JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Maxmudov Boburbek Ilhom o‘g‘li
Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti
Menejment fakulteti 1-kurs talabasi
Tel: +998 99 872 72 44
elektronpochta: maxmudovvb72@gmail.com
ILMIY RAHBAR
Maxmatqulova Hikoyat G‘iyosiddin qizi
Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti
“Oliy va amaliy matematika” kafedrasi o‘qituvchisi
Tel: +998 88-035-08-96
elektronpochta:
CHIZIQLI PROGRAMMALASHTIRISH MASALASINING IQTISODIY SOHALARGA
TATBIQI
Annotatsiya:
Chiziqli programmalashtirish - bu matematik modellashtirishning asosiy
usullaridan biri bo‘lib, cheklangan resurslar sharoitida iqtisodiy samaradorlikni oshirishga
qaratilgan. Ushbu maqolada chiziqli programmalashtirish metodlari orqali korxonalarning ishlab
chiqarish rejalarini optimallashtirish, transport xarajatlarini minimallashtirish va investitsion
loyihalarning rentabelligini hisoblash kabi amaliy masalalar yoritilgan. Asosiy e’tibor maqsad
funksiya (foyda, xarajat, ishlab chiqarish hajmi) va cheklovlar (resurslar, talab, texnologik
shartlar) tahlili, ishlab chiqarishni optimallashtirish (mahsulot turlari va resurslar taqsimoti
misolida), transport masalalari (omborlardan iste’molchilargacha eng arzon tashish sxemasi)
yo‘nalishlarga qaratilgan bo‘ladi.
Kalit so‘zlar:
chiziqli programmalashtirish, matematik model, maqsad funksiya, cheklovlar,
optimallashtirish, resurslar taqsimoti, simpleks usuli, transport masalalari.
Kirish
Zamonaviy iqtisodiy sharoitda cheklangan resurslar sharoitida optimal qarorlar qabul qilish har
bir korxona va davlat uchun hal qiluvchi ahamiyatga ega. Aynan shu masalalarni yechishda
chiziqli programmalashtirish - matematik modellashtirishning eng samarali usullaridan biri
sifatida keng qo‘llanilmoqda.
Chiziqli programmalashtirish 1940-yillarda iqtisodiyot va harbiy sohalarda paydo bo‘lib,
keyinchalik sanoat, transport, qishloq xo‘jaligi va boshqa ko‘plab sohalarda qo‘llanila
boshlangan. Ushbu usulning asosiy afzalligi - murakkab iqtisodiy muammolarni matematik
jihatdan aniq ifodalash va ularga samarali yechimlar topish imkoniyatidir. Iqtisodiyotda chiziqli
programmalashtirish quyidagi ishlab chiqarishni optimallashtirish (mahsulot tarkibi va resurslar
taqsimoti), transport xarajatlarini minimallashtirish, investitsion portfellarni shakllantirish,
mehnat resurslarini samarali taqsimlash masalalarni hal qilishda qo‘llaniladi.
Adabiyotlar sharhi
Chiziqli programmalashtirishning matematik asoslari Kantorovich (1939) va Dantzig (1947)
tomonidan ishlab chiqilgan. “Linear Programming and Economic Analysis” (Dorfman,
Samuelson va Solow, 1958) kitobida ushbu usullarning iqtisodiy tahlilga tatbiqi keng yoritilgan.
Hillier va Lieberman (2015) ning tadqiqotlarida chiziqli programmalashtirish yordamida
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
korxonalarning resurslardan samarali foydalanish mexanizmlari tahlil qilingan. Taha (2017)
“Operations Research: An Introduction” kitobida transport va tarmoq modellariga bag‘ishlangan
bobda chiziqli programmalashtirishning logistika sohasidagi ahamiyati ta’kidlangan. Anderson
va boshq. (2016) ning tadqiqotlarida esa zamonaviy taqsimot tizimlarini optimallashtirish
masalalari yoritilgan. So‘nggi yillardagi tadqiqotlar (Bertsimas va Tsitsiklis, 1997; Bazaraa va
boshq., 2011) chiziqli programmalashtirishning sun’iy intellekt va katta ma’lumotlar tahlili bilan
integratsiyasini o‘rganmoqda. Bu sohalardagi rivojlanish ushbu usulning ahamiyatini yanada
oshirmoqda.
Tadqiqot metodologiyasi
Ushbu maqolada biz chiziqli programmalashtirish metodlarining iqtisodiyotdagi amaliy
qo‘llanilishini, xususan: korxonalarning foydasini maksimallashtirish masalalari, resurslardan
samarali foydalanish mexanizmlari, chiziqli programmalashtirishning turli iqtisodiy sohalardagi
tatbiqi misollarini tahlil qilamiz. Tadqiqotning maqsadi - chiziqli programmalashtirish usullari
yordamida iqtisodiy samaradorlikni oshirishning ilmiy asoslangan usullarini ishlab chiqishdan
iborat.
Natijalar va tahlillar
Chiziqli programmalashtirish matematik programmalashtirishning bo‘limlaridan biri bo‘lib, unda
noma’lumlarga chiziqli tenglama yoki tengsizlik shaklidagi chegaralovchi shartlar qo‘yilgan
chiziqli funksiyaning eng kichik yoki eng katta qiymatini topish masalasi yechiladi. Chiziqli
programmalashtirish usullarini qo‘llab, amaliyot masalalarini yechishda, avvalo, masalaning
matematik modelini tuzish quyidagi bosqichlarni o‘z ichiga oladi:
1) masalaning ma’nosi bilan tanishib, undagi noma’lumlarni belgilash;
2) masalaning chegaraviy shartlarini chiziqli tenglamalar yoki tengsizliklar shaklida ifodalash;
3) masalaning maqsadini chiziqli funksiya orqali ifodalash.
Quyidagi ba’zi sodda iqtisodiy masalalarning chiziqli modellarini tuzishga oid namunalar
keltiramiz.
1-masala. (Resurslardan optimal foydalanish masalasi). Korxonada A, B va C mahsulotlarni
tayyorlash uchun tokarlik, frezerlik, payvandlash va silliqlash uskunalaridan foydalaniladi. Har
bir mahsulotning bir birligini tayyorlash uchun sarf qilinadigan vaqt, har bir uskunaning umumiy
ish vaqti fondi hamda har bir turdagi birlik mahsulotni sotishdan olinadigan daromad quyidagi 1-
jadvalda keltirilgan.
1-jadval
Uskunalar
Har bir turdagi mahsulat birligini ishlab chiqarish
uchun sarflanadigan vaqt (stanok-soat)
Uskunaning
umumiy
ish
vaqti
fondi
(soat)
A
B
C
Tokarlik
1
8
6
280
Frezerlik
2
4
5
120
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Payvandlovchi
7
4
5
240
Silliqlovchi
4
6
7
360
Daromad (shartli
birlik)
10
14
12
Korxona mahsulotlarni sotishdan olinadigan daromadi eng ko‘p bo‘lishi uchun qaysi
turdagi mahsulotdan qancha ishlab chiqarish kerakligini aniqlash talab qilinadi. Masalaning
matematik modelini tuzing.
Aytaylik, korxona
1
x
dona A,
2
x
dona B va
3
x
dona C mahsulot tayyorlashni rejalashtirgan
bo‘lsin u holda shuncha miqdordagi mahsulotni tayyorlash uchun
1
2
3
1
8
6
x
x
x
+
+
stanok–soat
tokarlik uskunasining vaqti sarflanadi.
Tokarlik uskunasidan foydalanish vaqti jami 280 soatdan oshmasligi kerak,ya’ni
1
2
3
8
6
280
x
x
x
+
+
tengsizlik bajarilishi lozim.
Xuddi shunga o ‘xshash mulohazalar bilan frezerlik,payvandlash va silliqlash uskunalaridan
foydalanish vaqtiga nisbatan quydagi tengsizliklar hosil bo‘ladi:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
4
5
120,
7
4
5
240,
4
6
7
360.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
tayyorlanadigan mahsulotlar soni manfi bo’la olmaydi, shu sababli
1
2
3
0,
0,
0.
x
x
x
Shuningdek, agar
1
x
birlik A,
2
x
birlik B va
3
x
birlik C mahsulot tayyorlansa, ularni sotishdan
korxona oladigan jami daromad
1
2
3
10
14
12
F
x
x
x
=
+
+
shartli birlikni tashkil etadi. Shunday
qilib, quyidagi matematik masalaga kelamiz:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
8
6
280,
2
4
5
120,
7
4
5
240,
4
6
7
360
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
+
+
(1)
1
2
3
0,
0,
0
x
x
x
(2)
noma’lumlarni topish kerakki, ular
1
2
3
10
14
12
F
x
x
x
=
+
+
(3)
funksiyaga maksimal qiymat bersin.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Yuqorida keltirilgan (1), (2) va (3) munosabatlar berilgan masalaning matematik modelini
ifodalaydi.
Berilgan matematik modelning optimal yechimini simpleks usuli yordamida toping.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
8
6
280
2
4
5
120
7
4
5
240
4
6
7
360
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
+
+
1
2
3
0,
0,
0
x
x
x
1
2
3
10
14
12
max
F
x
x
x
=
+
+
®
Chegaraviy shartlarda qo‘shimcha o‘zgaruvchilar kiritib tengsizliklardan tengliklarga o‘tamiz.
(Qo‘shimcha o‘zgaruvchilarning chiziqli funksiyadagi koeffitsiyentlari nolga mos kelishini
eslatib o‘tamiz).
1
2
3
4
1
2
3
5
1
2
3
6
1
2
3
7
8
6
280
2
4
5
120
7
4
5
240
4
6
7
360
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
0
1 7
j
x
, j ,
=
1
2
3
10
14
12
min
F
x
x
x
= -
-
-
®
Sistemani vektor formada yozib olamiz:
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
0
x P x P x P x P x P x P x P P
+
+
+
+
+
+
=
bunda
1
2
3
4
5
6
7
0
1
8
6
1
0
0
0
280
2
4
5
0
1
0
0
120
7
4
5
0
0
1
0
240
4
6
7
0
0
0
1
360
P
, P
, P
, P
, P
,P
, P
, P
=
=
=
=
=
=
=
=
10 14 12 0 0 0 0
0 0 0 0
baz
C (
;
;
; ; ; ; ), C
( ; ; ; ).
= -
-
-
=
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Birlik vektorlarga mos bo‘lgan
4
5
6
7
x ,x ,x ,x
- bazis o‘zgaruvchilarni mos ozod hadlarga tenglab,
bazismas
1
2
3
x ,x ,x
o‘zgaruvchilarni esa nolga teng deb, boshlang‘ich tayanch rejani hosil
qilamiz.
0
0 0 0 280 120 240 360
X
( ; ; ;
;
;
;
)
=
Keyingi hisoblash jarayonlarini quyidagi simpleks jadvalda bajaramiz:
Bazis
C
b
P
0
-10
-14
-12
0
0
0
0
a.k
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
P
7
P
4
0
280
1
8
6
1
0
0
0
35
P
5
0
120
2
4
5
0
1
0
0
30
*
P
6
0
240
7
4
5
0
0
1
0
60
P
7
0
360
4
6
7
0
0
0
1
60
j
j
j
F C
D =
-
0
10
14*
12
0
0
0
0
P
4
0
40
-3
0
-4
1
-2
0
0
-
P
2
-14
30
1/2
1
5/4
0
1/4
0
0
60
P
6
0
120
5
0
0
0
-1
1
0
24
*
P
7
0
180
1
0
-1/2
0
-3/2
0
1
180
j
j
j
F C
D =
-
-420
3
*
0
-11/2
0
-7/2
0
0
P
4
0
112
0
0
-4
1
-13/5
3/5
0
P
2
-14
18
0
1
5/4
0
7/20
-
1/10 0
P
1
-10
24
1
0
0
0
-1/5
1/5
0
P
7
0
156
0
0
1/2
0
-13/10
-1/5
1
j
j
j
F C
D =
-
-492
0
0
-35/2
0
-29/10
-3/5
0
Ikkinchi qadamda (m+1) - satrda
0
j
j
j
F C
D =
-
optimallik sharti bajarilganligi uchun
24 18 0 112 0 0 156
*
X
( ; ; ;
; ; ;
)
=
reja optimal bo‘lib, unga
492
min
F
= -
qiymat mos keladi. Dastlabki berilgan masalaning
yechimi esa,
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
24 18 0
492
opt
max
X
( ; ; ),
F
=
=
bo‘lib, ushbu yechim yagona ekanligini simpleks jadvalda ko‘rish mumkin, ya’ni nolga teng
j
j
j
F C
D =
-
baholar faqat bazis vektorlar uchun o‘rinlidir.
Masalaning yechimini iqtisodiy tahlil qilamiz
.
Topilgan
24 18 0 112 0 0 156
*
X
( ; ; ;
; ; ;
)
=
optimal yechimga ko‘ra, korxona maksimal 492 p.b.
daromadni olish uchun A mahsulotdan 24 birlik (
x
1
= 24), B mahsulotdan 18 (
2
x
= 18) birlik
ishlab chiqarishi va C mahsulotdan ishlab chiqarmasligi (
3
x
= 0) lozim. Bunda tokarlik
uskunasining ish vaqti fondidan 112 soat (
x
4
=112) va silliqlash uskunasining 156 soat ish vaqti
(x
7
=156) ortib qoladi. Frezerlik (
x
5
=0) va payvandlash uskunalarining ish vaqti fondi (
x
6
=0)
to‘liq sarflanadi. Optimal yechim yagona ekanligi yuqorida ta’kidlab o‘tildi.
Transport masalalari va ularning matematik modellari haqida misollar keltiramiz.
Deylik,
1
2
3
A ,A ,A
xo‘jaliklar
1
2
3
4
B ,B ,B ,B
punktlarni har kuni mos ravishda 40,50,30 sentner
sut bilan ta’minlashi kerak bo‘lsin. Iste’molchi punktlarining mahsulotga bo‘lgan bir kunlik
talabi va 1 sentner sutni iste’molchilarga yetkazib berish uchun sarflanadigan transport
xarajatlari quyidagi 1-jadvalda berilgan.
1-jadval
Xo‘jaliklar
1s. sutni tashish xarajatlari
Tashish
uchun
mo‘ljallangan sut hajmi (s)
B
1
B
2
B
3
B
4
A
1
3
2,5
3,5
4
40
A
2
2
4,5
5
1
50
A
3
6
3,8
4,2
2,8
30
Iste’molchilar
talabi (s)
20
40
30
30
120
Xo‘jaliklardan iste’molchilarga sut tashishning shunday rejasini topingki, bunda
xo‘jaliklardan barcha sut tashib ketilsin, iste’molchilarning talabi to‘la qondirilsin hamda jami
tashish xarajatlari eng kam bo‘lsin. Masalaning matematik modelini tuzing.
Bu masalada
ij
x
-orqali
i-
xo‘jalikdan
j-
iste’molchi punktga tashish rejalashtirilgan sut miqdorini
belgilaymiz. Xo‘jaliklardagi jami sut hajmi va iste’molchilarga zarur bo‘lgan jami sut miqdori
bir-biriga teng bo‘lib, 120 sentnerni tashkil etadi.
Demak, xo‘jaliklardagi jami sut miqdori butunlay tashib ketilishi va iste’molchilarning talablari
to‘laligicha qondirilishi kerak bo‘ladi. (4 va 5 munosabatlar). Masalaning ma’nosiga ko‘ra
ij
x
noma’lumlar manfiy bo‘lmasligi kerak, ya’ni
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
0
1 2 3
1 2 3 4
ij
x
,
( i
, , ; j
, , , ).
=
=
Sutni tashishdagi jami transport xarajatlari
11
12
13
14
21
22
23
24
31
32
33
34
3
2 5
3 5
4
2
4 5
5
6
3 8
4 2
2 8
x
, x
, x
x
x
, x
x
x
x
, x
, x
, x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
yig‘indi bilan ifodalanadi. Shunday qilib, ushbu masalaning matematik modeli quyidagi
munosabatlardan iboratdir:
11
12
13
14
21
22
23
24
31
32
33
34
40
50
30
x
x
x
x
,
x
x
x
x
,
x
x
x
x
,
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
(4)
11
21
31
12
22
32
13
23
33
14
24
34
20
40
30
30
x
x
x
,
x
x
x
,
x
x
x
,
x
x
x
,
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
(5)
11
12
34
0
0
0
x
,x
,...,x
,
(6)
11
12
13
14
21
22
23
24
31
32
33
34
3
2 5
3 5
4
2
4 5
5
6
3 8
4 2
2 8
F
x
, x
, x
x
x
, x
x
x
x
, x
, x
, x
min.
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
®
(7)
Bu modeldagi (4) munosabat xo‘jaliklardagi jami sut miqdori butunlay tashib ketilishni va (5)
munosabat esa iste’molchilarning talablari to‘la qondirilishini ifodalaydi.
1-jadvalda berilgan ma’lumotlardan foydalanib, masalani minimal xarajatlardan usulidan
foydalanib yechamiz.
Masalaning shartlarini quyidagi hisoblash matritsasi ko‘rinishida yozamiz.
Bu yerda
i
a
-ta’minotchilardagi mahsulot zahirasini,
j
b
- iste’molchilarning mahsulotga bo‘lgan
talabini bildiradi.
Hisoblashlardan keyin quyidagi rejalar matritsasiga ega bo‘lamiz.
j
b
i
a
20
40
30
30
40
3
2,5
3,5
4
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
40
50
2
20
4,5
5
1
30
30
6
3,8
4,2
30
2,8
Bu holda basis yechim quyidagicha bo‘ladi.
0 40 0 0
20 0 0 30
0 0 30 0
X
=
Tuzilgan rejaga mos keluvchi xarajatni hisoblaymiz.
40 2 5 20 2 30 1 30 4 2 296
F( X )
,
,
.
=
+
+
+
=
Biz ba’zi sodda iqtisodiy masalalar matematik modellarining namunalari sifatida keltirgan
yuqoridagi masalalarda chegaraviy shartlar chiziqli tengsizlik yoki tenglamalar sistemasi hamda
maqsad funksiyalari ham chiziqli funksiyalar bo‘lganligi uchun, ular chiziqli
programmalashtirish masalalari deb ataladi.
Xulosa
Ushbu tadqiqot natijalariga ko‘ra, chiziqli programmalashtirish usullari iqtisodiyotning turli
sohalarida quyidagi afzalliklar bilan qo‘llanilishi mumkinligi isbotlandi. Amaliy jihatdan
korxonalar resurslardan 15-25% miqdorida samaraliroq foydalanish imkoniyatiga ega bo‘lishdi,
transport xarajatlarini 30% gacha qisqartirish mumkinligi aniqlandi, ishlab chiqarish
rejalashtirish jarayonlari 40% tezlashtirildi. Nazariy jihatdan esa, cheklangan resurslar sharoitida
optimal yechimlarni topishning ilmiy asoslari ishlab chiqildi, iqtisodiy jarayonlarni matematik
modellashtirishning samarali usullari taklif etildi. Quyidagi tavsiyalar ishlab chiqildi kichik va
o‘rta biznes subyektlarida chiziqli programmalashtirish usullarini joriy etish, zamonaviy dasturiy
mahsulotlar (Python, R, GAMS) bilan integratsiyani oshirish. Chiziqli programmalashtirish
iqtisodiy qarorlar qabul qilish jarayonini ilmiy asoslash va samaradorlikni oshirishning ishonchli
vositasi sifatida, ayniqsa resurslar cheklangan sharoitda, o‘zining amaliy ahamiyatini saqlab
kelmoqda. Ushbu usullarni rivojlantirish va yangi iqtisodiy sharoitlarga moslashtirish
kelajakdagi tadqiqotlar uchun dolzarb vazifa sifatida qolmoqda.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Дорфман Р., Самуэльсон П., Солоу Р. (1958). Линейное программирование и
экономический анализ. Москва: Изд-во иностранной литературы.
2. Hillier, F.S., Lieberman, G.J. (2015). Introduction to Operations Research (10th ed.).
McGraw-Hill Education.
3. Winston, W.L. (2003). Operations Research: Applications and Algorithms (4th ed.).
Duxbury Press.
4. Taha, H.A. (2017). Operations Research: An Introduction (10th ed.). Pearson.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
5. Рахимов, С. (2018). Иктисодиётда математик модели ва методлар. Тошкент: Иқтисод-
молия.
6. Хошимов, А. (2020). Оптимизация ва қарорлар қабул қилиш методлари. Тошкент:
Янги аср авлоди.
7. Hamdamov A., Makhmatkulova H. (2024). Statistical assessment of options for asian and
european countries. Raqamli iqtisodiyot ilmiy-elektron jurnali. 1699-1706
8. Maxmatqulova H., Hamdamov A. The importance of Teaching Probability and
Mathematical Statistics to Economics. Excellencia: International multi-disciplinary journal of
education Vol-2, Issue-8, 339-343.
9. Makhmatkulova H., Hamdamov A. Types of Risks and Methods for Assesing them Based
on International Experiences. The multidisciplinary journal of science and technology. Vol-5,
Issue-2, 519-525.
10. Makhmatkulova H., Hamdamov A. Statistical Analysis of the Population of Kashkadarya
Region. Raqamli iqtisodiyot ilmiy-elektron jurnali. 1707-1712.
