International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 12 (58) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
24
NEYMAN-PIRSON KRITERIYSINING STATISTIK GIPOTEZALARNI
TEKSHIRISHGA TATBIQI
Bekmetova Sadoqat Ataboyevna
UrDU katta o‘qituvchisi
Yuldashev Begzod Egambergan o‘g‘li
UrDU o‘qituvchisi
To‘raxanov Islombek Farhod o‘g‘li
UrDU o‘qituvchisi
Annotatsiya
: Ushbu maqolada Neyman–Pirson teoremasiga asoslangan
ravishda statistik gipotezalarni tekshirishning tekis eng quvvatli kriteriyalari haqida
fikr yuritiladi. Misollar orqali I-tur va II-tur xatolarni aniqlash, kritik sohalarni topish
va statistik qarorlar qabul qilish mexanizmlari tahlil qilinadi. Maqola talabalar,
magistrlar va yosh tadqiqotchilar uchun statistik gipoteza sinovlariga doir nazariy va
amaliy yondashuvlarni tushunishga yordam beradi.
Annotation:
This methodological article focuses on the construction and
application of the most powerful tests based on the Neyman–Pearson lemma.
Through concrete examples, it examines Type I and Type II errors, determines
critical regions, and demonstrates decision-making in hypothesis testing. The paper is
designed for students, graduate researchers, and professionals aiming to deepen their
understanding of statistical hypothesis testing.
Kalit so‘zlar:
Neyman–Pirson lemmasi, tekis eng quvvatli kriteriy, I tur xatolik,
II tur xatolik, kritik soha, statistik gipotezalarni tekshirish.
Key words:
Neyman–Pearson lemma, most powerful test, Type I error, Type II
error, critical region, hypothesis testing.
Kirish:
Statistik gipotezalarni tekshirish nazariyasi eksperimental va empirik
tadqiqotlarda ishonchli xulosa chiqarishning asosiy vositasidir. Neyman–Pirson
lemmasi ushbu nazariyaning eng muhim tayanchlaridan biri bo‘lib, ikki sodda
gipoteza oralig‘ida eng quvvatli testni tanlash imkonini beradi. Ushbu maqolada tekis
eng quvvatli kriteriylar yordamida statistik gipotezalarni baholash, tanlovlar asosida
qarorlar qabul qilish hamda xatolik ehtimollarini hisoblash yoritiladi.
Mavzuga oid adabiyotlarning tahlili:
Statistik gipotezalarni tekshirish
masalasi statistikaning muhim bo‘limlaridan biridir. Matematik statistika bilan
shug‘ullanuvchi olimlar tomonidan gipotezalarni tekshirish bo‘yicha turli xil metod
va statistikalar ishlab chiqilgan (q. [1],[2],[5]). Mana shunday metodlardan biri
Neyman-Pirson (q. [3], [4]) kriteyrisi bo‘lib, ushbu maqolada Neyman-Pirson
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 12 (58) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
25
kriteyrisining gipotezalarni tekshirish bo‘yicha tatbiqlarini bir qancha misollardan
foydalangan holda o‘rganib chiqilgan.
Tahlil va natijalar.
Faraz qilaylik, biror ob’ektlar to‘plamini ifodalovchi bosh
to‘plamning muhim belgilaridan biri bo‘yicha kuzatishlar mavjud va shu bilan birga,
ushbu belgi ma’lum ehtimoliy taqsimotga amal qilishi nazariy yoki tajriba asosida
aniqlangan bo‘lsin. Statistika fanida bunday holatlarda taqsimotni to‘la ifodalovchi
noma’lum parametr(lar)ni aniqlash va ularni baholash dolzarb masala hisoblanadi.
Agar o‘rganilayotgan belgi normal taqsimotga bo‘ysunsa, u holda ushbu taqsimotni
aniqlovchi parametr(lar) — odatda
bilan belgilanadi. Ushbu parametr bosh
to‘plamdagi taqsimotni to‘liq aniqlab beradi. Ehtimollar nazariyasi va matematik
statistika fanida bu kabi noma’lum parametrlarni kuzatish asosida baholash uchun
statistik baho
tushunchasi joriy qilinadi.
Kuzatilayotgan tasodifiy miqdor haqida aytilgan ixtiyoriy fikrga statistik
gipoteza deyiladi. Tekshirilishi kerak bo`lgan gipoteza asosiy gipoteza deyiladi va u
odatda
0
H
bilan belgilanadi. Bu gipotezaga mantiqan qarama-qarshi bo`lgan
har qanday muqobil gipotezaga alternativ (raqobatchi) gipoteza deb ataladi.
Statistik gipoteza sodda deb nomlanadi, agar u taqsimot bo‘yicha aniq bir
qiymatni ko‘rsatsa:
0
0
:
H
F
F
=
aks holda u murakkab deyiladi:
0
:
H
F
.
Matematik statistikada statistik gipotezalarni tekshirishda ikki xil xatolikka yo‘l
qo‘yilishi mumkin. Agar statistik qaror asosiy gipoteza bo‘lsa ham, uni rad etsa,
bu holat I tur xatolik deyiladi. I tur xatolikning ehtimolligini
bilan
belgilaymiz. U qiymatdorlik darajasi ham deyiladi. Statistik yechim asosida
alternativ gipoteza to‘g‘ri bo`lsa ham rad etilishi mumkin. Bunday xatolik II
tur xatolik deyiladi. II tur xatolikning ehtimolligini
bilan belgilaymiz.
Mavjud statistik gipotezalarni o‘rganilayotgan taqsimotlar
oilasiga
qarab ikki guruhga ajtiladi, ya’ni parametrik va noparametrik gipotezalar.
Tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyasi parametrli taqsimotlar oilasiga
tegishli bo‘lsin. Ammo, taqsimotning parametrlari
1
( ,...,
)
n
=
noma’lumdir.
Masalan, tasodifiy miqdor normal qonunlar oilasiga tegishli bo‘lsa, uning
taqsimot funksiyasi ikkita: o‘rta qiymat va dispersiya orqali to‘liq aniqlanadi
va
0
H
gipoteza bu holda matematik kutilma hamda dispersiya qiymatlari haqida
bo`ladi. Demak, asosiy
0
H
gipoteza noma’lum parametr qiymatlari haqida bo‘lar
ekan. Bunday statistik gipotezaga parametrik gipoteza deb ataladi.
Asosiy va alternativ gipotezalar sodda bo‘lgan holda t.e.q. kriteriy qurishni
ko‘ramiz.
tasodifiy miqdor va shu tasodifiy miqdor yordamida
( )
1
(
,...,
)
n
n
X
X
X
=
tanlanma olingan bo‘lsin.
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 12 (58) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
26
Faraz qilaylik,
t.m. uzluksiz va
0
H
gipotezaga asosan
0
( )
f x
,
1
H
gipotezaga asosan esa
1
( )
f x
zichlik funksiyalarga ega bo‘lsin. Demak,
0
( )
0
1
(
)
(
)
n
n
H
i
i
P
x
f X
=
=
va
1
( )
1
1
(
)
(
)
n
n
H
i
i
P
x
f X
=
=
. Quyidagi nisbatni ko‘raylik
1
0
( )
1
( )
1
( )
0
1
( )
(
)
(
)
(
)
( )
n
n
i
H
n
i
n
n
H
i
i
f x
P
x
l x
P
x
f x
=
=
=
=
(1)
(3) tenglikka haqiqatga o‘xshashlik nisbati statistikasi deyiladi (q.[1]).
Teorema ( Neymon-Pirson).
Sodda gipoteza
0
H
ni unga alternativ bo‘lgan
sodda gipoteza
1
H
bo‘lgan holda tekshirish uchun tekis eng quvvatli kriteriy mavjud
va uning kritik sohasi quyidagicha aniqlanadi:
1
( )
( )
1
0
1
( )
: (
( )
n
i
n
n
i
n
i
i
f x
S
x
l x
c
f x
=
=
=
=
(2)
bu yerda
c
kritik nuqta
0
( )
( (
)
)
n
H
P
l x
c
=
shartdan aniqlanadi.
Endi Neyman-Pirson kriteriysining statistik gipotezalarni tekshirishga tatbiqi
sifatida quyidagi misollarni keltiramiz.
1-misol:
( )
(
)
1
2
,
,...,
n
n
X
X X
X
=
tanlanma
2
( ,
)
N
taqsimotdan olingan bo‘lsin.
Noma’lum parametr
to‘g‘risida quyidagi ikki sodda gipotezani ko‘ramiz:
0
0
:
H
=
va
1
1
:
H
=
,
1
0
.
I tur xatoligi bo‘lgan tekis eng quvvatli kriteriy quring va II tur
xatolik
ni hisoblang.
Yechish:
2
( ,
)
N
normal taqsimot bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor
zichlik funksiyasi ushbu
2
2
2
(
)
2
1
( , )
2
x
f x
e
−
−
=
ko‘rinishda aniqlanganligini hisobga olib,
( )
(
)
n
l x
ni topamiz va (2) kriteriyning
kritik sohasini aniqlaymiz:
( )
1
1
1
2
1
0
1
0
2
0
( )
( ) ...
( )
(
)
( )
( ) ...
( )
n
n
n
f x
f x
f x
l x
f x
f x
f x
=
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
0
2
0
2
0
2
2
2
(
)
(
)
(
)
2
2
2
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
...
2
2
2
1
1
1
...
2
2
2
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
e
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 12 (58) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
27
2
1
2
2
2
1
0
1
2
2
1
1
2
0
2
1
(
)
2
(
)
(
)
2
2
(
)
2
1
2
1
2
n
j
j
n
n
j
j
j
j
n
j
j
x
n
x
x
x
n
e
e
e
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
2
2
1
0
1
2
2
2
(
)
(
)
2
n x
n
e
C
−
−
−
bu tenglikni har ikkala tomonini logorifmlasak va
1
2
ekanligini hisobga olib,
quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz.
2
2
1
0
1
2
2
2
(
)
(
)
ln
2
nx
n
c
−
−
−
2
2
1
0
1
2
2
2
(
)
ln
(
)
2
nx
n
c
−
+
−
2
1
0
1
0
1
0
(
)
ln
(
)(
)
2
n
nx
c
−
+
−
+
2
1
0
1
1
0
(
)
ln
(
)
2
c
x
C
n
+
+
=
−
ya’ni,
1
x
C
o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda
1
C
- kritik nuqta va u I tur xatolik
orqali
aniqlanadi. Endi
1
C
va
ni
orqali topamiz. Malumki
2
0
,
x
N
n
. Demak,
(
)
0
0
0
1
0
1
(
)
1
H
H
x
C
n
P
x
C
P
n
−
−
=
=
= −
Agar
U
orqali
−
kvantilni belgilasak,
( )
U
=
. U holda
1
0
1
C
U
n
−
−
=
.
Bulardan foydalanib,
1
C
kritik chegarani topamiz:
1
1
0
U
C
n
−
=
+
. Bunda,
1
C
son
0
ga bog‘liq, lekin
1
ga bog‘liq emas.
1
H
gipoteza o‘rinli bo`lganda
ekanligidan
1
1
1
1
1
1
(
)
H
H
x
C
P
x
C
P
n
n
−
−
=
=
=
0
1
1
1
1
.
C
n
n
U
−
−
−
=
+
2-misol:
( )
1
2
( ,
,...,
)
n
n
X
x x
x
=
tanlanma
( , )
Bi n
(binomial) taqsimotdan olingan
bo‘lsin. Noma’lum parametr
to‘g‘risida quyidagi ikki sodda gipotezani ko‘ramiz:
0
0
:
H
=
va
1
1
:
H
=
,
1
0
. I tur xatoligi
bo‘lgan tekis eng quvvatli kriteriy
quring va II tur xatolik
ni hisoblang.
2
1
,
x
N
n
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 12 (58) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
28
Yechish.
( , )
Bi n
- binomial taqsimot bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy
miqdorning zichlik funksiyasi
bo‘lganligi sababli
( )
(
)
n
l x
ni quyidagicha hisoblaymiz. Bu yerda
( )
(
)
n
l x
— bu
haqiqatga maksimal o‘xshashlik funksiyasi
bo‘lib, gipotezalar ostidagi zichlik
funksiyalari nisbatidan tashkil topgan.
( )
1
1
1
2
1
0
1
0
2
0
( )
( ) ...
(
(
)
( )
( ) ...
( )
n
n
n
f x
f x
f x
l x
f x
f x
f x
=
=
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
(1
)
(1
)
...
(1
)
(1
)
(1
)
...
(1
)
n
n
n
n
n
n
x
x
n x
x
x
n x
x
x
n x
n
n
n
x
x
n x
x
x
n x
x
x
n x
n
n
n
C
C
C
C
C
C
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
−
−
−
1
2
1
2
1
2
1
2
...
(
) (
) ... (
)
1
1
...
(
) (
) ... (
)
0
0
(1
)
(1
)
n
n
n
n
x
x
x
n x
n x
n x
x
x
x
n x
n x
n x
+ + +
−
+ −
+ + −
+ + +
−
+ −
+ + −
−
=
−
2
2
1
1
0
0
(1
)
(1
)
n x
n
n x
n x
n
n x
−
−
−
=
−
=
2
1
1
0
0
1
1
n x
n
n x
−
−
=
=
−
2
1
0
1
0
1
0
(1
)
1
(1
)
1
n x
n
−
−
=
−
−
.
Shunday qilib, test statistikasi bu ifodaning kritik qiymatdan katta yoki teng
bo‘lishi bilan aniqlanadi:
( )
(
)
n
l x
C
bundan esa
2
1
0
1
0
1
0
(1
)
1
(1
)
1
n x
n
C
−
−
−
−
tengsizlik o‘rinli bo‘lishi va bu tengsizlikni har ikkala tomonini ham logarifmlab
2
1
0
1
0
1
0
(1
)
1
ln
ln
ln
(1
)
1
nx
n
C
−
−
+
−
−
2
1
0
1
0
1
0
(1
)
1
ln
ln
ln
(1
)
1
nx
C n
−
−
−
−
−
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
ln
1
ln
(1
)
(1
)
ln
ln
(1
)
(1
)
n
C
x
C
n
−
−
−
=
−
−
−
−
ko‘rinishda ifodalaymiz. Endi 1-tur xatolik ehtimolini hisoblaymiz:
0
0
1
1
(
)
(1
)
(1
)
H
H
C
n
x n
P
x
C
P
n
n
−
−
=
=
=
−
−
0
1
(1
)
(1
)
H
C
n
x
n
P
−
−
=
=
−
−
1
1
(1
)
C
n
−
= −
−
.
( , )
(1
)
x
x
n x
n
f x
C
−
=
−
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 12 (58) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
29
1
1
(1
)
C
n
−
= −
−
( )
1
1
t
−
= −
1
1
(1
)
C
n
t
−
−
=
−
.
Shuning uchun kritik qiymat quyidagicha aniqlanadi:
1
1
(1
)
)
C
t
n
−
=
−
+
.
Endi 2-tur xatolik ehtimolini hisoblaymiz:
1
1
1
1
(
)
(1
)
(1
)
H
H
C
n
x n
P
x
C
P
−
−
=
=
=
−
−
( )
1
1
(1
)
C
n
t
−
−
=
−
1
= −
.
3-misol.
( )
(
)
1
2
,
,...,
n
n
X
X X
X
=
tanlanma
( )
taqsimotdan olingan bo‘lsin.
Noma’lum parametr
to‘g‘risida quyidagi ikki sodda gipotezani ko‘ramiz:
0
0
:
H
=
va
1
1
:
H
=
,
1
0
.
I tur xatoligi bo‘lgan tekis eng quvvatli kriteriy quring va II
tur xatolik
ni hisoblang.
Yechish:
( )
- Puasson taqsimoti bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning
zichlik funksiyasi
(
)
M
D
=
=
bo‘lganligini hisobga olib,
( )
(
)
n
l x
ni hisoblaymiz:
1
1
1
2
1
0
0
0
1
2
1
1
1
( )
1
1
1
2
1
1
2
0
0
0
0
1
0
2
0
1
2
...
( )
(
) ...
(
!
!
!
(
)
( )
(
) ...
(
)
...
!
!
!
n
n
x
x
x
n
n
n
x
x
x
n
n
e
e
e
f x
f x
f x
x
x
x
l x
e
e
e
f x
f x
f x
x
x
x
−
−
−
−
−
−
=
=
=
1
0
1
0
(
)
1
1
0
0
n x
n
n x
n
n
n x
e
e
e
−
−
−
=
=
0
1
( )
(
)
1
0
(
)
n
n
l x
C
e
C
−
ikkala tomonini logarifmlab,
1
0
0
(
)
ln
ln
n
nx
C
− +
1
0
0
ln
ln
(
)
nx
C
n
−
−
1
0
1
1
0
1
0
ln
(ln
ln
)
ln
ln
C
x
C
n
−
+
=
−
−
1
x
C
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Natijada,
1
0
1
1
0
1
0
ln
(ln
ln
)
ln
ln
C
C
n
−
=
+
−
−
- kritik nuqta va u
tur xatolik
orqali aniqlanadi.
( , )
!
x
e
f x
x
−
=
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 12 (58) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
30
0
0
0
1
0
1
1
(
)
(
)
1
H
H
x
C
C
P
x
C
P
n
n
n
−
−
−
=
=
= −
1
1
C
n
−
= −
( )
1
1
t
−
= −
1
1
C
n
t
−
−
=
1
1
t
C
n
−
=
+
- kritik nuqtani topdik. Endi
ni topamiz:
1
1
1
1
(
)
H
H
C
x
P
x
C
P
n
n
−
−
=
=
=
( )
1
1
1
t
C
n
t
n
n
−
−
+ −
−
=
=
( )
1
1
t
−
=
= −
.
Mustaqil yechish uchun misollar:
1.
−
t.m.ning taqsimoti
( )
F x
to‘g‘risida quyidagi ikki soda gipotezani
ko‘ramiz:
0
1
: ( )
,| | 1
2
H
f x
x
=
va
1
: ( )
(0;1).
H
F x
N
=
I tur xatoligi
bo‘lgan t.e.q.
kriteriy quring va II tur xatolik
ni hisoblang.
2.
( )
1
2
(
,
,...,
)
n
n
X
X X
X
=
tanlanma zichlik funksiyasi
(
)
( , )
,
0
x
f x
e
x
− −
=
bo‘lgan taqsimotdan olingan bo‘lsin. Noma’lum parametr
to‘g‘risida quyidagi ikki
sodda gipotezani ko‘ramiz:
0
0
:
H
=
va
1
1
1
0
:
(
)
H
=
. I tur xatoligi
bo‘lgan
t.e.q. kriteriy quring va II tur xatolik
ni hisoblang.
3.
( )
1
2
(
,
,...,
)
n
n
X
X X
X
=
tanlanma zichlik funksiyasi
2
( ; )
,
0
f x
x
x
−
=
bo‘lgan taqsimotdan olingan bo‘lsin. Noma’lum parametr
to‘g‘risida quyidagi ikki
sodda gipotezani ko‘ramiz:
0
0
:
H
=
va
1
1
1
0
:
(
)
H
=
. I tur xatoligi
bo‘lgan
t.e.q. kriteriy quring va II tur xatolik
ni hisoblang.
4.
( )
1
2
(
,
,...,
)
n
n
X
X X
X
=
tanlanma
zichlik
funksiyasi
2
( ; )
2
(
),
(0; )
f x
x x
−
=
−
bo‘lgan taqsimotdan olingan bo‘lsin. Noma’lum
parametr
to‘g‘risida quyidagi ikki sodda gipotezani ko‘ramiz:
0
0
:
H
=
va
1
1
1
0
:
(
)
H
=
. I tur xatoligi
bo‘lgan t.e.q. kriteriy quring va II tur xatolik
ni hisoblang.
Xulosa.
Ushbu maqolada statistik gipotezalarni tekshirishda Neyman–Pirson
lemmasiga asoslangan tekis eng quvvatli kriteriylar qurilishi va ularning tatbiqlari
atroflicha tahlil qilindi. I va II tur xatoliklarni aniqlash, kritik sohalarni belgilash
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 12 (58) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
31
hamda qaror qabul qilishning nazariy va amaliy jihatlari misollar asosida ochib
berildi. Misollar orqali gipotezalarni tekshirishning asosiy mexanizmlari, xususan,
normal, binomial va Puasson taqsimotlari uchun eng quvvatli testlar qanday tuzilishi
ko‘rsatildi. Taqdim etilgan metodologiya statistik tahlillarda aniqlik va
samaradorlikni oshirishga xizmat qiladi. Mazkur yondashuv talabalar, ilmiy
izlanuvchilar va statistik tahlil bilan shug‘ullanuvchi mutaxassislar uchun foydali
nazariy asos va amaliy qo‘llanma bo‘lib xizmat qilishi mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. A.A. Abdushukurov. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Toshkent,
2015.
2. A.A. Abdushukurov. Zuparov T.M. Ehtimollar nazariyasi va matematik
statistika. “Tafakkur”, Toshkent, 2015.
3. Абдушукуров А.А., Азларов Т.А., Джамирзаев А.А. Эҳтимоллар
назарияси ва математик статистикадан мисол ва масалалар тўплами, Тошкент,
«Университет», 2003 й.
4. A.A. Abdushukurov. N. S. Nurmuhamedova, K. S. Sagidullayev. Matematik
statistika (parametrlarni baholash va gipotezalarni tekshirish misollarda). Toshkent,
“Universitet”, 2013.
5. Боровков А.А. Математическая статистика, Москва, «Лань», 2010г. 6.
Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику. М.:
ЛКИ. 2010.
