`
19
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АТМОСФЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ С
ПРИМЕНЕНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Эльмуродов Жамшид
Доцент, кандидат физико-математических наук,
кафедра математики и информационных технологий, Oriental University
Aхмадов Самандар
Студент 1 курса Oriental University
https://doi.org/10.5281/zenodo.15602668
Аннотация.
Прогнозирование погоды представляет собой сложную задачу,
требующую учета нелинейной динамики атмосферы. В данной работе рассматривается
использование дифференциальных уравнений для моделирования погодных процессов.
Модель основана на одномерном приближении уравнений Навье–Стокса, уравнений
сохранения энергии и массы, а также уравнения состояния. Численное решение
уравнений реализовано с помощью метода конечных разностей и схемы Рунге–Кутта
четвертого порядка. Результаты демонстрируют распространение тепловых волн и
позволяют оценить эффективность различных численных методов. Работа
подчеркивает значимость математического моделирования в краткосрочном
прогнозировании метеорологических условий.
Ключевые слова:
дифференциальные уравнения, прогноз погоды, численное
моделирование, уравнения Навье–Стокса, метод Рунге–Кутта.
Введение.
Современные системы прогнозирования погоды основаны на
численном решении физических моделей атмосферы. Эти модели включают уравнения
движения, теплопередачи и массы воздуха. С начала XX века, начиная с идей Вильгельма
Бьеркнеса, математические уравнения стали основой метеорологии.[1]
Цель данной работы — разработать и протестировать простую одномерную
симуляционную модель атмосферы, пригодную для анализа краткосрочных погодных
изменений.
Теоретические основы и математическая модель.
Атмосфера моделируется
как сжимаемая жидкость, описываемая следующими уравнениями[2]:
Уравнение движения (Навье–Стокса):
2
2
1
u
u
p
u
u
t
x
x
x
Уравнение теплопереноса
:
2
2
T
T
T
u
t
x
x
Уравнение непрерывности
:
(
)
0
u
t
x
Уравнение состояния (идеальный газ)
:
p
RT
Упрощения:
Модель одномерная (горизонтальный перенос).
`
20
Постоянные значения вязкости и теплопроводности.
Границы периодические:
(
)
0)
(
f
f L
Методы.
Дискретизация.
Пространственная область [0,1000]км делится на 100
равных отрезков[3]. Используются разностные схемы:
Центральная разность 1-го порядка:
1
1
2
i
i
i
u
u
u
x
x
Центральная разность 2-го порядка:
2
1
1
2
2
2
(
)
i
i
i
i
u
u
u
u
x
x
Временная интеграция.
Применялись две схемы:
Явная схема Эйлера (проста, но менее точна)
Метод Рунге–Кутта 4-го порядка (устойчив и точен)
Начальные и граничные условия.
Начальная температура:
2
2
(
500)
2 50
( ,0)
280 10
x
T x
e
Постоянная скорость ветра:
( ,0) 10 m/s
u x
Постоянная плотность:
3
( ,0) 1.2 kg/m
x
Результаты и анализ.
Симуляция показала продвижение теплового фронта с
запада на восток, как это характерно для погодных систем умеренных широт. После 3 и
6 часов максимум температуры сместился на 30 и 60 км соответственно, что
соответствует скорости потока 10 м/с.
Сравнение методов показало:
Метод
Средняя ошибка (°C)
Макс. отклонение (°C)
Эйлер
1.8
3.5
Рунге–Кутта 4
0.9
1.7
Метод Рунге–Кутта обеспечивает лучшую точность и сохраняет форму волны.
Обсуждение.
Роль уравнений в прогнозе.
Как подчеркивают Калнай (2003) и Холтон (2012),
уравнения Навье–Стокса лежат в основе всех глобальных моделей погоды (ECMWF, GFS,
UKMO). Несмотря на упрощение, 1D модель воспроизводит ключевые процессы —
адvekция и теплопроводность[4][5].
Ограничения модели.
Отсутствует вертикальное движение и влажность
Не учитываются осадки, рельеф, вращение Земли
Нет данных наблюдений (ассимиляции)
Заключение.
Простая одномерная модель, основанная на дифференциальных
уравнениях, позволяет воспроизвести основные особенности краткосрочной динамики
атмосферы. Использование схемы Рунге–Кутта значительно улучшает точность[6].
`
21
Работа показывает потенциал таких моделей в обучении и исследовании основ
атмосферной физики.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Калнай, Э. (2003).
Атмосферное моделирование, ассимиляция данных и
предсказуемость
. Кембриджский университет.
2.
Холтон, Дж. Р., и Хаким, Г. Дж. (2012).
Введение в динамическую метеорологию
(5-е
изд.). Академик Пресс.
3.
Дурран, Д. Р. (2010).
Численные методы в гидродинамике: применение в геофизике
(2-е изд.). Спрингер.
4.
ECMWF – Европейский центр среднесрочных прогнозов. (2023).
Документация по
IFS
5.
NCEP – Национальный центр прогнозов окружающей среды. (2023).
Описание
модели GFS
6.
Британский метеорологический офис. (2023).
Описание унифицированной модели
.
