi esa
(1 − 𝑎)𝑓 < 𝜇
shart ostida musbat bo‘ladi. Bu tengsizlik (5) sistemaning turg‘unligini aniqlovchi
shartdir. E’tibor bering, bu shart, agar
𝜇 = 0
bo‘lsa, bajarilmaydi. Keling, ko‘rib
chiqilayotgan modeldagi iste’mol, oldindan belgilangan shaklda emas, balki yakuniy
mahsulotning ma’lum bir qismi sifatida ko‘rsatilgan deb faraz qilaylik. Bu qismni
(iste’mol ulushini)
𝑢
bilan belgilab olamiz, u holda
𝐶 = 𝑢(1 − 𝑎)𝑋
bo‘ladi; shuning
uchun (5) chiziqli model tenglamalarini quyidagi ko‘rinishda qayta yozish mumkin
bo‘ladi:
𝐾̇ = −𝜇𝐾 + 𝑉,
𝑉̇ = 𝜆(1 − 𝑎)(1 − 𝑢)𝑓𝐾 − 𝜆𝑉.
(5)
Shuning uchun, turg‘un yoki turg‘un bo‘lmasligi mumkin bo‘lgan chiziqli
differensial tenglamalar sistemasi olinadi. Birinchi holda,
𝑡 → ∞
intilganda uning barcha
yechimlari nolga intiladi. Ko‘rib turganimizdek, (5) sistemaning
𝑝
2
+ 𝑎
1
𝑝 + 𝑎
2
= 0
xarakteristik tenglamasi quyidagi koeffitsientlarga ega
𝑎
1
= 𝜆 + 𝜇 ,
𝑎
2
= 𝜆(𝜇 − (1 − 𝑎)(1 − 𝑢)),
bo‘ladi. Bundan kelib chiqadiki, biz birlikka yetarlicha yaqin bo‘lgan jamg‘arma
ulushi uchun , ya’ni
1 > 𝑢 > 1 −
𝜇
1−𝑎
koeffitsient musbat bo‘lishligini ko‘ramiz.
Binobarin, (5) sistema bu holatda turg‘un bo‘ladi va qayd etilganidek,
𝑡 → ∞
intilganda
𝐾(𝑡) → 0, 𝑉(𝑡) → 0
ekanligini ko‘ramiz. Olingan natijadan ko‘rinib turibdiki, iste’mol
ulushi juda katta bo‘lmasligi kerak ekan. Bu uning maksimal qiymatini baholaydi va
𝑢 =
1 −
𝜇
1−𝑎
bo‘ladi. Aks holda, asosiy vositalar nolga intilib, "mablag‘larni" yemirilishiga
(ko‘p sarf bo‘lishiga) olib keladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Понтрягин и др. Математическая теория оптималных процессов. Москва,
«Наука» 1976.
2.
Кротов В.Ф., и др. Основы теории оптималного управления. Москва
«Высшаya школа», 1990. – 430 с.
