1
САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ
ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PhD) ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ
PhD.27.06.2017.FM.02.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ
САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ
УЛАШОВ СОБИР САХИБЖАНОВИЧ
ПАНЖАРАДАГИ ИККИТА ИХТИЁРИЙ ЗАРРАЧАЛИ
СИСТЕМАГА МОС ШРЕДИНГЕР ОПЕРАТОРИ ДИСКРЕТ СПЕКТРИ
01.01.01 – Математик анализ
ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ БЎЙИЧА ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PhD)
ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ
Самарқанд шаҳри – 2017 йил
2
УДК: 517.984.
Физика-математика фанлари бўйича фалсафа доктори (PhD)
диссертацияси автореферати мундарижаси
Contents of dissertation abstract of doctor of philosophy (PhD) on
physical-mathematical sciences
Оглавление автореферата диссертации
доктора философии (PhD) по физико-математическим наукам
Улашов Собир Сахибжанович
Панжарадаги иккита ихтиѐрий заррачали системага мос шредингер оператори
дискрет спектри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Ulashov Sobir Saxibjanovich
Discrete spectrum of the Schrödinger operators associated to a system of two
arbitrary particles on lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Улашов Собир Сахибжанович
Дискретный спектр оператора Шредингера, ассоциированных с системой
двух произвольных частиц на решетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..31
Эълон қилинган ишлар рўйхати
Список опубликованных работ
List of published works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 35
3
САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ
ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PhD) ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ
PhD.27.06.2017.FM.02.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ
САМАРҚАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ
УЛАШОВ СОБИР САХИБЖАНОВИЧ
ПАНЖАРАДАГИ ИККИТА ИХТИЁРИЙ ЗАРРАЧАЛИ
СИСТЕМАГА МОС ШРЕДИНГЕР ОПЕРАТОРИ ДИСКРЕТ СПЕКТРИ
01.01.01 – Математик анализ
ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ БЎЙИЧА ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PhD)
ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ
Самарқанд шаҳри – 2017 йил
4
Физика-математика фанлари бўйича фалсафа доктори (Doctor of Philosophy)
диссертацияси мавзуси Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамаси ҳузуридаги Олий
аттестация комиссиясида В2017.2.PhD/FM54 рақам билан рўйхатга олинган.
Диссертация Самарқанд давлат университетида бажарилган.
Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек, инглиз рус, (резюме)) Илмий кенгаш
веб-саҳифасида (www.samdu.uz) ва «Ziyonet» Ахборот таълим порталида (www.ziyonet.uz)
жойлаштирилган.
Илмий раҳбар:
Лақаев Саидахмат Норжигитович
физика-математика фанлари доктори, профессор
Расмий оппонентлар:
Халмухаммедов Алимжан Рахимович
физика-математика фанлари доктори, профессор
Ботиров Ғолиб Исроилович
физика-математика фанлари номзоди
Етакчи ташкилот:
Қарши Давлат Университети
Диссертация ҳимояси Самарқанд давлат университети ҳузуридаги PhD.27.06.2017.FM.02.01
рақамли Илмий кенгашнинг 201_ йил «___»_________ соат____ даги мажлисида бўлиб ўтади.
(Манзил: 140104, Самарқанд ш., Университет хиѐбони, 15-уй. Тел.: (+99866) 231-06-32, факс:
(+99866) 235-19-38, 239-12-47, e-mail: patent@samdu.uz).
Диссертация билан Самарқанд давлат университетининг Ахборот-ресурс марказида
танишиш мумкин (___ рақами билан рўйхатга олинган). Манзил: 140104, Самарқанд ш.,
Университет хиѐбони, 15-уй. Тел.: (+99866) 231-06-32.
Диссертация автореферати 2017 йил «____» _______________куни тарқатилди.
(2017 йил «____» ___________ даги _______ рақамли реестр баѐнномаси
).
А.С. Солеев
Илмий даражалар берувчи Илмий
кенгаш раиси, ф.-м.ф.д., профессор
А.М. Халхўжаев
Илмий даражалар берувчи Илмий
кенгаш илмий котиби, ф.-м.ф.д.
И.А.Икромов
Илмий даражалар берувчи Илмий
кенгаш қошидаги илмий семинар
раиси ўринбосари, ф.-м.ф.д.,
профессор
5
КИРИШ (фалсафа доктори (PhD) диссертацияси аннотацияси)
Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.
Дунѐ миқѐсида
олиб борилаѐтган кўплаб илмий-амалий тадқиқотлар физикада мураккаб
турғун объектлар одатда уларнинг боғланган пайтдаги энергияси камайиш
имконини берувчи тортишиш кучлари натижасида ҳосил бўлишини
кўрсатади. Бироқ кейинги йилларда олимлар томонидан тартибланган
муҳитларда мураккаб турғун объектлар ҳаттоки итаришувчи таъсирлар
натижасида ҳам мавжуд бўлишлиги экпериментал исботланди. Итаришувчи
жуфтликларни назарий асослашда фойдаланиладиган Бозе-Хаббард модели,
яъни панжарадаги икки заррачали Шредингер оператори экспериментал
кузатишларнинг назарий асоси ва қўллашнинг назарий базаси ҳисобланади.
Шунинг учун қаттиқ жисмлар физикаси ҳамда квант майдонлар назариясида
учрайдиган
панжарадаги
заррачалар
системасига
мос
Шредингер
операторларига оид тадқиқотларни ривожлантириш муҳим вазифалардан
бири бўлиб қолмоқда.
Мустақиллик йилларида мамлакатимизда фундаментал фанларнинг
амалий татбиққа эга бўлган долзарб йўналишларга эътибор кучайтирилди,
хусусан, мамлакатимиз олимлари томонидан кубик панжарадаги заррачалар
системасига мос Шредингер операторларини ўрганишга алоҳида эътибор
қаратилди. Панжарадаги икки заррачали системага мос Шредингер
операторлари учун муҳим спектрдан ташқарида боғланган ҳолатлар
мавжудлиги ва уларнинг сонини аниқлашга оид сезиларли натижаларга
эришилди.
Ҳозирги кунда панжарадаги икки квант заррачали системага мос
Шредингер оператори спектри система квазиимпульси ўзгаришига нисбатан
ўта сезувчан бўлганлиги учун ушбу оператор спектрига оид муаммоларни ҳал
этиш, яъни боғланган ҳолатлар мавжудлигини кўрсатиш ва унинг сонини
аниқлаш муҳим аҳамият касб этмоқда. Бу борада мақсадли илмий
тадқиқотларни, жумладан, қуйидаги йўналишлардаги илмий изланишларни
амалга ошириш долзарб вазифалардан бири ҳисобланади: панжарада қисқа
масофада таъсирлашувчи иккита ихтиѐрий заррачали системага мос
Шредингер операторининг дискрет спектрини тадқиқ этиш; ушбу оператор
муҳим спектри тубидаги ѐки тепасидаги бўсаға ҳодисаларни аниқлаш;
юқорида келтирилган илмий-тадқиқотлар йўналишида бажарилаѐтган илмий
изланишлар мазкур диссертация мавзусининг долзарблигини изоҳлайди.
Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2006-йил 7-августдаги
ПК-436-сон "Фан ва технологияларни ривожлантиришни мувофиқлаштириш
ва бошқаришни такомиллаштириш чора-тадбирлари тўғрисида"ги хамда 2008
йил 15-июлдаги ПК-916-сон "Инновацион лойиҳалар ва технологияларни
ишлаб чиқаришга татбиқ этишни рағбатлантириш борасидаги қўшимча
6
чора-тадбирлар тўғрисида"ги, 2017 йил 17-февралдаги ПК-2789-сон "Фанлар
академияси фаолияти, илмий-тадқиқот ишларини ташкил этиш, бошқариш ва
молиялаштиришни янада такомиллаштириш чора-тадбирлари тўғрисида"ги
қарори ва 2017 йил 8-февралдаги ПФ-4947-сон "Ўзбекистон Республикасини
янада ривожлантириш бўйича харакатлар стратегияси тўгрисида"ги Фармони
ва мазкур фаолиятга тегишли бошқа норматив-хуқуқий ҳужжатларда
белгиланган вазифаларни амалга оширишга ушбу диссертация тадқиқоти
муайян даражада хизмат қилади.
Тадқиқотнинг
республика
фан
ва
технологиялари
ривожланишининг устувор йўналишларига боғлиқлиги.
Мазкур тадқиқот
республика фан ва технологиялар ривожланишининг IV. "Математика,
механика ва информатика" устувор йўналиши доирасида бажарилган.
Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.
Атом ва молекуляр ҳамда
қаттиқ жисмлар физикаси, квант майдонлар назариясининг асосий
масалалари Шредингер операторларини ўрганишга қаратилган. Бу соҳада
олинган натижалар тўғрисида кўплаб маълумотлар математик-физиканинг
энциклопедияси" - М.Рид ва Б.Саймоннинг тўрт томли китобида келтирилган.
Панжарадаги заррачалар системасига мос Шредингер операторлари ўтган
асрнинг тўқсонинчи йилларида Д.С.Маттис, А.И.Могильнер томонидан
ўрганила бошланди ва унга оид тадқиқотлар жадал ривожланди.
Панжарадаги Шредингер операторларини математик маънода тадқиқ этишда
узлуксиз Шредингер операторларидаги каби муаммолар учрайди. Яъни,
дастлаб бир, икки ва ҳоказо заррачали операторларни ўрганиш талаб этилади.
Узлуксиз ва дискрет Шредингер оператори ҳамда умумлашган Фридрихс
модели учун дискрет спектр мавжудлиги, хос қийматнинг узлуксиз спектр
атрофидаги ѐйилмалари, ўзаро таъсир константасининг бўсағавий қийматдаги
ҳодисаларни аниқлаш масалалари М. Клауз, Б. Саймон, Г.М. Граф, Д. Шенкер,
Р.А.Фариа де Вейга, Е.Л. Лакштанов, Р.А. Минлос, С.Н. Лақаев, К. Макаров
каби олимлар томонидан ўрганилган. Маълумки, икки заррачали Шредингер
операторларида ўзаро таъсир доимийси ўзгариши натижасида боғланган
ҳолат энергияси узлуксиз спектр чеккасига яқинлашади ва таъсир
доимийсининг чекли қийматида спектр бўсағаси билан устма-уст тушади.
Бу бўсаға қийматга боғланган ҳолат ѐки виртуал ҳолат мос келишини
аниқлаш масаласи билан Дж.Раух, Б. Саймон, М. Клауз, Д. Яфаев ва
С.Н.Лақаевлар шуғулланган. Жуфт-жуфти билан ўзаро контакт потенциал
ѐрдамида таъсирлашувчи, иккита бозондан ташкил топган система
гамильтонианига мос
3
0
,
)
(
=
)
(
k
V
k
H
k
H
икки заррачали дискрет
Шредингер оператори учун квазиимпульс бўсаға эффекти, яъни агар
0
<
=
0
нинг бирор қийматида
(0)
0
H
номанфий оператор муҳим
спектрнинг қуйи чегарасида виртуал сатҳга эга бўлса, у ҳолда
7
квазиимпульснинг нолдан фарқли ихтиѐрий қийматида
)
(
0
k
H
оператор
муҳим спектр қуйи чегарасидан пастда хос қийматга эга бўлиши дастлаб С.Н.
Лақаев ишида ўрганилган. С. Албеверио, С. Лакаев, К. Макаров ва З.
Мўминовлар томонидан
d
ўлчамли
3
,
d
d
панжарада жуфт-жуфти билан
қисқа масофада таъсирлашувчи ихтиѐрий икки заррачали системага мос икки
заррачали Шредингер оператори учун хос қийматларнинг мавжудлик
шартлари дисперсион функцияларга боғлиқ равишда топилган. С.Н.Лакаев,
А.М. Холхўжаев, Ш.Ю. Холматов, Ш.С. Лақаев ишларида
3
d
ўлчамли
d
панжарада ҳаракатланувчи, тортишувчи контакт потенциал ѐрдамида
таъсирлашувчи иккита квант заррачали системага мос дискрет Шредингер
операторининг муҳим спектрдан пастда ягона хос қиймати мавжудлиги
исботланган. Шу билан бирга ўзаро таъсир доимийси ва квазиимпульсга
боғлик ҳолда хос қиймат учун асимптотика топилган.
Диссертация тадқиқотининг диссертация бажарилган олий
таълим муассасасининг илмий-тадқиқот ишлари режалари билан
боғлиқлиги.
Диссертация тадқиқоти Самарканд давлат университетининг
Ф4-ФА-Ф079 "Панжарадаги сони сақланмайдиган заррачалар системаси
гамильтонианларининг спектрал таҳлили" (2012-2016) ва ОТ-Ф4-66
"Панжарадаги чекли сондаги заррачалар системаси моделлари. Энергия
операторларининг муҳим ва дискрет спектрлари" (2017) мавзуларидаги
илмий тадқиқот лойиҳалари доирасида бажарилган.
Тадқиқотнинг мақсади.
Панжарадаги ўзаро контакт таъсирлашувчи
иккита ихтиѐрий заррачали системага мос дискрет Шредингер операторининг
муҳим ва дискрет спектрлари ўрни ҳамда сонини ўрганиш иборат.
Тадқиқотнинг вазифалари:
ўлчами
3
d
бўлган панжарада ўзаро итаришувчи
0)
>
(
контакт
таъсирлашувчи иккита ихтиѐрий заррачали системага мос дискрет
Шредингер операторининг муҳим спектрдан ўнгда хос қиймати
мавжудлигини исботлаш ва унга мос хос функциянинг аниқ кўринишини
топиб регуляр функция эканлигини кўрсатиш;
ўлчам
3,4
=
d
бўлганда муҳим спектрнинг юқори бўсағасида дискрет
Шредингер оператори виртуал сатҳга эга эканлиги исботлаш ва виртуал
ҳолатнинг интегралланувчи функция эканлигини кўрсатиш;
квазиимпульснинг берилган қийматида виртуал сатҳга эга бўлган
таъсир энергияси қийматларини топиш ва таъсир энергиясининг берилган
қийматида
система
квазиимпульслари
тўпламини
Шредингер
операторининг хос қиймати мавжуд бўладиган ѐки мавжуд бўлмайдиган
ҳамда виртуал сатҳга эга бўладиган синфларга ажратиш;
ўлчам
5
d
бўлганда муҳим спектрнинг юқори бўсағаси дискрет
Шредингер операторининг хос қиймати бўлишини кўрсатиш;
8
ўлчами
3
d
бўлган панжарада ўзаро тортишувчи контакт
таъсирлашувчи иккита ихтиѐрий заррачали системага мос дискрет
Шредингер операторининг муҳим спектрдан чапда хос қиймати
мавжудлигини исботлаш ва унга мос хос функциянинг аниқ кўринишини
топиб регуляр функция эканлигини кўрсатиш;
ўлчам
3,4
=
d
бўлганда муҳим спектрнинг қуйи бўсағасида дискрет
Шредингер оператори виртуал сатҳга эга эканлигини исботлаш ва виртуал
ҳолатнинг интегралланувчи функция эканлигини кўрсатиш;
ўлчам
5
d
бўлганда муҳим спектрнинг қуйи бўсағаси дискрет
Шредингер операторининг хос қиймати бўлишини кўрсатиш.
Тадқиқотнинг объекти.
Панжарадаги ўзаро контакт потенциал
ѐрдамида таъсирлашувчи иккита ихтиѐрий заррачалар системаси ва
гамильтониани.
Тадқиқотнинг предмети.
Панжарадаги иккита ихтиѐрий заррачали
системага
мос
дискрет
Шредингер
операторларининг
спектрал
тадқиқотларидан иборат.
Тадқиқотнинг усуллари.
Тадқиқот ишида математик анализ ва
комплекс ўзгарувчили функциялар назарияси умумий усулларидан, ҳамда
ўз-ўзига
кўшма
операторлар
спектрал
назарясидан,
жумладан
Бирман-Швингер принципидан фойдаланилган.
Тадқиқотнинг илмий янгилиги
қуйидагилардан иборат:
ўлчами
3
d
бўлган панжарада ўзаро итаришувчи
0)
>
(
контакт
таъсирлашувчи иккита ихтиѐрий заррачали системага мос дискрет
Шредингер операторининг муҳим спектрдан ўнгда хос қиймати мавжудлиги
исботланган ва унга мос хос функциянинг аниқ кўриниши топилиб регуляр
функция эканлиги кўрсатилган;
ўлчам
3,4
=
d
бўлганда муҳим спектрнинг юқори бўсағасида дискрет
Шредингер оператори виртуал сатҳга эга эканлиги исботланган ва виртуал
ҳолатнинг интегралланувчи функция эканлиги кўрсатилган;
квазиимпульснинг берилган қийматида виртуал сатҳга эга бўлган
таъсир энергияси қийматлари топилган ва таъсир энергиясининг берилган
қийматида система квазиимпульслари Шредингер операторининг хос
қиймати мавжуд бўладиган ѐки мавжуд бўлмайдиган ҳамда виртуал сатҳга
эга бўладиган тўпламларга ажратилган;
ўлчам
5
d
бўлганда муҳим спектрнинг юқори бўсағаси дискрет
Шредингер операторининг хос қиймати бўлиши кўрсатилган;
ўлчами
3
d
бўлган панжарада ўзаро тортишувчи контакт
таъсирлашувчи иккита ихтиѐрий заррачали системага мос дискрет
Шредингер операторининг муҳим спектрдан чапда хос қиймати мавжудлиги
исботланган ва унга мос хос функциянинг аниқ кўриниши топилиб регуляр
функция эканлиги кўрсатилган;
9
ўлчам
3,4
=
d
бўлганда муҳим спектрнинг қуйи бўсағасида дискрет
Шредингер оператори виртуал сатҳга эга эканлиги исботланган ва виртуал
ҳолатнинг интегралланувчи функция эканлиги кўрсатилган;
ўлчам
5
d
бўлганда муҳим спектрнинг қуйи бўсағаси дискрет
Шредингер операторининг хос қиймати бўлиши кўрсатилган.
Тадқиқотнинг
амалий
натижаси.
Боғланган
ҳолатларнинг
аналитиклиги ҳакидаги хулосалар қаттиқ жисмлар физикаси ва квант
механикасида
экспериментал
тадқиқотларнинг
сифат
кўрсаткичини
аниқлашда ва сонли ҳисоблашларда қўлланилиши мумкинлигидан иборат.
Тадқиқот натижаларининг ишончлилиги
математик анализ,
математик-физика, функционал анализ ва комплекс ўзгарувчили функциялар
назарияси
усулларидан
фойдаланилганлиги
ҳамда
математик
мулоҳазаларнинг қатъийлиги билан асосланган.
Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.
Тадкикот
натижаларининг илмий аҳамияти ўз-ўзига қўшма операторлар спектрал
назариясида, квант механикаси, қаттиқ жисмлар физикаси, квант майдонлар
назарияси, хусусан, панжарадаги икки ва уч заррачали система
гамильтонианларининг спектрлари билан боғлик масалаларни ҳал этишда
фойдаланиш мумкинлиги билан изоҳланади.
Тадқиқот натижаларининг амалий аҳамияти ишда олинган илмий
натижалар қаттиқ жисмлар физикаси мураккаб объектлар ҳосил бўлишини
кўрсатувчи экспериментал тадқиқотлар ўтказиш ва қўллашга назарий асос
сифатида хизмат қилиши билан белгиланади.
Тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши.
Диссертация тадқиқоти
жараѐнида олинган илмий натижалар қуйидаги йўналишларда амалиѐтга
жорий қилинган:
панжарадаги иккита ихтиѐрий заррачали системага мос Шредингер
операторининг хос функциялари аналитиклигидан етакчи хорижий J.Phys.A:
Math. Theor.-50,-2017.- 335202 (IF=1.857) журналида уч заррачали системага
мос дискрет Шредингер операторининг спектрини ўрганишда фойдаланилган.
Илмий натижанинг қўлланилиши қаралаѐтган оператор хос функцияси
аналитик функция эканлигини исботлаш имконини берган;
панжарадаги иккита ихтиѐрий заррачали системага мос Шредингер
оператори хос қийматларининг ўзаро таъсир энергиясига боғлиқлигидан
етакчи хорижий J.Phys.A: Math. Theor. 49, 2016. 145204 (IF=1.857) журналда
панжарада ўзаро тортишувчи контакт потенциал ѐрдамида таъсирлашувчи
учта бир хил заррачали системага мос дискрет Шредингер оператори муҳим
спектрдан чапда хос қиймати мавжудлигини кўрсатишда фойдаланилган.
Илмий натижанинг қўлланилиши Шредингер оператори муҳим спектрдан
чапда хос қиймати мавжудлигини ва ўрнини ўзаро таъсир энергиясига боғлиқ
равишда топиш имконини берган;
10
панжарадаги иккита ихтиѐрий итаришувчи заррачали системага мос
Шредингер оператори хос қийматларининг система квазиимпульсига
боғлиқлигидан етакчи хорижий Theor. Math. Phys. 2014, Vol. 178 No 3,
p336-346 (IF=0.984) журналида контакт потенциалли иккита бир хил
заррачали системага мос дискрет Шредингер операторининг хос қийматлари
мавжудлигини кўрсатишда фойдаланилган. Илмий натижанинг қўлланилиши
ўрганилаѐтган оператор хос қийматининг мусбатлигига оид натижани
исботлаш имконини берган.
Тадқиқот
натижаларининг
апробацияси.
Мазкур
тадқиқот
натижалари 4 та халқаро ва 2 та республика илмий-амалий анжуманларида
муҳокамадан ўтган.
Тадқиқот натижаларининг эълон қилинганлиги.
Диссертация
мавзуси бўйича жами 10 та илмий иш чоп этилган, шулардан, Ўзбекистон
Республикаси
Олий
Аттестация
комиссиясининг
докторлик
диссертациялари асосий илмий натижаларини чоп этиш тавсия этилган илмий
нашрларда 4 та мақола, жумладан, 1 таси хорижий ва 3 таси республика
журналларида нашр этилган.
Диссертациянинг ҳажми ва тузилиши.
Диссертация кириш кисми,
учта боб, хулоса ва фойдаланилган адабиѐтлар рўйхатидан ташкил топган.
Диссертациянинг хажми 85 бетни ташкил этган.
ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ
Кириш
қисмида диссертация мавзусининг долзарблиги асосланган,
тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланишининг устувор
йўналишларига мослиги кўрсатилган, муаммонинг ўрганилганлик даражаси
келтирилган, тадқиқот мақсади, вазифалари, объекти ва предмети
тавсифланган, тадқиқотнинг илмий янгилиги ва амалий натижалари баѐн
қилинган, олинган натижаларнинг назарий ва амалий ақамияти очиб берилган,
тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши, нашр этилган ишлар ва
диссертация тузилиши бўйича маълумотлар келтирилган.
Диссертациянинг
"Панжарадаги
икки
заррачали
система
гамильтонианини Фон-Нейман интегралига ѐйиш" деб номланувчи биринчи
бобида асосий натижаларни баѐн қилиш учун зарур бўлган тушунчалар ва
натижалар, жумладан чегараланган ўз-ўзига қўшма операторлар спектрал
назариясининг зарур теоремалари келтирилган, ҳамда иккита ихтиѐрий
заррачали система гамильтониани координата ва импульс кўринишларида
чегараланган ўз-ўзига қўшма операторлар сифатида мос гильберт фазоларида
қаралган. Икки заррачали система тўла квазиимпульси киритилиб, икки
ихтиѐрий заррачали гамильтониан Фон-Нейман интегралига ѐйилган.
Натижада икки заррачали система гамилтониани спектрини ўрганиш
масаласи қават операторлар, яъни дискрет Шредингер операторлари спектрал
11
хоссаларини ўрганиш масаласига келтирилган.
Диссертациянинг
"Панжарадаги
икки
заррачали
Шредингер
операторининг боғланган ҳолатлари мавжудлиги ва аналитиклиги" деб
номланувчи иккинчи боби
3
d
ўлчамли
d
панжарада ўзаро контакт
потенциал ѐрдамида таъсирлашувчи иккита ихтиѐрий заррачали системага
мос Шредингер оператори қаралган. Қаралаѐтган операторнинг муҳим
спектридан ўнгда ягона хос қиймати мавжудлиги система квазиимпульси ва
итаришувчи ўзаро таъсир энергиясига боғлиқ ўрганилган. Мос хос
функциянинг аналитиклиги ва хос қийматнинг ҳамда хос функциянинг
мавжудлик соҳасида квазиимпульснинг функцияси сифатида регулярлиги
исботланган.
II боб натижаларининг қатъий математик баѐнига ўтамиз.
d
-
d
ўлчамли тор, яъни
d
]
,
(
куб бўлсин. Икки ихтиѐрий заррачали системага
мос контакт таъсирлашувчи дискрет Шредингер оператори
)
(
2
d
L
гильберт
фазосида қуйидаги формула билан аниқланган:
.
,
)
(
=
)
(
0
d
K
V
K
H
K
H
Кўзғалмас
)
(
0
K
H
оператор
)
(
2
d
L
фазода
)
(
K
функцияга кўпайтириш
оператори бўлиб,
),
(
),
(
)
(
=
)
)(
)
(
(
2
0
d
K
L
f
q
f
q
q
f
K
H
формула билан аниқланган. Бунда,
，
q
K
q
q
K
)
(
)
(
=
)
(
0
>
заррачалар массаларининг нисбати ва
.
)
,
,
(
=
),
cos
(1
=
)
(
)
(
(1)
)
(
1
=
d
d
i
d
i
p
p
p
p
p
V
ўзаро таъсир (қўзғатиш) оператори
)
(
2
d
L
фазода қуйидаги
формула билан аниқланган:
).
(
,
)
(
)
(2
1
=
)
)(
(
2
d
d
d
L
f
dq
q
f
p
Vf
Ушбу
)
(
0
K
H
функцияга кўпайтириш оператори кўзғалиши
V
бир ўлчамли
чегараланган ўз-ўзига қўшма оператор бўлганлиги учун муҳим спектр
турғунлиги ҳакидаги Вейл теоремасига асосан
d
K
K
H
),
(
операторнинг
муҳим спектри
d
K
K
H
),
(
0
оператор муҳим спектри билан устма-уст
тушади ва
)]
(
),
(
[
=
))
(
(
=
))
(
(
min
0
K
K
K
H
K
H
max
ess
тўпламдан иборат бўлади. Бунда,
12
,
cos
2
1
)
(1
=
)
(
min
=
)
(
2
)
(
1
=
min
i
d
i
K
d
p
K
d
p
K
.
cos
2
1
)
(1
=
)
(
max
=
)
(
2
)
(
1
=
max
i
d
i
K
d
p
K
d
p
K
Эслатма 1.
Кейинги ўринларда
1
ва
3
d
деб фараз қиламиз. Агар
1
=
ва
d
K
)
,...,
(
=
=
бўлса,
)
(
K
H
операторнинг
))
(
(
K
H
ess
муҳим спектри айнийди, яъни
}
2
=
)
(
=
)
(
{
d
max
min
бўлади. Шунинг учун
)
(
K
H
операторнинг муҳим спектри
))
(
(
K
H
ess
ихтиѐрий
d
K
да
абсолют узлуксиз эмас.
комплекс сонлар тўплами бўлсин. Ихтиѐрий
d
K
учун
)]
(
),
(
[
\
max
min
K
K
тўпламда
)
,
(
K
аналитик функцияни қуйидагича
аниқлаймиз:
.
)
(
)
(2
1
=
)
,
(
q
z
dq
z
K
K
d
d
Ушбу
2
1
V
оператор
V
мусбат операторнинг квадрат илдизи бўлсин.
Ихтиѐрий
d
K
учун
))
(
,
(
)
(2
max
K
K
d
ядроли
,
))
(
)
(
(
=
))
(
,
(
2
1
1
0
max
2
1
max
,
V
K
H
K
V
K
K
G
Бирман-Швингер интеграл операторини аниқлаймиз.
Таъриф 1.
3,4
=
d
бўлсин. Агар
1
сони
2
1
1
0
max
2
1
max
))
(
)
(
(
=
))
(
,
(
V
K
H
K
V
K
K
G
операторнинг хос қиймати бўлиб, мос
хос функция
0
))
(
)(
(
1/2
K
p
V
шартни қаноатлантирса
(
1
=
))
(
)(
(
1/2
K
p
V
фараз қилиш мумкин)
,
)
(
K
H
оператор
))
(
(
K
H
ess
муҳим спектрнинг юқори бўсағаси
(
)
(
=
max
K
z
)
да виртуал сатҳга эга дейилади.
Ушбу
))
(
,
(
=
)
(
max
K
K
K
белгилашни киритиб, ихтиѐрий
0
>
учун
,
0}
<
)
(
1
:
{
=
)
(
<
K
K
M
d
,
0}
=
)
(
1
:
{
=
)
(
=
K
K
M
d
13
0}
>
)
(
1
:
{
=
)
(
>
K
K
M
d
тўпламларни аниқлаймиз.
Қуйидаги теоремалар иккинчи бобнинг асосий натижалар ҳисобланади:
Теорема 1.
a) Агар
)
(
1/
<
<
0
бўлса, у ҳолда
=
)
(
<
M
,
,
=
)
(
=
M
.
=
)
(
>
d
M
b)
Агар
)
(
1/
=
бўлса, у ҳолда
,
=
)
(
<
M
,
}
{
=
)
(
=
M
.
}
{
\
=
)
(
>
d
M
c) Агар
(0)
1/
<
<
)
(
1/
бўлса, у ҳолда
),
(
<
M
)
(
=
M
ва
)
(
>
M
тўпламлар бўш эмас.
d) Агар
(0)
1/
=
бўлса, у ҳолда
{0},
\
=
)
(
<
d
M
{0}
=
)
(
=
M
ва
.
=
)
(
>
M
e) Агар
(0)
1/
>
бўлса, у ҳолда
d
M
=
)
(
<
,
,
=
)
(
=
M
.
=
)
(
>
M
Теорема 2.
a)
0
>
ва
)
(
<
M
K
бўлсин. У ҳолда
)
(
K
H
оператор
))
(
(
K
H
ess
муҳим спектрдан ўнгда ягона
)
(
K
E
хос қийматга
эга. Мос хос функция
),
(
)
(
)
(
=
)
(
2
,
d
K
K
L
K
E
c
бунда
0
c
нормаллаштирувчи кўпайтувчи, ҳақиқий аналитик функция
бўлади. Шу билан бирга
)
(
K
E
хос киймат
)
(
<
M
тўпламда хақиқий
қийматли
жуфт
функция
бўлади.
)
(
,
K
K
билан
берилган
)
(
)
(
:
2
<
d
L
M
акслантириш
вектор
қийматли
аналитик
акслантириш бўлади. Агар
(0)
1
<
0
бўлса, у холда
)
(
),
(
<
M
K
K
E
хос қиймат учун
(0)
<
)
(
<
)
(
max
max
K
E
K
муносабат бажарилади. Агар
0
>
(0)
1
>
бўлса, у ҳолда
0
,
=
)
(
),
(
<
K
M
K
K
E
d
хос қиймат учун
(0)
<
(0)
(0)
<
)
(
<
)
(
max
max
E
ва
E
K
E
K
тенгсизликлар бажарилади.
b)
0
>
ва
)
(
=
M
K
бўлсин. Агар
3,4
=
d
бўлса,
))
(
(
K
H
ess
муҳим спектрнинг
)
(
max
K
юқори бўсағаси
)
(
K
H
оператор учун виртуал
сатҳ бўлади. Мос виртуал ҳолат
14
,
)
(
)
(
=
)
(
max
,
K
K
K
c
бунда
0
c
нормаллаштирувчи кўпайтувчи,
)
(
\
)
(
2
1
d
d
L
L
тўпламга
тегишли бўлади. Агар
5
d
ва
)
(
=
M
K
бўлса,
))
(
(
K
H
ess
муҳим
спектрнинг
)
(
max
K
юқори бўсағаси
)
(
K
H
оператор учун хос қиймат
бўлади. Мос хос функция
),
(
)
(
)
(
=
)
(
2
max
,
d
K
K
L
K
c
кўринишга эга , бунда
0
c
нормаллаштирувчи кўпайтувчи.
c)
0
>
ва
)
(
>
M
K
бўлсин. У ҳолда
)
(
K
H
оператор
))
(
(
K
H
ess
муҳим спектрдан ўнгда хос қийматга эга эмас.
Диссертациянинг
“Панжарадаги икки заррачали гамильтонианнинг
боғланган ҳолатлари ҳақида” деб номланувчи учинчи бобида
3
d
ўлчамли
d
панжарада
ўзаро
тортишувчи
контакт
потенциал
ѐрдамида
таъсирлашувчи иккита ихтиѐрий заррачали системага мос Шредингер
оператори спектрал хоссаларини ўрганишга бағишланган.
Икки ихтиѐрий заррачали системага мос дискрет Шредингер оператори
)
(
2
d
L
гильберт фазосида қуйидаги формула билан аниқланган:
.
,
)
(
=
)
(
0
d
K
V
K
H
K
H
комплекс сонлар тўплами бўлсин. Ихтиѐрий
d
K
учун
)]
(
),
(
[
\
max
min
K
K
тўпламда
)
,
(
K
аналитик функцияни қуйидагича
аниқлаймиз:
.
)
(
)
(2
1
=
)
,
(
z
q
dq
z
K
K
d
d
Ушбу
2
1
V
оператор
V
мусбат операторнинг квадрат илдизи бўлсин.
Ихтиѐрий
d
K
учун
))
(
,
(
)
(2
min
K
K
d
ядроли
,
))
(
)
(
(
=
))
(
,
(
2
1
1
min
0
2
1
min
,
V
K
K
H
V
K
K
G
Бирман-Швингер интеграл операторини аниқлаймиз.
Таъриф 2.
3,4
=
d
бўлсин. Агар
1
сони
2
1
1
min
0
2
1
min
))
(
)
(
(
=
))
(
,
(
V
K
K
H
V
K
K
G
15
операторнинг хос қиймати бўлиб, мос
хос функция
0
))
(
)(
(
1/2
K
p
V
шартни қаноатлантирса
(
1
=
))
(
)(
(
1/2
K
p
V
фараз қилиш мумкин)
,
)
(
K
H
оператор
))
(
(
K
H
ess
муҳим спектрнинг қуйи бўсағаси
(
)
(
=
min
K
z
)
да
виртуал сатҳга эга дейилади.
Қуйидаги теорема учинчи бобнинг асосий натижалари ҳисобланади:
Теорема 3.
a)
0
>
ва
)
(
<
M
K
бўлсин. У ҳолда
)
(
K
H
оператор
))
(
(
K
H
ess
муҳим спектрдан чапда ягона
)
(
K
E
хос қийматга
эга. Мос хос функция
),
(
)
(
)
(
=
)
(
2
,
d
K
K
L
K
E
c
бунда
0
c
нормаллаштирувчи кўпайтувчи, ҳақиқий аналитик функция
бўлади. Шу билан бирга
)
(
K
E
хос қиймат
)
(
<
M
тўпламда хақиқий
қийматли
жуфт
функция
бўлади.
)
(
,
K
K
билан
берилган
)
(
)
(
:
2
<
d
L
M
акслантириш
вектор
қийматли
аналитик
акслантириш бўлади. Агар
(0)
1
<
0
бўлса, у ҳолда
)
(
),
(
<
M
K
K
E
хос қиймат учун
)
(
<
)
(
<
(0)
K
K
E
min
min
муносабат бажарилади. Агар
0
>
(0)
1
>
бўлса, у ҳолда
0
,
=
)
(
),
(
<
K
M
K
K
E
d
хос қиймат учун
(0).
<
(0)
ва
)
(
<
)
(
<
(0)
min
min
E
K
K
E
E
тенгсизликлар бажарилади.
b)
0
>
ва
)
(
=
M
K
бўлсин. Агар
3,4
=
d
бўлса,
))
(
(
K
H
ess
муҳим спектрнинг
)
(
min
K
қуйи бўсағаси
)
(
K
H
оператор учун виртуал
сатҳ бўлади. Мос виртуал ҳолат
,
)
(
)
(
=
)
(
min
,
K
c
K
K
бунда
0
c
нормаллаштирувчи кўпайтувчи,
)
(
\
)
(
2
1
d
d
L
L
тўпламга
тегишли бўлади. Агар
5
d
ва
)
(
=
M
K
бўлса,
))
(
(
K
H
ess
муҳим
спектрнинг
)
(
min
K
қуйи бўсағаси
)
(
K
H
оператор учун хос қиймат
бўлади. Мос хос функция
)
(
)
(
)
(
=
)
(
2
min
,
d
K
K
L
K
c
кўринишга эга, бунда
0
c
нормаллаштирувчи кўпайтувчи.
c)
0
>
ва
)
(
>
M
K
бўлсин. У ҳолда
)
(
K
H
оператор
16
))
(
(
K
H
ess
муҳим спектрдан чапда хос қийматга эга эмас.
17
ХУЛОСА
Диссертация иши панжарадаги ўзаро контакт таъсирлашувчи иккита
ихтиѐрий заррачали системага мос дискрет Шредингер операторининг муҳим
ва дискрет спектрларини тадқиқ килишга бағишланган.
Тадқиқотнинг асосий натижалари қуйидагилардан иборат:
1.
Ўлчами
3
d
бўлган панжарада ўзаро итаришувчи
0)
>
(
контакт
таъсирлашувчи иккита ихтиѐрий заррачали системага мос дискрет
Шредингер операторининг муҳим спектрдан ўнгда хос қиймати
мавжудлиги исботланган ва унга мос хос функциянинг аниқ кўриниши
топилиб регуляр функция эканлиги кўрсатилган.
2.
Ўлчам
3,4
=
d
бўлганда муҳим спектрнинг юқори бўсағасида дискрет
Шредингер оператори виртуал сатҳга эга эканлиги исботланган ва
виртуал ҳолатнинг интегралланувчи функция эканлиги кўрсатилган.
3.
Квазиимпульснинг берилган қийматида виртуал сатҳга эга бўлган
таъсир энергияси қийматлари топилган ва таъсир энергиясининг
берилган қийматида система квазиимпульслари Шредингер
операторининг хос қиймати мавжуд бўладиган ѐки мавжуд
бўлмайдиган ҳамда виртуал сатҳга эга бўладиган тўпламларга
ажратилган.
4.
Ўлчам
5
d
бўлганда муҳим спектрнинг юқори бўсағаси дискрет
Шредингер операторининг хос қиймати бўлиши кўрсатилган.
5.
Ўлчами
3
d
бўлган панжарада ўзаро тортишувчи контакт
таъсирлашувчи иккита ихтиѐрий заррачали системага мос дискрет
Шредингер операторининг муҳим спектрдан чапда хос қиймати
мавжудлиги исботланган ва унга мос хос функциянинг аниқ кўриниши
топилиб регуляр функция эканлиги кўрсатилган.
6.
Ўлчам
3,4
=
d
бўлганда муҳим спектрнинг қуйи бўсағасида дискрет
Шредингер оператори виртуал сатҳга эга эканлиги исботланган ва
виртуал ҳолатнинг интегралланувчи функция эканлиги кўрсатилган.
7.
Ўлчам
5
d
бўлганда муҳим спектрнинг қуйи бўсағаси дискрет
Шредингер операторининг хос қиймати бўлиши кўрсатилган.
18
SCIENTIFIC COUNCIL PHD.27.06.2017.FM.02.01 ON AWARDING
ACADEMIC DEGREES AT THE SAMARKAND STATE UNIVERSIRY
SAMARKAND STATE UNIVERSIRY
ULASHOV SOBIR SAXIBJANOVICH
DISCRETE SPECTRUM OF THE SCHRÖDINGER OPERATORS
ASSOCIATED TO A SYSTEM OF TWO ARBITRARY PARTICLES ON
LATTICE
01.01.01 – mathematical analysis
ABSTRACT OF DISSERTATION OF THE DOCTOR OF PHILOSOPHY (PhD) ON
PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
Samarkand – 2017
19
The theme of dissertation of doctor of philosophy (PhD) on physical and mathematical
sciences was registered at the Supreme Attestation Commission at the Cabinet of Ministers of the
Republic of Uzbekistan under number В2017.2.PhD/FM54
Dissertation has been prepared at Samarkand State University.
The abstract of the dissertation is posted in three languages (uzbek, russian, english (resume)) on
the website (www.samdu.uz) and the “Ziyonet” Information and educational portal (www.ziyonet.uz).
Scientific supervisor:
Lakaev Saidahmat Norjigitovich
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor
Official opponents:
Xalmuxamedov Alimjan Raximovich
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor
Botirov G’olib Isroilovich
Candidate of Physical and Mathematical Sciences
Leading organization: Qarshi State University
Defense will take place «____» _____________2017 at _____ at the meeting of Scientific Council
number PhD.27.06.2017.FM.02.01
at Samarkand State University. (Address: University Boulevard 15,
Samarkand, 140104, Uzbekistan, Ph.: (+99866) 231-06-32, fax: (+99866) 235-19-38, e-mail:
).
Dissertation is possible to review in Information-resource centre at Samarkand State University (is
registered №____) (Address: University Boulevard 15, Samarkand, 140104, Uzbekistan, Ph.: (+99866)
231-06-32).
Abstract of dissertation sent out on «____» _______________2017 year
(Mailing report № ___________on «____» _______________2017 year)
A.S. Soleev
Chairman of scientific council
on award of scientific degrees,
D.F.-M.S., professor
A.M. Xalxujayev
Scientific secretary of scientific council
on award of scientific degrees, D.F.-M.S.
I.A.Ikromov
Vice-chairman of scientific Seminar under Scientific
Council on award of scientific degrees,
D.F.-M.S., professor
20
INTRODUCTION (abstract of PhD thesis)
Actuality and demand of the theme of dissertation.
Numerous scientific and
applied research conducted on a global level show that everywhere in physics
stable complex objects are usually formed as a result of action of attractive forces
that allow the component parts to reduce the energy in their binding. However,
recent years scientists have proved that in the ordered medium stable complex
objects can exist even in the case of repulsive interactions. Bose-Hubbard model is
used to describe the repulsive pairs, i.e. Schrödinger operator on a lattice is the
theoretical basis of experimental observations and theoretical basis for the
application. Therefore, the development of research of Schrödinger operators
corresponding Hamiltonians of the systems of particles on a lattice, which are
found in models of solid state physics and lattice field theory is one of the
priorities.
In our country in the years of independence much attention has been paid to
directions of applied importance, in particular, special attention was paid to the
study of Schrödinger operators corresponding to the system of particles on an
integer lattice. For the Schrödinger operators significant results were achieved in
determining the conditions for the existence of bound states which is located
outside of the essential spectrum and for their number.
Since the spectrum of the Schrödinger operators associated to the systems of
two quantum particles on lattice is quite sensitive to changes in the
quasi-momentum of the system, solving problems related to studies of the spectrum
of the operator and to show the existence of bound states as well as determine their
number plays an important role . In this regard, the implementation of targeted
investigation in the following areas is one of the most important problems:
investigate the discrete spectrum of the Schrödinger operator corresponding to a
system of two arbitrary particles with short-range pair potentials on lattice, to
establish the threshold phenomenon below the bottom or above the top essential
spectrum for the operator. Research carried out in the aforementioned areas
confirms the actuality of the dissertation topic.
This dissertation, to some extent, serves the tasks specified in the Decrees of
the President of the Republic of Uzbekistan № DP-436 dated August 7, 2006 "On
Measures for Improving the Coordination and Management of the Development of
Science and Technology" and № DP-916 dated July 15, 2008 "Encouraging the
introduction of innovative projects and technologies in production ", № DP -2789
dated February 17, 2017 "On measures to further improve the organization,
management and financing of research activities and activities of the Academy of
Sciences " and № DP -4947 dated February 8, 2017 "On strategy actions for the
further development of the Republic of Uzbekistan ", as well as in other
normative-legal acts on this activity.
21
Dependence of research to priority directions of development of science
and technologies of the republic.
This study was performed in accordance with
the Republic of Uzbekistan IV priority areas of science and technology.
"Mathematics, Mechanics and Computer Science".
The degree of scrutiny of the problem.
The basic problems of atomic and
molecular physics, solid state physics, quantum field theory are reduced to the
study of Schrödinger operators. The most comprehensive overview of the results in
this field is contained in the encyclopedia of modern mathematical physics, the four
volumes of M. Reed and B. Simon. The Schrödinger operators corresponding to
systems of particles on a lattice were first considered in the 90s of the last century
by D.S. Mattis, AI Mogilner and related research have developed rapidly. In
studying the Schrödinger operator on lattice in the mathematical sense arises
the
same problems as in the case of continuous Schrödinger operator. Namely, it is
necessary to study the one, two, three and etc. particle Schrödinger operators. For
continuous and discrete Schrödinger operators, as well as a generalized Friedrichs
model the problems of the existence of a discrete spectrum and defining of
phenomenon on the threshold value of the coupling constant as well as expansion
for the eigenvalue on neighborhood of continuous spectrum were studied by
scientists M. Clausen B. Simon, G.M. Graf, D. Schenker, R.A. Faria da Veiga, E.L.
Lakshtanov, R.A. Minlos, S.N. Lakaev, K. Makarov.
It is known that with the decrease of the coupling constant, the energy of the
bound state of the two-particle Schrödinger operator approaches to the edge of the
continuous spectrum, and in finite value of the coupling constant gets to the edge.
The problem about the correspondence to this threshold value a bound state or a
virtual level is studied in the works of D.R. Yafaeva, J. Rauch, B. Simon, M.
Klaus and S. N. Lakaev.
In the work of S.N. Lakaev for two-particle discrete Schrödinger operators
3
0
,
)
(
=
)
(
k
V
k
H
k
H
associated to a system of two bosons interacting with
the pair short-range potential, the threshold effect of the quasi-momentum is
proved, that if for some value of
0
<
=
0
the nonnegative operator
(0)
0
H
has a virtual level on the left threshold of the essential spectrum, then for all
nonzero values of the quasi-momentum the operator
)
(
0
k
H
has one eigenvalue
lying below the bottom of essential spectrum.
In the work of S. Albeverio, S.N. Lakaev, K. Makarov and Z.E. Muminova
for two-particle Schrödinger operators, associated to a system of two arbitrary
particles on a lattice
3
,
d
d
interacting with pairwise short-range potentials is
found conditions for the existence of eigenvalues, depending on the dispersion
functions.
22
Two-particle discrete Schrödinger operators, corresponding to a system of two
quantum particles moving on a
3
d
dimensional lattice
d
interacting with the
pair attractive contact potentials are considered in the work of S.N. Lakaev,
Sh.Yu.Kholmatov, A.Khalkhuzhayev and Sh.S.Lakaev. The existence of unique
eigenvalue lying to the left of essential spectrum is proved and asymptotics are
found for the eigenvalue depending on the quasi-momentum and the coupling
constant.
The connection of the topic of the dissertation with the research work of
the higher educational institution, in which the dissertation is carried out.
The dissertation work is done in accordance with the planned theme of
scientific research “Spectral analysis of Hamiltonian of a systems with
non-conserved limited number of particles on lattice” (F4-FA-F079, Samarkand
State University, 2012-2016); “Models of systems with a limited number of
particles on a lattice. Essential and discrete spectra of energy operators”
(OT-F4-66, Samarkand State University, 2017).
The aim of the research
is to study location of essential and discrete spectra
as well as the number of eigenvalues of the Schrödinger operator associated to a
system of two arbitrary particles interacting via a pair contact potential on lattice.
Research tasks:
to prove the existence of eigenvalue locsted to the right of essential spectrum
of discrete Schrödinger operator associated to a system of two arbitrary particles
interacting via a pair contact repulsive
0)
>
(
potential on
3
d
dimensional
lattice and to prove regularity of corresponding eigenstate finding its exact form;
to prove that the discrete Schrödinger operator has virtual level at the right
edge of essential spectrum if the dimension is
3,4
=
d
and to establish that the
virtual state is integrable;
to define for the fixed value of quasi-momentum the values of coupling
constant which the operator has virtual level and for the fixed value of coupling
constant to separate the set of quasimomentum which the operator has eigenvalue
or has not eigenvalue or has a virtual level.
to show that the right edge of essential spectrum is eigenvalue of the
Schrödinger operator if the dimension is
5
d
;
to prove the existence of eigenvalue located to the left of essential
spectrum of discrete Schrödinger operator associated to a system of two arbitrary
particles interacting via a pair contact attractive potential on
3
d
dimensional
lattice and to prove regularity of corresponding eigenstate finding its exact form;
to prove that the discrete Schrödinger operator has virtual level at the left
edge of essential spectrum if the dimension is
3,4
=
d
and to establish that the
virtual state is integrable;
to show that the left edge of essential spectrum is eigenvalue of the
23
Schrödinger operator if the dimension is
5
d
.
The research object.
The Hamiltonian and system of two arbitrary particles
on lattice interacting via a pair contact potential.
The research subject.
Spectral study of two-particle Schrödinger operators
associated to systems of two arbitrary particles on lattice.
Research methods.
In the research used the general methods of
mathematical analysis and the theory of complex analysis, as well as the spectral
theory of self-adjoint operators, including the Birman-Shvinger principle.
The scientific novelty of the research is as follows
:
it is proven the existence of eigenvalue located to the right of essential
spectrum of discrete Schrödinger operator associated to a system of two arbitrary
particles interacting via a pair contact repulsive
0)
>
(
potential on
3
d
dimensional lattice and it is proven regularity of corresponding eigenstate finding
its exact form;
it is proven that the discrete Schrödinger operator has virtual level at the
right edge of essential spectrum if the dimension is
3,4
=
d
and it is established
that the virtual state is integrable;
it is defined for the fixed value of quasi-momentum the values of coupling
constant which the operator has virtual level and for the fixed value of coupling
constant it is separated the set of quasimomentum which the operator has
eigenvalue or has not eigenvalue or has a virtual level;
it is shown that the right edge of essential spectrum is eigenvalue of the
Schrödinger operator if the dimension is
5
d
;
it is proven the existence of eigenvalue located to the left of essential
spectrum of discrete Schrödinger operator associated to a system of two arbitrary
particles interacting via a pair contact attractive potential on
3
d
dimensional
lattice and it is shown regularity of corresponding eigenstate finding its exact form
it is proven that the discrete Schrödinger operator has virtual level at the
left edge of essential spectrum if the dimension is
3,4
=
d
and it is established that
the virtual state is integrable;
it is shown that the left edge of essential spectrum is eigenvalue of the
Schrödinger operator if the dimension is
5
d
.
Practical results of the research
consists in the possibility of using the
findings of the analyticity of bound states in the study of qualitative properties of
experimental observations and numerical calculations in solid state physics and
quantum mechanics.
The reliability of the results of the research
based on using the methods of
mathematical analysis, mathematical physics, functional analysis and complex
analysis, as well as the rigor of mathematical reasoning.
The scientific and practical significance of the research results.
The
scientific value of the results of the study lies in the fact that they can be used in the
24
spectral theory of self-adjoint operators, quantum mechanics, solid state physics,
quantum field theory, in particular, solutions of problems related to the spectrum of
Hamiltonians of systems of two and three particles on a lattice. The practical
significance of the dissertation work is determined by the fact that the scientific
results obtained in this work can serve as a theoretical basis of experimental
observations, carried out in solid-state physics and quantum mechanics.
Implementation of the research results.
The results obtained during the
dissertation research are applied in the following areas:
the analyticity of eigenstate of the Schrödinger opertor associated to a system
of two arbitrary particles on lattice was used in J.Phys.A: Math.
Theor.-50,-2017.- 335202 (IF=1.857) in order to study spectrum of the Shroedinger
operator associated to the three particle system. Using scientific result enabled
to prove analyticity of eigenstate of considering operator;
dependence on coupling constant of eigenvalues of the Schrödinger operator
associated to a system of two arbitrary particles on lattice was used in J.Phys.A:
Math. Theor. 49, 2016. 145204 (IF=1.857) in order to prove existence of
eigenvalue and its location located to the left of essential spectrum of the
Shroedinger operator associated to the system of three identical particle
interacting via a pair contact attractive potential on lattice. Using scientific
result enabled to study the existence of eigenvalue and its location of the
Shroedinger operator depending on coupling constant;
the dependence on quasi-momentum of eigenvalue of the Schrödinger
operator associated to a system of two arbitrary particles interacting via a pair
contact repulsive potential on lattice was used Theor. Math. Phys. 2014, Vol. 178
No 3, p336-346 (IF=0.984) in order to show the existence of eigenvalue of the
Schrödinger operator associated to the system of two identical particles
interacting via contact potential. Using scientific result enabled to prove the result
of positivity of eigenvalue of considering operator.
Approbation of the research results.
The results of this research were
discussed at 4 international and 2 republican scientific and practical conferences.
Publications of the research results.
10 scientific works were published
on the topic of the dissertation, 4 of them are published in journals included in the
list of scientific publications proposed by the Higher Attestation Commission of the
Republic of Uzbekistan for the protection of doctoral dissertations, including 1
published in foreign and 3 in national scientific journals.
The volume and structure of the dissertation.
The dissertation work
consists of an introduction, three chapters, conclusion and bibliography. The
volume of the thesis is 85 pages.
25
MAIN CONTENT OF DISSERTATION
In the introduction
is given the actuality and relevance of the thesis topics,
determined the appropriate research priority areas of science and technology of the
Republic, presented a review of international research on the theme of the
dissertation and the degree of scrutiny of the problem, formulated goals and
objectives, identified the object and subject of study, scientific novelty and
practical results of the research are stated, revealed the theoretical and practical
importance of the obtained results, information on the implementation of the
research results about the published works and the structure of dissertation are
given.
In the first chapter of the dissertation called "Decomposing into a direct Von
Neuman integral of the Hamiltonian of two particle system" is given basic notions
and results including the necessary theorems of spectral theory of bounded
self-adjoint operators in order to describe main results and the Hamiltonian of the
system two arbitrary particles in coordinate and momentum representation are
considered as bounded self-adjoint operator in corresponding Hilbert space.
Determining two particle quasi-momentum, the Hamiltonian of system of the two
arbitrary particles is decomposed into a direct Von Neuman integral. As a result,
studying spectral properties of the Hamiltonian of the two particle system is
reduced to study fiber operators, i.e. investigating spectral properties of the discrete
Schrödinger operators.
In the second chapter of the dissertation called “Existence and analyticity of
bound states of a two particle Schrödinger operator on a lattice ” is considered two
particle Schrödinger operator corresponding to system of two arbitrary particles on
3
d
dimensional lattice
d
interacting via a pair contact potential. Depending
on repulsive coupling constant and two particle quasi-momentum the existence of
unique eigenvalue located to the right of essential spectrum of considering operator
is studied. It is proven the anlyticity of the corresponding eigenstate and the
analyticity of the eigenvalue and the eigenstate as function of the quasi-momentum
in the domain of their existence.
We consider the strict mathematical description of Chapter II. Let
d
be
the
d
dimensional torus, i.e, the cube
d
]
,
(
with properly identified opposite
faces. Two particle Schrödinger operator corresponding to a system of two particles
interacting via a pair contact potential acting in
)
(
2
d
L
is defined by the formula:
.
,
)
(
=
)
(
0
d
K
V
K
H
K
H
The unperturbed operator
)
(
0
K
H
in
)
(
2
d
L
is the operator of multiplication by
the function
)
(
K
:
),
(
),
(
)
(
=
)
)(
)
(
(
2
0
d
K
L
f
q
f
q
q
f
K
H
where
26
)
(
)
(
=
)
(
q
K
q
q
K
with the function
,
)
,
,
(
=
),
cos
(1
=
)
(
)
(
(1)
)
(
1
=
d
d
i
d
i
p
p
p
p
p
0
>
is the ratio of mass of particles.
The interactiong (perturbation) operator
V
acts in
)
(
2
d
L
:
).
(
,
)
(
)
(2
1
=
)
)(
(
2
d
d
d
L
f
dq
q
f
p
Vf
The perturbation
V
of the multiplication operator
)
(
0
K
H
is a one-dimensional
bounded self-adjoint operator. It follows from the Weyl theorem on the
preservation of the essential spectrum under a compact perturbation that the
essential spectrum of
d
K
K
H
),
(
coincides with the spectrum of
d
K
K
H
),
(
0
and is given by an interval:
)],
(
),
(
[
=
))
(
(
=
))
(
(
min
0
K
K
K
H
K
H
max
ess
where
,
cos
2
1
)
(1
=
)
(
min
=
)
(
2
)
(
1
=
min
i
d
i
K
d
p
K
d
p
K
.
cos
2
1
)
(1
=
)
(
max
=
)
(
2
)
(
1
=
max
i
d
i
K
d
p
K
d
p
K
Remark 1.
Everywhere in what follows, we assume that
1
and
3
d
.
For
1
=
and
d
K
)
,...,
(
=
=
, the essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
of
)
(
K
H
degenerates, i.e., shrinks to a point
}
2
=
)
(
=
)
(
{
d
max
min
and the es-
sential spectrum
))
(
(
K
H
ess
of
)
(
K
H
is therefore not absolutely continuous
for all
d
K
.
Let
be the complex plane. For any
d
K
, we define the analytic func-
tion
)
,
(
K
in
)]
(
),
(
[
\
max
min
K
K
as
.
)
(
)
(2
1
=
)
,
(
q
z
dq
z
K
K
d
d
Let
2
1
V
be a square root of the positive operator
V
. We define the
Birman-Schwinger operator
,
))
(
)
(
(
=
))
(
,
(
2
1
1
0
max
2
1
max
,
V
K
H
K
V
K
K
G
27
with the kernel
)).
(
,
(
)
(2
max
K
K
d
Definition 1
Let
3,4
=
d
. We say that the operator
)
(
K
H
has a virtual
level at the right edge (at the point
)
(
=
max
K
z
)
of the essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
if the number
1
is a simple eigenvalue of the operator
2
1
1
0
max
2
1
max
))
(
)
(
(
=
))
(
,
(
V
K
H
K
V
K
K
G
and
the
corresponding
eigenfunction
satisfies
the
condition
0
))
(
)(
(
1/2
K
p
V
.
We can always assume that
1
=
))
(
)(
(
1/2
K
p
V
.
We introduce the notation
))
(
,
(
=
)
(
max
K
K
K
and for any
0
>
, we
define the sets
,
0}
<
)
(
1
:
{
=
)
(
<
K
K
M
d
,
0}
=
)
(
1
:
{
=
)
(
=
K
K
M
d
0}.
>
)
(
1
:
{
=
)
(
>
K
K
M
d
The following theorems are the main results of the second chapter:
Theorem 1.
a) If
)
(
1/
<
<
0
, then
=
)
(
<
M
,
=
)
(
=
M
and
d
M
=
)
(
>
.
b)
If
)
(
1/
=
,
then
,
=
)
(
<
M
}
{
=
)
(
=
M
and
}
{
\
=
)
(
>
d
M
c) If
( 0 )
1/
<
<
)
(
1/
, then the all sets
),
(
<
M
)
(
=
M
and
)
(
>
M
are nonempty.
d) If
(0)
1/
=
, then
{0},
\
=
)
(
<
d
M
{0}
=
)
(
=
M
and
.
=
)
(
>
M
e) If
(0)
1/
>
, then
d
M
=
)
(
<
,
=
)
(
=
M
and
.
=
)
(
>
M
Theorem 2.
a ) Let
0
>
and
)
(
<
M
K
. Then the operator
)
(
K
H
has a unique eigenvalue
)
(
K
E
located to the right of the essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
. The corresponding eigenstate
,
)
(
)
(
=
)
(
,
K
K
K
E
c
where
0
c
is a normalization factor, belongs to
)
(
2
d
L
and is a real analytic
function. Moreover,
)
(
K
E
is an even real-analytic function on
)
(
<
M
. The map
)
(
)
(
:
2
<
d
L
M
given by
)
(
,
K
K
is a vector-valued analytic map.
28
If
(0)
1
<
0
, then the eigenvalue
)
(
K
E
)
(
),
(
<
M
K
K
E
satisfies the
inequalities
;
(0)
<
)
(
<
)
(
max
max
K
E
K
if
0
>
(0)
1
>
, then the eigenvalue
0
,
=
)
(
),
(
<
K
M
K
K
E
d
satisfies the inequalities
(0).
<
(0)
(0)
<
)
(
<
)
(
max
max
E
and
E
K
E
K
b) Let
0
>
and
)
(
=
M
K
. For
3,4
=
d
the right edge
)
(
max
K
of the
essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
is a virtual level of
.
)
(
K
H
The corresponding
virtual state
,
)
(
)
(
=
)
(
max
,
K
K
K
c
where
0
c
is normalization factor, belongs to
)
(
\
)
(
2
1
d
d
L
L
. For
5
d
and
)
(
=
M
K
, the right edge
)
(
max
K
of the essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
is
an eigenvalue of
)
(
K
H
. The corresponding eigenstate has the form
),
(
)
(
)
(
=
)
(
2
max
,
d
K
K
L
K
c
where
0
c
is a normalization factor.
c) Let
0
>
and
)
(
>
M
K
. Then the operator
)
(
K
H
has no
eigenvalues located to the right of the essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
.
In the third chapter of the dissertation called “On bound states of the two
particle Hamiltonians on lattices” is devoted to study spectral properties of two
particle Schrödinger operator corresponding to system of two arbitrary particles on
3
d
dimensional lattice
d
interacting via a pair contact attractive potential.
Two particle Schrödinger operator corresponding to a system of two
arbitrary particles acting in
)
(
2
d
L
is defined by the formula:
.
,
)
(
=
)
(
0
d
K
V
K
H
K
H
Let
be the complex plane. For any
d
K
, we define the analytic function
)
,
(
K
in
)]
(
),
(
[
\
max
min
K
K
as
.
)
(
)
(2
1
=
)
,
(
z
q
dq
z
K
K
d
d
Let
2
1
V
be a square root of the positive operator
V
. We define the
Birman-Schwinger operator
29
,
))
(
)
(
(
=
))
(
,
(
2
1
1
min
0
2
1
min
,
V
K
K
H
V
K
K
G
with the kernal
)).
(
,
(
)
(2
min
K
K
d
Definition 2.
Let
3,4
=
d
. We say that the operator
)
(
K
H
has a virtual
level at the left edge (at the point
)
(
=
min
K
z
)
of the essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
if the number
1
is a simple eigenvalue of the operator
2
1
1
min
0
2
1
min
))
(
)
(
(
=
))
(
,
(
V
K
K
H
V
K
K
G
and the corresponding eigenfunction
satisfies the condition
0
))
(
)(
(
1/2
K
p
V
.
We can always assume that
1
=
))
(
)(
(
1/2
K
p
V
.
The following theorem is the main results of the third chapter
Theorem 3.
a) Let
0
>
and
)
(
<
M
K
. Then the operator
)
(
K
H
has a unique eigenvalue
)
(
K
E
located to the left of the essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
. The corresponding eigenstate
,
)
(
)
(
=
)
(
,
K
E
c
K
K
where
0
c
is a normalization factor, belongs to
)
(
2
d
L
and is a real analytic
function. Moreover,
)
(
K
E
is an even real-analytic function on
)
(
<
M
. The map
)
(
)
(
:
2
<
d
L
M
given by
)
(
,
K
K
is a vector-valued analytic map.
If
(0)
1
<
0
, then the eigenvalue
)
(
),
(
<
M
K
K
E
satisfies the inequalities
;
)
(
<
)
(
<
(0)
K
K
E
min
min
if
0
>
(0)
1
>
,
then
the
eigenvalue
0
,
=
)
(
),
(
<
K
M
K
K
E
d
satisfies the inequalities
(0).
<
(0)
and
)
(
<
)
(
<
(0)
min
min
E
K
K
E
E
b) Let
0
>
and
)
(
=
M
K
. For
3,4
=
d
the left edge
)
(
min
K
of the
essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
is a virtual level of
)
(
K
H
. The corresponding
virtual state
,
)
(
)
(
=
)
(
min
,
K
c
K
K
where
0
c
is normalization factor, belongs to
)
(
\
)
(
2
1
d
d
L
L
. For
5
d
and
30
)
(
=
M
K
, the left edge
)
(
min
K
of the essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
is an
eigenvalue of
)
(
K
H
. The corresponding eigenstate has the form
),
(
)
(
)
(
=
)
(
2
min
,
d
K
K
L
K
c
where
0
c
is a normalization factor.
c) Let
0
>
and
)
(
>
M
K
. Then the operator
)
(
K
H
has no
eigenvalues located to the left of the essential spectrum
))
(
(
K
H
ess
.
CONCLUSION
The dissertation is devoted to study essential and discrete spectra of the two
particle Schrödinger operator corresponding to system of two arbitrary particles on
lattice interacting via a pair contact potential.
The main results of the research are as follows:
1.
It is proven the existence of eigenvalue above the top of essential spectrum
of discrete Schrödinger operator associated to a system of two arbitrary
particles interacting via a pair contact repulsive
0)
>
(
potential on
3
d
dimensional lattice and it is shown the corresponding eigenstate in
coordinate representation exponentially decreases at infinity;
2.
It is proven that the discrete Schrödinger operator has virtual level at the
right edge of essential spectrum if the dimension is
3,4
=
d
and it is
established that the virtual state approaches to zero at infinity;
3.
It is defined for the fixed value of quasi-momentum the set of the values of
coupling constant which the operator has virtual level and for the fixed value
of coupling constant the set of quasimomentum;
4.
It is shown that the right edge of essential spectrum is eigenvalue of the
Schrödinger operator if the dimension is
5
d
;
5.
It is proven the existence of eigenvalue below the bottom of essential
spectrum of discrete Schrödinger operator associated to a system of two
arbitrary particles interacting via a pair contact attractive
0)
>
(
potential
on
3
d
dimensional lattice and it is shown that the corresponding
eigenstate in coordinate representation exponentially decreases at infinity;
6.
It is proven that the discrete Schrödinger operator has virtual level at the
left edge of essential spectrum if the dimension is
3,4
=
d
and it is
established that the virtual state approaches to zero at infinity;
7.
It is shown that the left edge of essential spectrum is eigenvalue of the
Schrödinger operator if the dimension is
5
d
;
31
НАУЧНЫЙ СОВЕТ PhD.27.06.2017.FM.02.01
ПО ПРИСУЖДЕНИЮ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ПРИ
САМАРКАНДСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
САМАРКАНДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
УЛАШОВ СОБИР САХИБЖАНОВИЧ
ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА,
АССОЦИИРОВАННОГО С СИСТЕМОЙ ДВУХ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ЧАСТИЦ НА РЕШЕТКЕ
01.01.01 – математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ ДОКТОРА ФИЛОСОФИИ (PhD)
ПО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ НАУКАМ
г.Самарканд – 2017 год
32
Тема диссертации доктора философии (Doctor of Philosophy) по физико-математическим
наукам зарегистрирована в Высшей аттестационной комиссии при Кабинете Министров
Республики Узбекистан за№ В2017.2.PhD/FM54
Диссертация выполнена в Самаркандском государственном университете.
Автореферат диссертации на трех языках (узбекский, английский, русский, английский
(резюме))
размещен
на
веб-странице
Научного
совета
(www.samdu.uz)
и
на
Информационно-образовательном портале «Ziyonet» (www.ziyonet.uz).
Научный руководитель:
Лакаев Саидахмат Норжигитович
доктор физико-математических наук, профессор
Официальные оппоненты: Халмухамедов Алимжан Рахимович
доктор физико-математических наук
Ботиров Голиб Исроилович
кандидат физико-математических наук
Ведущая организация:
Каршинский государственный университет
Защита диссертации состоится «____» _____________2017 года в ____ часов на заседании
Научного совета PhD.27.06.2017.FM.02.01 при Самаркандском государственном университете.
(Адрес: 140104, г. Самарканд, Университетский бульвар, 15. Тел.: (99866)231-06-32, факс: (99866)
235-19-38, e-mail: patent@samdu.uz).
С диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном центре Самаркандского
государственном университета (зарегистрирована за №_____). (Адрес: 140104, г. Самарканд,
Университетский бульвар, 15. Тел.: (99866)231-06-32, факс: (99866) 235-19-38).
Автореферат диссертации разослан «____» _______________2017 года.
(протокол рассылки №________ от «____» _______________2017 года).
А.С. Солеев
Председатель Научного совета по
присуждению ученых степеней,
д.ф.-м.н., профессор
А.М. Халхужаев
Ученый секретарь Научного совета по присуждению
ученых степеней, д.ф.-м.н.
И.А.Икромов
Замиститель председателья научного семинара при
Научном совете по присуждению ученых степеней,
д.ф.-м.н., профессор
33
ВВЕДЕНИЕ (аннотация диссертации доктора философии(PhD))
Целью исследования
является изучение местоположения существенных
и дискретных спектров, а также числа собственных значений оператора
Шрѐдингера, соответствующего системе двух произвольных частиц,
взаимодействующих с помощью парного контактного потенциала на решетке.
Объект исследования.
Гамильтониан и система двух произвольных
частиц на решетке, взаимодействующих через парный контактный потенциал.
Научная новизна исследования заключается в следующем:
доказано существование собственного значения, лежащее правее
существенного
спектра
дискретного
оператора
Шредингера,
соответствующего системе двух произвольных частиц, взаимодействующих с
помощью парного контактного отталкивающего
0)
>
(
потенциала на
3
d
мерной решетке, и показано, что соответствующее собственное состояние
является регулярной функцией;
доказано, что если
3,4
=
d
, дискретный оператор Шредингера имеет
виртуальный уровень на правом краю существенного спектра и установлено,
что виртуальное состояние является интегрируемой функцией;
для фиксированного значения квазиимпульса определяется значение
константы связи, в котором оператор имеет виртуальный уровень, а для
фиксированного значения константы связи множество квазиимпульса
разделяется на множества, в котором для оператора Шредингера существует
или не существует собственного значения или имеющий виртуальный
уровень;
Показано, что если
5
d
, правый край существенного спектра является
собственным значением оператора Шредингера;
Доказано существование собственного значения, лежащее левее
существенного
спектра
дискретного
оператора
Шредингера,
соответствующего системе двух произвольных частиц, взаимодействующих с
помощью парного контактного притягивающего потенциала на
3
d
мерной
решетке, и показано, что соответствующее собственное состояние является
регулярной функцией;
Доказано, что если
3,4
=
d
, дискретный оператор Шредингера имеет
виртуальный уровень на левом краю существенного спектра и установлено,
что виртуальное состояние является интегрируемой функцией;
Показано, что если
5
d
, левый край существенного спектра является
собственным значением оператора Шредингера;
Внедрение результатов исследования.
Полученные в диссертации
результаты были использованы в следующих научных журналах;
aналитичность
собственного состояния оператора Шрѐдингера,
ассоцированного с системой двух произвольных частиц на решетке, была
34
использована в J.Phys.A: Math. Теорема-50, -2017.- 335202 (IF = 1,857) для
изучения спектра оператора Шрѐдингера, связанного с системой трех частиц.
Использование научного результата позволило доказать аналитичность
собственного состояния рассматриваемого оператора;
зависимость от константы связи собственных значений оператора
Шрѐдингера, ассоцированного с системой двух произвольных частиц на
решетке, была использована в J.Phys.A: Math. Теор. 49, 2016. 145204 (IF =
1.857), чтобы доказать существование собственного значения и его
местоположения, расположенного слева от существенного спектра оператора
Шрѐдингера, ассоцированного с системой трех одинаковых частиц,
взаимодействующих через контактный потенциал притяжения на решетке.
Использование научного результата позволило изучить в зависимости от
константы связи существование собственного значения оператора
Шрѐдингера и его расположение;
зависимость от квазиимпульса собственного значения оператора
Шрѐдингера, ассоцированного с системой двух произвольных частиц,
взаимодействующих через парный контактный отталкивающий потенциал на
решетке, была использована в Theor. Math. Phys. 2014, Vol. 178 No 3,
p336-346 (IF=0.984) чтобы показать существование собственного значения
оператора Шрѐдингера, ассоцированного с системой двух идентичных частиц,
взаимодействующих через контактный потенциал. Использование научного
результата позволило доказать положительности собственного значения
рассматриваемого оператора.
Объѐм и структура диссертации.
Диссертация состоит из введения,
трех глав, заключения и списка использованной литературы. Объем
диссертации составляет 85 страницы.
35
ЭЪЛОН ҚИЛИНГАН ИШЛАР РЎЙХАТИ
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
LIST OF PUBLISHED WORKS
I бўлим (part 1; часть 1).
1. Lakaev S.N., Ulashov S.S. Existence and analyticity of bound states
of the two-particle Schrödinger operator on lattice. // Theor. And Math.Phys., 170
(2012), No. 3, pp. 326-340.
2. Lakaev S.N., S.S.Ulashov. On bound states of the two particle
Hamiltonians on lattices. // Uzbek Mathematical Journal. - Tashkent, 2012, -No.
2. - pp. 54-67. (01.00.00; No 6).
3. S.S. Ulashov. Estimates for the eigenvalues of two-particle Schrödinger
operator. // Uzbek Mathematical Journal. -Tashkent, 2015, -No. 3. - pp. 155-163.
(01.00.00; No 6).
4. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М., Улашов С.С. Научная школа
математический анализ и его приложения к современной математической
физике . // Илмий Ахборотнома. –Самарқанд, 2017, № 4. СамДУ.
II бўлим (part 2; часть 2).
5. Lakaev N.S., Ulashov S.S. The existence of bound states and resonance
states of the two particle Schrodinger operators on lattices. // The second
USA-Uzbekistan Conference on Analysis and Mathematical Physics. August 08-12,
2017, Urgench, Uzbekistan.
6. Lakaev S.N., Ulashov S.S. Bound States and Resonances of the Two
Particle Discrete Schrödinger Operator on Lattices. // International Seminar on
Mathematics and Natural Sciences, ISMNS 2013.
7. Lakaev S.N., Ulashov S.S. Bound states and resonances of Schrödinger
operator. // Proceedings of the Scientific Republic Conference. Modern problems
of applied mathematics and information technologies. - Al-Khorezmiy -2012.
8. Ulashov S.S. //About bound states of the two particle Hamiltonians on
lattices. Proceedings of the Scientific Republic Conference "Operational algebras
and adjacent problems", Tashkent -2012, Uzbekistan.
9. Lakaev S.N., Ulashov S.S. The existence and analyticity of bound state
of the discrete Schrödinger operators on lattice. // Samarkand State University and
Malaysian Mathematical Sciences Society Joint Mathematics Meeting,
International training-seminars on mathematics (ITSM). p.166-168, Samarkand,
Uzbekistan, 2011.
10. Ulashov S.S. The representation of Fredholm determinant on
degenerate kernel. // Proceedings of the Scientific Republic Conference. Actual
problems of mathematics and informatics. Samarkand, Uzbekistan, 2009.
