SCIENCE AND INNOVATION IN THE
EDUCATION SYSTEM
International scientific-online conference
80
ISSIQLIK TARQALISH TENGLAMASI UCHUN TESKARI MASALALAR
Topvoldiyev Asadbek Nishonboy o’gli
Tojimatov Inomjon Ikromjon o’gli
Tojimatovinomjon13@gmail.com
Farg’ona Davlat Universiteti 3-kurs talabalari,
https://doi.org/10.5281/zenodo.15671827
Annotatsiya:
Ushbu maqolada issiqlik tarqalish tenglamasining teskari masalalari tahlil
qilinadi. Asosiy e’tibor, ma’lum bir vaqt va joyda o‘lchangan harorat
ma’lumotlari asosida dastlabki harorat taqsimotini aniqlashga qaratilgan. Ishda
issiqlik tarqalish tenglamasining ikkinchi chegaraviy masalasi misolida teskari
masalaning matematik qo‘yilishi va uning xususiyatlari ko‘rib chiqiladi.
Shuningdek, noaniq va cheklangan o‘lchov ma’lumotlari asosida barqaror
yechim olish uchun qo‘llaniladigan yondashuvlar muhokama qilinadi. Bu teskari
masala amaliyotda haroratni nazorat qilish, materiallarning issiqlik
xususiyatlarini o‘rganish va sanoat jarayonlarini optimallashtirishda muhim
ahamiyatga ega.
Kalit so‘zlar:
Issiqlik tarqalish tenglamasi, teskari masala, to‘g‘ri masala, boshlang‘ich
shart, chegaraviy shartlar, harorat taqsimoti, barqarorlashtirish, noaniqlik,
matematik modellashtirish, regulyarizatsiya, fizik parametrlarni tiklash.
Abstract:
This article focuses on inverse problems related to the heat conduction
equation. The main objective is to determine the initial temperature distribution
based on temperature measurements taken at specific points in time and space.
Using the example of the second boundary value problem for the heat equation,
the mathematical formulation and characteristics of this inverse problem are
examined. The study also discusses approaches for obtaining stable solutions
when data is incomplete or noisy. Such inverse problems are crucial in practical
applications such as temperature control, studying thermal properties of
materials, and optimizing industrial processes.
Keywords:
Heat conduction equation, inverse problem, direct problem, initial
condition, boundary conditions, temperature distribution, stabilization,
uncertainty, mathematical modeling, regularization, parameter reconstruction.
Аннотация:
SCIENCE AND INNOVATION IN THE
EDUCATION SYSTEM
International scientific-online conference
81
В данной статье рассматриваются обратные задачи для уравнения
теплопроводности.
Основная
цель
—
определить
начальное
распределение температуры на основе измерений температуры в
определённых точках времени и пространства. На примере задачи с
вторыми краевыми условиями для уравнения теплопроводности
исследуются математическая постановка и особенности данной обратной
задачи. Также обсуждаются методы получения устойчивых решений при
наличии неполных или зашумлённых данных. Такие обратные задачи
имеют важное практическое значение для контроля температуры,
изучения тепловых свойств материалов и оптимизации технологических
процессов.
Ключевые слова:
Уравнение теплопроводности, обратная задача, прямая задача,
начальное условие, краевые условия, распределение температуры,
стабилизация,
неопределённость,
математическое
моделирование,
регуляризация, восстановление параметров.
Issiqlik tarqalish jarayonlari ko‘plab tabiiy va texnik tizimlarda asosiy
ahamiyatga ega bo‘lib, ularni tushunish va boshqarish ko‘plab sohalarda muhim
vazifa hisoblanadi. Masalan, sanoat jarayonlarida, materiallarni isitish yoki
sovutish tizimlarida, elektron qurilmalarning issiqlik boshqaruvida, ekologiyada
yer osti suvlarining haroratini aniqlashda hamda biologik tizimlarda issiqlik
taqsimotini o‘rganishda issiqlik tarqalish tenglamasi asosiy matematik model
sifatida qo‘llaniladi.Issiqlik tarqalish tenglamasi — bu vaqt va fazoda harorat
taqsimotini ifodalovchi differensial tenglama bo‘lib, u orqali boshlang‘ich va
chegaraviy shartlar asosida tizimning kelajakdagi holati yoki ma’lum vaqt
oraliqdagi harorat taqsimoti hisoblanadi. Bu tenglama yordamida tuzilgan to‘g‘ri
masalalarda tizimning boshlang‘ich sharti va chegara shartlari aniq beriladi va
natijada harorat taqsimoti hisoblab chiqiladi. Biroq amaliy hayotda ko‘pincha
barcha kerakli parametrlar, ayniqsa boshlang‘ich yoki chegaraviy shartlar to‘liq
yoki aniq ma’lum bo‘lmaydi. Aksincha, tizimning turli nuqtalarida va turli
vaqtlarda o‘lchangan harorat ma’lumotlari mavjud bo‘ladi. Ushbu noaniq va
cheklangan ma’lumotlardan foydalangan holda tizimning boshlang‘ich holatini
yoki issiqlik manbalarini aniqlash zarurati paydo bo‘ladi. Bu esa issiqilik
tarqalish tenglamasi uchun teskari masalalar deb ataladi. Teskari masalalar
ko‘pincha nokorrekt (yaxshi qo‘yilmagan) bo‘lib, ya’ni ular yechimining
mavjudligi, yagona bo‘lishi va kirish ma’lumotlariga nisbatan sezgirligi jihatidan
qiyinchiliklarga duch keladi. Masalan, o‘lchovlardagi kichik xatoliklar yoki
SCIENCE AND INNOVATION IN THE
EDUCATION SYSTEM
International scientific-online conference
82
shovqinlar natijasida yechimda katta og‘ishlar yuzaga kelishi mumkin. Shu
sababli teskari masalalarning tahlili va yechimlarini barqarorlashtirish uchun
maxsus matematik usullar — regulyarizatsiya usullari qo‘llaniladi. Ayniqsa,
Tixonov regulyarizatsiyasi kabi usullar amaliy va nazariy jihatdan keng
qo‘llaniladi.
To‘g‘ri masala.
Ushbu
2
,0
,0
,
t
xx
u
a u
x
l
t
T
(1)
u 0,
,
0,0
,
t
u l t
t
T
(2)
u
,
2
l
t
g t
(3)
(x, 0)
(x), 0
x
l
u
shartlarni qanoatlantiruvchi
(x, t)
u
funksiyani toping
Teskari masala.
0
1
0
t
,
,
0
t t
t
bo‘lganda
0
(t)
u(x , t)
g
funksiya berilgan, bu yerda
0
x
0,
l
kesmadagi biror fiksirlangan nuqta,
(x, t)
u
esa (1)-(3) masalaning yechimi.
0,
l
kesmada
(x)
funksiyani topish talab qilinadi.
Bu teskari masalaning fizik talqini quyidagicha. Muayyan vaqt oralig‘ida
harorat sterjenning belgilangan nuqtasida o‘lchanadi va bu o‘lchovlardan
dastlabki harorat taqsimotini aniqlash kerak.
(1)-(3) masalaning yechimi o‘zgaruvchilarni ajratish usuli bilan olinishi
mumkin va
2
2
1
0
2
(x, t)
( ) sin
d exp
sin
l
n
n
n
n
u
a t
x
l
l
l
l
ko‘rinishga ega. Bu tenglikka
0
x
x
qo‘yib,
(x)
funksiya uchun
2
2
1
0
2
( ) sin
d exp
sin
l
n
n
n
n
a t
x
g t
l
l
l
l
(4)
tenglama hosil bo‘ladi, bu yerda
0
1
t
,
t t
.
O‘lchov nuqtasi
0
x
segment oxirida bo‘lgan taqdirda (1) tenglama
yechimining yagonaligini tekshiramiz.
1-teorema.
Agar
0
0
x
bo‘lsa, (1) tenglamaning yechimi
2
0,
L
l
fazoda yagona bo‘ladi.
Isbot.
(1) tenglamaning chiziqliligidan kelib chiqadiki,
2
0,
L
l
fazoda yechimning
yagonaligini isbotlash uchun
2
2
exp
.
2
n
g
a
l
z
l
t
(4) tenglikka
SCIENCE AND INNOVATION IN THE
EDUCATION SYSTEM
International scientific-online conference
83
2
2
exp
.
2
n
g
a
l
z
l
t
va
0
,
2
1
1
2
n
l
x
k
n
qiymatlarni qo‘ysak,
0
1
,
t
t t
da
quyidagini olamiz.
2
2
2
2
0
1
2
( )sin
2
exp
exp
.
l
n
n
n
n
d
a
l
l
t
a t
l
l
l
(5)
Kompleks yarim tekislikda
Rez
2
2
0
1
( )
2
( ) sin
exp
.
l
n
n
n
z
d
a z
l
l
(6)
kompleks o‘zgaruvchili funksiyasni ko‘rib chiqamiz, bu yerda
0
a
0,
t
.
Demak,
Rez
bo‘lganda
2
2
2
2
exp
exp
n
n
a z
a
l
l
,
u holda bu yarim tekislikda (6) ning o‘ng tomonidagi qator tekis
yaqinlashadi. Bu qatorning har bir hadi uchun analitik funksiya
Re
z
ekanligini hisobga olib, Veyershtras teoremasini qo‘llagan holda,
0
z
funksiya
Re
z
uchun analitik ekanligini bilib olamiz.
(5) dan
z
funksiyaning analitiklik sohasida yotuvchi, haqiqiy o‘qdagi
0
,
t t
kesmada
0
z
ekanligi kelib chiqadi, u holda teoremadagi yagonalik
xulosasi analitik funksiyalar uchun
0
z
, barcha z uchun ,
Re
z
ekanligidan kelib chiqadi.
Shunday qilib, (5) tenglik barcha
0
t
t
haqiqiy sonlar uchun bajariladi.Bu
tenglikdan
t
bo‘lgandagi limitga o‘tsak, biz ketma-ket
0
( )sin
0
l
n
d
l
(7)
0
( )sin
1
l
n
d
l
tenglikni olamiz va quyidagi natijaga erishamiz.
0
( )sin
0
l
n
d
l
0
( )sin
1
l
n
d
l
2
( )
sin
n
l
l
x
ni topib,
,
u x t
funksiyaga qo‘yamiz va natijaga erishamiz.
SCIENCE AND INNOVATION IN THE
EDUCATION SYSTEM
International scientific-online conference
84
2
2
1
0
2
(x, t)
( ) sin
d exp
sin
l
n
n
n
n
u
a t
x
l
l
l
l
0
1,
2
( )sin
sin
d
0,
l
n
k
n
k
n
k
l
l
l
2
2
2
4
,
exp
sin
n
k
u x t
a t
x
l
l
l
2
4
sin
k
x
x
l
l
Xulosa
Ushbu maqolada issiqlik tarqalish tenglamasi uchun teskari masala batafsil
o‘rganilib, uning yechimi va nazariy asoslari tahlil qilindi. O‘zgaruvchilarni
ajratish usuli yordamida yechim aniq va bosqichma-bosqich ifodalandi,
shuningdek, o‘lchov nuqtasi segment oxirida joylashgan hol uchun yechimning
yagonaligi matematik jihatdan isbotlandi. Bu teskari masalaning mustahkam
nazariy poydevorini yaratishda muhim ahamiyat kasb etadi.Bundan tashqari,
kompleks funksiyalar nazariyasi va Veyershtras teoremasi asosida yechim
funksiyasining analitiklik xossalari tahlil qilindi. Ushbu yondashuv teskari
masalalarning matematik xususiyatlarini chuqurroq tushunishga, ularning
yechimlarini barqaror va aniq olishga yordam beradi.Olingan natijalar nafaqat
issiqlik tarqalish tenglamasi uchun, balki umumiy teskari masalalar nazariyasi
uchun ham muhim ilmiy ahamiyatga ega bo‘lib, ushbu masalalarning to‘g‘ri
qo‘yilishi va yechimini ta’minlashda yangi yo‘nalishlar ochadi. Shuningdek, bu
natijalar amaliy masalalarni hal qilishda, masalan, sanoat jarayonlarini
optimallashtirish, materiallarni sinovdan o‘tkazish, ekologik monitoring va
boshqa ko‘plab sohalarda qo‘llanilishi mumkin.Ushbu maqola “Nokorrekt va
teskari masalalar” fani doirasida mustaqil o‘quv materiali sifatida tayyorlangan
bo‘lib, talabalar va ilmiy izlanuvchilar uchun teskari masalalarning nazariy va
amaliy jihatlarini tushunishda foydali bo‘ladi. Kelajakda ushbu mavzuni yanada
kengaytirish va teskari masalalarning turli matematik va hisoblash usullarini
qo‘llash orqali yanada samarali yechimlar ishlab chiqish istiqbollari mavjud.
SCIENCE AND INNOVATION IN THE
EDUCATION SYSTEM
International scientific-online conference
85
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
K.S.Fayazov, I.O.Xajiyev Nokorrekt va teskari masalalar(o‘quv qo‘llanma)
2.
Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for
3.
solutions of elliptic partial differential equations satisfying general
4.
boundary conditions. II. Comm. Pure Appl. Math. 17, 1964. P. 35-92.
5.
Ames K.A., Straughan B. Non-Standard and Improperly Posed
Problems.Academic Press, New York, 1997. 303 p.
6.
Fayazov K.S. Hisoblash matematikasi, matematik fizika va analizning
7.
nokorrekt masalalarini yechish usullari. Toshkent, O‘zMU, 2001. 100 b.
8.
Fayazov K.S. Khajiev I.O. The ill-posed boundary value problem for a
9.
high-order differential equation with the degeneration line. Problems of
10.
Computational and Applied Mathematics. 2(39), 2022. P. 122-129
