Биринчи тартибли чизиқли эллиптик системалар учун Коши масаласи

1

ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ, МАТЕМАТИКА

ИНСТИТУТИ ҲУЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР БЕРУВЧИ

DSc.27.06.2017.FM.01.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ

САТТОРОВ ЭРМАМАТ НОРКУЛОВИЧ

БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛИ ЭЛЛИПТИК СИСТЕМАЛАР УЧУН

КОШИ МАСАЛАСИ

01.01.02 – Дифференциал тенгламалар ва математик физика

(физика-математика фанлари)

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ ДОКТОРИ (DSc)

ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

ТОШКЕНТ – 2018

2

УДК: 517.946

Докторлик (DSc) диссертацияси автореферати мундарижаси

Оглавление автореферата докторской (DSc) диссертации

Content of the abstract of doctoral (DSc) dissertation

Сатторов Эрмамат Норқулович

Биринчи тартибли чизикли эллиптик системалар учун Коши масаласи 3

Сатторов Эрмамат Норкулович

Задача Коши для линейных эллиптических систем первого порядка.... 25

Sattorov Ermamat Norkulovich

Сauchy problem for the liner elliptic system of the first order ……….……. 47

Эълон қилинган ишлар рўйхати

Список опубликованных работ
List of published works …………………………………………………….. 51

3

ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ, МАТЕМАТИКА

ИНСТИТУТИ ҲУЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР БЕРУВЧИ

DSc.27.06.2017.FM.01.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ

САТТОРОВ ЭРМАМАТ НОРКУЛОВИЧ

БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛИ ЭЛЛИПТИК СИСТЕМАЛАР УЧУН

КОШИ МАСАЛАСИ

01.01.02 – Дифференциал тенгламалар ва математик физика

(физика-математика фанлари)

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ ДОКТОРИ (DSc)

ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

ТОШКЕНТ – 2018

4

Фан доктори (DSc) диссертацияси мавзуси Ӯзбекистон Республикаси Вазирлар

Маҳкамаси ҳузуридаги Олий аттестация комиссиясида B2017.2.DSc/FM57 рақам билан
рўйхатга олинган.

Диссертация Самарқанд давлат университетида бажарилган.

Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек, рус, инглиз (резюме)) Илмий кенгаш веб-

саҳифасида (http://fti-kengash.uz/) ва «ZiyoNet» Ахборот таълим порталида (www.ziyonet.uz)
жойлаштирилган.

Илмий маслаҳатчи:

Ярмухамедов

Шароф

физика-математика фанлари доктори, профессор

Расмий оппонентлар:

Чередниченко Виктор Григорьевич

физика-математика фанлари доктори

Тахиров Жозил Останович

физика-математика фанлари доктори, профессор

Фаязов Қудратилло Садридинович

физика-математика фанлари доктори, профессор

Етакчи ташкилот:

Россия Фанлар Академияси Сибир бўлими Ҳисоблаш
математикаси ва математик геофизика институти

Диссертация ҳимояси Ўзбекистон Миллий университети, Математика институти ҳузуридаги

DSc.27.06.2017.FM.01.01 рақамли Илмий кенгашнинг 2018 йил «___» ___________ соат____ даги
мажлисида бўлиб ўтади. (Манзил: 100174, Тошкент ш., Олмазор тумани, Университет кўчаси,
4-уй. Тел.: (99871) 227-12-24, факс: (99871) 246-53-21, 246-02-24, e-mail: nauka@nu.uz.)

Диссертация билан Ўзбекистон Миллий университетининг Ахборот-ресурс марказида

танишиш мумкин (__________ рақами билан рўйхатга олинган). (Манзил: 100174, Тошкент ш.,
Олмазор тумани, Университет кўчаси, 4-уй. Тел.: (99871) 246-02-24).

Диссертация автореферати 2018 йил «____» _______________куни тарқатилди.
(2018 йил «____» _______________ даги _______ рақамли реестр баённомаси).

А.С.Садуллаев

Илмий даражалар берувчи илмий
кенгаш раиси, ф.-м.ф.д., академик

Ғ.И. Ботиров

Илмий даражалар берувчи илмий
кенгаш илмий котиби, ф.-м.ф.н.

М.С.Салахитдинов

Илмий даражалар берувчи илмий
кенгаш хузуридаги илмий семинар
раиси, ф.-м.ф.д., академик

5

КИРИШ (докторлик диссертацияcи аннотацияси)

Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.

Жаҳон миқёсида

олиб борилаётган кўплаб илмий-амалий тадқиқотлар аксарият ҳолларда
хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар учун нокоррект чегаравий
масалаларни тадқиқ қилишга келтирилади. Эллиптик типдаги тенгламаларни
шартли

корректликка

текшириш

ва

тақрибий

ечимини

топиш

гидродинамика, геофизика, электродинамика каби соҳалардаги амалий
тадқиқотларнинг объектидир. Нокоррект масалаларни ечишда регулярлашган
ечимлар оиласи корректлик синфи компактга қадар торайтирилганда турғун
ечимни тадқиқ қилишга асос сифатида хизмат қилади. Кўп ўлчовли фазовий
соҳаларда биринчи тартибли чизиқли эллиптик тенгламалар системаси учун
нокоррект масалаларнинг амалий аҳамияти муҳим бўлганлиги учун
замонавий математик илмнинг долзарб муаммоларидан саналади.

Ҳозирги кунда жаҳонда биринчи тартибли чизиқли эллиптик

тенгламалар системаси учун қўйилган нокоррект чегаравий масалаларнинг
регурярлашган ечимини қуриш, ечимнинг мавжудлик критериясини аниқлаш
билан боғлиқ муаммоларни тадқиқ қилиш муҳим аҳамият касб этмоқда. Бу
мақсадли илмий тадқиқотларнинг асосий йўналишлари қуйидагилардир:
махсус соҳаларда Карлеман матрицасини аниқ кўринишда қуриш; масала
ечимининг шартли турғунлик баҳоларини ва уларнинг ечилувчанлик
шартларини олиш, ҳамда чегараси компакт бўлмаган чексиз соҳаларда
умумлашган Моисил-Теодореско, умумлашган Коши-Риман, бир жинсли
Максвелл тенгламалари системаларининг интеграл ифодасини қуриш
мақсадли илмий тадқиқотлардан ҳисобланади.

Мустақиллик йилларида мамалакатимизда дифференциал тенгламалар

ва математик физика бўйича илмий тадқиқотларга, хусусан, амалиётда кенг
тадбиқларга эга, эллиптик типдаги хусусий ҳосилали дифференциал
тенгламалар ва уларнинг системаси учун турли хил чегаравий масалаларни
тадқиқ этишга алоҳида эътибор берилди. Бунинг натижасида хусусий
ҳосилали дифференциал тенгламалар учун нокоррект чегаравий масалаларни
тадқиқ қилиш ҳамда уларнинг тақрибий ечимларини махсус кўринишдаги
соҳаларда Карлеман матрицаси асосида қуриш, шартли турғунлик
баҳоларини олиш ва ечимнинг мавжудлик критериясини топишга доир
салмоқли натижаларга эришилди. «Дифференциал тенгламалар ва математик
физика» фанларининг устувор йўналишлари бўйича халқаро стандартлар
даражасида илмий тадқиқотлар олиб бориш асосий вазифалар ва фаолият
йўналишлари этиб белгиланди.

1

Қарор ижросини таъминлашда хусусий

ҳосилали дифференциал тенгламалар назарияси, шартли турғун коррект
масалалар назариясини ривожлантириш муҳим аҳамиятга эга.

1

Ўзбекистон Републикаси Вазирлар Маҳкамасининг 2017 йил 18 майдаги «Ӯзбекистон Республикаси

Фанлар академиясининг янгидан ташкил этилган илмий-тадқиқот муассасалари фаолиятини ташкил этиш
тўғрисида”ги 292-сон қарори

6

Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2008 йил 15 июлдаги

ПҚ-916-сон «Инновацион лойиҳалар ва технологияларни ишлаб чиқаришга
татбиқ этишни рағбатлантириш борасидаги қўшимча чора-тадбирлар
тўғрисида»ги, 2017 йил 17 февралдаги ПҚ-2789-сон «Фанлар академияси
фаолияти, илмий-тадқиқот ишларини ташкил этиш, бошқариш ва
молиялаштиришни янада такомиллаштириш чора-тадбирлари тўғрисида»ги
Қарори ва 2017 йил 8 февралдаги ПФ-4947-сон «Ўзбекистон Республикасини
янада ривожлантириш бўйича ҳаракатлар стратегияси тўғрисида»ги Фармони
ҳамда мазкур фаолиятга тегишли бошқа норматив-ҳуқуқий ҳужжатларда
белгиланган вазифаларни амалга оширишга ушбу диссертация тадқиқоти
муайян даражада хизмат қилади.

Тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланиши-

нинг устувор йўналишларига боғлиқлиги.

Мазкур тадқиқот республика

фан ва технологиялар ривожланишининг IV. «Математика, механика ва
информатика» устувор йўналиши доирасида бажарилган.

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий тадқиқотлар шарҳи

2

.

Биринчи тартибли эллиптик тенгламалар системалари учун чегаравий
масалаларни ўрганиш бўйича илмий изланишлар етакчи хорижий
давлатларнинг илмий марказлари ва олий таълим муассасалари, жумладан,
Россия Фанлар академияси Москва давлат университети, Новосибирск давлат
университети, Белгород педагогика университети, Россия Фанлар академияси
Сибир бўлимининг Математика институти, Ҳисоблаш математикаси ва
математик геофизика институти, Сибир Федерал университети (Россия);
University of Wichita, University of Delaware, University of Texas (АҚШ);
University of Gunma (Япония); University of Potsdam, Karl-Marx-Stadt
University of Technology, University of Gottingen (Германия); University of
Ramatgan (Исроил); University of Xidian, University of Hohai (Хитой); Измир
университети (Туркия); Тбилисси Математика институти (Грузия); ал
Форобий номидаги Қозоғистон Миллий университети, Абай номидаги
Қозоғистон Миллий педагогика университети (Қозоғистон) да олиб
борилмоқда.

Эллиптик типдаги тенгламалар учун Коши масаласини ечиш

назариясига оид дунёда олиб борилган тадқиқотлар натижасида қатор
долзарб масалалар ечилган, жумладан, қуйидаги илмий натижалар олинган:
Коши масаласининг ягоналиги исботланган (California, Berkeley and at New
York University); умумлашган Моисил-Теодореско, умумлашган Коши-
Риман, бир жинсли Максвелл тенгламалари системалари учун фундаментал
ечим, интеграл тасвир ҳосил қилинган ва чегаравий коррект масалалар
ечилган (University of Delaware, University of Gottingen, University of Tongji,
Тбилисси Математика институти); Лаплас тенгламаси учун қўйилган Коши

2

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи: Arkiv Mathematics Astronomis,

www.springer.com/mathematics/journal/11512; Rendiconti del seminario matimatico della univ di Padava;
Communes Partial Differential Equations; Успехи математических наук, www.mathnet.ru/umn; Математические
заметки, www.mathnet.ru/mz, Сибирский математический журнал, www.springer.com; Дифференциальные
уравнения, www.link.springer.com/journal/10625 манбалар асосида ишлаб чиқилган.

7

масаласи ечимини Ярмухамедов томонидан қурилган Карлеман функцияси
орқали Шредингер тенгламасига қўйилган тескари масалани экпоненционал
ўсувчи ечими топилган (Gunma University); текисликда ўзгарувчи
коэффициентли иккинчи тартибли эллиптик тенгламалар, ҳамда Гельмгольц
ва электродинамика тенгламалари учун Коши масаласи ечими, Карлеман
формуласи қурилган. Математик физиканинг нокоррект ва тескари
масалаларини ечиш назарияси бўйича (С.Л.Собольев номидаги Математика
институти, Ҳисоблаш математикаси ва математик геофизика институти,
Новосибирск давлат университети; Xidian, Hohai University) фаол
тадқиқотлар олиб борилган. Эллиптик системалар ва комплекслар учун
иккиланган ортогонал базис иборасида Карлеман формуласи асосида Коши
масаласини ечиш усуллари ишлаб чиқилган (Сибир Федерал университети,
Potsdam университети, Самарқанд давлат университети); ҳақиқий ва
комплекс кватернион параметрли тенгламалар учун чегаравий масалаларни
ечишнинг кватернион қийматли функциялар орқали ифодалаш усуллари
ишлаб чиқилган (Karl-Marx-Stadt University of Technology, CINVESTAN del
I.P.N.Mexico); бир жинсли Фредгольм интеграл тенгламаси ва чизиқли
бўлмаган Вольтер-Стильтес интеграл тенгламалари системаси ечимининг
ягоналиги исботланган ва регуляризация усули ишлаб чиқилган (ал Форобий
номидаги Қозоғистон Миллий университети, Абай номидаги Қозоғистон
Миллий педагогика университети).

Дунёда бугунги кунда эллиптик тенгламалар ва уларнинг системаси

учун қўйилган Коши масаласи бўйича бир қатор, жумладан, муайян
жараённинг янада мутаносиб равишда ўзида акс эттирувчи математик
моделларни яратиш ва уларни ифодаловчи масалаларни ечиш; Коши
масаласининг аналитик ечимларини аниқ ва тақрибий кўринишда қуриш;
ечимнинг мавжудлик критериясини исботлаш каби устувор йўналишларда
илмий-тадқиқот ишлари олиб борилмоқда.

Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.

Нокоррект масалаларни

амалий жиҳатдан муҳим эканлиги кўрсатилиб, мумкин бўлган ечимлар
синфи компактга қадар торайтирилса бу масала турғун бўлишига доир
биринчи натижалар А.Н.Тихонов ишларида келтирилган. Лаплас тенгламаси
учун Коши масаласи ва математик физиканинг шу қатори бошқа нокоррект
масалалари тўғри цилиндр ҳамда чегараси силлиқ бўлган ихтиёрий фазовий
соҳада М.М.Лаврентьев ва сфера ичида С.Н.Мергеляннинг ишларида
ёритилган. Ихтиёрий ўзгарувчи коэффициентли эллиптик тенгламалар учун
Е.М.Ландис; ёпиқ йўлак кўринишидаги чексиз соҳада В.К.Ивановлар
томонидан ўрганилган.

Ш.Ярмухамедов Лаплас ва Гельмгольц тенгламалари учун Коши

масаласини соҳа чегарасининг қисми конусни сирти бўлганда, фундаментал
ечимни соҳа чегарасининг коник қисмида аппроксимация қилиш;
А.А.Шлапунов томонидан Лаплас тенгламаси учун Коши масаласи соҳа
чегарасининг қисми сфера сирти бўлганда, фундаментал ечимни соҳа
чегарасининг сферик қисмида бир жинсли гармоник кўпҳад билан
аппроксимация қилиш орқали Карлеман функциясини қуриш асосида

8

ечилган. Иккиланган ортогоналлик базис терминида умумий эллиптик
системалар, эллиптик комплексларда Коши масаласи Н.Н.Тарханов,
А.А.Шлапунов ишларида ёритилган. Текисликда Гельмгольц тенгламаси ва
электродинамика тенгламалари системаси учун Коши масаласини ечишда
Карлеман функцияси А.Л.Бухгейм и Э.В.Арбузовлар томонидан қурилган.

Кўп ўлчовли фазода эластиклик назарияси тенгламалари системаси учун

Коши масаласи Т.Ишанкулов, О.Махмудов ва И.Ниёзов; Навье-Стокс
тенгламалари системаси учун Коши масаласи Э.Жабборов томонидан
ўрганилган. Н.Н.Тарханов, О.Махмудов, К.Махмудов ишларида эса
Максвелл типидаги тенгламалар учун Карлеман формуласи ўрганилган.
С.И.Кабанихин, Қ.С.Фаязов ва уларнинг ўқувчилари томонидан юқори
тартибли ўзаро қўшма операторли коэффициентли ва аралаш-тузилмали
турдаги тенгламалар учун нокоррект масалалар, А.Ҳайдаров, А.Сериекбаев
ва Д.К.Дурдиевларнинг тадқиқот ишларида эллиптик ва гиперболик
тенгламалар учун тескари ва нокоррект масалалар ўрганилган. Акрам
Бегматов ва ўқувчиларининг ишларида эса интеграл геометрия масалалари
тадқиқ қилинган.

Диссертация тадқиқотининг диссертация бажарилган олий таълим

муассасасининг илмий-тадқиқот ишлари режалари билан боғлиқлиги.

Диссертация тадқиқоти Самарқанд давлат университетининг ОТ-Ф1-044-
«Биринчи ва иккинчи тартибли чизиқли ўзгармас коэффициентли эллиптик
системалар учун Коши масаласи» (2007-2011 йиллар) мавзусидаги илмий-
тадқиқот лойиҳаси доирасида бажарилган.

Тадқиқотнинг мақсади

биринчи тартибли чизиқли эллиптик

тенгламалар системаси учун Карлеман формуласини қуриш ва шу асосда
нокоррект Коши масаласининг чегараланган ва чексиз соҳаларда
регулярлашган ечимини ҳосил қилиш ҳамда Фок-Куни теоремасининг
ўхшашини исботлашдан иборат.

Тадқиқотнинг вазифалари

:

чегараси компакт бўлмаган чексиз соҳада умумлашган голоморф вектор

учун Кошининг интеграл формуласи, бир жинсли Максвелл тенгламалари
системаси ечими учун Стрэттон-Чу формуласини ҳосил қилиш;

умумлашган Коши-Риман системаси, умумлашган Моисил-Теодореско

тенгламалари системаси ва кватернион параметрли умумлашган Коши-Риман
системалари учун нокоррект Коши масаласини тадқиқ қилиш;

умумлашган

Коши-Риман

ва

умумлашган

Моисил-Теодореско

тенгламалари системаси учун Карлеман матрицаси ва Карлеман
формуласини қуриш, шу асосда Коши масаласининг регулярлашган тақрибий
ечимини ҳосил қилиш ва шартли турғунлик баҳосини исботлаш;

умумлашган Коши-Риман системаси, умумлашган Моисил-Теодореско

тенгламалари системаси учун Фок-Куни теоремасининг ўхшашини
исботлаш;

чегараланган ва чегараси компакт бўлмаган чексиз соҳада бир жинсли

Максвелл тенгламалари системаси учун Карлеман формуласини қуриш;

9

бир жинсли Максвелл тенгламалари системаси учун Фок-Куни

теоремасининг ўхшашини исботлаш.

Тадқиқотнинг объекти у

мумлашган Моисил-Теодореско ва Коши-

Риман тенгламалари системаси, гармоник ҳолатдаги бир жинсли Максвелл ва
Дирак тенгламалари системасидан иборат.

Тадқиқотнинг предмети

умумлашган Коши-Риман тенгламалари

системаси, гармоник ҳолатдаги бир жинсли Максвелл ва Дирак тенгламалари
системаси учун нокоррект масала (Коши масаласи)ни ечиш, яъни махсус
чегараланган ҳамда чексиз соҳада регуляр ечим ва аналитик давом эттириш
формулаларини ҳосил қилишдан иборат.

Тадқиқотнинг усуллари.

Тадқиқот ишида ҳақиқий ва комплекс анализ,

сирт потенциали, кватернион анализ, математик физика ва дифференциал
тенгламаларни ечиш усулларидан фойдаланилган.

Тадқиқотнинг илмий янгилиги

қуйидагилардан иборат:

чегараланган ва чексиз соҳада умумлашган Коши-Риман тенгламалари

системаси учун Коши масаласининг регулярлашган ечими қурилган ва
ечимнинг мавжудлик критерияси исботланган;

умумлашган Моисил-Теодореско тенгламалари системаси учун

Карлеман формуласи исботланган, Коши масаласининг регулярлашган ечими
қурилган ҳамда шартли турғунлик теоремалари ва ечимнинг мавжудлик
критерияси исботланган;

бир жинсли Максвелл тенгламалари системаси учун Карлеман

формуласи ва Коши масаласи ечимининг регуляризацияси қурилган, ҳамда
шартли турғунлик, Фок-Куни теоремалари исботланган;

чегараси компакт бўлмаган чексиз соҳада умумлашган голоморф вектор

учун Кошининг интеграл формуласи ҳамда бир жинсли Максвелл
тенгламалари системаси учун Стрэттон-Чу формуласи исботланган;

кватернион параметрли Коши-Риман системаси, гармоник ҳолатдаги бир

жинсли Максвелл ва Дирак тенгламалари системаси учун Коши
масаласининг регулярлашган ечими қурилган.

Тадқиқотнинг амалий натижалари

нокоррект масалаларни ечишда

ҳосил қилинган тақрибий ва аниқ ечимлардан геофизикада гармоник
электромагнит, спинор ва потенциал майдонларни давом эттириш
масалаларида шартли корректлик тўплами аниқланган.

Тадқиқот

натижаларнинг

ишончлилиги

хусусий

ҳосилали

дифференциал тенгламалар назарияси, нокоррект масалалар назарияси,
кватернион анализ усулларидан фойдаланилганлиги ҳамда математик
мулоҳазаларнинг ва исботларнинг қатъийлиги билан асосланган.

Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.

Тадқиқот

натижаларнинг илмий аҳамияти биринчи тартибли чизиқли эллиптик
тенгламалар системаси назарияси ҳамда нокоррект масалаларни ечишда
фойдаланиш мумкинлиги билан изоҳланади.

Тадқиқот натижаларнинг амалий аҳамияти биринчи тартибли чизиқли

эллиптик тенгламалар системаси учун қўйилган нокоррект Коши масалалари
билан ифодаланувчи геофизик кузатувлар, электромагнит тўлқинлар

10

тарқалиши каби физик жараён ва ҳодисаларнинг моделларига тадбиқ этиш
билан белгиланади.

Тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши:

умумлашган Коши-Риман тенгламалари системаси учун Коши

масаласини ечишда регулярлашган ечимнинг Карлеман матрицасини қуриш
15-31-10413 рақамли грант лойиҳасида геофизиканинг нокоррект чегаравий
масалаларини ечишда фойдаланилган (Ҳисоблаш математикаси ва математик
геофизика (Россия) институтининг 2016 йил 2 сентябрдаги маълумотномаси).
Илмий натижаларнинг қўлланилиши умумлашган Коши-Риман тенгламалари
системалари чегаравий масалалари ечимларининг аниқ ва тақрибий
қийматларини топиш имконини берган;

бир жинсли Максвелл тенгламалари системаси учун Коши масаласини

ечишда регулярлашган ечимни қуриш ва ечимнинг мавжудлик критерияси
(Карлеман

формуласи)

15-31-10413

рақамли

грант

лойиҳасида

электродинамиканинг

нокоррект

чегаравий

масалаларини

ечишда

фойдаланилган (Ҳисоблаш математикаси ва математик геофизика (Россия)
институтининг 2016 йил 2 сентябрдаги маълумотномаси). Илмий
натижаларнинг қўлланилиши бир жинсли Максвелл тенгламалари
системалари нокоррект масалаларининг регулярлашган ечимларини топиш
имконини берган;

умумлашган Моисил-Теодореско тенгламалари системаси учун Коши

масаласини тақрибий ечими нефт – газ қидирувига доир геофизика
масалаларини ўрганишда фойдаланилган (Атырауский нефт ва газ
(Қозоғистон) институтнинг 2017 йил 11 январдаги маълумотномаси). Илмий
натижаларнинг қўлланилиши геофизиканинг нефт ва газ қидирув
масалаларини ечиш имконини берган.

Тадқиқот

натижаларининг

апробацияси.

Мазкур

тадқиқот

натижалари 24 та илмий-амалий анжуманларда, жумладан 12 та халқаро ва
12 та республика илмий-амалий анжуманларида муҳокамадан ўтказилган.

Тадқиқот натижаларининг эълон қилинганлиги.

Диссертация

мавзуси бўйича жами 48 та илмий иш чоп этилган, шулардан, Ўзбекистон
Республикаси

Олий

аттестацияси

комиссиясининг

докторлик

диссертациялари асосий илмий натижаларини чоп этиш тавсия этилган
илмий нашрларда 18 та мақола, жумладан, 7 таси хорижий ва 11 таси
республика журналларида нашр этилган.

Диссертациянинг тузилиши ва ҳажми.

Диссертация кириш қисми,

тўртта боб, ҳулоса ва фойдаланилган адабиётлар рўйхатидан ташкил топган.
Диссертациянинг ҳажми 216 бетни ташкил этган.

11

ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ

Кириш

қисмида диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати

асосланган,

тадқиқотнинг

республика

фан

ва

технологиялари

ривожланишининг устувор йўналишларига мослиги кўрсатилган, мавзу
бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи, муаммонинг ўрганилганлик
даражаси келтирилган, тадқиқот мақсади, вазифалари, объекти ва предмети
тавсифланган, тадқиқотнинг илмий янгилиги ва амалий натижалари баён
қилинган, олинган натижаларнинг назарий ва амалий аҳамияти очиб
берилган, тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши, нашр этилган ишлар
ва диссертация тузилиши бўйича маълумотлар келтирилган.

Диссертациянинг

«Уч ўлчовли фазода умумлашган голоморф вектор

функцияни соҳа чегарасининг бир қисмида берилган қиймати бўйича
давом эттириш»

деб номланувчи биринчи боби чекли ва чексиз соҳада

умумлашган Моисил-Теодореско системаси учун Коши масаласи
регулярлаштирилган ечимини қуриш, ечимнинг мавжудлик критерияси
(зарурий ва етарли шарт)ни исботлашга бағишланган. Чексиз соҳада
экспоненциал тарзда ўсувчи умумлашган голоморф векторнинг интеграл
формуласи Коши ядросининг умумлашган кўриниши орқали ҳосил
қилинади.

Лаплас тенгламаси учун Коши масалаласини ечишнинг М.М.Лаврентьев

томонидан тавсия этилган Карлеман фунцияси усулидан фойдаланилади.
Карлеман функцияси махсус соҳаларда Л.А.Айзенберг, Ш. Ярмухамедов,
Н.Н.Тарханов, А.Л.Бухгейм, А.А.Шлапуновлар томонидан ишлаб чиқилган
ва ривожлантирилган.

Кейинги вақтда биринчи тартибли чизиқли эллиптик тенгламалар

системаси, шу жумладан, умумлашган Коши-Риман системаси учун қатор
ишлар пайдо бўлди. Булар тўғрисидаги маълумотларни С.Агмон, А.Дуглис,
Л.Ниренберг, Е.M.Стейн, Г.Вейс, И.Н.Векуа, В.С.Владимиров, И.В.Волович,
М.З.Соломяк, А.В.Бицадзе, А.А.Дезин, А.Д.Джураев, А.П.Солдатов,
В.С.

Виноградов,

Гр.Моисил

ва

Н.Теодореско,

И.Р.Шафаревич,

В.В.Кравченко, М.В.Шапиро ва Т.Ишанкуловларнинг ишларидан топиш
мумкин.

Республикамизда Лаплас ва Гельмгольц тенгламалар учун қўйилган

Коши масаласини ўрганиш Ш.Ярмухамедов ва унинг ўқувчилари томонидан
XX-асрнинг етмишинчи йилларидан бошланган. Шуни таъкидлаш лозимки,
бу ишларда Карлеман функциясидан фойдаланган ҳолда Коши масаласининг
регулярлашган ечими аниқ кўринишда ёзилган.

Биринчи бобнинг биринчи параграфида махсус соҳаларда Коши

масаласини ечиш учун қўлланиладиган Карлеман функцияси (матрицаси) ни
қуришнинг тўлалигини таъминлашга доир маълумотлар келтирилган.

)

(



К

–







i





комплекс ўзгарувчининг бутун функцияси,



ҳақиқий

бўлганда ҳақиқий ва





)

(



K

,







,

12











)

(

Im

exp

)

(

sup

)

(

1













M

i

K

p

,



,

1

,

0



p

.

шартни қаноатлантиради.

Гельмгольц тенгламаси учун Карлеман функцияси

du

u

u

w

w

K

s

x

y

Ф

K

C

m

m

n

























0

2

2

1

1

)

(

)

(

Im

)

;

,

(

)

0

(









, (1)

бу ерда

n

n

x

y

u

i

w









2

2



,

2

1

1

2

1

1

2

)

(

)

(

















n

n

x

y

x

y

s





,

2

2

2

2

)

(

n

n

x

y

x

y

r













,

)

,

,

(

1

n

y

y

y





,

n

n

R

x

x

x





)

,

,

(

1









































1

,

1

2

,

)

2

(

)!

1

(

2

)

1

(

;

2

,

2

,

)

2

(

)!

2

(

2

)

1

(

1

2

1

m

m

n

n

m

m

m

n

n

m

C

n

m

m

n

m

n





,



















,

1

,

1

2

),

cos(

,

1

,

2

),

(

)

(

0

m

m

n

u

m

m

n

u

uI

u









)

(

0



I

-нолинчи тартибли Бессел функцияси;

n



-

n

R

да бирлик сфера

юзаси.

Биринчи бобнинг иккинчи параграфида

3

R

фазодаги чегараланган бир

боғламли



соҳада умумлашган Моисил-Теодореско системаси

* (

*)

0

div F

A F

 



,

0

0

* [ *

]

0

grad F

rotF

F

A

F A





   

(2)

учун Коши масаласини регулярлашган ечими аниқ кўринишда ҳосил
қилинган, бунда соҳа чегараси

0

3



y

текисликни

T

компактли боғламли

қисми ва

0

3



y

ярим фазода ётувчи

S

Ляпунов сиртининг силлиқ бўлагидан

ташкил топган

,

д

S T

 

бу ерда

1

2

3

( ,

,

)

A

a a a



- ўзгармас вектор.

Масала 1.

S

сиртда (2) система ечимининг Коши берилгани маълум

( )

( ),

S

F y

f y

y

S





, (3)

1

2

3

4

( ,

,

,

)

f

f

f

f

f



- берилган узлуксиз вектор-функция. Берилган

f

га кўра



соҳада

( )

F x

функцияни тиклаш талаб қилинган, яъни чегаранинг

S

силлиқ бўлагида берилган қийматига кўра чегараланган соҳага (2) тенглама

ечимини аналитик давом эттириш.

)

(



H

орқали (2) тенгламани қаноатлантирувчи ва













да узлуксиз

вектор функциялар тўпламини ва

 





 

, ;

,

,

y

S

F

x

M

y x A f y dS

x











(4)

белгилаймиз,





, ;

M

y x A



Карлеман матрицаси.

Теорема 1.

 

 

F y

H





вектор-функция



чегаранинг

T

қисмида

 

,

F y

B

y

T





(5)

13

шартни қаноатлантирсин. У ҳолда ихтиёрий





x

ва

0





учун қуйидаги

тенгсизлик

 

 





2

3

( ,

) exp

,

F x

F

x

C

A B

x













ўринли, бу ерда

1 2

2

2

( ,

)

A

C

A







 























.

Натижа 1.

Ихтиёрий





x

учун ушбу тенглик ўринли

lim

( )

( ),

F x

F x









(6)



дан олинган компактда лимит текис бажарилади.

Фараз қилайлик,

S

сирт

),

,

(

2

1

3

y

y

L

y



T

y

y



)

,

(

2

1

тенглама билан берилган,

бунда

L

- Ляпунов шартини қанооатлантирувчи, бир қийматли функция,

қайсики

a

L

T



max

,

1

2

2

2

1

2

max 1 (

)

(

)

.

T

dL

dL

b

dy

dy



















Турғунлик баҳосини келтирамиз.

Теорема 2.

 

 

F y

H





вектор-функция



чегаранинг

T

қисмида

(5),

S

қисмида эса

 

2

,

, 0

a

F y

y

S

Be













 

.

шартни қаноатлантирсин. У ҳолда, ихтиёрий

x



ва

0





учун

 

2

2

3

3

2

2

1

( ,

)

,

,

x

x

a

a

F x

A B

x

 









тенгсизлик ўринли, бу ерда

2

1

4

( ,

)

2

(

2

)

b A

b

A

a

ab

a





 

 





 





































.

S

сиртда

)

(

y

f

нинг ўрнига унинг

)

(

S

C

синфдан

0





четланишли

узлуксиз яқинлашиши

)

(

y

f



берилган:

 

 









y

f

y

f

S

max

. (7)

 





 





S

y

dS

y

f

A

x

y

M

x

F







;

,

(8)

белгилаймиз, бунда

2

1

ln

,

B

B

a











.

Теорема 3.

 

 

F y

H





вектор-функция (5) шартни қаноатлантирсин.

У ҳолда ихтиёрий

x



учун қуйидаги тенгсизлик ўринли

 

 

 

2

2

3

3

2

2

1

,

x

x

a

a

F x

F

x

A B



 









,

14

бунда

3

1

( , )

2

2

(1 3 )

3

A

b

A

a

b

 























 



















.

Натижа 2.

Ихтиёрий

x



учун ушбу тенглик ўринли

 

 

0

lim

F x

F

x









, (9)



дан олинган компактда текис бажарилади.

Биринчи бобнинг учинчи параграфида умумлашган Моисил-Теодореско

системаси учун Коши масаласи ечими мавжудлигининг зарурий ва етарли
шарти исботланган.

Теорема 4.

)

(

)

(

)

(

,

0

2

S

L

S

C

y

f

C

S







бўлсин, бунда

0

S

-

S

нинг ички

нуқталари тўплами (

S

- чегарасиз). У ҳолда, шундай

)

(

)

(

y

f

y

F



,

,

0

S

y



)

(

)

(

)

(

0

S

C

H

y

F







вектор-функцияни мавжуд бўлиши учун,

b

x

2

0

3





шартни

қаноатлантирувчи ҳар бир

3

R

x



да қуйидаги хосмас интегрални

яқинлашиши (

b

b

x

















0

,

2

3

да текис)









1

)

,

(





d

x

I

, (10)

зарур ва етарли, бунда

,

)

(

)

;

(

)

(

)

,

(

y

S

dS

y

f

A

x

y

N

x

d

F

d

x

I

















)

;

(

)

;

(

A

x

y

d

dM

A

x

y

N













.

Агар (10) шарт бажарилса, у ҳолда аналитик давом эквивалент бўлган

(6) ва

0

1

( )

( , )

( )

( ; ) ( )

y

S

F x

I

x d

E x

M r A f y dS

















(11)

формулалар билан амалга оширилади, бунда

( )

E x

- (2) системанинг

3

R

даги

регуляр ечими.

Биринчи

бобнинг

тўртинчи

параграфида

чегараси





3

3

:

,

0

y y

R y

S

 





компакт бўлмаган



чексиз соҳада Кошининг

интеграл формуласи ҳосил қилинган.

S

силлиқ Ляпунов сирти бўлиб,

қуйидаги тенглама билан берилган

3

1

2

( ,

),

y

L y y



2

1

2

( ,

)

y y

R



3

0

,

,

y

h h











0





,

( ')

.

j

L

y

c

y



  







2

2

2

1

2

( )

( )

exp

(exp

) ,

,

H

F y

o

y

y

y

y y

y









 











  





.

(1) формулада

1

2

( ) (

2 ) exp(

)

K w

w

h

w









,

2

3

3

w i s

u

y

x









,

 

f

y



,

 

F

x



,

 

F

x



функциялар (7), (4), (8) формулалардан мос ҳолда аниқланади

ва 1-3 теоремалар кўринишидаги натижалар олинган.

Диссертациянинг

«Бир жинсли Максвелл тенгламалари системаси

ечимини уч ўлчовли соҳада соҳа чегарасининг қисмида берилган
қиймати бўйича тиклаш»

деб аталувчи иккинчи бобида чекли ва чексиз

соҳаларда Коши масаласининг регулярлашган ечими тикланган, чегараси

15

компакт бўлмаган фазовий чексиз соҳада Стрэттон-Чу интеграл формуласи
қурилган.

Иккинчи бобнинг биринчи параграфида гармоник ҳолатдаги бир

жинсли Максвелл тенгламалар системаси

0

rotE

i kH





;

0

rotH

i kE





, (12)

учун қўйилган Коши масаласини коррект эмаслигини кўрсатувчи Адамар
мисолининг ўхшаши ва Карлеман матрицаси қурилган, бунда

2

2

(

)

i

k













.

( )

M



орқали

(12)

тенгламалар

системасини

қаноатлантирувчи ва

   

да узлуксиз вектор-функциялар тўпламини

белгилаймиз.

Масала 2.

S

сиртда (12) тенгламалар системаси ечимининг Коши

берилганлари маълум:

[ ( ), ( )]

( )

n y E y

f y



,

[ ( ),

( )]

( )

n y H y

g y



,

y

S



. (13)

Берилган

( )

f y

ва

( )

g y

кўра

S

да

( )

E x

,

( )

H x

,

x



вектор-

функцияларни топиш талаб этилади.

Масала 3.

S

сиртда

( )

f y

ва

( )

g y

вектор-функциялар берилган.

( )

f y

ва

( )

g y

вектор-функцияларга шундай зарурий ва етарли шарт кўрсатиш

керакки, (12) системани

( )

M



синфдан олинган ва (13) шартни

қаноатлантирувчи ечими мавжуд бўлсин.

Л

емма 1.

Қуйидаги формула билан аниқланган

( , ; )

M

у х k



,

( , ; )

N

у х k



матрицалар

2

2

3 3

3 3

( , ; )

( , ; )

( , ; )

( , ; )

i j

i j

i

j

Ф у х k

M

у х k

M

у х k

k Ф у х k

x x























 

,

3

2

3

1

2

1

( , ; )

( , ; )

0

( , ; )

( , ; )

( , ; )

0

,

( , ; )

( , ; )

0

Ф у х k

Ф у х k

x

x

Ф у х k

Ф у х k

N

у х k

x

x

Ф у х k

Ф у х k

x

x





























 















(14)

(12), (13) масаланинг Карлеман матрицаси дейилади, яъни қуйидаги
кўринишда ифодаланади

1

( , ; )

( , ; )

( , ; )

M

у х k

H у х k

G

у х k









,

2

( , ; )

( , ; )

( , ; ),

N

у х k

H у х k

G

у х k









бу ерда

3 3

( , ; )

( , ; )

,

m

ij

x

G

у х k

G

у х k







1, 2

m



- матрицалар, барча

,

y

x

қийматларида аниқланган ва

y

ўзгарувчи бўйича бутун

3

R

фазода (12)

системани қаноатлантиради.

16

Иккинчи бобнинг иккинчи параграфида (12) система учун чегараланган

соҳада Карлеман формуласи исботланиб, шу асосда Коши масалаласининг
регулярлашган ечими қурилган ҳамда ечимнинг мавжудлик критерияси
исботланган.

Теорема 5.

( ),

( )

( )

E y H y

M





ва

( ),

( )

( ),

n y

E y

f y



 





( ),

( )

( ),

n y H y

g y



 





y

S



бу ерда

( ),

( )

( )

f y

g y

C S



. У ҳолда ихтиёрий

x



учун Карлеман

формуласи ўринли:

1

( )

lim

( )

lim

(

; ) ( )

(

; ) ( )

y

S

E x

E x

N

y

x k f y

M

y

x k g y

dS

ik









































,

1

( )

lim

( )

lim

(

; ) ( )

(

; ) ( )

y

S

H x

H

x

N

y

x k g y

M

y

x k f y

dS

ik









































. (15)

Теорема 6.

2

,

S

C



0

( ), ( )

(

)

( )

f y

g y

C S

L S





бўлсин, бу ерда

0

S

-

S

нинг

ички нуқталар тўплами (

S

- чегарасиз). У ҳолда

( ),

( )

( )

n y E y

f y



 





,

( ),

( )

( ),

n y H y

g y



 





0

,

y

S



(16)

шартни қаноатлантирувчи

0

( ),

( )

( )

(

)

E y H y

M

C S



 

функциялар мавжуд

бўлиши учун

3

0

2

x

a

 

шартни қаноатлантирувчи ҳар бир

3

x

R



нуқтада

хосмас интегрални

1

( , )

m

I

x d







 



,

1, 2

m



(17)

яқинлашиши (

3

2

, 0

x

a

a













 

да текис яқинлашиши) зарур ва етарли,

бу ерда ( , )

m

I

x



қуйидаги формуладан аниқланади

1

1

1

1

( , )

( )

(

; ) ( )

(

; ) ( )

y

S

dE

I

x

x

N

y

x k f y

M

y

x k g y dS

d

ik





































,

2

1

1

1

( , )

( )

(

; ) ( )

(

; ) ( )

y

S

dH

I

x

x

N

y

x k g y

M

y

x k f y dS

d

ik





































,

1

(

;

)

(

; )

dN

N

y

x H

y

x k

d













,

1

(

;

)

(

; ),

dM

M

y

x H

y

x k

d













2

2

1

1

2

2

2

0

1

(

)

(

; )

(

; )

Im

(

)

,

0,

2

w

a

dФ

ch ku du

F y

x k

y

x k

e

w

a

d

u































 













2

2

1

3

3

w

i u

y

x

a









 

.

Агар (17) шарт бажарилса, у ҳолда аналитик давом ушбу эквивалент

формулалар (15) ва

1

2

1

1

( )

( , )

( )

( , ; ) ( )

( , ; ) ( )

y

S

E x

I

x d

E x

H y x k f y

H y x k g y

dS

ik















 















,

2

2

1

1

( )

( , )

( )

( , ; ) ( )

( , ; ) ( )

y

S

H x

I

x d

H x

H y x k g y

H y x k f y

dS

ik















 















,(18)

орқали ифодаланади, бунда

2

( )

E x

,

2

( )

H x

векторлар

3

R

фазода

17

2

1

2

1

( )

(

, ) ( )

(

, ) ( )

y

S

E x

G y

x k f y

G y

x k g y

dS

ik





 

















,

2

1

2

1

( )

(

; ) ( )

(

; ) ( )

y

S

H x

G y

x k g y

G y

x k f y

dS

ik





 

















формула билан аниқланади

Иккинчи бобнинг учинчи параграфида (12)-(13) масала конус

кўринишидаги чегараланган соҳада ечилиб, 5,6-теоремаларга ўхшаш натижа
олинган.

Иккинчи бобнинг тўртинчи параграфида қатлам кўринишидаги чексиз

соҳада Кошининг интеграл формуласининг умумлашмаси сифатида
электромагнит мойдон назариясида Стрэттон-Чу интеграл формуласи
исботланган ва (12), (13) Коши масаласининг регулярлашган ечими қурилган.

Бир жинсли изотроп муҳит

3

:

R

 

3

0

,

,

y

h h











0





қатламда ётувчи

чегараланмаган

бир

боғламли

соҳадан

иборат,

унинг

чегараси





3

3

:

,

0

y y

R y

S

 





,

S

- силлиқ Ляпунов сирти бўлиб,

3

1

2

( ,

),

y

L y y



тенглама билан берилган

2

1

2

1

2

1

2

0

( ,

)

,

( ,

)

, ( ,

)

.

L y y

h

gradL y y

const

y y

R







 





( )

( ),

( )

( ) :

( )

exp

(exp

) ,

( )

exp

(exp

) ,

M

E y H y

M

E y

o

y

H y

o

y











 



























2

2

2

1

2

,

,

y

y

y y

y

 



 



белгилаймиз.

(14), (1) формулаларда

1

2

( )

(

2 ) exp(

)

K w

w

h

w









,

2

3

3

w i s

u

y

x









.

Фараз қилайлик,

( ),

( )

( )

E y

H y

M







вектор-функциялар

T

сиртда

( ),

( )

,

( ),

( )

,

n y

E y

B

n y

H y

B

y

T























. (19)

шартни қаноатлантирсин. У ҳолда Стрэттон-Чу формуласи ўринли

1

( )

( , ; )

( ),

( )

( , , )

( ),

( )

,

,

y

y

E x

N

y x k

n y

E y dS

M

y x k

n y H y

dS

x

ik

















 

















(20)

1

( )

( , ; )

( ),

( )

( , ; )

( ), ( )

,

.

y

y

H x

N

y x k

n y H y

dS

M

y x k

n y E y

dS

x

ik

















 

















1

( )

( , ; )

( ),

( )

( , , )

( ),

( )

,

y

y

S

S

E x

N

y x k

n y E y dS

M

y x k

n y H y

dS

ik















 















1

( )

( , ; )

( ),

( )

( , ; )

( ), ( )

,

.

y

y

S

S

H

x

N

y x k

n y H y dS

M

y x k

n y E y dS

x

ik















 

















Теорема 7.

( ),

( )

( )

E x H x

M







вектор-функциялар (19) чегаравий

шартни қаноатлантирсин. У ҳолда

1





ушбу баҳо ўринли

18

2

3

3

( )

( )

( , )

exp(

),

,

E x

E

x

BC

x k

x

x





 











2

3

3

( )

( )

( , )

exp(

),

H x

H

x

BC x k

x

x





 











, (21)

бу ерда

3

( , )

С x k





.дан боғлиқ бўлмаган мусбат функция.

Турғунлик баҳосини келтирамиз.

Теорема 8.

( ),

( )

( )

E x H x

M







3

0

y



текисликда (19),

S

- да эса

2
3

2

2

3

3

( ),

( )

( ),

( )

2 ,

, 0

,

max

.

y

y S

n y

E y

n y

H y

y

S

e

y

y













 









 





 



чегаравий шартни қаноатлантирсин. У ҳолда

2

3

2

2

3

1

4

3

8

( )

( , )

ln

,

x

x

h

h

B

B

E x

C

x k

x

h





















 





 

 

,

2

3

2

2

3

1

4

3

8

( )

( , )

ln

,

,

x

x

h

h

B

B

H x

C

x k

x

h





















 





 

 

ўринли, ,бу ерда

3

( , )

С x k





.дан боғлиқ бўлмаган мусбат функция.

Фараз қилайлик

S

сиртда

( ), ( ) ,

( ),

( )

n y E y

n y H y



 





 



мос ҳолда

уларнинг узлуксиз тақрибий қийматлари

( )

f

y



ва

( )

g

y



берилган

бўлсин:

max

( ),

( )

( )

,

S

n y

E y

f

y







 







max

( ),

( )

( )

,0

1.

S

n y

H y

g

y









 



 





( ),

( )

E

x

H

x

 

 

вектор-функцияларни ушбу формула билан аниқлаймиз

1

( )

( , ; )

( )

( , ; )

( )

,

,

y

y

S

S

E

x

N

y x k f

y dS

M

y x k g

y dS x

ik

 



















1

( )

( , ; )

( )

( , ; )

( )

,

.

y

y

S

S

H

x

N

y x k g

y dS

M

y x k f

y dS x

ik





















Теорема 9.

( ),

( )

( )

E x H x

M







(19) чегаравий шартни қаноатлантирсин.

У ҳолда қуйидаги баҳолашлар ўринлидир

2

3

2

2

3

1

2

3

4

( )

( )

( , )

ln

,

x

x

h

h

B

B

E x

E

x

C

x k

h























 







 

 

,





x

2

3

2

2

3

1

2

3

4

( )

( )

( , )

ln

,

,

x

x

h

h

B

B

H x

H

x

C

x k

x

h























 









 

 

бу ерда

1

ln

,

B

h

B









 





 

 

,

3

( , )

C x k





мусбат функция.

19

Натижа 3.

Ихтиёрий

x



учун ушбу тенгликлар ўринли

lim

( )

( ), lim

( )

( ),

E

x

E x

H

x

H x

















0

0

lim

( )

( ), lim

( )

( ),

E

x

E x

H

x

H x

















қайсики



соҳадан олинган ҳар бир компактда лимит текис бажарилади.

Диссертациянинг

«Кватернион параметрли умумлашган Коши-

Риман, гармоник ҳолатдаги Максвелл ва Дирак тенгламалар системаси
учун Коши масаласи»

деб номланувчи учинчи бобида комплекс параметрли

умумлашган Коши-Риман системаси учун Коши масаласи ва



-

гиперголоморф функциялар билан вақтдан гармоник боғлиқ бўлган
Максвелл ва Дирак тенгламалари билан бир қийматли боғлиқ ҳолда
қаралади.

Учинчи бобнинг биринчи параграфида умумлашган Коши-Риман

системаси учун ҳақиқий ва комплекс (=бикватернионлар) кватернионлар
бўйича зарурий маълумотлар келтирилган.

4

0

1

2

3

( , , , )

a

a a a a

R





векторни

3

0

k k

k

a

a i







кўринишдаги ёзувидан,

қисқача







3

1

ˆ

k

k

k

i

a

a

киритиб,

a

i

a

a

ˆ

0

0





ҳосил қиламиз.

Ҳақиқий ва комплекс (=бикватернион) кватернионлар тўпламини мос

ҳолда





3

,

2

,

1

,

0

,

)

(

3

3

2

2

1

1

0

0

















k

R

a

i

a

i

a

i

a

i

a

a

R

k

ва (= бикватернион)

)

(

C

H

:





3

,

2

,

1

,

0

,

)

(

3

3

2

2

1

1

0

0

















k

C

a

i

a

i

a

i

a

i

a

a

C

k

билан белгилаймиз.

Икки ўлчовли Коши-Риман операторини умумлаштирувчи чап ва ўнг

операторлар





























3

1

3

3

2

2

1

1

:

k

k

k

x

i

x

i

x

i

x

i

D

ёки





























3

1

3

3

2

2

1

1

:

k

k

k

i

x

i

x

i

x

i

x

D

орқали ва кватернион қийматли функциянинг ифодасидан Моисил-
Теодореско системасига тенг кучли бўлган

0

)

(

0

0











F

rot

F

grad

i

F

div

DF

(22)

тенгламани ҳосил қиламиз.

Таъриф 1.

3

1

1

1

1

1

( , )

(

)

4

4

4

y

x

y x

D

D

r

y

x

y

x















 

  



 



















функцияга (22) тенгламанинг фундаментал ечими дейилади.

20

Масала 4.

S

сиртда (22) тенглама ечимининг Коши берилганлари

маълум

S

y

y

f

y

F

S





,

)

(

)

(

, (23)







3

0

i

i

i

e

f

f

- берилган узлуксиз тўла кватернион функция. Берилган

f

кўра



соҳада

( )

F x

функцияни тиклаш, яъни Моисил-Теодореско системаси

ечимини фазовий соҳа чегарасининг

S

силлиқ бўлагида берилган қиймати

бўйича аналитик давом эттириш масаласини ечиш талаб этилади.

Учинчи бобнинг иккинчи параграфида кватерион параметрли

умумлашган Коши-Риман системаси учун Коши масаласи қаралади.

Ушбу умумлашган Коши-Риман системаси

0

,

0

0















F

F

div

F

, (24)

,

0

]

[

0

0

0













F

F

F

F

rot

F

grad







(25)

(22) формулага асосан

0

D F





тенгламага эквивалент, бунда

: (

)

D F

D

M

F









,

:

M F

F







,

бу ерда

1

2

3

( ,

,

)

   



,

k

C





,

0,1, 2,3

k



;

0

1

2

3

( ), ( )

( ( ),

( ),

( ))

F x F x

F x F x F x



-

скаляр ва мос ҳолда вектор функциялар,

( )

k

F x

C



(

C

- комплекс сонлар

майдони),

3

x

R



.

Теорема 10.

(Кошининг интеграл формуласи).

ker

( )

F

C









,

Q





бўлсин. У ҳолда

)

(

)

)(

(

x

F

x

F

K





,

x



, (26)

бу ерда

0

0

_

2

2

0

_

2

0

0

0

0

0

,

0,

,

,

0,

,

,

0,

,

,

0,

P K F

P K F

K F

K F

K F

P K

F

P K F

K F

V F

















 





































 













































(27)

Ушбу интеграл формула асосида (24)-(25) система учун Коши масаласи

ечилган.

Учинчи бобнинг учинчи ва тўртинчи параграфларида гармоник

ҳолатдаги Максвелл

0

H

E

M

H

 



 

 

 

, (28)

бу ерда

H

D

iw

M

D





















(29)

21

1

:

( ;

( )

( ))

( ;

( )

( )),

H

M

C

H C

H C

C

H C

H C











ҳамда Дирак тенгламалари системаси

3

0

0

(

)( ) :

( )

0,

k

k

k

D

x

iw

x

X



































(30)

учун Коши масаласи қаралган. Бунда гармоник ҳолатдаги электромагнит
майдоннинг Коши типидаги

.

1

1

(

)

(

)

0

2

2

:

0

1

(

)

(

)

2

2

K

K

K

K

K

G

B

B

K

K

K

K

K

































































 



























. (31)

операторидан фойдаланилган.

Диссертациянинг

«Кўп ўлчамли (

3

n



) соҳада умумлашган Коши-

Риман системаси ечимини соҳа чегарасининг қисмида берилган
қиймати бўйича давом эттириш

» деб номланувчи тўртинчи боби кўп

ўлчамли чегараланган ва чексиз соҳада Коши масаласининг регулярлашган
ечимини қуриш ва Фок-Куни теоремасининг ўхшашини исботлашга
бағишланган.

Тўртинчи бобнинг биринчи параграфида

n

R

,

3

n



фазода умумлашган

Коши-Риман системаси учун Коши масаласининг регулярлашган ечими
қурилган.



–

n

R

евклид фазосида чегараланган бир боғламли соҳа бўлиб, унинг

чегараси



бўлакли-силлиқ

0

n

y



текисликнинг

T

компактли боғламли

қисми ва юқори

0,

n

y



ярим текисликда ётувчи

S

Ляпунов сиртининг

силлиқ бўлагидан ташкил топган, яъни

д

S T

 

.

1

0

n

k

k

k

k

k

F

a F

x

























,

0

j

k

k

j

j

k

k

j

F

F

a F

a F

x

x

















(

,

1,2,...,

k j

n



), (32)

умумлашган Коши-Риман системасининг

n

-ўлчамли ўхшашидан иборат,

бунда

1

2

( ,

,...,

)

n

A

a a

a



-берилган ўзгармас вектор.

Ушбу белгилашлар орқали

1

2

1

2

(

,

,

,

; )

(

,

,

,

; )

kj

n

jk

n

L

X

X

X

A F

L

X

X

X

A F





(

)

(

)

(

)

k

k

j

j

j

k

kj

l

l

l

X

a F

X

a F

X

a F















,

)

(

j

k



1

( ; )

(

,

,

)

k

k

kn

L X A F

L

L

F



(

, ,

1,2,

,

k l j

n



),

k j



- Кронекер белгиси,

(32) системани қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:

;

0

k

L

A F

x





 











(

n

k

...,

,

1



). (33)

Ҳар бир

k

L

операторга қўшма оператор

*

k

L

қуйидагича аниқланади:

*

(

;

)

(

;

)

k

k

k

k

L X A V

L X A V



, (34)

бунда

1

1

(

,

,

,

,

,

),

k

k

k

n

X

X

X

X

X



 



1

1

1

(

,

,

,

,

,

,

).

k

k

k

k

n

A

a

a

a a

a





 





22

Масала 5.

S

сиртда (33) тенглама ечимини Коши берилганлари маълум:

( )

( ),

S

F y

f y

y

S





, (35)

1

2

( )

( ( ),

( ), ...,

( ))

n

f y

f y

f y

f y



- берилган узлуксиз вектор-функция. Берилган

f

га кўра



соҳада

( )

F x

вектор-функцияни тиклаш талаб қилинган, яъни

чегаранинг

S

силлиқ бўлагида берилган қийматига кўра чегараланган



соҳага (33) тенглама ечимининг аналитик давом эттириш масаласини ечиш
талаб этилади.

( )

A



орқали (33) тенгламани қаноатлантирувчи ва

   

да

узлуксиз вектор-функциялар тўпламини ва

 





 

, ;

,

y

S

F

x

M

y x A f y dS

x











, (36)

белгилаймиз,.

( , ,

)

M

y x A



– (33), (35) Коши масаласининг Карлеман

матрицаси

*

1

2

( , ; )

(

,

,

,

; 0)

k

k

n

M

y x A

L

V



 





,

(37)















n

k

k

k

k

V

V

V

V

,

,

,

2

1



:

( , ; )

( , )

( , ; )

(

)

i

k

k

Ф y x

V

y x

Ф y x

sign k i

x

































,

k

i



,

( , ; )

( , )

( , ; )

i

i

i

i

Ф y x

V y x

a Ф y x

x

















тенгликлар билан

( , ; )

Ф y x





эса (1)

формуладан аниқланади, бунда

2

( )

exp(

)

K w

w





,

2

2

n

w

i u

y









.

Теорема 11.

 

 

F y

A





вектор-функция



чегаранинг

T

қисмида

 

,

F y

B

y

T





(38)

шартни қаноатлантирсин. У ҳолда ихтиёрий

x



ва

0





учун қуйидаги

тенгсизлик

 

 





2

( ,

) exp

n

F x

F

x

C

A B

x













ўринли, бу ерда ( , )

C

A



1-теоремадаги каби аниқланади.

S

сиртда

( )

f y

нинг ўрнига унинг

( )

C S

синфдан

0





четланишли

узлуксиз яқинлашиши

( )

f

y



берилган:

 

 

max

,

S

f y

f

y









(39)

( ,

)

F x f

F



 



вектор-функцияни

 



  

, ;

y

S

F

x

M

y x A f

y dS











(40)

формула орқали аниқлаймиз, бунда

2

1

ln

,

B

B

a











.

23

Теорема 12.

( )

A



синфдан олинган

( )

F y

вектор-функция (38), (39)

шартларни қаноатлантирсин. У ҳолда ихтиёрий

x



учун ушбу тенгсизлик

ўринли

 

 

 

2

2

2

2

1

1

,

n

n

x

x

b

a

F x

F

x

A B



 









,

бу ерда

2

1

2

1

( , )

2

2

(1 3 )

3

n

A

b

A

b

b

 























 



















.

Натижа 4.

Ихтиёрий

x



учун ушбу тенглик ўринли

 

 

 

 

0

lim

,

lim

,

,

F x

F x

F

x

F x

x



















қайсики



соҳадан олинган ҳар бир компактда лимит текис бажарилади.

Тўртинчи бобнинг иккинчи параграфида кўп ўлчамли

n

R

,(

3

n



)

фазонинг конус кўринишидаги





-соҳасида 11, 12-теоремаларга ўхшаш

теоремалар исботланган.

Тўртинчи бобнинг учинчи параграфида шу бобнинг биринчи ва иккинчи

параграфларида қаралган соҳаларда (33) система ечими мавжудлигини
кўрсатувчи Фок-Куни теоремасининг ўхшаши исботланган, яъни қуйидаги
масала ечилган.

Масала 6.

S

сиртда узлуксиз

( )

f y

вектор-функция берилган.

( )

f y

га

шундай зарурий ва етарли шарт кўрсатиш керакки, (33) системани

(

)

A





синфдан олинган ва (35) шартни қаноатлантирувчи ечими мавжуд бўлсин.

Тўртинчи бобнинг тўртинчи параграфида умумлашган Коши-Риман

системаси учун чексиз соҳада Кошининг интеграл формуласи ва Коши
масаласининг регулярлашган ечими қурилган ҳамда турғунлик баҳоси
олинган.

Бир боғламли чегараланмаган

n

R





соҳанинг чегараси

0



n

y

гипертекислик ва

1

2

1

( ,

,

,

)

n

n

y

L y y

y





тенглама билан берилган

S

силлиқ

сиртдан ташкил топган ҳамда

1

1

0

( ,

,

)

,

n

L y

y

h







1

1

( ,

,

)

,

n

gradL y

y

const





 

1

1

1

( ,

,

)

n

n

y

y

R







.

шартни, қаноатлантиради.



чегараси юзаси

0

0

exp{

}

,

b ch

y ds









 



0

0,

b



0

0









ўсиш шартини қаноатлантиради ва







'

( )

( ) : ( )

( ),

( )

exp

exp

,

A

F y

F y

A

F y

o

y









 

 









2

'

2

2

1

1

,

,

n

y

y

y

y

y





 

  

. (41)

Теорема 13.

( )

( )

F y

A







чегаравий ўсиш шартини қаноатлантиради

24

1

1

( )

exp

cos

(

)exp

2

n

h

F y

C

a

y

y























,

0

a



,

y



.

Агар

1

0









бўлса, у ҳолда қуйидаги формула ўринлидир

 



  

, ;

y

F x

M x y A F y dS







,

x



.

(42)

Турғунлик баҳоси ўринли.

Теорема 14.

( )

( )

F x

A







вектор-функция

0

n

y



гипертекисликда (38)

чегаравий

шартни,

S

-

сиртда

( )

,

, 0

1

F y

y

S









 

шартни

қаноатлантирсин. У ҳолда

2

3

2

2

1

2

2(

2)

( )

( )

ln

,

n

x

x

h

n

h

n

n

B

B

F x

C

x

x

h

























 





 

 

ўринли, бу ерда

1

ln

B

h







 



 

 

,

(

)

n

C

x



-



дан боғлиқ бўлмаган мусбат

функция.

ХУЛОСА

Диссертация иши нокоррект масалалар назариясини ривожлантириш,

ҳамда фазовий соҳаларда умумлашган Моисил-Теодореско, умумлашган
Коши-Риман ва гармоник ҳолатдаги электромагнит ва спинор майдонларда
комплекс кватернион параметрли бир жинсли Максвелл и Дирак
тенгламалари системаси учун Коши масаласини ечишга бағишланган.

Тадқиқотнинг асосий натижалари қуйидагилардан иборат.
1. Қатлам кўринишидаги чексиз соҳада умумлашган голоморф вектор

учун Кошининг интеграл формуласи ҳосил қилинган.

2. Умумлашган Моисил –Теодореско системаси учун чегараланган ва

чексиз соҳаларда Коши масаласининг регулярлашган ечими топилган.

3. Умумлашган Моисил –Теодореско системаси учун Коши масаласи

ечимининг мавжудлик критерияси исботланган.

4. Умумлашган Коши-Риман системаси учун Коши масаласи ечимининг

кўп ўлчамли

фазовий соҳаларда Карлеман формуласи ва

регулярлаштирилган ечими қурилган.

5. Бир жинсли Максвелл тенгламалари системаси учун Коши масаласи

ечими регуляризацияси ва Карлеман формуласи ҳосил қилинганлиги, Фок-
Куни формуласининг ўхшаши исботлангани қайд этиш мумкин.

6. Комплекс кватернион параметрли умумлашган Коши-Риман,

гармоник ҳолатдаги электромагнит ва спинор майдонларда бир жинсли
Максвелл и Дирак тенгламалари системаси учун соҳа чегарасининг бир
қисмида берилган қиймати бўйича чегаравий масала ечилганлигини
таъкидлаш мумкин.

25

НАУЧНЫЙ СОВЕТ DSc.27.06.2017.FM.01.01 ПО ПРИСУЖДЕНИЮ

УЧЕНЫХ СТЕПЕНЕЙ ПРИ НАЦИОНАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

УЗБЕКИСТАНА, ИНСТИТУТЕ МАТЕМАТИКИ

САМАРКАНДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

САТТОРОВ ЭРМАМАТ НОРКУЛОВИЧ

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - Дифференциальные уравнения и математическая физика

(физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ ДОКТОРА (DSc)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

ТАШКЕНТ – 2018 год

26

Тема докторской (DSc) диссертации зарегистрирована в Высшей аттестационной

комиссии при Кабинете Министров Республики Узбекистанза № В2017.2.DSc/FM57.

Докторская диссертация выполнена в Самаркандском государственном университете.

Автореферат диссертации на трёх языках (узбекский, русский, английский (резюме))

размещён на веб-странице по адресу (http://ik-fizmat.nuu.uz) и на Информационно-
образовательном портале «ZiyoNet»по адресу (www.ziyonet.uz.)

Научные консультант

Ярмухамедов Шароф

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Чередниченко Виктор Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Тахиров Жозил Останович

доктор физико-математических наук, профессор

Фаязов Кудратилло Садридинович

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущаяорганизация:

Институт

вычислительной

математики

и

математической геофизики Сибирского отделения
Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится « ___» ________2018 г. в ____ часов на заседании научного

совета DSc.27.06.2017.FM.01.01 при Национальном университете Узбекистана. (Адрес:
100174, Ташкент, Алмазарский район, ул. Университетская, 4. Тел.: (99871) 227-12-24,
факс: (99871) 246-53-21, e-mail:nauka@nu.uz.).

С диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном центре Национального

университета Узбекистана (зарегистрирована за №_____). (Адрес: 100174, г.Ташкент,
Алмазарский район, ул. Университетская, 4. Тел.: (99871) 246-02-24).

Автореферат диссертации разослан «___ »___________ 2018г.
(протокол рассылки № _____ от « ___» ___________ 2018 г.)

А.С.Садуллаев

Председатель научного совета по
присуждению

учёных

степеней,

д.ф.-м.н., академик

Г.И.Ботиров

Ученый секретарь научного совета по
присуждению

учёных

степеней,

к.ф.-м.н.

М.С.Салахитдинов

Председатель научного семинара при
Научном

советепо

присуждению

учёных степеней, д.ф.-м.н., академик

27

ВВЕДЕНИЕ

(

аннотация докторской диссертации)

Актуальность и востребованность темы диссертации.

Многие

прикладные проблемы, исследуемые, на мировом уровне, во многих случаях,
сводятся к изучению некорректных краевых задач для дифференциальных
уравнений в частных производных. Объектом прикладных исследований на
условную корректность и построение приближённого решения по заданным
значениям на части границы области, для уравнений эллиптического типа,
особенно важно в гидродинамике, геофизике и электродинамике. Изучение
семейства регуляризирующих решений некорректных задач послужило
импульсом для начала исследований класса корректности при сужении до
компакта. В связи с прикладной важности исследования некорректных задач
для линейных эллиптических систем первого порядка в пространственной
области, является актуальной проблемой современной математической
науки.

В настоящее время, в мире, при исследовании некорректных краевых

задач для линейных эллиптических систем первого порядка особую роль
играет построение регуляризованного решения и получения критерий
разрешимости. В этом целевом научном исследовании основными являются
следующие направления: построение в специальных областях матрицы
Карлемана в явном виде, получение оценок условной устойчивости решений
задач и критериев их разрешимости, а также получение в бесконечной
области с некомпактной границей интегральное представление для
обобщенной системы Моисила-Теодореско, обобщенной системы Коши-
Римана, однородной системы уравнений Максвелла.

В годы независимости в нашей стране было уделено особое внимание

исследованиям по дифференциальным уравнениям и математической физике,
в частности исследованиям различных краевых задач для дифференциальных
уравнений в частных производных эллиптического типа которые имеют
практическое применение в прикладных науках,. В итоге были получены
весомые результаты в исследованиях некорректных краевых задач, то есть
построены приближенные решения при помощи матриц Карлемана в явном
виде по приближенным данным в специальных областях, установлены
оценки условной устойчивости и критерии разрешимости. Проведение
научных исследований на международном уровне по важным направлениям
специальности «Дифференциальные уравнения и математическая физика»
рассматривается как основная задача фундаментальных исследований

1

.

Развитие теории дифференциальных уравнений в частных производных и
теории условно корректных задач играют важную роль при исполнении этого
постановления.

1

Постановление Кабинета Министров Республики Узбекистан от 18 мая 2007 года №292 «О мерах по

организации деятельности вновь созданных научно-исследовательских учреждений Академии наук
Республики Узбекистан»

28

Настоящая

диссертация,

в

определенной

степени,

служит

осуществлению задач, обозначенных в постановлениях Президента
Республики Узбекистан №-ПП-916 «О дополнительных мерах по
стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий
производства» от 15 июля 2008 года, №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему
совершенствованию деятельности Академии наук, организации, управления
и финансирования научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля
2017 года и №-УП-4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию
Республики Узбекистан» от 8 февраля 2017 года, а также других нормативно-
правовых актов в данном направлении.

Соответствие исследования приоритетным направлениям развития

науки и технологий республики.

Данное исследование выполнено в

соответствии с приоритетным направлением развития науки и технологий
Республики Узбекистан IV. «Математика, механика и информатика».

Обзор зарубежных научных исследований по теме диссертации

2

.

Научные исследования по изучению граничных задач для линейных
эллиптических систем первого порядка ведутся в крупных научных центрах
и высших учебных заведениях мира, в частности: в Московском
государственном

университете,

Новосибирском

государственном

университете, Белгородском педагогическом университете, Институте
Математики и Институте Вычислительной математики и математической
геофизики Сибирского отделения Российской академия наук, Сибирском
Федеральном университете, (Россия); University of Wichita, University of
Delaware, University of Texas (США); University of Gunma (Япония);
University of Potsdam, Karl-Marx-Stadt University of Technology, University of
Gottingen (Германия); University of Ramatgan (Израиль); University of Xidian,
University of Hohai (Китай); Измирский университет (Турция); Институте
Математики Тбилиси (Грузия); Казахском национальном университете им. ал
Фараби, Казахском НПУ им. Абая (Казахстан).

В результате исследований решения задачи Коши для уравнений

эллиптического типа, в мировом масштабе, получены фундаментальные
результаты, в частности, доказана единственность решения задачи Коши
(University of California, University of Berkeley, University of New York);
построено фундаментальное решение, получено интегральное представление
и изучены краевые задачи для обобщенной системы Моисила-Теодореско,
обобщенной системы Коши-Римана, однородной системы уравнений
Максвелла (University of Delaware, University of Gottingen, University of
Tongji, Тбилисский Институт Математики); построенная Ярмухамедовым
функция Карлемана для уравнения Лапласа при экспоненциально растущих
решениях применена к обратной задаче для уравнения Шредингера (Gunma

2

Обзор

зарубежных

научных

исследований

по

теме

диссертации:

Arkiv

Mathematics

Astronomis,www.springer.com/mathematics/journal/11512;Rendiconti del seminario matimatico della univ di
Padava; Communes Partial Differential Equations; Успехи математических наук, www.mathnet.ru/umn;
Математические заметки, www.mathnet.ru/mz, Сибирский математический журнал, www.springer.com;
Дифференциальные уравнения, www.link.springer.com/journal/10625, также были использованы и другие
источники.

29

University); получены ряд результатов при исследовании задачи Коши для
эллиптических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами
на плоскости, в частности, построена формула Карлемана для уравнения
Гельмгольца и для системы уравнений электродинамики. Так же, активно
развиваются исследования, связанные с теорией решения некорректных и
обратных задач математической физики (Математический институт,
Институт Вычислительной математики и математической геофизики
Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирский
государственный

университет;

Xidian,

Hohai

University);

ведутся

исследования по изучению задачи Коши для эллиптических систем и
комплексов, построены формулы Карлемана и найдены критерии
разрешимости задачи Коши с данными на куске границы в терминах базисов
с двойной ортогональностью (Потсдамский университет, Раматганский
университет, Сибирский Федеральный университет, Самаркандский
государственный университет); разработан метод решения краевых задач с
кватернионным параметром с помощью кватернионно-значных функций
(Karl-Marx-Stadt University of Technology, CINVESTAN del I.P.N.Mexico);
исследованы задачи регуляризации и доказана единственность решения
уравнения Фредгольма первого рода и систем нелинейных интегральных
уравнений Вольтерра-Стилтьеса (Казахский национальный университет,
Казахский НПУ).

На мировом уровне осуществляется ряд научно-исследовательских

работ в приоритетных направлениях по решению задачи Коши для
эллиптических уравнений и систем, а именно: по созданию математической
модели, более адекватно отражающей реальные процессы, и решению
полученных граничных задач, построению решений задачи Коши в явном и
приближенном виде; доказательству критериев разрешимости задач.

Степень изученности проблемы.

Первые результаты, с точки зрения

практической важности, для некорректных задач и сужению класса
возможных решений до компакта и приведению задач к устойчивым
получены в работах А.Н.Тихонова. В работах М.М.Лаврентьева получены
оценки характеризующие устойчивость пространственной задачи в классе
ограниченных решений задачи Коши для уравнения Лапласа и некоторых
других некорректных задач математической физики в прямом цилиндре, а
также для произвольной пространственной области с достаточно гладкой
границей. Аналогичные результаты были получены С.Н.Мергеляном в
случае шара. Е.М.Ландис получил оценки, характеризующие устойчивость
пространственной задачи для произвольного эллиптического уравнения, а
затем В.К.Ивановым разработан новый подход получения оценок в
бесконечной полосе.

Функция Карлемана для уравнений Лапласа и Гельмгольца построена

Ш.Ярмухамедовым, в случае когда часть границы области является
поверхностью конуса, и А.А.Шлапуновым, когда часть границы есть
поверхность сферы. Построение Ш.Я.Ярмухамедовым функции Карлемана
основано на применении методов теории функций. При этом

30

фундаментальное решение аппроксимируется на конической части границы
области. Построение А.А.Шлапунова функции Карлемана основано на
аппроксимации фундаментального решения уравнения Лапласа на
сферической части границы области однородными гармоническими
полиномами. В работе Н.Н.Тарханова и А.А.Шлапунова построены функции
Карлемана для общих эллиптических систем в терминах базисов с двойной
ортогональностью, А.Л.Бухгейма и Э.В.Арбузова – для уравнения
Гельмгольца и для системы уравнений электродинамики на плоскости.

В работах Т.Ишанкулова, Э.Джабборова, О.Махмудова и И.Ниёзова –

для системы уравнений Навье-Стокса и для системы уравнений теории
упругости в многомерном пространстве, О.И.Махмудова, К.О.Махмудова и
Н.Н.Тарханова – для уравнения Максвеллского типа построены функции
Карлемана. Некорректные краевые задачи для уравнения высокого порядка с
самосопряженными операторными коэффициентами и уравнений смешанно-
составного типа были предметом исследований работ С.И.Кабанихина,
К.С.Фаязова и их учеников. Обратные и некорректные задачи для уравнений
эллиптического и гиперболического типа исследованы в работах
А.Хайдарова, А.Серикбаева и Д.К.Дурдиева, а для задач интегральной
геометрии изучены в работах Акрам Бегматова и его учеников.

Связь темы диссертации с научно-исследовательскими работами

высшего образовательного учреждения, где выполнена диссертация.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научного
исследования ОТ-Ф1-044 «Теория задачи Коши для линейных эллиптических
систем первого и второго порядка с постоянными коэффициентами»
(2007-2011гг.) Самаркандского государственного университета.

Целью исследования

является построение формулы Карлемана для

линейных эллиптических систем первого порядка в ограниченной и
неограниченной областях и на их основе получение регуляризованных
решений некорректной задачи Коши, доказательств аналогов теоремы
Фока-Куни.

Задачи исследования:

– нахождение аналога интегральной формулы Коши для обобщенных

потенциальных и обобщенных голоморфных вектор-функций, нахождение
интегральной формулы Стрэттона-Чу для однородной системы уравнений
Максвелла в ограниченной и неограниченной областях;

– исследование задачи Коши для обобщенных систем уравнений Коши-

Римана и Моисила-Теодореско, а также для обобщенной системы уравнений
Коши-Римана с кватернионным параметром;

– построение матрицы и формулы Карлемана, на их основе получение

регуляризованных решений задачи Коши и оценки условной устойчивости
для обобщенных систем уравнений Коши-Римана и Моисила-Теодореско;

– нахождение аналога теоремы Фока-Куни для обобщенных систем

уравнений Коши-Римана и Моисила-Теодореско;

– построение формулы Карлемана для однородной системы уравнений

Максвелла в ограниченной и неограниченной областях;

31

– нахождение аналога теоремы Фока-Куни для однородной системы

уравнений Максвелла.

Объектом исследования

являются обобщенная система уравнений

Моисила-Теодореско и Коши-Римана, однородная система уравнений
Максвелла и Дирака в гармоническом режиме.

Предметом

исследования

является

нахождение

решений

некорректных задач для обобщенной системы уравнений Коши-Римана,
однородной системы уравнений Максвелла и Дирака в гармоническом
режиме, связанных с построением регуляризованного решения и формулой
продолжения в специальных областях.

Методы исследования.

В диссертации использованы методы

действительного, комплексного и кватернионного анализа, методы теории
потенциалов, методы теории дифференциальных уравнений и уравнений
математической физики.

Научная новизна исследования

заключается в следующем:

– построены регуляризованные решения задачи Коши для обобщенной

системы уравнений Коши-Римана в многомерной ограниченной и
неограниченной областях и доказаны критерии их разрешимости;

– для обобщенной системы уравнений Моисила-Теодореско получен

аналог формулы Карлемана, при помощи которого построена регуляризация
решения задачи Коши и доказан критерий разрешимости решения этой
задачи;

– построены формулы Карлемана и регуляризация решения задачи

Коши для однородной системы уравнений Максвелла;

– найден аналог теоремы Фока-Куни для однородной системы

уравнений Максвелла;

– получен аналог интегральной формулы Коши для обобщенных

потенциальных и обобщенных голоморфных вектор-функций;

– получена интегральная формула Стрэттона-Чу для однородной

системы уравнений Максвелла в ограниченной и неограниченной областях;

– решены задачи Коши для обобщенной системы уравнений Коши-

Римана, однородной системы уравнений Максвелла и Дирака в
гармоническом режиме с комплексным кватернионным параметром.

Практические результаты исследования

состоят в определении

класса корректности и применении полученных приближенных и точных
решений некорректных задач в геофизике и при исследовании
потенциальных, гармонических электромагнитных и спинорных полей.

Достоверность результатов исследования

обоснована строгостью

математических рассуждений и доказательств, использованием методов
теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории
некорректных задач, кватернионного анализа.

Научная и практическая значимость результатов исследования.

Научное значение результатов исследования заключается в том, что их
можно использовать для дальнейшего развития теории линейных
эллиптических систем первого порядка, а также теории некорректных задач.

32

Практическая значимость диссертации состоит в том, что результаты

диссертации можно применить к моделям геофизических исследований, в
задачах распространения электромагнитных волн и подобных физических
процессов, описываемых при помощи некорректных задач для линейных
эллиптических систем уравнений первого порядка.

Внедрение результатов исследования:

методы

построения

матрицы

Карлемана

при

нахождении

регуляризованных решений и критериев разрешимости задачи Коши для
обобщенной системы Коши-Римана и однородной системы уравнений
Максвелла использованы в исследованиях проекта 15-31-10413 для решений
граничных задач геофизики (Институт вычислительной математики и
математической геофизики, справка от 02 сентября 2016 года, Россия).
Применение этих научных результатов дало возможность определения
точного и численного решения граничных задач для обобщенной системы
Коши-Римана;

методы

построения

матрицы

Карлемана

при

нахождении

регуляризованного решения и критерия разрешимости задачи Коши для
однородной системы уравнений Максвелла использованы в исследованиях
проекта 15-31-10413 для решений граничных задач электродинамики
(Институт вычислительной математики и математической геофизики,
справка от 02 сентября 2016 года, Россия). Применение этих научных
результатов позволило найти регуляризованные решения некорректных
граничных задач для однородной системы уравнений Максвелла;

полученные результаты диссертационной работы относительно

регуляризованных решений обобщенной системы Коши-Римана и
однородной системы уравнений Максвелла были использованы при решении
задачи геофизики нефтегазовых месторождений (Атырауский институт
нефти и газа, справка от 11 января 2017 года, Казахстан). Применение этих
результатов

позволило

решить

задачи

геофизики

нефтегазовых

месторождений и электродинамики.

Апробация

результатов

исследования.

Результаты

данного

исследования были обсуждены на 24 научно - практических конференциях, в
том числе на 12 международных и 12 республиканских научно –
практических конференциях.

Публикация результатов исследования.

По теме диссертации

опубликовано 48 научных работ, из них 18 входят в перечень научных
изданий, предложенных Высшей аттестационной комиссией Республики
Узбекистан для защиты докторских диссертаций, в том числе 7 опубли-
кованы в зарубежных журналах и 11 в республиканских научных изданиях.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения,

четырёх глав, заключения и списка использованной литературы. Объем
диссертации составляет 216 страниц.

33

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении

обоснованы актуальность и воcтребованность темы

диссертации, определено соответствие исследования приоритетным
направлениям развития науки и технологий республики, приведены обзор
зарубежных научных исследований по теме диссертации и степень
изученности проблемы, сформулированы цели и задачи, выявлены объект и
предмет исследования, изложены научная новизна и практические
результаты исследования, раскрыта теоретическая и практическая
значимость полученных результатов, даны сведения о внедрении результатов
исследования, об опубликованных работах и о структуре диссертации.

Первая глава диссертации, названная

«О продолжении обобщенно

голоморфной вектор-функции в трехмерной области по заданным
значениям на части границы»

, посвящена регуляризации решения задачи

Коши для обобщенной системы Моисила-Теодореско в ограниченной и
бесконечной областях, а также доказательству критериев разрешимости
некорректной задачи. Доказана справедливость интегральной формулы Коши
в бесконечной области для экспоненциально растущих обобщенно
голоморфного вектора с помощью обобщения ядра Коши.

Используется метод функции Карлемана по идее М.М,Лаврентьева при

решении задачи Коши для уравнения Лапласа. Функция Карлемана в
специальных

областях

построена

в

работах

Л.А.Айзенберга,

Ш.Ярмухамедова, Н.Н.Тарханова, А.Л.Бухгейма, А.А.Шлапунова и получила
дальнейшее развитие.

В последнее время появился ряд работ, в которых исследуются

линейные эллиптические системы первого порядка. Обзор этих исследований
можно найти в работах S.Agmon, A.Douglis, L.Nirenberg, E.M.Stein, G.Weiss,
И.Н.Векуа, В.С.Владимирова, И.В.Воловича, М.З.Соломяка, А.В.Бицадзе,
А.А.Дезина, А.Д.Джураева, А.П.Солдатова, В.С.Виноградова, Гр.Моисилаи
Н.Теодореско,

И.Р.Шафаревича,

В.В.Кравченко,

М.В.Шапиро

и

Т.Ишанкулова.

Изучение задачи Коши для уравнения Лапласа и Гельмгольца в нашей

республике началось в семидесятые годы XX столетия и развивалось в
работах Ш.Ярмухамедова и его учеников. Отметим, что в этих работах с
использованием функции Карлемана регуляризованное решение задачи
Коши выписывается в явном виде.

Естественно, возникает вопрос: можно ли пользоваться функцией

Карлемана уравнений Гельмгольца для решений задачи Коши линейных
эллиптических систем первого порядка в специальных областях? Чтобы
получить решение этой задачи, надо использовать систему уравнений
факторизующееся фундаментальным решением уравнение Гельмгольца.

В первом параграфе первой главы для полноты изложения приводятся

известные сведения, касающиеся построения функции (матрицы) Карлемана
в элементарных функциях при решении некорректной задачи в специальных
областях.

34

Пусть

( )