THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
123
TEKISLIKDAGI ANALITIK GEOMETRIYANI O‘RGANISHDAGI
Azimova Hulkar Qayumovna
University of business and sciense “Aniq va tabiiy
fanlar” kafedrasi, Matematika fani oʻqituvchisi
E-mail: azimova.jamila74@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15423820
Annotatsiya:
Ushbu ishda tekislikdagi analitik geometriya asoslari, ya’ni
to‘g‘ri chiziqning analitik tenglamalari va ularning grafigi orqali tahlili yoritilgan.
Har bir shaklning tenglamasi, xossalari va ularni grafik asosida tahlil qilish
usullari batafsil ko‘rib chiqilgan. Mavzuni o‘rganish orqali talabalar
koordinatalar tekisligida har xil shakllarni ifodalash, ularni solishtirish va
muayyan shartlarga mos ravishda tahlil qilish ko‘nikmasiga ega bo‘ladilar.
Kalit so‘zlar:
geometriya rivojlanish tarixi, analitik geometriya,
koordinatlar usuli va sodda(asosiy) masalalar, nuqtaning koordinatlari, ikki
nuqta orasidagi masofa, kesmani berilgan nisbatda bo‘lish, koordinatlar orqali
uchburchak yuzini topish.
Geometriya fani qadimiy tarixga ega bo‘lib, unga oid boshlang‘ich
tushunchalar bundan 4000 yil muqaddam Misr va Bobilda vujudga kelgan.
Geometrik bilimlarning vujudga kelishi odamlarning amaliy faoliyati bilan
bog‘liq. Bu ko‘pgina geometrik figuralarning nomlarida o‘z aksini topgan.
Masalan, trapesiya nomi yunoncha trapezion - so‘zidan olingan bo‘lib, «stolcha»
ni bildiradi. «Chiziq» termini lotincha limem - «zig‘ir ip» so‘zidan hosil bo‘lgan.
Qadimdayoq geometriya aksiomalar sistemasiga asosan tuzilgan qat’iy
mantiqiy fanga aylangan. U uzluksiz rivojlanib yangi teoremalar, g‘oyalar va
usullar bilan boyib borgan.
Eramizdan avvalgi III asrda yunon olimi Yevklid «Negizlar» nomli asarini
yozadi. Yevklid shu davrgacha bo‘lgan geometrik bilimlarni jamladi va bu
fanning tugallangan aksiomatik bayonini berishga harakat qildi. Yevkliddan
so‘ng yashagan olimlar uning «Negizlar»iga ba’zi mavzularni qo‘shdilar,
aniqliklar kiritdilar.
Geometriyaning hozirgi zamon fizikasi bilan bog‘lanishini kuzatish g‘oyat
qiziqarli. Ko‘pincha matematikani boyitgan yangi tushunchalar fizika hamda
ximiya va tabiatshunoslikning boshqa bo‘limlaridan keladi. Masalan, vektor
mexanikadan olinganligi misol bo‘laoladi. Geometriyaning kelgusi rivojlanishida
esa matematikaning ichki talabi va o‘ziga xos mantiqiy rivojlanishi natijasida
uning ichida vujudga kelgan, yangi geometrik tushunchalar yangi zamonaviy
fizikani yaratishga yo‘l ochdi. Masalan, Lobachevskiy geometriyasi nisbiylik
nazariyasini ochishga asos bo‘lib xizmat qildi.
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
124
Hozirgi zamon geometriyasi juda ko‘p yo‘nalishlarga ega. Ulardan biri
geometriyani sonlar nazariyasi bilan, ikkinchisi kvant fizikasi bilan, uchinchisi
esa matematik tahlil bilan yaqinlashtiradi. Hozirgi zamon matematikasi
bo‘limlari shundayki unda geometriya ko‘proqmi, algebrami yoki tahlil (analiz)
aytish qiyin.
Geometriyaning rivojlanishida Markaziy Osiyodan chiqqan matematiklar
Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy, Abu Rayhon Beruniy, Abu Ali ibn Sino,
Abdurahmon al-Xaziniy, Abul Vafo Buzmoniy, Umar Xayyom, Mirzo Ulug‘bek,
G‘iyosiddin al-Koshiy va boshqalarning xizmati kattadir.
XVII asrda fransuz matematigi va filosofi Rene Dekart ishlari tufayli, butun
matematikani, xususan geometriyani inqilobiy qayta qurgan koordinatlar usuli
(metodi) vujudga keldi. Algebraik tenglik (tengsizlik) larni geometrik obraz
(grafik) lar orqali talqin qilish va aksincha geometrik masalalarni yechishni
analitik, formulalar, tenglamalar sistemalari yordamida izlash imkoniyatini
paydo qildi. Matematika fanining yangi tarmog‘i analitik geometriya vujudga
keldi. Analitik geometriyaning mohiyati shundaki, geometrik obektlarga uning
algebraik(analitik) ifodasini mos qo‘yib, ularning xususiyatlarini o‘rganishni,
unga mos algebraik ifodalarni tekshirish orqali amalga oshiriladi.
Tahlil va natijalar.
Ma’lumki, o‘zaro perpendikulyar bo‘lgan gorizontal va
vertikal sonlar o‘qi Dekart to‘g‘ri burchakli koordinatlar sistemasini tashkil
qiladi. Bu sistema orqali tekislikdagi nuqta bilan bir juft haqiqiy son o‘rtasida bir
qiymatli moslik o‘rnatiladi. Tekislikda nuqta
)
,
(
y
x
A
bilan belgilanadi.
y
x
,
sonlarga uning koordinatlari deyiladi. ,,Nuqta berilgan” degan ibora uning
koordinatlarining berilganligini, ,,Nuqtani toping” degan ibora esa, shu
koordinatlarni topishni tushuniladi. Koordinatlar sistemasi orqali o‘rnatilgan
bunday moslikka koordinatlar usuli deyiladi.
Bu usulni geometriyaning sodda masalalarini yechishga qo‘llaymiz.
1).Tekislikda berilgan
)
,
(
1
1
y
x
A
va
2
2
,
x
x
B
nuqtalar orasidagi masofani
topish talab etilsin. Ma’lumki,
1
2
x
x
AC
,
1
2
y
y
BC
(1-chizma).
ABC
to‘g‘ri burchakli uchburchakdan,
2
1
2
2
1
2
2
)
(
)
(
y
y
x
x
AB
,
bo’lib,
2
1
2
2
1
2
)
(
)
(
y
y
x
x
AB
(1)
bo‘ladi. (1) formulaga tekislikda berilgan
ikkita nuqta orasidagi masofa
ni
topish formulasi deyiladi.
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
125
1
y
1-chizma 2-chizma 3-chizma
2) AВ kesma berilgan bo‘lib, uning uchlari
)
,
(
1
1
y
x
A
va
)
,
(
2
2
y
x
B
bo‘lsin.
AB
kesmani
BC
AC
:
nisbatda bo‘luvchi
)
,
(
y
x
C
nuqtani topish
masalasi qo‘yilgan bo‘lsin. O‘rta maktab geometriyasidan ma’lumki (2-chizma),
1
1
1
1
:
:
C
B
BC
C
A
AC
,
yoki
1
1
1
1
C
B
C
A
BC
AC
bo‘lib,
1
1
1
x
x
C
A
,
x
x
C
B
2
1
1
bo‘lganligi uchun,
)
(
:
)
(
2
1
x
x
x
x
,
1
x
x
x
x
2
;
2
1
x
x
x
x
;
1
2
1
x
x
x
bo‘ladi. Xuddi shunday ,
1
2
1
y
y
y
englikka ega bo’lish mumkin(buni keltirib chiqarishni o’quvchiga havola
qilamiz).
Demak,
C
nuqtaning koordinatlari uchun
1
2
1
x
x
x
,
1
2
1
y
y
y
(2)
formulani hosil qildik. (2) formulaga
AB
kesmani, berilgan
nisbatda
bo‘luvchi
y
x
C
,
nuqtaning koordinatlarni topish formulasi deyiladi. Xususiy
holda
y
x
C
;
nuqta
АВ
kesmani teng ikkiga bo‘lsa, u holda
x
А
y
В
O
А
y
B
C
O
A
1
B
1
C
1
y
x
O
A
B
E
D
C
x
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
126
1
CB
AC
bo‘lib,
2
2
1
x
x
x
,
2
2
1
y
y
y
kesmani teng ikkiga bo‘lish formulasi kelib chiqadi.
3)
To‘g‘ri
burchakli
koordinatlar
sistemasida
uchlari
,
;
,
;
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
3
3
;
y
x
C
nuqtalarda bo‘lgan uchburchak yuzi
quyidagi formula orqali topiladi:
3
1
1
3
2
3
3
2
1
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
S
(3)
1-misol.
3
;
5
M
va
1
;
2
N
nuqtalar orasidagi masofani
toping.
Yechish
. Shartga ko‘ra:
1
,
2
,
3
,
5
2
2
1
1
y
x
y
x
. Bularni (1)
formulaga qo‘ysak:
5
25
16
9
3
1
5
2
2
2
MN
bo‘ladi.
2
-misol.
Tekislikda
3
;
5
A
,
1
;
2
B
nuqtalar berilgan.
АВ
kesmani
2
,
0
CB
AC
nisbatda bo‘luvchi
y
x
C
;
nuqtaning koordi-natlarini
toping.
Yechish. Shartga ko‘ra
2
,
0
,
1
,
3
,
2
,
5
2
1
2
1
y
y
x
x
.
(2) formulaga asosan:
2
9
2
,
1
4
,
5
2
,
1
4
,
0
5
2
,
0
1
2
2
,
0
5
1
2
1
x
x
x
;
3
8
2
,
1
2
,
3
2
,
1
2
,
0
3
2
,
0
1
1
2
,
0
3
1
2
1
y
y
y
.
Shunday qilib,
3
8
;
2
9
C
bo‘ladi.
Xulosa.
Tekislikdagi analitik geometriya — bu algebraik usullar yordamida
geometrik shakllarni o‘rganishga imkon beruvchi muhim matematik bo‘limdir.
Ushbu fan orqali to‘g‘ri chiziq, aylana, parabola, ellips va giperbola kabi
shakllarning analitik ifodalari o‘rganiladi hamda ularning grafigi asosida tahlil
qilinadi. O‘quvchilar koordinatalar sistemasida shakllarni tasvirlash, ularning
xossalarini aniqlash va muammolarni matematik usullar bilan hal qilish
ko‘nikmasiga ega bo‘ladilar. Shuningdek, analitik geometriya matematikaning
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
127
boshqa sohalari, ayniqsa algebra, hisoblash va fizikaga tayanch bo‘lib xizmat
qiladi. Mazkur mavzuni puxta o‘zlashtirish nafaqat nazariy bilimni, balki amaliy
tafakkurni ham shakllantiradi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Мусин А.У., Мухаметзянов Р.Ш. Аналитическая геометрия. – Казань:
Казанский государственный университет, 2007.
2.
Ишмуҳамедов А. Geometriya. – Toshkent: “O‘qituvchi”, 2004.
3.
Абдуллаев Қ.Ҳ. Analitik geometriya. – Toshkent: Fan, 1999.
4.
Ходиев У., Абдуллаев С. Analitik geometriya asoslari. – Toshkent: TDPU
nashriyoti, 2010.
5.
Larson R., Edwards B. Calculus with Analytic Geometry. – Cengage
Learning, 2006.
6.
Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. – Brooks/Cole, 2012.
