83
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ ОДНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА С
РАДИУСОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВА
Мадгозиев Гaнижон Турдибаевич
к.ф-м.н., доцент- Ташкентский университет
прикладных наук, Ташкент Узбекистан.
madgoziyevg@gmail.com, (+998935400784)
https://doi.org/10.5281/zenodo.14324156
Аннотация:
Bu modelga mos Gamiltonianning aniq ko‘rinishi topilgan hamda
parametrlarning ba’zi shartlarida kamida uchta translyasion-invariant Gibbs o‘lchovlari
mavjudligi ko‘rsatilgan.
Найдено точное представление гамильтониана этой модели и показано
существование не менее трех трансляционно-инвариантных мер Гиббса при
некоторых параметрических условиях.
In order to study HC model it has been studied a model with an interaction radius of two and
it has been shown the existence at least three translation-invariant Gibbs measures for the
model on some values of the parameters;
Ключевые слова
. дерево Кэли, HC-модель, мара Гиббса.
Дерево Кэли
( , )
к
Г
V L
порядка
1
k
- бесконечное дерево, т.е. граф без
циклов, из каждой вершины которого выходит ровно
1
k
ребер, где
V
есть
множество вершин
к
Г
,
L
–множество его ребер. Пусть
i
– функция инцидентности,
сопоставляющая каждому ребру
l
L
его концевые точки
x y V
. Если
( ) {
}
i l
x y
,
то вершины
x
и
y
называются ближайшими соседями и обозначаются через
x y
. Расстояние
(
)
d x y x y V
, на дереве Кэли определяется формулой
0
1
1
0
1
1
(
)
min{
такие что
}
d
d
d
d
d x y
d
x x x … x
x
y V
x x
… x
x
Конфигурация
на
V
определяется
как
функция
( )
1 , 1
x V
x
; множество всех конфигураций совпадает с
V
.
Пусть
A
V
. Обозначим через
A
пространство конфигураций, определенных
на множестве
A
. Через
А
обозначим число элементов множества
А
.
Обобщенный символ Кронекера как функцию
(
)
{
1
2
{
}}
A
A
U
A
A
… A min A
определим следующим образом:
(
)
A
A
U
A
(1)
где
A
V
, и
A
– число различных значений
( )
A
x x
A
. (см [1]).
В этой работе мы рассмотрим случай
4
А
. Обозначим через
M
множество
всех шаров
( ) {
(
) 1}
b x
y V d x y
с радиусом 1.
Гамильтониан определяется следующим образом
84
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
( )
(
)
b
b M
H
J
U
(2)
где
J
R
.
Основная проблема для данного гамильтониана– это описание всех отвечающих
ему мер Гиббса. Определение меры Гиббса и других понятий, связанных с теорией
Гиббсовских мер, можно найти, например в [2]. Целью настоящей главы является
изучение меры Гиббса для модели (2). Эта модель контурным методом изучена в
работе [3], здесь мы преобразуем ее в HC (hard-core)-модель на дереве Кэли и
применим метод марковских случайных полей и рекуррентных уравнений этой теории
(см, например, работы , [1],[2],[5],[6],[7]).
Зафиксируем
0
х
V
и обозначим:
0
0
: (
, )
,
: (
, )
.
n
n
W
x V d x
x
n
V
x V d x
x
n
Рассмотрим вероятностное распределение
n
на
:
n
V
1
,
exp
,
b x
n
n
n
n
n
b x
x W
Z
H
h
(3)
где
,
,
exp
,
n
b x
n
V
n
n
n
V
n
n
b x
x W
Z
H
h
и
,
b
h
R
.
Говорят, что вероятностные распределения
n
, (
1
n
) согласованы, если
( )
( )
( )
1
1
1
(
,
)
n
n
n
n
n
n
(4)
для всех
1
n
и
1
1
n
n
V
.
В этом случае существует единственная мера
на
V
, такая, что
n
n
n
n
V
, для всех
1
n
и
n
n
V
.
Мы рассмотрим случай
2.
=
k
Пусть
}
,
,
,
{
=
)
(
3
2
1
xa
xa
xa
x
x
b
и
)}.
(
),
(
),
(
),
(
{
=
3
2
1
)
(
xa
xa
xa
x
x
b
Для
а М
, через
,
b c
обозначим «прямые потомки» шара
а
(см
3
).
Рассмотрим конфигурации
},
,
,
,
{
=
},
,
,
,
{
=
},
,
,
,
{
=
},
,
,
,
{
=
3
2
1
0
}
,
,
,
{
=
},
,
,
,
{
=
},
,
,
,
{
=
},
,
,
,
{
=
3
2
1
0
на единичном шаре.
Обозначим
,
=
,
=
,
=
,
=
,
=
,
=
,5
1
3
,
,4
1
2
,
,3
1
1
,
,2
0
2
,
,1
0
1
,
,0
0
0
,
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
.
=
,
=
,
=
,
=
,
=
,
=
,11
0
2
,
,10
0
1
,
,9
0
0
,
,8
1
3
,
,7
1
2
,
,6
1
1
,
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия на
,
b
h
при
которых выполняется (4).
85
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
Теорема 1[8]
. Вероятностные распределения
,
n
n
1, 2,...
n
в (3)
согласованы, если для любого
a
M
имеют место следующие уравнения:
,0
,1
,2
,0
,1
,2
,0
,0
,1
,2
,0
,1
,2
b
b
b
c
c
c
a
b
b
b
c
c
c
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
,0
,1
,2
,3
,4
,1
,0
,1
,2
,0
,1
,2
1
b
b
b
c
c
a
b
b
b
c
c
c
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
,
,3
,4
,3
,4
,2
,0
,1
,2
,0
,1
,2
1
1
b
b
c
c
a
b
b
b
c
c
c
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
, (5)
,3
,4
,3
,4
,3
,0
,1
,2
,0
,1
,2
1
1
b
b
c
c
a
b
b
b
c
c
c
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
,
,3
,4
,4
,0
,1
,2
1
c
c
a
c
c
c
y
y
y
y
y
y
,
где
exp
,
1
J
T
,
,
,
,5
exp(
),
0, 4.
a i
a i
a
y
h
h
i
Заметим, что трансляционно-инвариантные (ТИ) меры Гиббса соответствуют
решениям (5) с
,
,
a i
i
y
y
при всех
a
M
и
0,1, 2,3, 4.
i
Теорема 2[8]
. Для модели (2) существует
1, 7845
cr
такое что при
11
21
8
cr
существует не менее одной ТИ меры Гиббса; при
cr
существует не менее двух ТИ мер Гиббса, а при
11
21
8
cr
существует не
менее трех ТИ мер Гиббса.
Используя теорему 2, стандартными методами (см., например
4 , 5
) можно
доказать следующую теорему.
Теорема
3
.[8]
При
11
21
8
cr
существует
континуум
нетрансляционных инвариантных мер Гиббса.
Предположим, что
.
1,
=
,
=
,
=
,2
,4
,1
,3
,0
M
a
y
y
y
y
y
a
a
a
a
a
(6)
Тогда из системы (5) получаем
.
1
1
=
,
1
1
1
1
=
,1
,0
,1
,0
,1
,1
,0
,1
,0
,1
,0
,1
,0
,0
b
b
b
b
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
(7)
86
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
В этом параграфе мы рассматриваем периодические меры Гиббса в случае
выполнения условия (6).
Запишем систему (7) в следующем виде:
,
1
1
ln
=
,
1
1
1
1
ln
=
,1
,0
,1
,0
,1
,1
,0
,1
,0
,1
,0
,1
,0
,0
b
h
b
h
b
h
b
h
a
c
h
c
h
c
h
c
h
b
h
b
h
b
h
b
h
a
e
e
e
e
h
e
e
e
e
e
e
e
e
h
(8)
где
,
0,1
=
,
ln
=
,
,
i
y
h
i
a
i
a
и исследуем ее периодические решения.
Определение 1
. Пусть
0
H
подгруппа группы
.
k
G
Совокупность векторов
k
a
a
a
G
a
h
h
h
h
:
)
,
(
=
=
,1
,0
называется
0
H
-периодической, если
i
a
i
ya
h
h
,
,
=
для любых
k
G
a
и
0,1.
=
,
0
i
H
y
Определение
2
.
Мера
Гиббса,
соответствующая
0
H
-периодической
совокупности векторов , называется
0
H
-периодической.
Пусть
(2)
k
G
подгруппа группы
,
k
G
состоящая из слов четной длины. Очевидно,
что
(2)
k
G
является подгруппой индекса 2.
Пусть
,
\
если
,
,
если
,
=
(2)
2
2
(2)
2
,
G
G
c
h
G
c
h
h
a
'
i
a
i
i
a
0,1.
=
i
Теорема 3
. Для модели (2) при всех
0
>
и выполнении условия (6) существует
единственная
(2)
2
G
-периодическая мера Гиббса. Более того, эта мера совпадает с ТИ
мерой Гиббса.
Литература
1.Bleher P.M., Ruiz J., Zagrebnov V.A. On the purity of the limiting Gibbs states for the Ising
model on the Bethe lattice // Journ. Stat. Phys. 1995, V. 79, -P. 473-482.
2.Georgii.H.O. Gibbs measures and phase transitions. (de Gruyter stadies in Math: Berlin),
1988.
3.Rozikov U.A. A contour method on Cayley tree // J. Stat. Phys., 2008, V.130, No.2, p.801-813.
4.Rozikov U.A. Constructive description of ground states and Gibbs measures for Ising model
with two-step interactions on Cayley tree.// Jour. Stat. Phys. 2006. V. 122, No. 2, p. 217-235.
5.Блехер П.М., Ганиходжаев Н.Н. О чистых фазах модели Изинга на решетке Бете //
Теория вероят. и ее примен., 1990. т. 35, вып. 2.-с. 920-930.
6.Ганиходжаев Н.Н., Розиков У.А. Описание периодических крайних гиббсовских мер
некоторых моделей на дереве Кэли. // Теор. и матем. физика. – Москва, 1997. – Т. 111. –
№ 1. – С. 109-117.
7.Розиков. У. А Построение несчетного числа гиббсовских мер неоднородной модели
Изинга // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 118, №1, -с. 95-104.
8.Розиков У.А., Мадгозиев Г.Т. Неединственность меры Гиббса для одной модели на
дереве Кэли // Теор. и мат. физ, Москва. 2011. – Т.167. – №2. – C. 311–322.
