➤

Матричные методы и алгоритмы анализа статической устойчивости электрических систем

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. На сегодняшний день в мировой практике в сфере обеспечения устойчивой работы электроэнергетических систем (ЭЭС) ведущее место занимает создание высокоэффективных систем управления технологическими процессами выработки и потребления электроэнергии с привлечением интеллектуальных технологий. Одной из наиболее актуальных задач, стремительно развивающихся современных ЭЭС является обеспечение их статической устойчивости на основе обработки и анализа оперативных данных в режиме реального времени. В этом направлении в ведущих странах мира пристальное внимание уделяется совершенствованию систем управления для обеспечения устойчивости электроэнергетических систем с учетом колебаний режимных параметров. «Затраты на создание интеллектуальных электрических систем, в том числе Smart Grid составляют: США - 7,1 трлн., Китай - 7,3 трлн., Япония - 0,8 трлн, долларов. Использование системы Smart Grid к 2020 году позволит США сэкономить около 1.8 трлн, долларов1».
В Республике Узбекистан проводятся широкомасштабные мероприятия по эффективной организации производства электроэнергии и повышению устойчивости ЭЭС. В этой сфере, в том числе, по переоснащению высокоэффективным оборудованием, парагазовой и газотурбинной технологиями, обеспечивающими выработку электроэнергии, по разработке эффективных систем управления технологическими объектами и совершенствованию методов и алгоритмов исследования систем управления, проводится ряд исследовательских работ.
В мире пристальное внимание уделяется разработке более совершенных методов определения устойчивости электрических систем, матричных методов и алгоритмов, позволяющих управлять режимными свойствами электроэнергетических систем с учетом современных устройств управления. В этой области осуществление целенаправленных научных исследований является приоритетной проблемой, при этом весьма актуальны исследования в следующих направлениях: разработка матричных методов и алгоритмов определения устойчивости электрической системы с учетом автоматических регуляторов синхронных генераторов, разработка упрощенных критериев определения предельного режима по устойчивости сложных ЭЭС, разработка модели синтеза автоматических регуляторов возбуждения на базе технологии вложения систем. Проводимые научные исследования по вышеуказанным научно-исследовательским направлениям подтверждает актуальность темы данной диссертации.
Данное диссертационное исследование в определенной степени служит выполнению задач, предусмотренных в Постановлении Президента Республики Узбекистан №ПП-2343 от 5 мая 2015 года «О Программе мер по сокращению энергоемкости, внедрению энергосберегающих технологий в отраслях экономики и социальной сфере на 2015-2019 годы», в постановлении Кабинета Министров №238 от 13 августа 2015 года «Об утверждении положения о республиканской комиссии по вопросам энергоэффективности и развития возобновляемых источников энергии», а также в других нормативно-правовых документах, принятых в данной сфере.
Целью исследования является разработка матричных методов и алгоритмов анализа малых колебаний сложных электрических систем, разработка упрощенных методов определения пределов статической устойчивости и синтез моделей регуляторов на базе технологии вложения систем.
Научная новизна исследования заключается в следующем:
разработан упрощенный критерий статической устойчивости электрической системы на основе функций Ляпунова в квадратичной форме, состоящий в положительности первого, главного минора матрицы квадратичной формы (qn>0), обеспечивающего необходимые и достаточные условия устойчивости ЭЭС;
разработан метод совместного применения функций Ляпунова в квадратичной форме и уравнений узловых напряжений, позволяющий свести исследование статической устойчивости сложной электрической системы к простой схеме - «генератор-шины»;
разработана проматрица сложной электрической системы на основе технологии вложения систем, позволяющая исследовать динамические свойства ЭЭС;
разработан алгоритм перемещения полюсов, обеспечивающий устойчивость и демпфирование колебаний параметров режима при малых возмущениях в ЭЭС;
создан алгоритм синтеза математической модели регуляторов на основе технологии вложения систем, обеспечивающая устойчивость и демпфирование малых колебаний в ЭЭС.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенные теоретические и расчетно-экспериментальные исследования статической устойчивости сложных электрических систем на базе разработанных матричных методов и алгоритмов, с применением функций Ляпунова в квадратичной форме и технологии вложения систем, позволяют сделать следующие выводы.
1. Функции Ляпунова в квадратичной форме рекомендованы как эффективный метод для исследования линейных динамических систем, к которым относится электрическая система, описываемая линеаризованными дифференциальными уравнениями.
2. Доказана адекватность условий нарушения статической устойчивости электрической системы, полученных на основе положительности главных миноров матрицы квадратичной формы функции Ляпунова в квадратичной форме, тем же условиям, доставляемым критериями Гурвица.
3. Полученные теоретические и расчетные результаты позволяют исследовать устойчивость ЭЭС в «малом», путем анализа условия положительности первого, главного минора матрицы функции Ляпунова в квадратичной форме qnj>0 и рассматривать ее как практический (упрощенный) критерий статической устойчивости ЭЭС, обеспечивающий и необходимые и достаточные ее условия.
4. Совместное использование функций Ляпунова в квадратичной форме и узловых уравнений позволяет выявить генератор (станцию), работающий в сложной ЭЭС, приближающийся к пределу по статической устойчивости. Математическим условием данного утверждения является dq r r f/dl [ -> max, т.е., максимальность производной первого главного минора матрицы квадратичной формы по регулируемому параметру для j-ro генератора. В этом случае исследование предела статической устойчивости сложной ЭЭС превращается в исследование схемы «генератор-шины».
5. На основе технологии вложения систем разработаны проматрицы нерегулируемых и регулируемых сложных ЭЭС, полностью описывающих и определяющих всевозможные характеристики переходных процессов, позволяющих, в том числе исследовать динамические свойства электрических систем при малых колебаниях параметров их режима.
6. Предложена модель, в которой на базе технологии вложения систем синтезирован регулятор сложной электрической системы, аналитически описывающий класс регуляторов, обеспечивающих устойчивость и демпфирование колебаний в исследуемой ЭЭС.
7. Проведенные расчетно-экспериментальные исследования по анализу статической устойчивости сложных ЭЭС на базе технологии вложения систем показали качественное совпадение полученных результатов с результатами, проверенными на практике эксплуатации электрических систем на основе классических методов, что подтверждает адекватность разработанных моделей существующим.
8. Разработана математическая модель электрической системы, разрешенной относительно отклонений абсолютных углов синхронных генераторов, которая может быть использована самостоятельно для исследований малых колебаний сложных ЭЭС. Данную модель малых колебаний сложных электрических систем рекомендуется использовать совместно с уравнениями узловых напряжений, определяющими модули напряжений U, узлов, а также их аргументами, представляющими абсолютные углы 5; относительно балансирующего узла.

Тип источника: Авторефераты
Годы охвата с 1992
inLibrary
Google Scholar
Каталог авторефератов
Выпуск:
Отрасль знаний
CC BY f
1-83
61

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.
Поделиться
Скачать
Мирзабаев, А. (2023). Матричные методы и алгоритмы анализа статической устойчивости электрических систем. Каталог авторефератов, 1(1), 1–83. извлечено от https://www.inlibrary.uz/index.php/autoabstract/article/view/49016
1
Цитаты
Crossref
Сrossref
Scopus
Scopus
Google
Google

Ключевые слова:

Статическая устойчивость / электрическая система / уравнения узловых напряжений / малые колебания / функция ляпунова в квадратичной форме / теорема сильвестра

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. На сегодняшний день в мировой практике в сфере обеспечения устойчивой работы электроэнергетических систем (ЭЭС) ведущее место занимает создание высокоэффективных систем управления технологическими процессами выработки и потребления электроэнергии с привлечением интеллектуальных технологий. Одной из наиболее актуальных задач, стремительно развивающихся современных ЭЭС является обеспечение их статической устойчивости на основе обработки и анализа оперативных данных в режиме реального времени. В этом направлении в ведущих странах мира пристальное внимание уделяется совершенствованию систем управления для обеспечения устойчивости электроэнергетических систем с учетом колебаний режимных параметров. «Затраты на создание интеллектуальных электрических систем, в том числе Smart Grid составляют: США - 7,1 трлн., Китай - 7,3 трлн., Япония - 0,8 трлн, долларов. Использование системы Smart Grid к 2020 году позволит США сэкономить около 1.8 трлн, долларов1».
В Республике Узбекистан проводятся широкомасштабные мероприятия по эффективной организации производства электроэнергии и повышению устойчивости ЭЭС. В этой сфере, в том числе, по переоснащению высокоэффективным оборудованием, парагазовой и газотурбинной технологиями, обеспечивающими выработку электроэнергии, по разработке эффективных систем управления технологическими объектами и совершенствованию методов и алгоритмов исследования систем управления, проводится ряд исследовательских работ.
В мире пристальное внимание уделяется разработке более совершенных методов определения устойчивости электрических систем, матричных методов и алгоритмов, позволяющих управлять режимными свойствами электроэнергетических систем с учетом современных устройств управления. В этой области осуществление целенаправленных научных исследований является приоритетной проблемой, при этом весьма актуальны исследования в следующих направлениях: разработка матричных методов и алгоритмов определения устойчивости электрической системы с учетом автоматических регуляторов синхронных генераторов, разработка упрощенных критериев определения предельного режима по устойчивости сложных ЭЭС, разработка модели синтеза автоматических регуляторов возбуждения на базе технологии вложения систем. Проводимые научные исследования по вышеуказанным научно-исследовательским направлениям подтверждает актуальность темы данной диссертации.
Данное диссертационное исследование в определенной степени служит выполнению задач, предусмотренных в Постановлении Президента Республики Узбекистан №ПП-2343 от 5 мая 2015 года «О Программе мер по сокращению энергоемкости, внедрению энергосберегающих технологий в отраслях экономики и социальной сфере на 2015-2019 годы», в постановлении Кабинета Министров №238 от 13 августа 2015 года «Об утверждении положения о республиканской комиссии по вопросам энергоэффективности и развития возобновляемых источников энергии», а также в других нормативно-правовых документах, принятых в данной сфере.
Целью исследования является разработка матричных методов и алгоритмов анализа малых колебаний сложных электрических систем, разработка упрощенных методов определения пределов статической устойчивости и синтез моделей регуляторов на базе технологии вложения систем.
Научная новизна исследования заключается в следующем:
разработан упрощенный критерий статической устойчивости электрической системы на основе функций Ляпунова в квадратичной форме, состоящий в положительности первого, главного минора матрицы квадратичной формы (qn>0), обеспечивающего необходимые и достаточные условия устойчивости ЭЭС;
разработан метод совместного применения функций Ляпунова в квадратичной форме и уравнений узловых напряжений, позволяющий свести исследование статической устойчивости сложной электрической системы к простой схеме - «генератор-шины»;
разработана проматрица сложной электрической системы на основе технологии вложения систем, позволяющая исследовать динамические свойства ЭЭС;
разработан алгоритм перемещения полюсов, обеспечивающий устойчивость и демпфирование колебаний параметров режима при малых возмущениях в ЭЭС;
создан алгоритм синтеза математической модели регуляторов на основе технологии вложения систем, обеспечивающая устойчивость и демпфирование малых колебаний в ЭЭС.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенные теоретические и расчетно-экспериментальные исследования статической устойчивости сложных электрических систем на базе разработанных матричных методов и алгоритмов, с применением функций Ляпунова в квадратичной форме и технологии вложения систем, позволяют сделать следующие выводы.
1. Функции Ляпунова в квадратичной форме рекомендованы как эффективный метод для исследования линейных динамических систем, к которым относится электрическая система, описываемая линеаризованными дифференциальными уравнениями.
2. Доказана адекватность условий нарушения статической устойчивости электрической системы, полученных на основе положительности главных миноров матрицы квадратичной формы функции Ляпунова в квадратичной форме, тем же условиям, доставляемым критериями Гурвица.
3. Полученные теоретические и расчетные результаты позволяют исследовать устойчивость ЭЭС в «малом», путем анализа условия положительности первого, главного минора матрицы функции Ляпунова в квадратичной форме qnj>0 и рассматривать ее как практический (упрощенный) критерий статической устойчивости ЭЭС, обеспечивающий и необходимые и достаточные ее условия.
4. Совместное использование функций Ляпунова в квадратичной форме и узловых уравнений позволяет выявить генератор (станцию), работающий в сложной ЭЭС, приближающийся к пределу по статической устойчивости. Математическим условием данного утверждения является dq r r f/dl [ -> max, т.е., максимальность производной первого главного минора матрицы квадратичной формы по регулируемому параметру для j-ro генератора. В этом случае исследование предела статической устойчивости сложной ЭЭС превращается в исследование схемы «генератор-шины».
5. На основе технологии вложения систем разработаны проматрицы нерегулируемых и регулируемых сложных ЭЭС, полностью описывающих и определяющих всевозможные характеристики переходных процессов, позволяющих, в том числе исследовать динамические свойства электрических систем при малых колебаниях параметров их режима.
6. Предложена модель, в которой на базе технологии вложения систем синтезирован регулятор сложной электрической системы, аналитически описывающий класс регуляторов, обеспечивающих устойчивость и демпфирование колебаний в исследуемой ЭЭС.
7. Проведенные расчетно-экспериментальные исследования по анализу статической устойчивости сложных ЭЭС на базе технологии вложения систем показали качественное совпадение полученных результатов с результатами, проверенными на практике эксплуатации электрических систем на основе классических методов, что подтверждает адекватность разработанных моделей существующим.
8. Разработана математическая модель электрической системы, разрешенной относительно отклонений абсолютных углов синхронных генераторов, которая может быть использована самостоятельно для исследований малых колебаний сложных ЭЭС. Данную модель малых колебаний сложных электрических систем рекомендуется использовать совместно с уравнениями узловых напряжений, определяющими модули напряжений U, узлов, а также их аргументами, представляющими абсолютные углы 5; относительно балансирующего узла.


background image

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ ва

«ИЛМИЙ-ТЕХНИКА МАРКАЗИ» МАСЪУЛИЯТИ ЧЕКЛАНГАН

ЖАМИЯТ ҲУЗУРИДАГИ ФАН ДОКТОРИ ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ

БЕРУВЧИ 14.07.2016.Т.02.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ

МИРЗАБАЕВ АКРАМ МАХКАМОВИЧ

ЭЛЕКТР ТИЗИМЛАРИНИНГ СТАТИК ТУРҒУНЛИГИНИ ТАҲЛИЛ

ҚИЛИШНИНГ МАТРИЦА УСУЛЛАРИ ВА АЛГОРИТМЛАРИ

05.05.02 – «Электротехника. Электр энергия станциялари, тизимлари.

Электротехник мажмуалар ва қурилмалар

»

(техника фанлари)

.

ДОКТОРЛИК ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

Тошкент – 2016

1


background image

УДК 681.62-50.519

Докторлик диссертацияси автореферати мундарижаси

Оглавление автореферата докторской диссертации

Content of the abstract of doctoral dissertation

Мирзабаев Акрам Махкамович
Электр тизимларининг статик турғунлигини таҳлил қилишнинг матрица
усуллари ва алгоритмлари……………………… ………………… …….……3

Мирзабаев Акрам Махкамович
Матричные методы и алгоритмы анализа статической устойчивости электри
ческих систем.. …………………………………………….…………………29

Mirzabaev Akram Makhkamovich
Matrix methods and algorithms for steady–statestability analysis of electric power
systems………………………………………………………………………… 55

Эълон қилинган ишлар рўйхати
Список опубликованных работ

List of published works ………………………………………………………...81

2


background image

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ ва

«ИЛМИЙ-ТЕХНИКА МАРКАЗИ» МАСЪУЛИЯТИ ЧЕКЛАНГАН

ЖАМИЯТ ҲУЗУРИДАГИ ФАН ДОКТОРИ ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ

БЕРУВЧИ 14.07.2016.Т.02.01 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ

МИРЗАБАЕВ АКРАМ МАХКАМОВИЧ

ЭЛЕКТР ТИЗИМЛАРИНИНГ СТАТИК ТУРҒУНЛИГИНИ ТАҲЛИЛ

ҚИЛИШНИНГ МАТРИЦА УСУЛЛАРИ ВА АЛГОРИТМЛАРИ

05.05.02 – «Электротехника. Электр энергия станциялари, тизимлари.

Электротехник мажмуалар ва қурилмалар

»

(техника фанлари)

.

ДОКТОРЛИК ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

Тошкент – 2016

3

Докторлик диссертацияси мавзуси Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамаси


background image

ҳузуридаги Олий аттестация комиссиясида №30.06.2015/В2015.2.Т540 рақам билан рўйхатга
олинган.

Докторлик диссертацияси Тошкент давлат техника университетида бажарилган.

Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек, рус, инглиз) Илмий кенгаш веб-саҳифаси
(www.tdtu.uz) ва «ZIYONET» таълим ахборот тармоғида (www.ziyonet.uz) жойлаштирилган.

Илмий маслаҳатчи: Аллаев Кахрамон Рахимович

техника фанлари доктори, профессор

Расмий оппонентлар: Чемборисова Наиля Шавкатовна

техника фанлари доктори, профессор

(Россия Федерацияси)

Игамбердиев Хусан Закирович

техника фанлари доктори, профессор

Соколов Валерий Константинович

техника фанлари доктори, профессор

Етакчи ташкилот: «Энергия» координацион диспетчерлик маркази

Диссертация ҳимояси Тошкент давлат техника университети ва «Илмий-техника маркази»

масъулияти чекланган жамият ҳузуридаги 14.07.2016.Т.02.01 рақамли Илмий кенгашнинг 2016
йил “__” ___ соат __ даги мажлисида бўлиб ўтади. (Манзил: 100095, Тошкент, Университет кўч., 2.
Тел.: (99871) 246-46-00; факс: (99871) 227-10-32; e-mail: tstu_info@edu.uz).

Докторлик диссертацияси билан Тошкент давлат техника университетининг Ахборот-ресурс

марказида танишиш мумкин (__ рақами билан рўйхатга олинган). (Манзил: 100095, Тошкент,
Университет кўч., 2. Тел.: (99871) 246-03-41).

Диссертация автореферати 2016 йил “__”____ куни тарқатилди.

(2016 йил “__”____даги __ рақамли реестр баѐнномаси)

Х.М.Муратов

Фан доктори илмий даражасини берувчи

илмий кенгаш раиси

т.ф.д., профессор

О.О.Зарипов

Фан доктори илмий даражасини берувчи

илмий кенгаш илмий котиби, т.ф.д., доцент

Т.Ш. Гайибов

Фан доктори илмий даражасини берувчи

илмий кенгаш қошидаги илмий семинар

раис ўринбосари,т.ф.д., профессор

4


background image

КИРИШ (докторлик диссертацияси аннотацияси)

Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати

. Ҳозирги кунда

дунѐ амалиѐтида электр энергетика тизимлари турғун ишлашини таъминлаш
соҳасида электр энергияси ишлаб чиқариш ва истеъмол қилиш жараѐнини
интеллектуал технологиялар ютуқларига асосланган юқори самарадорликка
эга бошқариш тизимларини яратиш жараѐни етакчи ўринни эгаллайди. Жа
дал ривожланаѐтган замонавий электр энергетика тизимлари статик
турғунлигини реал вақт жараѐнида тезкор маълумотларни қайта ишлаш ва
таҳлил қилишга асосланган ҳолда таъминлаш долзарб муаммолардан бири
ҳисобланади. Бу борада ривожланган чет эл мамлакатларида режим пара
метрлари тебранишини ҳисобга олиб электр энергетика тизимлари
турғунлигини таъминлаш учун бошқариш тизимларини такомиллаштиришга
алоҳида эътибор қаратилмоқда. «Интеллектуал электр тизимларини яратиш,
жумладан, Smart Grid тизимини яратиш учун АҚШ – 7,1 трлн., Хитой – 7,3
трлн., Япония – 0,8 трлн. доллар сарфламоқда. Smart Grid тизимларидан
фойдаланиш энергия истеъмолини камайтириш ва ишончлиликни ошириш
ҳисобига АҚШга 2020 йилгача 1.8 трлн. доллар иқтисод қилиш имконини
беради

1

»

.

Ўзбекистон Республикасида электр энергияни ишлаб чиқариш ва

электр энергетика тизимлари турғунлигини таъминлашни самарали ташкил
қилиш юзасидан кенг қамровли чора тадбирлар амалга оширилмоқда. Бу
борада, жумладан, электр энергиясини ишлаб чиқариш имкониятини берувчи
парагаз ва газ турбина технологиясига асосланган юқори самарали ускуналар
билан тўлиқ қайта жихозлаш, технологик объектларнинг юқори самарали
бошқариш тизимларини яратиш ва бошқарув тизимларининг тадқиқ этиш
усуллари ва алгоритмларини такомиллаштиришга бағишланган қатор илмий
тадқиқот ишлари олиб борилмоқда.

Жаҳонда электр тизимлар турғунлигини аниқлашнинг янада такомил

лашган усуллари, замонавий бошқарув мосламаларига эга мураккаб электр
энергетика тизим режимларининг ҳусусиятларини назоратлаш имкониятини
берувчи матрица усуллари ва алгоритмларини ишлаб чиқиш муҳим аҳамият
касб этмоқда. Бу борада мақсадли илмий-тадқиқотларни, жумладан,
қуйидаги йўналишлардаги илмий изланишларни амалга ошириш муҳим
вазифалардан бири ҳисобланади: синхрон генераторлар автоматик ростлагич
ларини ҳисобга олган ҳолда электр тизимларининг турғунлигини назорат
қилиш матрицали усуллари ва алгоритмларини яратиш, мураккаб электр
тизимлари турғунлиги чегарасини назорат қилишнинг соддалаштирилган
мезонларини ишлаб чиқиш, тизимларни киритиш технологияси асосида
қўзғалишнинг автоматик ростлагичларини синтезлаш моделини яратиш.
Юқорида келтирилган илмий-тадқиқотлар йўналишида бажарилаѐтган илмий
изланишлар мазкур диссертация мавзуси долзарблигини изоҳлайди.

1

Интеллектуальные электроэнергетические системы: концепция, состояние, перспективы. Автоматизация

и IT в энергетике, март 2011 № 3 (20) www.transform.ru: 31.05.2011 г.


background image

5

Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2015 йил 5 майдаги

ПҚ-2343-сон «2015-2019 йилларда иқтисодиѐт тармоқлари ва ижтимоий
соҳада энергия сарфи ҳажмини қисқартириш, энергияни тежайдиган
технологияларни жорий этиш чора тадбирлари дастури тўғрисида» Қарори,
Вазирлар Маҳкамасининг 2015 йил 13 августдаги 238-сон

«

Энергия

самарадорлиги ва энергиянинг тикланадиган манба ларини ривожлантириш
масалалари бўйича республика комиссияси тўғрисидаги низомни тасдиқлаш
ҳақида» қарори ҳамда мазкур фаолиятга тегишли барча меъѐ рий-ҳуқуқий
хужжатларда белгиланган вазифаларни амалга оширишга ушбу диссертация
тадқиқоти муайян даражада хизмат қилади.

Тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланиши

нинг устувор йўналишларига боғлиқлиги

. Мазкур тадқиқот республика

фан ва технологиялар ривожланишининг II. «Энергетика, энергия ва ресурс
тежамкорлик» устувор йўналиши доирасида бажарилган.

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи

1

Мураккаб электр энергетика тизимлар турғунлигини таъминловчи назорат
тизимини яратишга йўналтирилган илмий изланишлар жаҳоннинг етакчи
илмий марказлари ва олий таълим муассасалари, жумладан, Princeton
University, Iowa State University, Rutgers University, Massachusetts Institute of
Technology, University of Baltimore (АҚШ), University Of Cambridje (Англия),
Royal Institute Of Technology (Швеция), Dresden University of technology
(Германия), The China Electriс Power Research Institutе (Хитой), Siemens
(Германия), АВВ (Швеция), Москва энергетика институти, Харбий хаво
мухандислари академияси, (Россия), Тошкент давлат техника университети,
«Илмий-техника Маркази» МЧЖда (Ўзбекистон) кенг қамровли илмий
тадқиқот ишлари олиб борилмоқда. Электр тизимлари ва матрицалар
назарияси асосида мураккаб электр энергетика тизимларининг бошқарув
жараѐни моделлари ва алгоритмларини такомиллаштиришга оид жаҳонда
олиб борилган тадқиқотлар натижасида қатор, жумладан, қуйидаги илмий
натижалар олинган: электр тизимлари оптимал режимларини ва
турғунлигини тадқиқ қилишга мўлжалланган EUROSTAG дастурлар
мажмуалари яратилган, (Electricite de France, Франция); кичик тебранишлар
ўткинчи жараѐнларини бошқариш тизими яратилган (SMAS3, Испания),
динамик тизимлар турғунлиги ва қувватлар балансини бошқариш SIMPOW
тизими ишлаб чиқилган (ABB, Швеция), мураккаб электр тизимлари
режимларининг ҳисоблаш дастурлари яратилган (MASS, Канада), электр
энергетик тизимларида диспетчерлик бошқарув тизимларни IT-технологиялар
асосида автоматлаштириш мажмуалари яратилган (Siemens, Германия, Москва
энергетика институти, Россия, DYNSPACK, Австралия).

Дунѐда замонавий компьютер технология ютуқлари асосида электр

энергетика тизимлар турғунлигини интеллектуал бошқариш усулларини

ишлаб чиқиш бўйича қатор, жумладан, қуйидаги устувор йўналишларда

тадқиқотлар олиб борилмоқда: мураккаб чизиқли динамик тизимлар

турғунлиги масалаларини


background image

1

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи:

http://www.dissercat.com

,

http://www.topuniversities.com

,

http://www.topuniversities.com

, http://www.ifti.ru. Вложение систем. Аналити

ческий подход к анализу и синтезу матричных систем// Калуга, 2006. –720с. ва бошқа манбалар асосида иш
лаб чиқилган.

6

ечиш учун тадқиқ қилишда янги матрица конструкциялари ва автоматик
бошқарув тизимлари назариясига асосланган квадратик формадаги Ляпунов
функциялари ва тизимларни киритиш технологияси усулларини ишлаб
чиқиш; электр энергетика тизимлари турғунлигини назорат қилишнинг юқори
самарали алгоритмларини яратиш; генераторлар мутлоқ бурчаги негизида
ўтиш жараѐнларнинг математик моделини яратиш.

Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.

Электр энергетика тизимлари

турғунлигини тахлил қилишнинг назарий ва амалий масалаларининг ечиш,
жумладан тизимлар параметрларининг кичик тебранишлари жараѐнида
турғун ликни ҳисоблаш алгоритмлари ва дастурларини яратиш масалалари
билан машхур олимлар: П.С. Жданов, А.А. Горев, А.С. Лебедев, В.А.
Веников, Ю.Н. Руденко, Н.И. Соколов, В.А. Строев, И.В. Литкенс, В.П.
Васин, С.А. Совалов, Е.Д. Карасѐв, О.В. Щербачѐв, Ю.П. Горюнов, Э.С.
Лукашов, В.В. Бушуев, Л.А. Кощеев, И.А. Груздев, А.Х. Есипович, А.А.
Юрганов, Б.И. Аюев, Р. Anderson, А. Fouad, Р. Kundur, R .Byerly, R. Bennon,
D. Sherman, D. Wong, G. Rogers, В. Porretta, Х.Ф. Фазилов, Т.Х. Насиров,
Ж.А. Абдуллаев, В.К. Соколов, К.Р. Аллаев ва бошқалар шуғулланганлар.

Замонавий матрицалар назарияси ва уларни тизимларни бошқаришда

тадбиқ этиш билан боғлиқ тадқиқотлар бир қатор олимлар томонидан олиб
борилган, жумладан, Ф.Р. Гантмахер, Р.Е. Калман, А.А. Красовский,
А.А.Воронов, Х. Розенброк, Ю.Н. Андреев, М. Уонем, П.Л. Фалба, Х.Д.
Икрамов, В.Н. Рябченко, Е.М. Смагина, Н.Р. Юсупбеков, Х.З. Игамбердиев ва
мухим натижаларга эришилган, яратилган алгоритм ва дастурлар мажмуаси
мураккаб динамик тизимларни лойихалаш ва бошқаришда қўлланилмоқда.

Мураккаб электр энергетика тизимлари турғунлигини таъминлаш ва

режимларини бошқариш масалаларини ечиш билан боғлиқ тадқиқотлар бир

қатор олимлар томонидан олиб борилган, жумладан В.Н. Буков, В.А.

Андреюк, Н.И. Во ропай, М.Ш. Мисриханов ва бошқалар таҳлили шуни

кўрсатадики, ҳозирги кунда мураккаб электр энергетика тизимлари

турғунлигини таҳлил қилишда матрица усуллари ва алгоритмлари тадбиқ

қилинган ва маълум даражада ижобий на тижаларга эришилган. Шу билан

бирга, илмий нашрларда электр энергетика ти зимлари бошқаришнинг

мукаммал алгоритмларини яратиш ва маълум ѐндашув ларни

тизимлаштириш, ҳамда ростлагич мосламаларини ҳисобга олган ҳолда бош

қарув жараѐнларининг усуллари, моделлари ва алгоритмларни яратиш ва

янада такомиллаштиришга бағишланган илмий изланишлар етарли даражада

кўрилмаган.

Диссертация мавзусининг диссертация бажарилган олий таълим

муассасасининг илмий-тадқиқот ишлари билан боғлиқлиги.

Диссертация

тадқиқоти Тошкент давлат техника университетининг илмий-тадқиқот


background image

ишлари режасининг № 2016001- “Энергетика системаларининг оптимал
ҳолатлари ва ўтиш жараѐнларини хисоблаш, тахлил қилиш ва уларни
автоматик бошқаришнинг

замонавий усулларини ишлаб чиқиш”

(2015-2017йй.); А-3-96-“Ўзбекистон Респуб ликаси энерготизими электр
истеъмолчилари юкламаларини оптимал бошқариш”

(2015-2017йй.);

Ф-2-33-“Насос станцияларининг энергетик самарадорлигини ва ишлаш
холатларининг математик моделлаштириш қонуниятларини аниқлаш”
(2012-2016йй.) мавзуларидаги лойиҳалари доирасида бажарилган.

7

Тадқиқотнинг мақсади

мураккаб электр тизимларида кичик тебра

нишлар таҳлилининг матрицали усуллари ва алгоритмларини, статик
турғунлик чегарасини аниқлашнинг соддалаштирилган усулларини ишлаб
чиқиш ҳамда тизимларни киритиш технологияси негизида автоматик ростла
гич моделларини синтезлашдан иборат.

Тадқиқотларнинг вазифалари:

бошқариладиган электр энергетика тизимлари статик турғунлигини

тадқиқ қилиш бўйича мавжуд усуллар ва алгоритмларнинг замонавий ҳола
тини тизимли таҳлил қилиш;

замонавий матрица назарияси ва Ляпунов функциялари асосида мурак

каб электр энергетика тизимлари кичик тебранишлари тадқиқотларининг
соддалаштирилган усуллари ва алгоритмларини ишлаб чиқиш;

тизимларни киритиш технологияси асосида ростланадиган электр

тизимлари кичик тебранишлари тадқиқотлари усулларини ишлаб чиқиш;
мураккаб электр энергетика тизимлари режими параметрларининг кичик
қўзғалишларида тебранишларнинг демпферланиши ва турғунлигини
таъминловчи электр тизимлар ростлагичларини синтезлаш моделини яратиш;
ишлаб чиқилган матрица усуллари ва алгоритмлари асосида ростла надиган
мураккаб электр тизимлар статик турғунлигининг ҳисоб-экспери ментал
тадқиқот-ларини ва тизимли таҳлилини бажариш

.

Тадқиқотнинг объекти

сифатида электр энергетика тизими режим

параметрларининг кичик тебранишлари шароитида бошқарув тизимлари
қаралган.

Тадқиқотинг предмети

ростланадиган электр тизимларининг кичик

тебранишлари таҳлилининг матрица усуллари, алгоритмлари ва математик
моделлари, тизимларни киритиш технологияси асосида қўзғалишни
автоматик ростлагичлар моделларини синтезлаш усулари.

Тадқиқотнинг усуллари.

Тадқиқот жараѐнида электр тизимлари,

синтез ва матрицалар назариялари, автоматик бошқарув ва тизимларни
киритиш технологияси усуллари, динамик тизимлар кичик тебраниши ва
чизиқли алгебра усуллари қўлланилган.

Тадқиқотнинг илмий янгилиги

қуйидагилардан иборат:

квадратик шаклда Ляпунов функциялари асосида электр энергетика

тизимлари турғунлигининг зарурий ва етарли шартларини таъминлайдиган,
квадратик шаклдаги матрицанинг биринчи асосий минорининг (q

11

>0),

мусбатлигидан иборат бўлган, электр тизими статик турғунлигининг содда


background image

лаштирилган мезони ишлаб чиқилган;

мураккаб электр тизими статик турғунлиги тадқиқотларини оддий

«генератор-шина» схемасига келтириш имконини берадиган квадратик шакл
да Ляпунов функцияларини ва тугун кучланишлар тенгламаларини
биргаликда қўллаш усули ишлаб чиқилган;

электр энергетика тизимлари динамик хусусиятларини тадқиқ қилиш

имконини берувчи тизимларни киритиш технологияси асосида мураккаб
электр тизимининг муаммоли матрицаси ишлаб чиқилган;

8

электр энергетика тизимлари режим параметрларининг кичик қўзға

лишларда тебранишларни демпферловчи ва турғунлигини таъминловчи
қутбларни ўзгартириш алгоритми ишлаб чиқилган;

тизимларни киритиш технологияси асосида электр энергетика тизим

ларида кичик тебранишларнинг демпферланиши ва турғунлигини таъ
минловчи ростлагичлар математик модели ва синтезлаш алгоритми ишлаб
чиқилган.

Тадқиқотнинг амалий натижаси

қуйидагилардан иборат: квадратик

шаклдаги Ляпунов функциялари асосида олинган режим параметрлари кичик
қўзғалишларида электр тизими статик турғунлиги шарт ларининг Гурвиц
мезонлари шартларига мослиги исботланган; квадратик шаклдаги Ляпунов
функцияси биринчи асосий минори асосида электр энергетика тизимлари
статик турғунлигининг аниқлаш жараенини тез латиш ва диспетчерлик
бошкарувини осонлаштириш имконини берувчи соддалаштирилган мезони
ишлаб чиқилган;

генераторлар мутлоқ бурчагига асосланган мураккаб электр тизимидаги

кичик тебранишларда ўтиш жараѐнларининг математик модели ишлаб
чиқилган; тизимларни киритиш технологияси асосида электр энергетика
тизимлари динамик хусусиятларини тадқиқ қилиш имконини берувчи,
мураккаб электр энергетика тизимининг математик модели ва муаммоли
матрицаси ишлаб чиқилган;

тизимларни киритиш технологияси асосида электр энергетика

тизимлари кичик тебранишларнинг демпферланиши ва турғунлигини
таъминловчи қутбларни ўзгартириш ва ростлагичлар синтезлаш алгоритми ва
дастури ишлаб чиқилган.

Тадқиқот натижаларининг ишончлилиги.

Тадқиқот натижаларининг

ишончлилиги электр тизимлари назариясининг амалиѐтида текширилган
усуллари ва автоматик бошқарув тизимларини моделлаштириш усуллари
қўлланилишидан келиб чиқади. Мураккаб электр энергетика тизимлари
кичик тебранишларининг ишлаб чиқилган матрица усуллари асосида
ўтказилган ҳисоблаш-экспериментал тадқиқотлари натижалари классик
усуллар тадқиқотлар натижаларига мослиги билан изоҳланади.

Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.

Ляпунов

матрица тенгламаси негизида статик турғунликнинг зарурий ва етарли
шартларини таъминловчи, статик турғунликнинг бузилиш шартларини


background image

соддалаштириб аниқлаш, шунингдек тизим генераторлари мутлоқ бурчаклари
асосида мураккаб ростланадиган электр энергетика тизимларининг кичик
тебранишлари тадқиқотларининг математик модели ишлаб чиқилганлигидан
иборатдир. Тизимларни киритиш технологияси асосида таҳлилий жиҳатдан
конструкцияланган мураккаб электр энергетика тизимлари
ростлагич-ларининг туркуми билан изоҳланади. Мураккаб электр
тизимлардаги кичик тебранишлар таҳлили бўйича ишлаб чиқилган ва
соддалаштирилган усулларнинг амалий аҳамияти улардан электр
тизимларини лойиҳалаштиришда ҳамда электр энергетика тизимлари
диспетчерлик бошқарувида фойдаланилишидан иборатдир.

9

Тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши.

Электр тизимларнинг

статик турғунлигини таҳлил қилиниш матрица усуллари ва алгоритмларини
ишлаб чиқиш бўйича олинган натижалар асосида:

Ляпунов функциялари, матрица усуллари ва алгоритмлари асосида

яратилган статик турғунлик назорати усуллари ва алгоритмлари
“Узбекэнерго” акциядорлик жамияти “КУЧГЭС” унитар корхонасида жорий
қилинган (“Ўзбекэнерго” АЖнинг 2016 йил 15 июлдаги DU-OP-21/2628–сон
маълумотномаси). Илмий тадқиқотлар натижалари статик турғунлик захираси
кўрсаткичини 1% камайтириш ва ишлаб чиқариш самарадорлигини
оширишга
хизмат қилади;

киритиш технологияси асосида синтез қилинган ростлагичлар ва кутбларни
ўзгартириш алгоритми “Узэлтехсаноат” акциядорлик компанияси, «Chirchiq

trans formator zavodi» акциядорлик жамияти тизимига жорий қилинган (“Узэл

техсаноат” АКнинг 2016 йил 14 октябрдаги 04-149-сон маълумотномаси).

Натижада кичик тебранишларни демферланишини ҳисобга олган ҳолда

лойиҳалаштирилган хар бир ТДТН-25000/110/35 трансформатори чулғамига

сарфланадиган хом-ашени ва материалларни 5% иқтисод қилишга эришилади;

генераторлар мутлоқ бурчагига асосланган мураккаб электр тизимидаги

кичик тебранишларда ўтиш жараѐнларининг математик модели ва муаммоли
матрицаси яратишга доир янги илмий техник ечимлар ОТ-Ф5-036
«Энергетикада электромеханик ва гидромеханик ўткинчи жараѐнларининг
ўзаро боғликлик
ларини формаллаштириш» (2007-2011йй.) лойиҳасида электромеханик

ўткинчи

жараѐнларни формаллаштиришда фойдаланилган (Фан ва

технологияларни ривожлантиришни мувофиқлаштириш қўмитасининг 2016
йил 26 октябрдаги

ФТК-0313/722-сон маълумотномаси). Илмий

натижаларнинг қўлланилиши электромеханик ва гидромеханик ўткинчи
жараѐнларининг ўзаро боғлиқлик ларини формаллаштириш жараѐнини
енгиллаштирган ва илмий тадқиқотлар

самарадорлигини оширишни

таъминлашга хизмат қилади.

Тадқиқот натижаларининг апробацияси.

Тадқиқот натижалари 12

илмий - техник, шу жумладан 5 халқаро анжуманларда муҳокама қилинган;
«Электроэнергетика-2010»

ва

«Электроэнергетика-2012»

Халқаро


background image

илмий-техник

анжуманларида, Варна, Болгария, (2010 ва 2012 йй.);

Осиѐ-Тинч океани минтақасининг энергетика бўйича халқаро анжуманида
(Пекин, Хитой 2013 ва 2015йй.), Фан, технология ва бошқарув соҳасидаги
10-чи халқаро анжуманида (Куала Лумпур, Малайзия, 2015й.); Ўзбекистон
энерготизими диспетчерлик бошқар-маси илмий семинарида (2016й.) ва
ТошДТУ: «Электр станциялари, тармоқлар ва тизимлари”, “Гидравлика и
гидроэнергетика”, «Электр таъминоти», «Электротехника, электромеханика,
электротехнология» кафедраларининг

бирлашган семинарида (2016й.)

маъруза сифатида ўқиб эшиттирилган.

Тадқиқот натижаларининг эълон қилиниши

. Диссертация мавзуси

бўйича 25 илмий ишлар, шу жумладан 8 таси хорижий нашрларда чоп
этилган.

Ўзбекистон Республикаси Олий аттестация комиссиясининг

докторлик диссертациялари асосий илмий натижаларини чоп этиш тавсия
этилган илмий нашрларда 15 та илмий иш, жумладан, 2та монография, 2 та
мақола хорижий ва

10

13 та мақола республика журналларида нашр қилинган, ҳамда 4 та ЭҲМ учун

яратилган дастурий воситаларни қайд қилиш гувоҳномаси олинган.

Диссертациянинг ҳажми ва тузилиши.

Диссертация таркиби кириш, бешта

боб, хулоса, фойдаланилган адабиѐтлар рўйхати ва иловалардан иборат.
Диссертациянинг ҳажми 188 бетни ташкил этган.

ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ

Кириш қисмида

диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати

асослаб берилган, тадқиқот объекти ва предмети кўрсатилган, тадқиқотнинг
Ўзбекистон Республикаси фан ва технологияларни ривожлантиришнинг
устувор йўналишларига мослиги белгиланган, олинган натижаларнинг
ҳаққонийлиги асосланган, натижаларнинг назарий ва амалий аҳамияти
очилган, ишнинг амалиѐтга жорий қилиш ҳақидаги, чоп этилган ишлар ва
диссертация тузилиши бўйича маълумотлар берилган.

Диссертациянинг «

Электр тизимлари кичик тебранишлар муаммоси

тадқиқотининг замонавий ҳолати

» деб номланган

биринчи бобида

матрица усуллари, мураккаб электр энергетик тизимлар (ЭЭТ) кичик
тебранишлари муаммоларининг замонавий ҳолати бўйича чоп этилган
асарларнинг танқидий таҳлили ўтказилган. Ляпунов ва Риккати матрица
тенгламаларининг қўлланилиши самарали алгоритмлар ва уларнинг ечиш
бўйича рақамли ва таҳлилий усуллар ва дастурлар ишлаб чиқилиши
муносабати билан кенгайган.

Маълумки,

ўзгармас

коэффициентли

чизиқли

дифференциал

тенгламалар учун квадратик шаклдаги Ляпунов функцияси тадқиқот
қилинаѐтган тизимнинг кичик қўзғалишларда турғунлигининг зарур ва
етарли шартларини таъминловчи ягона функция ҳисобланади.

Матрица тенгламаларини, жу жумладан кенг амалий қўлланилаѐтган


background image

таҳлилий тенгламаларни ечиш бўйича янги ва ўта самарали усулларга олиб
келган тадқиқотларни қайд этиб ўтиш муҳим саналади. Сўнгги 20-25
йилларда Россия олими В.Н. Буков ва унинг илмий мактаби томонидан,
нафақат минимал-фазавий, балки номинимал-фазавий тизимларни ҳам ўз
ичига олиб, ечиладиган масалалар доирасини кенгайтириш имкониятини
берадиган янги матрицавий конструкциялар таклиф этилди. Нолни
бўлувчилар, канонизаторлар типидаги матрицавий конструкциялар
анъанавийларининг олдида миқдорий ва алгоритмик афзалликларга эга
бўлиб, чизиқли динамик тизимлари таҳлили ва синтезининг янги
имкониятларини очиб беради.

Замонавий тизимларни киритиш технологияси замонавий усул

ларининг моҳияти – мураккаб ташкил этилган матрица тизимини анча оддий
тизимлар жамлиги билан тасвирлаш ѐки талқин қилиш шартларнинг расман
қатъий таърифидан иборатдир.

Электр тизимлари тадқиқотларида тизимларни киритиш технологияси

қўлланилаѐтганлигига ҳал кўп вақт ўтгани йўқ. Кўриб чиқилаѐтган йўналиш
икки қисмдан иборат. Биринчидан, тизимлар назариясининг ечилаѐтган
масаласини муаммоли матрица деб аталадиган ва чизиқли динамик тизим
хусусиятлари ҳақидаги барча маълумотларга эга бўлган махсус конструкция-

11

ланадиган матрица кўринишида тизимнинг тасвирлаш. Иккинчидан, бу хо
ҳиш бўйича танлаб олинган, тадқиқот қилинаѐтган тизим ва образ деб ном
ланувчи исталган хусусиятли тизим узатма функцияларининг (оператор
ларини) ўхшашлиги учун зарур ва етарли шарт ҳисобланган детерминант
нисбатлардир.

Электр тизимлари тенгламаларининг матрица коэффициентлари

ўзгаришлари шартларида ечиш усуллари ишлаб чиқилди ва уларнинг
алгоритми тузилди.

Кўп машинали электр тизимларининг статик турғунлиги ва чизиқли

динамик тизимлар кичик тебранишларининг тадқиқотлари усулларини
таққослама баҳолаш мураккаб динамик тизимларнинг ўткинчи режимларини
ўрганиш учун матрица усулларининг ортиб бораѐтган аҳамиятини кўрсатади.
Бунда Ляпунов теоремалари электроэнергетика тизимлари статик турғун
лигини тадқиқот қилиш учун назарий асос ҳисобланади.

Диссертациянинг

«Замонавий матрица назарияси ва бошқаришнинг

автоматик тизимларинг танланган қоидалари»

деб номланган

иккинчи

бобида

матрицалар ва автоматик бошқарув тизимларининг янги, замонавий

назарияси бўйича танланма низомлар келтирилган.

Матрица тенгламаларини ечиш учун қўлланиладиган усуллар, ўнг

қисмни ҳисобга олган ҳолда, матрицанинг қаторлари ѐки устунлари билан
элементар амаллар бажаришга олиб келади. Бундай ўзгаришлар бошланғич
матрицани махсус турдаги матрицага кўпайтиришга эквивалент ҳисобланади.
Буларга матрицаларни нолга бўлувчи (ўнг ва чап), канонизаторлар (ўнг, чап
ва йиғма), математик объектнинг ички хусусиятлари чуқур таҳлилини
ўтказиш имконини берувчи, улар моделларининг алгебравий хусусиятларини


background image

белгилаб берувчи, тадқиқот қилинаетган тизимларнинг матрицавий тасав
вурининг нокоммутативлиги киради.

Машҳур Россия олими В.Н. Буков ва унинг ходимлари томонидан

матрицалар нолини бўлувчиларининг мазмуни очиб берилган, канонизация
усули асосида матрицавий тенгламаларни ечиш усули ишлаб чиқилди.

Аmxn – (mxn) ўлчам матрица ва

rankA = r

рангга эга бўлсин. Ушбу

матрица учун қуйидаги тушунчалар киритилади: (m-r) ўлчами

A

L

нол матрица

сининг чап бўлувчиси; (nxr) ўлчамли ва (n-r) рангдаги

A

R

нол матрицанинг ўнг

бўлувчиси; (rxm) ўлчамли

A

L

чап канонизатор-матрица; ўнг канонизатор-

A

R

(nxr) ўлчамли матрица ва (nxm) ўлчамли йиғма канонизатор-

А

матрица.

��

��

ва

��

��

матрицалар нолининг бўлувчилари ихтиѐрий матрица

қаторлар ва устунларининг чизиқли боғлиқ комбинацияларини

шакллантиради.

��

��

ва

��

��

матрицалар А матрица барча чизиқли

мустақил комбинацияларни, қаторлари ва устунларини тавсифлайди.
Қуйидаги тенгликлар ҳаққонийдир:

��

��

����

��

=

��

��

,

��

��

����

��

= 0

,

��

��

����

��

= 0

,

��

��

����

��

= 0

,

��

������

=

��

������

��

��

������

��

.

Шундай қилиб, ҳар қандай А матрицани максимал ранги нолнинг чап

��

��

ва ўнг

��

��

бўлувчиларини ҳамда А матрицанинг ички тузилишини

12

тавсифловчиA~йиғма канонизаторини ўз ичига олувчи ноягона матрицалар

учлиги таққослаш мумкин, яъни

��

→

��

��

,

��

,

��

��

,

(1) Матрицанинг (1) кўриниши матрица

канонизацияси деб аталади. Кичик қўзғалишларда динамик тизим таҳлили ва

синтези вазифаларини тадқиқот қилиш, унинг ҳолатлар бўшлиғини ташкил

этувчи

n

x

∈

R

ва

доимий коэффициентли матрицалар билан тенгламаларни ечиш орқали
аниқланадиган ҳолатларни аниқлаш билан боғлиқ:

��

=

����

+

����

(2)

��

=

����

+

����

(3)

Бунда А, В, С, D – тадқиқот қилинаѐтган тизимнинг, ростлагичлар ва

ташқи таъсирлар (кириш), кириш ва чиқиш параметрлари боғлиқлиги билан
аниқланадиган матрицалар. (2), (3) “кириш-ҳолат-чиқиш” тизими тенгла
малари номини олди.


background image

Тизим таҳлили турғунликнинг зарур ва етарли шартларини таъминловчи

квадратик шаклдаги Ляпунов функцияси билан тадқиқ (автоном чизиқли)
қилиниши мумкин. Ушбу ишда ҳолат ва Ляпунов тенгламасини ечиш бўйича
матрицали усуллар келтирилган.

Диссертациянинг «

Электр тизимлари статик турғунлигининг

квадратик формадаги Ляпунов функциялари асосида соддалаштирилган
мезонини яратиш

» деб номланган

учинчи бобида

квадратик шаклдаги

Ляпунов функцияси асосида ЭЭТ статик турғунлигининг зарурий ва етарли
шартларини таъминловчи, соддалаштирилган мезони ишлаб чиқилган.

Электр тизимлари кичик тебранишларининг масалалари, статик

турғунликнинг маълум бузилиш турлари тадқиқ қилинаѐтган тизимнинг
характеристик тенгламасини Гурвиц мезонлари асосида таҳлил қилиш
орқали кўриб чиқилган:

��

0

��

��

+

��

1

��

��

−1

+

��

2

��

��

−2

+ ⋯ +

��

��

−1

��

+

��

��

= 0

Статик турғунликнинг бузилиш турлари тизимнинг характеристик

тенгламалари коэффициентлари (a

i

>

0 – зарурий шартлар) ва Гурвицнинг бар

ча аниқловчиларининг мусбатлик (

Δ

Гi

>

0 – етарли шартлар) билан ифодала

надиган турғунликнинг зарурий ва етарли шартлари талабларидан келиб чиқ
қан ҳолда аниқланган. Кўриниб турибдики, характеристик тенгламанинг да
ражаси n ортиб бориши билан, қўйилган масалани ечиш мураккаблашади.

Ушбу масаланинг ўзи квадратик шаклдаги Ляпунов функцияларидан

фойдаланиб, мавжуд ҳисоблаш афзалликлари билан анча ихчам ечилиши
мумкин.

Электр тизими математик моделини ѐзамиз:

��

(∆

��

)

����

=

��

∆

��

(4)

бунла А – тадқиқ қилинаѐтган тизимнинг ҳолат матрицаси ѐки ўз динамикаси
матрицаси деб аталувчи, доимий элементли (nxn) тартибдаги матрица, х,

Δ

х –

ЭЭТ режими параметрларининг вектор-устуни ва уларнинг кичик оғишлари.

13

Квадратик шаклни белгилаймиз

��

��

,

��

=1

=

��

��

����

→

��

,

��

= 1, 2 … ,

��

; (5)

��

=

��

����

��

��

��

��

Бу ерда Q –квадратик шаклдаги коэффициентлари хали маълум бўлмаган
квадратли матрица; Х

Т

– жойи алмаштирилган Х (вектор-қатор). (5) функция

квадратик шаклдаги Ляпунов функцияси деб аталади. (4) тенгламаларни
ҳисобга олган ҳолда, ушбу функциянинг ҳосиласини топамиз:

����

=

��

��

��

����

��

��

����

��

����

=

����

����

����

+

��

��

�����

�

����

=

����

����

����

+

��

��

�����

�

=


background image

= (

����

)

��

����

+

��

��

������

=

��

��

��

��

����

+

��

��

������

=

��

��

��

��

��

+

����

��

.

(6) Қуйидаги белгини

киритамиз:

A

T

Q + QA = - C

(7) бунда С–бирлик матрица.

(7) тенглама Ляпунов матрицавий тенгламаси деб аталади. Агар Q

мусбатли аниқланган матрица бўлса, унда

.

V

T

x Qx 0

=

−

<

, (8)

бунда V

>

0, яъни V функциялари камаяди, ва натижада тизим траекторияси

координатларнинг бошига интилади, автоном чизиқли тизимни (4) ечими
асимптотик тарзда турғун бўлади.

Шундай қилиб, агар координатлар бошини ўз ичига оладиган

ўзгарувчан (х

1

, х

2

, …, х

n

) бўшлиқнинг баъзи соҳасида тенгсизликлар бир

вақтнинг ўзида бажариладиган бўлса

.

0

V

>

0

ва

V

<

(9)

бундай ҳолатда координатлар бошидаги мувозанат ҳолати асимптотик тарзда
турғун бўлади. Ушбу ҳолат Ляпунов теоремасида ифодаланган. Квадратик
шаклдаги Ляпунов функцияси тадқиқ қилинаѐтган чизиқли динамик тизим
асимптотик турғунлигининг зарурий ва етарли шартларини таъминлайди, ва
шунинг учун универсал ҳисобланади, яъни агар тизим доимий
коэффициентли чизиқли дифференциал тенгламалар билан тасвир ланадиган
бўлса, унда у ҳар қандай динамик тизим учун бир хил бўлади. Қолган барча
ҳолларда шакллантириладиган Ляпунов функциялари фақат турғунликнинг
етарли шартларини таъминлайди ва бунда улар намуналар ва хатолар усули
билан тузилади, яъни универсал ҳисобланмайди. Шунинг учун Ляпунов
функцияларининг ночизиқли тизимлар учун қўлланилиши чекланади.

Асосий вазифа Ляпунов матрицавий тенгламасини ечишдан ва мусбат

аниқланган Q матрицани аниқлашдан иборатдир. Q матрица элементлари

��

(

��

+ 1) 2

тенгламаларни ечиш орқали (7) бўйича аниқланади, бунда n

тенгламалар сони. Бунда (7) ечиш асосида олинган динамик тизимнинг тур
ғунлик шартлари Гурвиц мезонларидан олинган шартларга қатъий равишда
эквивалент бўлиши керак.

Сильвестр теоремасига биноан, кичик қўзғалишларда тадқиқот

қилинаѐтган тизим турғунлигининг (4) зарурий ва етарли шартлари сифатида
Q матрицанинг асосий диагонал минорлари мусбатлиги хизмат қилади, яъни,

14

∆

Л

1

=

��

11

> 0, ∆

Л

2

=

��

11

��

12

��

11

��

12

⋯

��

1

��

��

21

��

22

⋯

��

2

��

��

21

��

22

> 0, … . ,

∆

Л

��

= ⋮

��

��

1


background image

⋮

��

��

2

⋱

⋯
⋮

��

����

> 0.

(10)

Таҳлил шуни кўрсатдики, Q матрицанинг биринчи асосий минорнинг

мусбатлиги қуйидаги кўринишдаги режим ва тизим параметрларига боғлиқ:

′

��

0

∆

Л1

=

��

11

=

��

��

��

��

0

��

��

��

1

��

��

��

1

> 0

, (11)

бунда z

0

, z

1

– режим ва тизим параметрларига боғлиқ бўлган ифодалар.

(11) шартни бажариш учун қуйидаги талаблар бажарилиши шарт:

��

1

=

����

��

��

′

��

��

����

> 0

, (12)

����

��

> 0

, (13)

��

0

> 0 ⋯

��

1

> 0

. (14)

(12)-(14) мусбатлигининг бузилиши қуйидаги шартларда содир

бўлиши мумкин:

- генератор ортиқча юкланганда, яъни машина 90

0

(с

1

<

0) бурчак ортида

ишлаганда;

- электр узатиш линияси (X

d

> X

сети

> X

'

d

) индуктив қаршилиги

сиғимлар билан компенсацияланганда;

- бурчакларнинг қийматлари нолга яқин бўлганда, яъни салт юришга

яқин бўлган режимларда. Р

d

≈

0 ва r = 0 бўлганда, (14)дан қуйидагини оламиз:

��

1

= −

��

23

��

32

=

��

1

��

��

−

��

��

′

′

��������

> 0

, (15)

��

��

��

��

таҳлил эса (15) мусбатлиги қуйидаги ҳолатда бузилиши мумкин эканлигини
кўрсатади:

��

<

��

11

−

������������

2

��

��

������

(

��

11

)

��

. (16)

Назарий ва ҳисоб таҳлили шуни кўрсатадики, (15) умумий ҳолатда

мураккаб ифодага эга Q (10) квадратик шаклдаги матрицаларнинг

Δ

Лi

>0

(i=2-n)

юқори асосий минорлари мусбатлиги худди ўша (12)-(14)

шартларнинг бажарилишига олиб келади.

Шундай экан, квадратик шаклдаги матрица биринчи асосий минори

мусбатлигининг бузилиш шартларидан, электр тизими статик турғунили
гининг маълум (нодаврий бузилиш, ўз ўзидан қўзғалиш, ўз ўзидан тебраниш)
бузилиш шартлари келиб чиқади.

Демак, Ляпуновнинг иккинчи усули билан олинган электр тизими

статик турғунлигининг бузилиш шартлари, умумлаштирилган Гурвиц
шартлари асосида аввал топилган шартларга мос келади.

Таклиф этилган усулнинг афзаллиги шундан иборатки, статик

турғунликнинг барча турдаги бузилишлари биринчи q

11

>

0 асосий минорда


background image

жамланган ва мазкур ҳолат мураккаб ЭЭТ учун ҳам ҳаққонийдир.

15

Мазкур факт турли мураккабликдаги электр тизимининг ҳисоб экспериментал

тадқиқотлари натижалари билан ҳам тасдиқланган.

1-расм. Оддий ва уч генераторли тизим учун Гурвиц аниқловчиси (А) ва Ляпунов

матрицавий тенгламаси квадратик шакли асосий

минорлари (Б) ўзгаришлари

1-расмда мисол тариқасида оддий ва уч генераторли электр тизими

учун характеристик тенгламалар коэффициентлари (12) ва квадратик
шаклдаги матрицалар минорлари (16) ўзгариши келтирилган. Характеристик
тенгламалар коэффициентларининг ўзгаришлари ЭЭТ режими оғирлашганда
турли тавсифга эга бўлади. Квадратик шаклдаги минорларининг ўзгариши
бир хил тусга эга. Кўриниб турибдики, мазкур хусусият тадқиқот қили
наѐтган тизимнинг мураккаблигига боғлиқ эмас.

Айтганимизни ҳисобга олганда ЭЭТ мувозанати ҳолати турғун

лигининг таҳлилини

��

11

> 0

билан аниқлаш ҳамда уни зарурий ва етарли

шартларини таъминловчи статик турғунликнинг амалий мезони сифатида
кўриб чиқиш мумкин.

Мураккаб ЭЭТ тадқиқот қилинганда бу сезиларли даражадаги ҳисоб

лаш самарасини беради, чунки характеристик тенглама коэффициентлари ва


background image

юқори тартибдаги аниқловчилар ҳисобланмайди.

Синтез масаласи ўзгарувчан ҳолат тенгламаларини Ляпунов ва Риккати

матрицавий тенгламасини ечиш негизида бажарилган:

16

��

��

+

��

=

��

����

��

��

≈ 12

��

− 6

����

+

��

2

��

2

−1

12

��

+

6

����

+

��

2

��

2

=

Λ

��

(

��

)

.

(17) Бунда

Λ

=

��

����

= 12

��

−

6

����

+

��

2

��

2

−1

12

��

+ 6

����

+

��

2

��

2

I, h

– бирлик матрица ва ҳисоб қадами.

Матрицавий тенгламаларни ечиш асосида синтезланган кўзғалишнинг

автоматик ростлагичлари ўрнатилган ЭЭТ ўтиш жараѐнини тадқиқотлари 2-
расмда келтирилган:

2-расм. Оддий ЭЭТдаги ўтиш жараѐни: А-ростлагич ўчирилган;

Б-кучланишнинг, ротор бурчаги ва биринчи ҳосиланинг оғишини сезувчи

синтезланган ростлагич мавжуд: k

0

δ

= 11.57, k

0U

= 16.22, k

1

δ

= -0.3854.

Диссертациянинг

«Квадратик формадаги Ляпунов функциялари

асосида мураккаб электр тизимлари турғунлиги чегарасини аниқлаш
усулини яратиш »

деб номланган

тўртинчи бобида

икки фундаментал усул -

квадратик шаклдаги Ляпунов функциясини ва тугун кучланишлар тенгла
маларини биргаликда қўллаш асосида мураккаб ЭЭТ статик турғунлигининг
чегарасини аниқлаш усули ишлаб чиқилган.

Бунда мураккаб ЭЭТ статик турғунлиги квадратик шаклдаги Ляпунов

матрицавий тенгламаси (7) ва тугун кучланишлар тенгламаларини
биргаликда ечиш асосида тадқиқот қилинади:

����

=

��

+

��

��

0

��

0

+

��

∗

.. (18)

Мураккаб ЭЭТ статик турғунлиги тадқиқот қилинганда дастлаб тугун

кучланишлар тенгламалари асосида белгиланган режим ҳисобланади, ҳар бир
k тугун учун кучланиш U

k

ва унинг

δ

k

аргументи аниқланади, ва сўнгра ҳар

бир генератор учун, мазкур маълумотлардан фойдаланиб, квадратик шакл
даги Q матрица биринчи, асосий q

11j

минорининг мусбатлиги текширилади

(3-расм)


background image

Режим параметри оғирлашишда q

11j

максимал ўзгарган генератор ЭЭТ

статик турғунлигининг бузилиши нуқтаи назаридан хавфли ҳисобланади.
Шунга қараб, мазкур оғирлашишда чегарага бошқаларга қараганда тезроқ
яқинлашадиган генератор аниқланади. Таклиф этилаѐтган усул билан
мураккаб ЭТТ статик турғунлигини тадқиқот қилиш, «генераторлар-шина»
схемаларини тадқиқот қилишга айланиб қолади.

17

Бошланиши

Нормал

режим

ҳисоби

Якобиан

>0

Статик

тургунликнинг

бузилиши

(

нодаврий

)

Ҳа

Йўқ

I=0

I=I+1
|U

i

|=0

Йўқ

Ҳа

Статик

тургунликнинг

Ляпунов

функциясини

шакллантириш

бузилиши

ЙўқҲа

Йўқ

Q>0

Тамом

I<N

Режим

огирлашиши

Ҳа

3-расм. Квадратик шаклдаги Ляпунов функциясини ва тугун кучланишлар

тенгламаларини биргаликда қўллаш алгоритми

Мазкур алгоритмни таҳлилий жиҳатдан уч генераторли тизим мисо

лида кўрсатиш мумкин. 4-расмда q

11j

ўзгаришларнинг – тадқиқ қилинаѐтган

уч генераторли электр тизимининг ҳар бир генератори учун Q

j

квадратик

шаклининг матрицалари биринчи элементларининг q

11j

ўзгариши келтирилган

(бунда j=1-3).

4-расм. Уч генераторли электр тизими асосий биринчи минорларининг ўзгариши

18

Мураккаб электр тизим режими оғирлашганда турли генераторлар учун

квадратик шаклдаги минорларнинг

(

ξ

j

, j=1-3

)

ўзгариши турлича бўлади. (19)

умумлаштирилиб, қуйидагича ѐзилиши мумкин:


background image

��

��

=

��

��

∆П

����

,

��

(

��

+1)

=

∆

����

−∆

��

(

��

+1)

П

��

��

−П

��

(

��

+1)

, (19)

бунда П

→

U, f, I,

δ

– ЭЭТ режими параметрлари, улар бўйича оғирлаштириш

натижасида тадқиқот қилинаѐтган тизим генераторлари минорларининг
ўзрашини аниқланиш мумкин, j-(19) ҳисоблаб чиқариладиган генератор, i
ЭЭТ режимининг берилган параметрлари учун жорий оғирлаштириш
қадами.

ξ

I

>0 шарти квадратик шакл учун доимо бажарилади, шунинг учун тенг

сизликларни қатъий бажариш ушбу шарт билан чегараланиш мумкин:

∆

∆

����

−∆

��

(

��

+1)

П

��

��

−П

��

(

��

+1)

=

��

11

��

��

П

��

≻ 0

. (20)

Демак, j генераторнинг, ва натижада ЭЭТ статик турғунлигини

таъминлаш учун, қуйидаги шартни бажариш талаб этилади:

��

11

��

��

П

��

≻ 0

.

(21)

Олинган натижалар асосида мураккаб электр тизимлари статик

турғунлигини тадқиқот қилиш қуйидаги алгоритмини таклиф этиш мумкин.
Мураккаб ЭТТ берилган режимнинг П параметри бўйича оғирлашишига
қараб, ҳар бир генератор ѐки ажратилган гуруҳлар учун ҳар бир i қадамда
(21) шарт таққосланади:

��

П

≻ ⋯

����

11,

��

����

11,1

��

П

≻ ⋯

����

11,

��

��

П

, (22)

бунда n-статик турғунлиги текширилаѐтган генераторлар ѐки станциялар
сони. Тизим режимининг белгиланган параметри ўзгарганда квадратик шакл
коэффициентлари матрицаси асосий биринчи минорининг ўзрашиши,
максимал бўлгани генератор статик турғунлиги бузилиши нуқтаи назаридан
энг хавфлиси ҳисобланади:

����

11,

��

��

П

→

������

. (23)

Бу натижа қўзғалишни, тезликни ва бошқа параметрларни автоматик

ростлагичлар коэффициентлари ростлаш орқали мазкур генераторнинг ўтиш
жараѐнини бошқаришни ташкил этиш, ҳамда унинг статик турғунлигини
таъминлаш имконини беради. Энерготизимдан фойдаланиш амалиѐти учун
мазкур натижанинг аҳамияти каттадир.

1-жадвалда таклиф этилаѐтган ва мавжуд усуллар самарадорлигини

ЭЭТ статик турғунлиги таҳлил қилинганда кўпайтириш ва бўлиш
операцияларининг зарур миқдори билан ифодаланган натижалари
келтирилган.


background image

19

ЭЭТ статик турғунлиги аниқлаш учун таклиф этилаѐтган ва мавжуд усуллар

самарадорлигини таққослама тахлили

1 –жадвал

Миқдорий усул

Генераторлар сони

1

3

7

15

70

1 D – ажратиш

0,23

∙

10

4

0,7

∙

10

5

2,5

∙

10

6

0,33

∙

10

8

2 QR-алгоритм бўйича ўз

қийматларининг ҳисоби

3,85

∙

10

3

0,27

∙

10

5

2,4

∙

10

6

5,1

∙

10

6

6,4

∙

10

8

3 Арнольди усули бўйича

ўз қийматларининг
ҳисоби

2,1

∙

10

6

6,8

∙

10

7

4 Тугун кучланишлари ва

квадратик шаклдаги
Ляпунов функцияларининг
биргаликда қўлланилиши

0,7

∙

10

3

5,8

∙

10

3

5

∙

10

4

4,6

∙

10

5

4,6

∙

10

7


Диссертациянинг «

Тизимлар киритиш технологияси - кичик

тебранишларни тадқиқот усули

» номли

бешинчи бобида

мураккаб ЭЭТ

статик турғунлигини янги усул – тизимлар киритиш технологияси билан
тадқиқот қилиш натижалари келтирилган.

Тизимлар киритиш технологияси – аввалам бор, замонавий алгебра

ютуқларига асосланган, маълум шартлар асосида мураккаб ташкил этилган
(кўп ўлчамли тизимни чуқурроқ тадқиқот қилиш учун қулай ва оддийроқ
тизимлардан фойдаланиш назарияси, усуллари ва усулларининг универсал
жамлигидир.

Тизимлар киритиш технологиясини қўллаш учун учта босқични кетма

кет бажариш зарур: муаммоли матрицани шакллантириш, ўхшашликларни
шакллантириш ва ҳисоблар олиб бориш.

Операторлик шаклида (2) ва (3) тенгламалар қуйидагича тақдим

этилади:

px(p) Ax(p) Bu(p),

=

+

(24)

y(p) Cx(p).

=

Умумий ҳолда (24)да тенгламалар сони улардаги ўзгарувчанларнинг

сони билан мос тушмайди. Бу (24) мос келадиган Розенброк тизимли


background image

матрицаси

��

��

=

����

��

−

��

−

��

��

0

, (25)

((n+m)x(n+s)), ўлчамга эга, яъни тўғри бурчакли ҳисобланади, бу эса

квадратли матрицалар учун мўлжалланган аниқловчиларни, қийматлар ва
векторларни ҳисоблаш каби анъанавий воситалардан фойдаланишга йўл
қўймайди. Ушбу тўсиқни бартараф этиш учун (25) - тенглама қуйидаги
кўринишдаги, (24) тенглама билан намоѐн этиладиган, масаланинг мазмунига
таъсир кўрсатмайдиган, ростловчи ўхшашлик деб аталувчи тенглама билан
тўлдирилади:

u(p) = u(p), (26) (26) ўхшашлик ростлагич кўринишидаги ташқи

таъсирини тавсифлайди.

20

Натижада блок-матрица кўрнишидаги тенгламалар тизимини ҳосил

қиламиз:

����

��

−

��

0

������

−

��

−

��

��

��

−

��

0

������

0

������

��

��

∙

��

��

��

��

��

��

=

��

0

0

����

1

��

(

��

)

. (27)

Стационар чизиқли динамик тизимнинг умумлаштирилган

тенгламасини (27) қуйидаги кўринишда ѐзамиз:

Ω(p)Y(p)

=

U(p), (28) бунда

����

��

−

��

0

������

−

��

��

��

=

−

��

��

��

−

��

0

������

0

������

��

��

, (29)

- тадқиқот қилинаѐтган тизимнинг (n+m+s)x(n+m+s) ўлчамли

муаммоли квадрат матрицаси ҳисобланади.

Киритишнинг ўхшашлиги қуйидаги кўринишга эга

бўлади:

b(p)

β(p)Ω (p)α(p)

−

1

=

a(p)

ω(p)

=

f(p)

=

, (30)

бунда бу

Ω

(p)

−

1

- тадқиқот қилинаѐтган тизимнинг (n+m+s)x(n+m+s)

ўлчамли реверсив муаммоли матрицаси (репроматрица) деб аталади,

α(p),

β(p),

ω

(р) – киритиш матрицалари ва тегишли тизим образи. Киритиш

матрицалари асосида (30) нисбат Репроматрицани чизиқли қайта ўзгартириб
образга таққослайди. Ишда фақат скаляр образга киритиш кўриб чиқилган.

Проматрица

Ω(p)билан тавсифланадиган чизиқли кўп алоқали тизим,

агар қуйидаги тенглама:


background image

��������

��

−

��

��

0 −

����������

= 0

, (31)

ѐки қуйидаги тенглик

��������

��

+

����

−

��

+

��

��������

= 0

. (32)

Бажарилса

��

����

��

ва

��

����

(

��

)

киритиш матрицалари

конструкцияларини ѐрдамида скаляр образга киритилади.

Ростланувчи кўп алоқали динамик тизим узатма функцияси – скаляр

образини қуйидаги кўринишда олиш мумкин:

��

����

=

��

(

��

)

��

(

��

)

,

(33)

бунда

��

��

=

������

(

����

��

−

��

+

������

) −

����

����

(

����

��

−

��

)

(34)

- скаляр образ узатма функциясининг махражи, ўзига хос аниқловчи

бўлиб, тадқиқот қилинаѐтган тизимнинг қутбларини аниқлайди;

��

��

=

������

����

��

−

��

+

��

(

��

��

+

��

)

��

−

����

����

(

����

��

−

��

)

(35)

- тадқиқот қилинаѐтган тизимнинг нолини аниқлайдиган скаляр образ

узатма функциясининг сурати.

21

(31)-(35) формулаларини қайта ҳосил қилиш асосида, бутун узатма

матрицасини ҳисобламасдан тизимнинг алоҳида узатма функцияларини
топиш мумкин. Бунинг учун

��

����

��

ва

��

����

(

��

)

киритиш

матрицаларини қуйи даги кўринишда бериш зарур:

��

= 0 … 0 1 0 … 0

��

��

= 0 … 0 1 0 … 0

, (36)

яъни

i ва j жойлардагина ноль бўлмаган элементлар жойлашган

,

тизимнинг узатма функциясини f

ij

(p) қуйидаги формула бўйича ҳисоблаш

мумкин:

��

����

��

=

det

����

��

−

��

+

��

∆

����

��

−det (

����

��

−

��

)

det (

����

��

−

��

)

, (37)

бунда

∆

����

=

��

��

- (j,i) жойдаги элементлар бир бўлган билан (sxm)

ўлчамли нотўлиқ матрица.


background image

5-расм. Қўзғалиш ростланишининг тадқиқот қилинаѐтган тизимнинг ўтиш

жараѐнига таъсири: А: k

0

δ

= 0; k

1

δ

= 0; k

0u

= 10 ед.; Б: k

0

δ

=0; k

1

δ

= 0.2 ед., k

0u

= 0

Келтириб ўтилган ифодалар асосида турли мураккабликдаги ЭЭТ ўтиш

жараѐнларининг ҳисоб-экспериментал тадқиқотлари олиб борилди. 5-
расмдан кўриниб турибдики, фақат ҳосилали бурчак бўйича каналнинг
мавжудлиги ўтувчан жараѐнлар сифатининг кескин ошишига ва ўтувчан
жараѐн вақтининг бир неча мартага қисқаришига олиб келади.

Электр тизими режимларини ва турғунлигини бошқариш масалалари

ҳал қилинганда, тегишли бошқариш қонуни билан,

��

��

= −

����

(

��

)

ростлагич танланган ҳолда электр тизим моделининг қутбларини ўзгартириш
зарурати юзага келади.

Тизимлар киритиш технологияси қийматлари номаълум бўлиб қолиши

мумкин бўлган қолган қутбларни қатъий ўзгартирмаган ҳолда талаб этилган
қутбни силжитиш мумкин.

Мазкур масала В.Н. Буков, М.Ш. Мисриханов ва В.Н. Рябченко

томонидан ечилган. Дастлабки тизим матрицаларининг махсус чизиқли қайта
ўзгаришидан фойдаланиш - қутбларни силжитишнинг таклиф этилаѐтган
усулининг асоси ҳисобланади.

22

Режим параметрларини ва электр тизимини киритиш

��

=

����

+

����

��

=

����

ҳолатлари бўшлиғининг тенгламаларини тузиш

��

Стратификация

��

=

��

−

����

��

Матрицали конструкцияларни аниқлаш

��

��

��

,

����

~

,

��

��

��

Шартни текшириш:

������

��

= 0

����

(

��

−

��

)

, ΘВ ≠ 0


background image

Шарт бажариляпти

Шарт бажарилмаяпти

Кўплаб регуляторларни шакллантириш

��

��

Қутбнинг кўчишини танлаш

��

ва текшириш

Шартни текшириш:

��

(

��

−

����

)

��

��

= 0

����

(

��

−

��

)

Шарт бажариляпти Шарт бажарилмаяпти

Силжиган қутбни ва режим параметрларини тўхтатиш ва

чиқариш

6-расм. Электр тизимининг қутбларини силжитиш алгоритми.

Қутбларни бошқариш учун қуйидаги шартларни бажариш зарур ва

етарлидир:

������

��

= 0

����

(

��

−

��

)

(38) ва

��

(

��

−

����

)

��

��

= 0

����

(

��

−

��

)

, (39)

бунда Θ –стратификация матрицаси,

R

Θ

эса – ушбу матрица нолининг ўнг

бўлувчиси.
Стратификация матрицаси қуйидаги тенглик билан аниқланади:

��

. (40)

��

=

��

−

����

��

Бунда А ўз динамикаси матрицаси ҳар қандай

λ

ўзагининг қийматини

(41) асосида ҳосил бўлган регулятор билан, ҳолат бўйича тескари алоқа
ѐрдамида қолган барча қутбларни ўзгартирмасдан исталган

λ

Ж

га ўзгартириш

мумкин:

��

��

= (

����

~

��

−

��

ж

+

��

��

����

)

��

, (41)

(40) формула бўйича ҳисобланадиган Θ стратификация матрицаси учун
қуйидаги шарт бажарилади:

ΘВ ≠ 0, (42) бунда

η

- ўлчамнинг (s-rank(ΘB))x1 ѐки ихтиѐрий сон

матрицаси.

23

ЭЭТ қутбларини силжитиш алгоритми 6-расмда келтирилган. Ишда

синтезланган регулятор негизида электр тизими моделларининг қутбларини
силжитиш мисоли келтирилган.

Позицион идеаллаштиришда i синхрон генератори электрмагнит

қуввати тенгламаси сосида, генераторларнинг мутлоқ бурчакларига нисбатан
ечилган мураккаб ЭЭТ модели ишлаб чиқилган:

��

Г

��

=

��

��

2

��

����

��������

����

+

��

��

��

��

��

����

sin (

��

����

−


background image

��

��

=1,

��

≠

��

��

����

)

. (43)

n синхрон генераторларда мавжуд бўлган (2)-(3) ҳолатлар тенгламалари

асосида тадқиқ қилинаѐтган муракаб электр тизимининг (4nx4n) ўлчамли А

Σ

ўз динамикаси ва 4nxn(k-m) ўлчамли В

Σ

киришнинг умумлаштирилган

матрицаси куйидаги кўринишга эга:

0

������

��

������

0

������

0

������

��

44(

������

)

��

=

��

21(

������

)

��

22(

������

)

��

23(

������

)

0

������

0

�����

�

��

41(

��

����

)

0

����

��

��

42(

��

����

)

��

33(

�

�����

)

0

�����

�

��

34(

��

����

)

��

= 0

3

����

3(

��

−

��

)

��

41[

����

(

��

−

��

)]

��

42[

����

(

��

−

��

)]

��

43[

����

(

��

−

��

)]

Мазкур модель, n миқдордаги генераторларли турли автоматик

ростлагич эга бўлган ҳар қандай мураккабликдаги ЭЭТ учун ҳаққонийдир.
Мисол тариқасида, уч генераторли ЭЭТ учун, генераторлар ва мутлоқ бурчак
оғишларига таъсирланадиган (

Δδ

i

) автоматик ростлагич мавжуд бўлганда

(

Δ

U

Гi

) кучланишлари ва уларнинг ҳосилалари қуйида А

3

, В

3

матрицалари

келтирилган:

0 0 0 ⋮ 1 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 0

0 0 0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 0

0 0 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯

−

��

11

��

12

��

13

⋮ 0 0 0 ⋮ −

����

1

����

��

1

��

0

Т

��

1

0 0 ⋮ 0 0 0

��

21

−

��

22

��

23

⋮ 0 0 0 ⋮ 0 −

����

2

����

��

2

��

0

Т

��

2

0 ⋮ 0 0 0

��

31

��

32

−

��

33

⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 −

����

3

����

��

3

��

0

Т

��

3

⋮ 0 0 0

��

3

=


⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮

1

��

��

1

0 0 ⋮ −

1

��

��

1

0 0


0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0

1

��

��

2

0 ⋮ 0 −

1

��

��

2

0


0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0

1

��

��

3

⋮ 0 0 −

1

��

��

3


⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯

��

0

��

1

��

��

1

0 0 ⋮

��

1

��

1

��

��

1

0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ −

1

��

��

1

0 0


background image


0

��

0

��

2

��

��

2

0 ⋮ 0

��

1

��

2

��

��

2

0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 −

1

��

��

2

0

(44)











0 0

��

0

��

3

��

��

3

⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 −

1

��

��

3

��

��

3

⋮ 0 0

��

1

��

3

24

0 0 0 0 0 0

В

3

=

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

(45)

��

OU Г1

Т

е1

��

1UГ1

Т

е1

0 0 0 0

0 0

��

OU Г2

Т

е2

��

1UГ2

Т

е2

0 0


0 0 0 0

��

OU Г3

��

1UГ3

Т

е3

Т

е3

Олинган

тенгламалар

ва

уларнинг

матрицалари,

ростловчи

қурилмаларни ҳисобга олган ҳолда кўп машинали ЭЭТ моделининг қулай
шакллантирилишини таъминловчи, Ляпунов матрица тенгламаси ва тугун
кучланишлар тенгламалари билан биргаликда қўллаш учун мослаштирилган.
Матрицалар кесилган ҳолда бўлгани сабабли, уларнинг ҳисоблаш самараси


background image

юқорилиги турли мураккабликдаги ЭЭТда олиб борилган ҳисоб
экспериментал тадқиқотлар билан тасдиқланади.

Ишда тизимларни киритиш технологиясидан фойдаланиш учун мураккаб

ЭЭТ математик моделининг тенгламалари шакллантирилган. Бунда ўз

динамикаси ва юқорида олинган кириш матрицалари қуйидаги кўринишга

эга бўлади:

��

= 0

������

��

������

��

21(

������

)

��

22(

������

)

,

��

= 0

������

��

������

(46)

ва уларнинг ўлчамлар қуйидагига тенг: А

Σ

матрица (2nx2n) ўлчамга эга,

кириш матрицаси эса В

Σ

- (2nxn).

(46) матрицалар тизимларни киритиш технологияси асосида тадқиқ

қилинаѐтган коэффициентлари юқорида кўрсатилган алгоритм асосида
синтезланган

ростлагич

моделидан

фойдаланилган

ЭЭТ

динамик

хусусиятларининг тадқиқотларини тўлиқ ҳажмда олиб бориш имконини
беради:

∆

��

1

0 ⋯ 0

∆

��

1

0 ⋯ 0

��

��

��

1

��

��

��

1


∆

��

2

⋯ 0

∆

��

2

⋯ 0 0

��

��

��

2

��

=

0

��

��

��

2

⋯

, (47)


⋯
⋯

⋯

∆

��

��

⋯

0

⋯

0

⋯

⋯⋯

∆

��

��

∆

��

��

и

��

��

�

���

0
0

⋯

��

��

��

��

��

��

��

��

бунда

��

��

����

∆

��

��

- мазкур генераторнинг мутлоқ

бурчаги ва сирпаниши

оғишларининг каналлари бўйича i генераторнинг автоматик ростлагич
кучайтириш коэффициентлари. Зарурат туғилганда, режимнинг ҳар қандай
параметри оғишларини бурчак ва генераторнинг кучланишлари оғишлари
орқали ифода этиш мумкин.

Ростланувчи электр тизимининг умумий проматрицаси

Ω

куйидаги

кўринишда:

25

��

0 ⋯ 0 ⋮ −

��

11

−

��

12

⋯ −

��

1

��

⋮ 0 0 ⋯ 0

0

��

⋯ 0 ⋮ −

��

21

−

��

22

⋯ −

��

2

��

⋮ 0 0 ⋯ 0


background image

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 ⋯

��

⋮ −

��

��

1

−

��

��

2

⋯ −

��

����

⋮ 0 0 ⋯ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

��

11

−

��

12

⋯ −

��

1

��

⋮

��

+

��

��

1

0 ⋯ 0

⋮

����

1

����

��

1

��

0

��

��

1

0 ⋯ 0


−

��

21

��

22

⋯ −

��

2

��

⋮ 0

��

+

��

��

2

⋯ 0 ⋮ 0

����

2

����

��

2

��

0

��

��

2

⋯ 0

(48)

Ω =

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

−

��

��

1

−

��

��

2

⋯

��

����

⋮ 0 0 ⋯

��

+

��

����

⋮ 0 0 ⋯

����

��

��

0

����

����

��

����

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

∆

��

1

0 ⋯ 0 ⋮

��

��

��

1

∆

��

1

0 ⋯ 0 ⋮

��

11

��

12

⋯

��

1

��

��

��

��

1

∆

��

2

⋯ 0 ⋮ 0

��

��

��

2


0

��

��

��

2

∆

��

2

⋯ 0 ⋮

��

21

��

22

⋯

��

2

��

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

∆

��

��

⋮

��

��

1

��

��

2

⋯

��

����

∆

��

��

⋮ 0 0 ⋯

��

��

����

0 0 ⋯

��

��

����

ва уни мураккаб ростланадиган электр тизимининг проматрицаси деб аташ
мумкин. Ростланмайдиган ЭЭТ проматрицасини (48)дан,

Ω

пастки чап

қисмидаги ростлагич блокини ноль матрицага алмаштириб олиш мумкин.

Келтириб ўтилган матрицалар ва ифодалар режим параметрларининг

кичик қўзғалишида мураккаб ЭЭТ ўтиш жараѐнларини тадқиқ қилиш
имконини беради. Динамик тизимнинг муҳим хусусиятларидан бири унинг
инвариантлигидир. Ростланадиган ЭЭТ инвариантлиги:

.

x

=

+

+

, (49)

Ax Bu Sw

u

=

−

Kx, (50)

y

=

Cx , (51)

w(p) қўзғалишдан тизим чиқишига y(p) узатувчан матрица нолга тенг бўлиши
кераклигини билдиради:

F

y

w

p = C(pI

n

− A

y

)

−1

S = 0

,, (52) Бунда

A

y

= A + BK

– ростлагичли тизим

динамикасининг матрицаси. Бунда x, u, y, w – тизим ҳолатининг, чиқиши ва


background image

қўзғалишининг векторлари, ва тегишинча; A, B, C, S – тегишли ўлчамлардаги
доимий миқдорий элементли ростлагич матрицалари; K – доимий миқдорий
элементли ростлагич матрицаси.

Асосий вазифа - (52) шартни бажарилишини таъминловчи

ростлагичнинг синтези. Ушбу масала ечилишида маълум қийинчиликлар
юзага келади, чунки (52)да полиномиал матрица ўзгартириш операцияси
ўтказилади.

Матрицалар янги конструкциларига асосланган замонавий ѐндашувлар

ушбу тўсиқни енгиш имконини беради.

Ўхшашлик ҳаққоний бўлган зарурий ва етарли шартлар, тизим ҳар

қандай кўплаб ростлагичлар билан ѐпиқ бўлганда таъминланади:

��

��

,

��

= −

��

��

��

��

��

~

��

��

��

��

����

��

��

��

��

��

~

+

��

��

��

��

��

��

��

+

����

��

��

��

(53)

бунда -

χ

и

γ

- ихтиѐрий миқдорий элементли берилган ўлчамдаги

матрицалар,

C

R

- С матрица нолининг унг бўлувчиси,

C

R

π

L

-

C

R

π

матрица

нолининг чап бўлувчиси, (

~

) устки белгили матрицалар – тегишли

матицаларнинг йиғма канонизаторлари, матрицалар тагидаги иккиламчи ва
учламчи чизиқчалар билан, ушбу чизиқчалар

26

остидаги матрицалар комбинациясидан максимал ранг нолининг тегишли
бўлувчисининг такрорий топилиши белгиланади.

Уч генераторли ЭЭТ синтезланган қўзғалиш автоматик ростлагичи қуйидаги

кўринишга

эга бўлади

��

��

,

��

=

��

11

0

0
0

��

2

0

0 0 0

��

21

0

0

0

��

5

0

0

(54)

0
0

ва қўлланилганда тизим динамикасинигг сезиларли ўзгаришини кўрсатади.

7-расмда биринчи генератор бурчак оғишларининг синтезланган
ростлагичнинг таъсирида (7-расм, А)

Δδ

1=f(t) ва ростланмайдиган ЭЭТ

(7-расм, Б) ўтиш жараѐни кўрсатилган. Ростлагич таъсирида жараѐн етарли
даражада тез сўнади ва деярли нодаврий тусга эга.

А Б

7-расм. Уч генераторли электр тизими

Биринчи генератори

Δδ

1

=f(t) бурчагининг ўзгариш жараѐни:


background image

∆

��

��

=

��

����

= −

����

;

��

��

����

∆

��

��

=

��

����

= −

��

;

��

��

����

∆

��

��

=

��

��

=

��

;

��

��

����

A:

��

��

����

∆

��

��

=

��

��

����

∆

��

��

=

��

��

����

∆

��

��

=

��

��

����

∆

��

��

=

��

��

=

��

B:

��

��

����

∆

��

��

=

��

Шундай қилиб, тизимларни киритиш технологиясининг асоси

ҳисобланувчи матрицалар канонизацияси усули ѐрдамида, электр
тизимининг ихтиѐрий ташқи қўзғалишлардан чиқишининг инвариантлик
шартлари асосланган. Ушбу масалани ечиш учун тегишли ростлагич
синтезланган. Инвариантлик назариясининг маълум низомлари билан
олинган натижаларнинг таққослама таҳлили уларнинг ҳаққонийлигини
тасдиқлайди.

ХУЛОСА

Квадратик шаклдаги Ляпунов функцияларини ва тизимларини киритиш

технологиясини қўллаган ҳолда маълум ва ишлаб чиқилган матрицали
усуллар ва алгоритмлар негизида мураккаб электр тизимларининг статик
турғунлиги юзасидан ўтказилган назарий ва ҳисоб
экспериментал тадқиқотлар қуйидаги хулосаларга келиш имконини беради.

1. Квадратик шаклдаги Ляпунов функциялари чизиқли динамик ти

зимларга кирадиган электр тизими тадқиқот қилиш учун самарали усул
сифатида тавсия қилинади.

27

2. Квадратик шаклдаги Ляпунов функциялари матрицалари асосий

минорларининг мусбатлиги асосида олинган электр тизим статик турғун
лигининг бузилиш шартларининг Гурвиц мезонлари шартларига мослиги
исботланган.

3. Олинган назарий ва ҳисоб натижалариквадратик шаклдаги Ляпунов

функцияси биринчи, асосий минорининг мусбатлик q

11j

> 0 шартини таҳлил

қилиш усули билан ЭЭТ статик турғунлигини тадқиқ қилиш ва уни, ЭЭТ
статик турғунлигининг зарурий ва етарли шартларини таъминловчи амалий
(соддалаштирилган) мезони сифатида кўриб чиқиш имконини беради.
Мазкур минор тадқиқот қилинаѐтган тизим ўз динамикаси матрицаларининг
элементларидан шакллантирилади.

4. Квадратик шаклдаги Ляпунов функциялари ва тугун тенгламалардан

биргаликда фойдаланиш, статик турғунлик бўйича чегарага биринчи
яқинлашадиган генератор (станция)ни аниқлаш имконини беради. Бошқа
генераторларга нисбатан j-чи генератор учун ростланувчи параметр бўйича


background image

квадратик шаклдаги матрица асосий биринчи минорининг ҳосиласи
максималлиги яъни

dq

11j

d

П

→ max

, мазкур ғоянинг математик шарти

ҳисобланади. Ушбу ҳолатда мураккаб ЭЭТ статик турғунлиги чегарасини
тадқиқ қилиш «генераторлар-шина» схемасининг тадқиқотига айланади.

5. Тизимлар киритиш технологияси асосида ўтиш жараѐнларнинг ҳар

қандай тавсифларини тўлиқ тасвирлаб ва белгилаб берадиган, шунингдек
параметрлар кичик тебранишларида электр тизими динамик жараѐнларни
тадқиқ қилиш имконини берадиган мураккаб ростланмайдиган ва
ростланадиган ЭЭТ проматрицалари ишлаб чиқилди.

6. Тизимлар киритиш технологияси негизида ЭЭТда турғунликни ва

тебранишларнинг демпферланишини таъминловчи ростлагичлар туркумини
таҳлилий жиҳатдан тасвирлаб берадиган мураккаб электр тизимининг
ростлагичини синтезлаш модели таклиф этилди.

7. Тизимлар киритиш технологияси негизида ЭЭТ статик турғун

лигининг таҳлили бўйича ўтказилган ҳисоб-экспериментал тадқиқотлар
олинган натижаларнинг электр тизимларда амалда фойдаланиб келинаѐтган
усуллар натижаларига мос келганлигини кўрсатди ва бу ишлаб чиқилган
моделларнинг мавжуд моделларга ўхшашлигини тасдиқлаб берди.

8. Мураккаб ЭЭТ кичик тебранишларини тадқиқот қилиш учун

фойдаланилиши мумкин бўлган синхрон генераторлар мутлоқ бурчак
ларининг рухсат этилган оғишларига нисбатан математик модели ишлаб
чиқилди. Мураккаб электр тизимлари кичик тебранишларининг мазкур
моделидан, Ui тугунлари кучланишлари модуллари ва балансловчи тугунига
нисбатан

δ

i мутлоқ бурчагини ва уларнинг аргументларини белгилаб берувчи

тугун кучланишлар тенгламалари билан биргаликда фойдаланиш тавсия
этилди.

28

НАУЧНЫЙ СОВЕТ ПО ПРИСУЖДЕНИЮ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ

ДОКТОРА НАУК 14.07.2016.Т.02.01 ПРИ ТАШКЕНТСКОМ

ГОСУДАРСТВЕННОМ ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ И

ОБЩЕСТВЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ

«НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ЦЕНТР»

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ


background image

МИРЗАБАЕВ АКРАМ МАХКАМОВИЧ

МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА

СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.05.02 – «Электротехника. Электроэнергетические станции, системы.

Электротехнические комплексы и установки»

(технические науки).

АВТОРЕФЕРАТ ДОКТОРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ

ТАШКЕНТ – 2016

29

Тема докторской диссертации зарегистрирована за №30.06.2015/В2015.2.Т540 в Высшей

аттестационной комиссии при Кабинете Министров Республики Узбекистан

Докторская диссертация выполнена в Ташкентском государственном техническом

университете.

Полный текст докторской диссертации размещен на веб-странице Научного совета по

присуждению ученой степени доктора наук 14.07.2016.Т.02.01 при Ташкентском государственном
техническом университете и ООО «Научно-технический центр» по адресу www.tdtu.uz.

Автореферат диссертации на трех языках (узбекский, русский, английский) размещен на


background image

веб-странице по адресу www.tdtu.uz и Информационно-образовательном портале «ZIYONET».

Научный консультант: Аллаев Кахрамон Рахимович

доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты: Чемборисова Наиля Шавкатовна

д

октор технических наук, профессор

(Российская Федерация)

Игамбердиев Хусан Закирович

доктор технических наук, профессор

Соколов Валерий Константинович

доктор технических наук, профессор,

Ведущая организация: Координационный диспетчерский центр «Энергия»

Защита диссертации состоится «___» ________ в 10°° часов на заседании Научного совета

_____________________ при Ташкентском государственном техническом университете и общест ве
ограниченной ответственности «Научно-технический центр» по адресу: 100095, г Ташкент, ул
Университетская, 2.

Тел : (99871) 246-46-00; факс: (99871) 227-10-32; e-mail: tstu_info@tdtu.uz.

С докторской диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном центре

Ташкентского государственного технического университета (регистрационный номер-02). Адрес:
100095, Ташкент, ул.Университетская, 2. Тел.: (99871) 246-03-41.

Автореферат диссертации разослан «____» _______ 2016 года
(протокол рассылки № «___» _______ от 2016 г.).

Х.М. Муратов

Председатель совета по присуждению ученой степени доктора наук, д.т.н., профессор.

О.О. Зарипов

Ученый секретарь научного совета по присуждению ученой степени доктора

наук, д.т.н., доцент.

Т.Ш.Гайибов

Заместитель председателя научного семинара

при Научном совете по присуждению ученой

степени доктора наук, д.т.н., профессор

30

ВВЕДЕНИЕ (аннотация докторской диссертации)

Актуальность и востребованность темы диссертации.

На сегодняш

ний день в мировой практике в сфере обеспечения устойчивой работы элек
троэнергетических систем (ЭЭС) ведущее место занимает создание высоко
эффективных систем управления технологическими процессами выработки и
потребления электроэнергии с привлечением интеллектуальных технологий.
Одной из наиболее актуальных задач, стремительно развивающихся совре
менных ЭЭС является обеспечение их статической устойчивости на основе
обработки и анализа оперативных данных в режиме реального времени. В
этом направлении в ведущих странах мира пристальное внимание уделяется
совершенствованию систем управления для обеспечения устойчивости элек


background image

троэнергетических систем с учетом колебаний режимных параметров. «За
траты на создание интеллектуальных электрических систем, в том числе
Smart Grid составляют: США – 7,1 трлн., Китай – 7,3 трлн., Япония – 0,8
трлн. долларов. Использование системы Smart Grid к 2020 году позволит
США сэкономить около 1.8 трлн. долларов

1

».

В Республике Узбекистан проводятся широкомасштабные мероприятия

по эффективной организации производства электроэнергии и повышению
устойчивости ЭЭС. В этой сфере, в том числе, по переоснащению высоко
эффективным оборудованием, парагазовой и газотурбинной технологиями,
обеспечивающими выработку электроэнергии, по разработке эффективных
систем управления технологическими объектами и совершенствованию
методов и алгоритмов исследования систем управления, проводится ряд
исследовательских работ.

В мире пристальное внимание уделяется разработке более совер

шенных методов определения устойчивости электрических систем, матрич
ных методов и алгоритмов, позволяющих управлять режимными свойствами
электроэнергетических систем с учетом современных устройств управления.
В этой области осуществление целенаправленных научных исследований

является приоритетной проблемой, при этом весьма актуальны исследования
в следующих направлениях: разработка матричных методов и алгоритмов
определения устойчивости электрической системы с учетом автоматических
регуляторов синхронных генераторов, разработка упрощенных критериев
определения предельного режима по устойчивости сложных ЭЭС, разработка
модели синтеза автоматических регуляторов возбуждения на базе технологии
вложения систем. Проводимые научные исследования по вышеуказанным
научно-исследовательским направлениям подтверждает актуальность темы
данной диссертации.

Данное диссертационное исследование в определенной степени служит

выполнению задач, предусмотренных в Постановлении Президента
Республики Узбекистан №ПП-2343 от 5 мая 2015 года «О Программе мер по

1

Интеллектуальные электроэнергетические системы: концепция, состояние, перспективы. Автоматизация

и IT в энергетике, март 2011 № 3 (20) www.transform.ru: 31.05.2011 г.

31

сокращению энергоемкости, внедрению энергосберегающих технологий в
отраслях экономики и социальной сфере на 2015-2019 годы»

,

в

постановлении Кабинета Министров №238 от 13 августа 2015 года

«

Об

утверждении положения о республиканской комиссии по вопросам энерго
эффективности и развития возобновляемых источников энергии

»,

а также в

других нормативно-правовых документах, принятых в данной сфере.

Соответствие исследования с приоритетными направлениями раз вития
науки и технологий республики.

Данное исследование выполнено в

соответствии с приоритетным направлением развития науки и технологий
республики II. «Энергетика, энерго- и ресурсосбережение».

Обзор

зарубежных научных исследований по теме диссертации

2

.

Научные


background image

исследования, направленные на разработку и создание систем контроля по
обеспечению устойчивости сложных электроэнергетических систем,
осуществляются в ведущих научных центрах и высших образова тельных
учреждениях мира, в том числе Princeton University, Iowa State University,
Rutgers University, Massachusetts Institute of Technology, University of Baltimore
(США), University Of Cambridje (Англия), Royal Institute Of Technology
(Швеция), Dresden University of technology (Германия), The China Electrik
Power Research Institutе (Китай), Siemens (Германия), АВВ (Швеция),
Московский энергетический институт, Военно-воздушная инженерная ака
демия, (Россия), Ташкентский государственный технический университет,
ООО «Научно-технический центр» (Узбекистан).

В результате исследований, проведенных в мире по совершенст

вованию моделей и алгоритмов процессов управления сложными ЭЭС на
базе теории электрических систем и матриц получены ряд научных
результатов, в том числе: создан программный комплекс EUROSTAG,
предназначенный для исследования оптимальных режимов и устойчивости
электрических систем (Electricite de France, Франция); создана система
управления переходными процессами при малых колебаниях (SMAS3,
Испания), разработана система управления устойчивостью и балансами
мощностей динамических систем SIMPOW (ABB, Швеция); созданы
программы расчета режимов сложных ЭЭС (MASS, Канада), на базе IT

технологий созданы автоматизированные комплексы диспетчерского
управления ЭЭС (Siemens, Германия, Московский энергетический институт,
Россия, DYNSPACK, Австралия).

В мире по разработке интеллектуальных методов управления

устойчивостью ЭЭС на базе достижений современных компьютерных
технологий проводятся исследования, по ряду приоритетных направлений, в
том числе: разработка методов решения задач устойчивости сложных
линейных динамических систем на основе современных новых матричных
конструкций и систем автоматического управления – функции Ляпунова в

2

Обзор зарубежных научных исследований по теме диссертации осуществлялся на основе:

http://www.dissercat.com

,

http://www.topuniversities.com

,

http://www.topuniversities.com

, http://www.ifti.ru.

Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем// Калуг:, 2006. –720с. и
других источниках.

32

квадратичной

форме

и

технологии

вложения

систем;

создание

высокоэффективных алгоритмов управления устойчивости ЭЭС; создание
математических моделей переходных процессов на базе абсолютных углов
генераторов.

Степень изученности проблемы

. Решением теоретических и прак

тических задач анализа устойчивости ЭЭС, в том числе задач разработки
алгоритмов и программ расчетов устойчивости при малых возмущениях
параметров режима, занимались известные ученые: П.С. Жданов, А.А. Горев,
А.С. Лебедев, В.А. Веников, Ю.Н. Руденко, Н.И. Соколов, В.А. Строев, И.В.
Литкенс, В.П. Васин, С.А. Совалов, Е.Д. Карасѐв, О.В. Щербачѐв, Ю.П.


background image

Горюнов, Э.С. Лукашов, В.В. Бушуев, Л.А. Кощеев, И.А. Груздев, А.Х.
Есипович, А.А. Юрганов, Б.И. Аюев, Р. Anderson, А. Fouad, Р. Kundur, R.
Byerly, R. Bennon, D. Sherman, D.Wong, G.Rogers, В.Porretta, Х.Ф. Фазилов,
Т.Х. Насиров, Ж.А. Абдуллаев, В.К. Соколов, К.Р. Аллаев и многие другие.

Исследования, посвященные современной теории матриц и их приме

нению в управлении систем, велись со стороны ряда учѐных в том числе: Ф.Р.
Гантмахером, Р.Е. Калманом, А.А.Красовским, А.А. Вороновым,
Х.Розенброком, Ю.Н. Андреевым, М. Уонем, П.Л. Фалбой, Х.Д. Икрамовым,
В.Н. Рябченко, Е.М. Смагиной, Н.Р. Юсупбековым, Х.З. Игамбердиевым и
получены весьма важные результаты, созданные алгоритмы и программные
комплексы используются при проектировании и управлении сложными ди
намическими системами.

Исследования, связанные с решением вопросов обеспечения устой

чивости и управления режимами сложных ЭЭС проводили ряд ученых, в том
числе: В.Н. Буков, В.А.Андреюк, Н.И. Воропай, М.Ш. Мисриханов. Анализ
показывает, что на сегодняшний день матричные методы и алгоритмы
применяются для анализа устойчивости электроэнергетических систем и
здесь получены определенные положительные результаты. Вместе с тем, в
научных публикациях в недостаточной мере рассмотрены вопросы
разработки эффективных алгоритмов управления ЭЭС и систематизации
современных подходов, а также проблемы создания и дальнейшего совер

шенствования эффективных методов, моделей и алгоритмов процессов
управления с учетом регулирующих устройств.

Связь темы диссертации с научно-исследовательскими работами

высшего образовательного учреждения, где выполнена диссертация.

Диссертационное исследование выполнено в рамках плана научно-иссле
довательских работ Ташкентского государственного технического универ
ситета по темам: № 2016001 - «Разработка и анализ современных методов
автоматического управления нормальными, переходными и оптимальными
режимами электроэнергетических систем» (2015-2017гг.); А-3-96-
“Оптимальное управление нагрузками потребителей знергосистемы
Республики Узбекистан” (2015-2017гг.); Ф-2-33-“Определение энергети
ческой эффективности и законов математического моделирования насосных
станций” (2012-2016 гг.).

33

Целью исследования

является разработка матричных методов и

алгоритмов анализа малых колебаний сложных электрических систем,
разработка упрощенных методов определения пределов статической
устойчивости и синтез моделей регуляторов на базе технологии вложения
систем.

Задачи исследования

:

системный анализ существующих методов и алгоритмов исследований

статической устойчивости управляемых электроэнергетических систем;
разработка упрощенных методов и алгоритмов исследований малых


background image

колебаний сложных электроэнергетических систем на основе функций Ляпу
нова и современной теории матриц;

разработка методов исследований малых колебаний регулируемых

электрических систем на основе технологии вложения систем; разработка
модели синтеза регуляторов электрической системы, позво ляющих
обеспечить устойчивость и демпфирование колебаний при малых
возмущениях параметров режима сложной ЭЭС;

расчетно-экспериментальные исследования и сравнительный анализ

статической устойчивости регулируемых сложных электрических систем на
основе разработанных матричных методов и алгоритмов.

Объектом исследования

являются системы управления режимными

параметрами электроэнергетических систем в условиях воздействия малых
колебаний.

Предмет исследования

матричные методы, алгоритмы и математиче

ские модели анализа малых колебаний регулируемых электрических систем,
методы синтеза моделей автоматических регуляторов возбуждения на базе
технологии вложения систем.

Методы исследований.

В процессе исследования использованы тео

рии электрических систем, синтеза и матриц, методы автоматического
управления и технологии вложения систем, методы малых колебаний дина
мических систем и линейной алгебры.

Научная новизна исследования

заключается в следующем: разработан

упрощенный критерий статической устойчивости электри ческой системы на
основе функций Ляпунова в квадратичной форме, со стоящий в
положительности первого, главного минора матрицы квадратич ной формы
(q

11

>0), обеспечивающего необходимые и достаточные условия устойчивости

ЭЭС;

разработан метод совместного применения функций Ляпунова в квад

ратичной форме и уравнений узловых напряжений, позволяющий свести ис
следование статической устойчивости сложной электрической системы к
простой схеме - «генератор-шины»;

разработана проматрица сложной электрической системы на основе

технологии вложения систем, позволяющая исследовать динамические свой
ства ЭЭС;

34

разработан алгоритм перемещения полюсов, обеспечивающий устой

чивость и демпфирование колебаний параметров режима при малых возму
щениях в ЭЭС;

создан алгоритм синтеза математической модели регуляторов на осно

ве технологии вложения систем, обеспечивающая устойчивость и демпфиро
вание малых колебаний в ЭЭС.

Практические результаты исследования

заключаются в следующем:

доказана адекватность условий статической устойчивости электриче ской


background image

системы при малых возмущениях параметров режима, полученных на основе
функций Ляпунова в квадратичной форме, условиям, доставляемым
критериями Гурвица;

разработан на базе первого главного минора матрицы квадратичной

формы Ляпунова упрощенный критерий статической устойчивости, позво
ляющий ускорить процесс определения устойчивости ЭЭС и облегчить дис
петчерское управление;

разработана математическая модель переходных процессов при малых

колебаниях в сложной электрической системе на базе абсолютных углов ге
нераторов;

разработана математическая модель и проматрица сложной ЭЭС на ос

нове технологии вложения систем, позволяющая исследовать динамические
свойства электроэнергетических систем;

разработан алгоритм и программа перемещения полюсов и синтеза ре

гуляторов, обеспечивающих устойчивость и демпфирование малых колеба
ний электроэнергетических систем.

Достоверность результатов исследования.

Достоверность результатов

исследования подтверждается применением апробированных на практике
методов

теории

электрических систем и моделирования систем

автоматического управления, обосновывается совпадением результатов
расчетно-экспериментальных исследований малых колебаний сложных ЭЭС
полученных применением разработанных матричных методов с резуль

татами, полученными классическими методами.

Научная и практическая значимость результатов исследования.

Научная значимость результатов исследования заключается в разработанно
сти математической модели исследований малых колебаний регулируемой
сложной ЭЭС, позволяющей на базе матричного уравнения Ляпунова упро
щенно определить условия нарушения статической устойчивости, обеспечи
вающей и необходимые, и достаточные ее условия и математической модели
сложной ЭЭС относительно абсолютных углов генераторов системы. Разра
ботан класс регуляторов сложной электрической системы, сконструирован
ных аналитически на основе технологии вложения систем.

Практическая значимость разработанных упрощенных методов анали за

малых колебаний в сложных электрических системах, заключается в их
использовании при проектировании электрических систем и диспетчерском
управлении ЭЭС.

35

Внедрение результатов исследования.

Результаты исследований по

разработке матричных методов и алгоритмов анализа статической
устойчивости электрических систем:

методы контроля статической устойчивости на базе функций Ляпунова

матричных методов и алгоритмов внедрены в УП «КУЧГЭС» АО
«Узбекэнерго» (Справка от 11 июля 2016 года № DU-ОР-21/2628 АО
«Узбекэнерго»). Результаты научно-исследовательских работ позволяют


background image

увеличить предел статической устойчивости на 1% и обеспечить повышение
эффективности производства;

алгоритм синтеза регуляторов и перемещение полюсов на базе

технологии вложения систем внедрен на АО «Chirchiq transformator zavodi»
акционерной компанией “Узэлтехсаноат” (Справка от 14 октября 2016 года №
04-149 АК «Узэлтехсаноат»). В результате получено 5% экономия сырья и
материалов обмоток каждого трансформатора ТДТН-2500/110/35 спроекти

рованного с учетом демпфирования малых колебаний;

математическая модель и проматрицы сложных ЭЭС на базе

абсолютных углов генераторов использованы в фундаментальном проекте
ОТ-Ф5-036

«Фор

мализация

взаимосвязи

электромеханических

и

гидромеханических переходных процессов в энергетике» (2007-2011гг.) для
формализации электромеханических переходных процессов. (Справка от 26
октября 2016 года № ФТК-0313/722 Комитета по координации развития науки
и технологий). Внедрение научных результатов облегчает формализацию
электромеханических и гидромеханических

переходных процессов и

повышает эффективность научно-технических исследований.

Апробация результатов исследования.

Результаты диссертации до

ложены на 12 научно-практических конференциях, в том числе на 5 между
народных: Международная научно-техническая конференция «Электро
энергетика-2010» и «Электроэнергетика-2012», Варна, Болгария, (2010 и
2012гг.); Международной конференции по энергетике Азиатско
Тихоокеанского региона (Пекин, Китай 2013 и 2015гг.); 10 Международная
конференция в сфере науки, технологий и управления (Куала Лумпур, Ма
лайзия, 2015г.); на заседании научного семинара по защите докторских дис
сертаций при Диспетчерском управлении энергосистемой Узбекистана
2016г.); объединенном семинаре кафедр ТашГТУ – «Электрические станции,
сети и системы», «Гидравлика и гидроэнергетика», «Электроснабжение»,
«Электротехника, электромеханика, электротехнология» (2016г.).

Опубликованность результатов исследования.

По теме диссертации

опубликованы 25 научных работ, в том числе 8 в зарубежных изданиях. Из
них 15 работ опубликованы в изданиях, рекомендованных Высшей
аттестационной комиссией Республики Узбекистан для публикации
основных научных результатов докторских диссертаций, в том числе: 2
монографии, 2 статьи в иностранных и 13 в республиканских журналах, а
также получены 4 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ.

36

Структура и объем диссертации.

Структура диссертации состоит из

введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы,
приложений. Объем диссертации составляет 188 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ


background image

Во введении

обоснована актуальность и востребованность темы дис

сертации, сформулированы цели и задачи, определены объекты и предметы
исследования, определено соответствие исследования приоритетным направ
лениям развития науки и технологий Республики Узбекистан. Показаны на
учная новизна, обоснована достоверность полученных результатов, раскрыты
теоретическая и практическая значимость результатов, приведены документы
внедрения результатов исследования, сведения об апробации работы, данные
по опубликованным работам и структуре диссертации.

В первой главе

диссертации «

Современное состояние проблемы

исследования малых колебаний электрических систем

» проведен крити

ческий анализ публикаций современного состояния проблемы исследований
малых колебаний (статическая устойчивость) сложных ЭЭС матричными ме
тодами.

Применение матричных уравнений Ляпунова и Риккати расширяется в

связи с разработкой эффективных алгоритмов и программ численного и ана
литического методов их решений. Известно, что функция Ляпунова в квадра
тичной форме для линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами является единственной, которая обеспечивает и необходи
мые, и достаточные условия устойчивости исследуемой системы при малых
возмущениях.

Особо следует указать на интенсивные исследования, приведшие к но

вым и чрезвычайно эффективным методам решений матричных уравнений, в
том числе аналитических, получающих широкое практическое применение.
В последние 20-25 лет российским ученым В.Н. Буковым и его научной
школой предложены новые конструкции матриц, позволяющие расширить
круг решаемых задач, в число которых входят не только минимально фазовые,
но и неминимально-фазовые системы. Матричные конструкции ти па
делители нуля, канонизаторы раскрывают новые возможности анализа и
синтеза линейных динамических систем, имеющие численное и алгоритми
ческое преимущества исследований перед традиционными.

Сутью современного метода исследования динамических систем – тех

нологии вложения систем - является формально строгое определение таких
условий, при которых поведение сложно организованной матричной системы
описывается или интерпретируется поведением совокупности более простых
систем.

Технологию вложения систем в исследованиях электрических систем начали

применять относительно недавно. Рассматриваемое направление сво дится к

двум позициям. Во-первых, это представление решаемой задачи тео рии

систем в виде некоторой специально конструируемой матрицы, назы-

37

ваемой проблемной матрицей (или кратко - проматрицей) и содержащей всю
исчерпывающую информацию о свойствах линейной динамической системы.
Во-вторых, это детерминантные соотношения, удовлетворение которых яв
ляется необходимым и достаточным условием для тождества выбранных по


background image

желанию передаточных функций (операторов) исследуемой системы и сис
темы с желаемыми свойствами, называемой образом. Известны также разра
ботки методов и алгоритм решения уравнений электрической системы в
условиях локальных изменений их матриц коэффициентов. Проведенная
сравнительная оценка методов исследований малых коле баний линейных
(линеаризованных) динамических систем, к которым отно сятся и вопросы
статической устойчивости многомашинных электрических систем,
показывает возрастающую роль матричных методов, ввиду их вы
числительной эффективности и ориентированности к применению для опи
сания переходных режимов сложных динамических систем. При этом теоре
тической основой исследования статической устойчивости математической
модели электроэнергетических систем являются теоремы Ляпунова.

Во

второй главе

диссертации

«Избранные положения современной теории

матриц и систем автоматического управления»

приведены из бранные

положения современной теории матриц и систем автоматического
управления, используемые в работе. Показано, что применяемые для реше
ния матричных уравнений методы сводятся к выполнению последовательно
сти элементарных преобразований строк или столбцов матрицы решаемой
задачи, с учетом правой части. Такие преобразования эквивалентны произве
дению исходной матрицы на матрицы специального вида. К ним относятся
алгебраические объекты и матрицы, такие как делители нуля матриц (правый
и левый), канонизаторы (правый, левый и сводный), а также некоммутатив
ность матричного представления исследуемых систем, которые определяют
алгебраические особенности их математических моделей, позволяющих про
вести глубокий анализ внутренних свойств объекта.

Известным российским ученым В.Н. Буковым и его сотрудниками рас

крыто содержание делителей нуля матриц, разработан метод решения мат
ричных уравнений на основе метода канонизации, что позволяет проводить
аналитические исследования матричных уравнений.

Пусть А

mxn

– матрица размера (mxn) и имеет ранг

����������

=

��

. Для этой матрицы вводятся понятия: левого делителя нуля-матрица

��

��

размера (

m-r

); правого делителя нуля-матрица

��

��

размера (

nxr

) и ранга

(

n-r

); левый канони затор - матрица

��

��

размера (

rxm

); правый канонизатор

-

��

��

- матрица размера (

nxr

) и сводный канонизатор-

A~- матрица размера

(

nxm

).

Делители нуля матрицы (

��

��

и

��

��

)

формализуют все линейно

зависимые комбинации строк и столбцов произвольной матрицы А. Особен

ностью матриц

��

��

и

��

��

является то, что они характеризуют все

линейно не зависимые комбинации строк и столбцов матрицы А.

Справедливы следующие тождества:


background image

38

��

��

����

��

=

��

��

,

��

��

����

��

= 0

,

��

��

����

��

= 0

,

��

��

����

��

= 0

,

��

������

=

��

������

��

��

������

��

.

Таким образом, любой матрице А можно сопоставить неединственную

тройку матриц, включающую левый

��

��

и правый

��

��

делители нуля

макси мального ранга, а также сводный канонизатор A~, т.е.

��

→

��

��

,

��

,

��

��

,

(1) которые характеризуют

внутреннюю структуру матрицы А. Представление матрицы в виде (1)
называют канонизацией матрицы. Исследование задач анализа и синтеза
динамической системы при ма лых возмущениях связано с определением ее
состояний, образующих про странство состояний,

n

x

∈

R

и определяемое решением матричных уравне

ний с постоянными коэффициентами:

��

=

����

+

����

; (2)

��

=

����

+

����

;

(3)

где

А, В, С, D

– матрицы, определяемые параметрами исследуемой системы,

параметрами регулятора и внешних влияний (входа), параметрами выхода и
связью входа и выхода. Уравнения (2), (3) получили названия уравнений сис
темы «вход – состояние – выход».

Уравнения переменных состояния системы могут быть проанализиро

ваны функцией Ляпунова в квадратичной форме, обеспечивающей и необхо
димые и достаточные условия устойчивости исследуемой автономной ли
нейной системы. В работе приведены матричные методы решения уравнений
пространства состояний и матричного уравнения Ляпунова. В третьей главе
диссертации «

Разработка упрощенного критерия статической

устойчивости электрических систем на основе функций Ля пунова в
квадратичной форме

» на основе функций Ляпунова в квадратич ной форме

разработан упрощенный критерий статической устойчивости ЭЭС,
обеспечивающий и необходимые и достаточные ее условия. Рассмотрены
вопросы малых колебаний электрических систем, извест ные виды нарушения
статической устойчивости, полученные на основе кри териев Гурвица,
посредством анализа характеристического уравнения иссле дуемой системы:

��

0

��

��

+

��

1

��

��

−1

+

��

2

��

��

−2

+ ⋯ +

��

��

−1

��

+

��

��

= 0

.

Виды нарушения статической устойчивости определены исходя из тре

бований необходимых и достаточных условий устойчивости, выражающихся
в установлении положительности коэффициентов характеристического урав


background image

нения системы (a

i

>0 – необходимые условия) и всех определителей Гурвица

(

Δ

Гi

>0 – достаточные условия). Очевидно, что с увеличением степени харак

теристического уравнения n решение поставленной задачи усложняется.
Данная задача может быть решена более компактно, с существенными
вычислительными преимуществами, если использовать функции Ляпунова в
квадратичной форме. Математическая модель автономной стационарной
системы, к которой могут быть приведены и дифференциальные уравнения
первого приближения электрической системы имеет вид:

39

��

(∆

��

)

����

=

��

∆

��

; (4)

где

А

– матрица порядка (nxn) с постоянными элементами, называемая

матрицей состояния или матрицы собственной динамики исследуемой элек
трической системы, х,

Δ

х – вектор-столбец параметров режима ЭЭС и их ма

лые отклонения.

Зададимся квадратичной формой:

��

��

,

��

=1

=

��

��

����

→

��

,

��

= 1, 2 … ,

��

; (5)

��

=

��

����

��

��

��

��

здесь Q - пока не известная квадратная матрица коэффициентов квадра
тичной формы; Х

Т

- транспонированный Х (вектор-строка). Функция (5)

называется функцией Ляпунова в квадратичной форме

.

Найдем производную

этой функции с учетом уравнений (4):

����

=

��

��

��

����

��

��

����

��

����

=

����

����

����

+

��

��

�����

�

����

=

����

����

����

+

��

��

�����

�

=

= (

����

)

��

����

+

��

��

������

=

��

��

��

��

����

+

��

��

������

=

��

��

��

��

��

+

����

��

. (6) Введем обозначение:

A

T

Q + QA = - C,

(7) где С – единичная матрица.

Уравнение (7) называется матричным уравнением Ляпунова. Если мат

рица Q положительно определенная, то

.

V

T

x Qx 0

=

−

<

, (8)

когда V

>

0, т.е. происходит убывание функции V, а, следовательно, траекто рия

системы стремится к началу координат, решение автономной линейной
системы (4) асимптотически устойчиво.

Таким образом, если одновременно выполняются неравенства


background image

.

0

V

>

0 и V

<

(9)

в некоторой области пространства переменных (х

1

, х

2

, …, х

n

), включающей

начало координат, то положение равновесия в начале координат асимптоти
чески устойчиво. Это положение сформулировано в теореме Ляпунова.

Следует отметить, что это единственный случай, когда функция Ляпу

нова в квадратичной форме обеспечивает и необходимые, и достаточные ус
ловия асимптотической устойчивости исследуемой линейной динамической
системы и поэтому является универсальной, т.е. она одинакова для любых
динамических систем, если система описывается линейными дифференци
альными уравнениями с постоянными коэффициентами. Во всех остальных
случаях формируемые функции Ляпунова обеспечивают только достаточные
условия устойчивости, и при этом они строятся методом проб и ошибок, т.е
не являются универсальными. Из-за этого применение функций Ляпунова
для нелинейных систем ограничено.

Основная задача заключается в решении матричного уравнения Ляпу нова (7)

и определении Q, как положительно определенной матрицы. Элементы

матрицы Q определяются из (7) решением

��

(

��

+ 1) 2

уравнений, где n -

число уравнений. При этом условия устойчивости ди-

40

намической системы, полученные на основе решения (7), должны быть

строго эквивалентны решениям, полученным из критериев Гурвица. Согласно

теореме Сильвестра, необходимыми и достаточными усло виями

положительной определенности матрицы Q и, следовательно, устой чивости

исследуемой системы (4) при малых возмущениях является положи тельность

главных диагональных миноров данной матрицы:

��

11

��

12

⋯

��

1

��

∆

Л

1

=

��

11

> 0, ∆

Л

2

=

��

11

��

12

��

21

��

22

⋯

��

2

��

> 0

. (10)

��

21

��

22

>

0, … . ,

∆

Л

��

=

⋮

��

��

1

⋮

��

��

2

⋱
⋯
⋮

��

���

�

Исследование статической устойчивости простой электрической сис

темы функцией Ляпунова в квадратичной форме, с учетом переходных
процессов в обмотке возбуждения синхронного генератора показывает, что
положительность первого, главного минора матрицы Q зависит от парамет
ров режима и системы в виде:

′

��

0

∆

Л

1

=

��

11

=

��

��

��

��

0

��

��

��

1

��

��

��

1

> 0

; (11)

где z

0

, z

1

– выражения, зависящие от параметров режима и системы. В

работе показано, что для выполнения условия (11) требуется, чтобы

��

1


background image

=

����

��

��

′

��

��

����

> 0

; (12)

����

��

> 0

; (13)

��

0

> 0 ⋯

��

1

> 0

. (14)

Нарушение положительности (12)-(14) возможно при следующих ус

ловиях:

- при перегрузке генератора, т.е., работе машины за углом 90

0

(с

1

<

0); -

при перекомпенсации индуктивного сопротивления линии электропе редачи
емкостями (X

d

> X

сети

> X

'

d

);

- при значениях углов, близких к нулю, т.е. в режимах, близких к холо

стому ходу. При Р

d

≈

0 и r = 0 из (14) получим:

��

1

= −

��

23

��

32

=

��

1

��

��

−

��

��

′

′

��������

> 0

(15)

��

��

��

��

и, как показывает анализ, положительность (15) может нарушиться когда

��

<

��

11

− arcsin

2

��

��

������

(

��

11

)

��

. (16)

Теоретический и расчетный анализ показал, что положительность в

общем случае высших главных миноров

∆

Л

1

> 0

(

��

= 2 −

��

)

матрицы квадра

тичной формы Q (10), приводит к сложным выражениям, однако их положи
тельность сводится к выполнению тех же трех условий (12)-(14).

Следовательно, из условий нарушения положительности первого глав

ного минора матрицы квадратичной формы Q вытекают известные условия
нарушения статической устойчивости электрической системы (апериодиче
ское нарушение, самовозбуждение, самораскачивание).

41

Таким образом, условия нарушения статической устойчивости элек

трических систем, полученные вторым методом Ляпунова, совпадают с ранее
найденными на основе обобщенных условий Гурвица.

Преимущество предложенного метода исследования статической ус

тойчивости ЭЭС заключается в том, что все виды нарушения устойчивости в

«малом» содержатся в первом, главном миноре и вытекают из нарушения ус

ловия q

11

>

0, при этом данное положение справедливо и для сложной ЭЭС.

Данный факт подтвержден результатами расчетно-экспериментальных

исследований электрической системы разной сложности.


background image

Рис.1.

Изменения коэффициентов характеристического уравнения и определителей

Гурвица (А) и главных миноров квадратичной формы матричного уравнения

Ляпунова (Б) для простой и трехгенераторной системы

В качестве примера на рис.1. приведены сравнительные кривые изме

нения коэффициентов характеристического уравнения и миноров матрицы
квадратичной формы, рассчитанные для простой и трехгенераторной элек
трической системы. Изменения коэффициентов характеристического уравне
ния имеют различный характер при утяжелении режима ЭЭС. В то же время,
изменению главных миноров матрицы квадратичной формы присущ одина
ковый характер. Из характера кривых очевидно, что данное свойство не зави
сит от сложности исследуемой системы.

Учитывая сказанное, можно предложить упрощенное исследование

статической устойчивости ЭЭС анализом положительности только q

11

>

0 и

рассматривать это как практический критерий статической устойчивости
системы, обеспечивающий и необходимые, и достаточные ее условия.

42

При исследовании сложных ЭЭС это дает существенный вычислитель

ный эффект, так как отпадает многократный расчет определителей высокого
порядка или коэффициентов характеристического уравнения.

В работе решена задача синтеза регулятора на базе уравнений пере

менных состояния с решением матричного уравнения Ляпунова и матрично
го уравнения Риккати.


background image

Рис.2. Переходные характеристики в простой ЭЭС: А – регулятор отключен;

Б – имеется АРВ-с, реагирующей на отклонение напряжения, угла ротора и

первой производной угла с синтезированными коэффициентами усиления:

k

0

δ

= 11.57 ед., k

0U

= 16.22 ед., k

1

δ

= -0.3854 ед.

На рис. 2 представлены переходные характеристики ЭЭС при синтези

рованных параметрах АРВ, построенные на основе решения
матричного уравнения

��

+

��

=

��

����

��

��

≈ 12

��

− 6

����

+

��

2

��

2

−1

12

��

+

6

����

+

��

2

��

2

=

Λ

��

(

��

)

;

(17) где

Λ

=

��

����

= 12

��

− 6

����

+

��

2

��

2

−1

12

��

+ 6

����

+

��

2

��

2

;

I, h – единичная матрица и шаг расчета, соответственно.
В четвертой главе диссертации

«Разработка метода определения пре

дела статической устойчивости сложной электрической системы на ос
нове функций Ляпунова в квадратичной форме

» разработана методика

определения предела статической устойчивости сложной ЭЭС на основе со
вместного применения двух фундаментальных методов – метода функции
Ляпунова в квадратичной форме и уравнений узловых напряжений.

Статическая устойчивость сложной ЭЭС при этом исследуется на ос

нове совместного решения матричного уравнения Ляпунова (7) и уравнений
узловых напряжений:

����

=

��

+

��

��

0

��

0

+

��

∗

. (18)

При исследовании статической устойчивости сложных ЭЭС сначала

производится расчет установившегося режима на основе уравнений узловых
напряжений, определяются напряжение для каждого узла k U

k

и ее аргумент

δ

k

и далее, для каждого генератора, с использованием этих данных, прове

ряются положительности первого, главного минора q

11j

матрицы квадратич

ной

формы Q (рис.3).

43

Начало

Расчет

нормального

режима

Якобиан

>0

Нарушение

статической

устойчивости

(

Апериод

.)

Да

Нет


background image

I=0

I=I+1

Да

|U

i

|=0

Нет

Нарушение

статической

Формирование

функции

Ляпунова

устойчивости

НетДа

Нет

Q>0

Конец

I<N

Утяжеление

режима

Да

Рис.3. Алгоритм совместного применения уравнений узловых

напряжений и функций Ляпунова в квадратичной форме

Генератор, у которого изменение q

11j

максимально при утяжелении ре

жима по

параметру П

i

, представляет опасность с точки зрения нарушения статической

устойчивости ЭЭС. Тем самым определяется генератор, который быстрее
остальных приближается к пределу при данном утяжелении. По су ществу,
исследование устойчивости в «малом» сложной ЭЭС предлагаемым методом
превращается в исследование схемы «генератор-шины».

Данный алгоритм аналитически можно показать на примере трехгене

раторной системы. На рис.4. приведен характер изменений q

11j

(где j=1-3) –

первых элементов миноров матриц квадратичных форм Q

j

для каждого гене

ратора исследуемой трехгенераторной электрической системы.

Изменения (приращения) миноров квадратичной формы (

ξ

j

, j=1-n)

для

генераторов при утяжелении режима сложной электрической системы раз
лично, что можем написать в виде:

∆

П

����

,

��

��

+1

=

∆

����

−∆

��

��

+1

��

��

=

��

��

П

��

��

−

П

��

��

+1

; (19)

где

П →

��

,

��

,

��

,

��

и т.д. - параметры режима ЭЭС, по которым могут

быть оп ределены изменения миноров генераторов исследуемой системы в
результате утяжеления; j-генератор, для которого рассчитывается (19

)

;

i

-

текущий шаг

утяжеления для заданного параметра режима ЭЭС.

44


background image

Рис. 4. Изменения главных первых миноров трехгенераторной системы

Условие

ξ

I

>0 для квадратичной формы выполняется всегда, поэтому можно

ограничиться исследованием строгого выполнения неравенства:

∆

∆

����

−∆

��

(

��

+1)

П

��

��

−

П

��

(

��

+1)

=

��

11

��

��

П

��

≻ 0

. (20)

Следовательно, для обеспечения статической устойчивости j-го гене ратора

и, соответственно, ЭЭС, требуется выполнение условия:

��

11

��

��

П

��

≻ 0

.

(21)

На основе полученных результатов можно предложить следующий ал

горитм исследований статической устойчивости сложных электрических сис
тем.

В сложной ЭЭС, по мере утяжеления по заданному параметру режима

П, на каждом шаге i для каждого генератора или выделенных групп генера
торов проверяется условие (21) и сравниваются:

��

П

≻ ⋯

����

11,

��

����

11,1

��

П

≻ ⋯

����

11,

��

��

П

; (22)

где n-количество проверяемых на статическую устойчивость генераторов или
станций. Наиболее опасным, с точки зрения нарушения статической устой
чивости, будет генератор, у которого изменение первого, главного минора
матрицы коэффициентов квадратичной формы, при изменении выделенного
параметра режима системы максимально:

����

11,

��

��

П

→

������

, (23)

для рассматриваемого ряда генераторов.

Это позволяет организовать управление переходным процессом данно

го генератора регулированием АРВ, АРС и других регулирующих устройств
и с упреждением обеспечить его статическую устойчивость. Значимость дан
ного результата для практики эксплуатации энергосистем очевидна.

В таблице 1 показана сравнительная оценка вычислительной сложности


background image

предлагаемого и известных методов, выраженных необходимым числом опе

раций умножения и деления при анализе статической устойчивости ЭЭС.

45

Сравнительная оценка вычислительной сложности предлагаемого и известных

методов, выраженных необходимым числом операций умножения и деления при
анализе статической устойчивости ЭЭС

Таблица 1

Численный метод

Количество генераторов

1

3

7

15

70

1 D – разбиения

0,23

∙

10

4

0,7

∙

10

5

2,5

∙

10

6

0,33

∙

10

8

2 Расчет собственных

значений по QR-алгоритму

3,85

∙

10

3

0,27

∙

10

5

2,4

∙

10

6

5,1

∙

10

6

6,4

∙

10

8

3 Расчет собственных

значений по методу
Арнольди

2,1

∙

10

6

6,8

∙

10

7

4 Совместное применение уз

ловых уравнений и
функций Ляпунова в
квадратичной форме

0,7

∙

10

3

5,8

∙

10

3

5

∙

10

4

4,6

∙

10

5

4,6

∙

10

7


В пятой главе диссертации

«Технология вложения систем как метод

исследования малых колебаний электрической системы»

приведены ре

зультаты исследования статической устойчивости сложных ЭЭС новым ме
тодом – технологией вложения систем.

Технология вложения систем - универсальная совокупность методов и

приемов решения задач теории систем, основанная, прежде всего, на совре
менных достижениях алгебры частных, сводящаяся к определению условий,
при которых сложно организованная (многомерная) система ведет себя ана
логично относительно более простой, доступной для глубокого исследования
системы.

Для применения технологии вложения систем необходимо последова

тельное выполнение трех этапов: формирование проблемной матрицы, фор
мирование тождеств вложения и непосредственное проведение расчетов.

В операторной форме уравнения (2) и (3) представляются в

виде:

px p =Ax p +

����

p ;

y p =Cx p .

(24)

В общем случае количество уравнений в (24) не совпадает с числом

фигурирующих в них переменных. Это связано с тем, что системная матрица


background image

Розенброка:

��

��

=

����

��

−

��

−

��

��

0 ,

(25)

соответствующая (24), имеет размер ((n+m)x(n+s)), т.е. является прямоуголь
ной, что исключает традиционные процедуры, такие как вычисления опреде
лителей, собственных значений и векторов, предназначенных для квадратных
матриц. Для преодоления этого препятствия уравнение (24) дополняется
уравнением вида:

u(p) = u(p), (26) названного регуляризирующим тождеством, не

влияющим на содержание за дачи, представленной уравнением (24).

46

В результате получим систему уравнений в блочно-матричном виде:

⎥

⎥⎥

⎥

⎦⎤

pI A

0 B

−

−

n nxm

⎥⎥

⎥

⎦⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

x(p)

⎢⎢⎢

⎢

⎣⎡

x

0

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− −

=

C I D

m

y(p)

0

mx1

0 0 I

sxn sxm s

u(p)

u(p)

. (27)

В этом случае обобщенное уравнение стационарной линейной динамической
системы (27) можно написать в виде:

Ω

(p)Y(p)

=

U(p),

(28) где

pI A 0 B

Ω

(p)

=

, (29)

− −

⎥⎥

⎥

⎦⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− −

n nxm

C I D

m

0 0 I

sxn sxm s

то есть проблемная матрица (проматрица) размера (n+m+s)x(n+m+s) иссле
дуемой системы является уже квадратной.

Тождество вложения имеет вид:

��

��

��

−1

��

��

��

=

��

��

=

��

��

=

��

(

��

)

��

(

��

)

, (30)

где

��

−1

��

- называется реверсивной проблемной матрицей

(репроматрицей) исследуемой системы размера (n+m+s)x(n+m+s),


background image

��

��

,

��

��

,

��

��

– матрицы вложения и образ системы,

соответственно. Соотношение (30) на основе матриц вложения задает
линейное преоб разование репроматрицы в образ. В работе рассмотрено
только вложение в скалярный образ.

Линейная многосвязная система, представленная проматрицей

��

(

��

)

, вкладывается с помощью матриц вложения

α

(р) и

β

(р) в скалярный

образ

��

����

=

��

(

��

)

��

(

��

)

, если выполняется равенство:

��������

��

−

��

��

0 −

����������

= 0

(31)

или же равенство

��������

��

+

����

−

��

+

��

��������

= 0

. (32)

Выбирая конструкцию матриц вложения

α

ij

(p) и

β

ij

(p

), можно выделять

любой элемент репроматрицы. В случае регулируемой многосвязной дина
мической системы передаточную функцию - скалярный образ - можно полу
чить в виде:

��

����

=

��

(

��

)

��

(

��

)

; (33)

где:

��

��

=

������

(

����

��

−

��

+

������

) −

����

����

(

����

��

−

��

)

, (34)

- знаменатель передаточной функции скалярного образа - характеристиче
ский определитель, который определяет полюса исследуемой системы;

��

��

=

������

����

��

−

��

+

��

(

��

��

+

��

)

��

−

����

����

(

����

��

−

��

)

(35)

- числитель передаточной функции скалярного образа, определяющий нули
исследуемой системы.

47

На основе преобразования формул (31)-(35) можно найти отдельные

передаточные функции системы без вычислений всей ее передаточной мат

рицы. Для этого необходимо матрицы вложения

α

ij

(p) и

β

ij

(p) задать в виде:

��

= 0 … 0 1 0 … 0

��

��

= 0 … 0 1 0 … 0

, (36)

т.е. ненулевыми элементами являются только единицы на i-м и j-м местах;
соответственно, передаточная функция f

ij

(p) системы может быть вычислена

по формуле:

��

����

��

=

det

����

��

−

��

+

��

∆

����

��

−det (

����

��

−

��

)

det (

����

��

−

��

)

, (37)

где

∆

����

=

��

��

−

неполная матрица размера (sxm) с единицей на (j,i)-м


background image

месте. На основе приведенных выражений проведены расчетно
экспериментальные исследования переходных характеристик ЭЭС различной
сложности. Из рис.5. видно, что наличие только канала по производной угла
приводит к резкому повышению качества переходных процессов и в не
сколько раз сокращает время переходного процесса.

Рис.5. Влияние регулирования возбуждения на переходные характеристики

исследуемой системы: А: k

0

δ

= 0; k

1

δ

= 0; k

0u

= 10 ед.; Б: k

0

δ

=0; k

1

δ

= 0.2 ед., k

0u

= 0

При решении вопросов управления режимами и устойчивости электри

ческой системы возникает необходимость перемещать полюса модели элек
трической системы с подбором регулятора

��

��

= −

����

��

,

с

соответствую щим законом управления.

Технология вложения систем позволяет переместить требуемый полюс,

в том числе и комплексный, при строгой неизменности остальных полюсов,
значения которых могут оставаться неизвестными. Данная задача решена
В.Н. Буковым, М.Ш. Мисрихановым и В.Н. Рябченко. Основой предлагаемо
го метода перемещения полюсов является использование специального ли
нейного преобразования матрицы исходной системы (рис.6).

48

Ввод параметров режима и элементов электрической системы

Формирование уравнений пространства состояний

��

=

����

+

����

��

=

����

��

Определение матрицы стратификации:

��

=

��

−

����

��

Определение матричных конструкций

��

��

��

,

����

~

,

��

��

��

Проверка условия:

������

��

= 0

����

(

��

−

��

)

, ΘВ ≠ 0


background image

Условие выполняется

Условие не выполняется

Формирование множества регуляторов

:

��

��

Выбор

��

и проверка перемещения полюса

Проверка условия:

��

(

��

−

����

)

��

��

= 0

����

(

��

−

��

)

Условие выполняется Условие не выполняется

Остановка и вывод смещенного полюса и параметров р

е
ж

Рис.6. Схема алгоритма перемещения полюса модели

и

электрической системы

м

а

Управление полюсами возможно, если выполняются необходимые и

достаточные условия:

R

−

gx(n g)

Θ

A

Θ

0

=

(38)

R

−

и

gx(n g)

Θ

(A )

Θ

0

−

BK

=

, (39)

где Θ – матрица стратификации, а

Θ

R

- правый делитель нуля этой матрицы.

Матрица стратификации определяется соотношением:

. (40) При этом значение любого корня

λ

матрицы собственной

динамики А можно изменить на желаемое

λ

Ж

без изменения всех остальных

полюсов с

помощью обратной связи по состоянию, образованному регулятором, при
надлежащему множеству:

��

��

= (

����

~

��

−

��

ж

+

��

��

����

)

��

, (41) если

для матрицы стратификации Θ, вычисляемой по формуле (40), обеспе чено
условие:

ΘВ ≠ 0, (42)

49

где

η

- произвольная матрица размера (s-rank(ΘB))x1 или число. Алгоритм

перемещения полюсов модели ЭЭС представлен на рис.6. В работе приведен


background image

пример перемещения полюса модели электрической сис темы на базе
синтезированного регулятора.

Разработана модель сложной ЭЭС, разрешенная относительно абсо

лютных углов генераторов, на основе линеаризации уравнения электромаг
нитной мощности i-го синхронного генератора в позиционной идеализации:

��

Г

��

=

��

��

2

��

����

��������

����

+

��

��

��

��

��

����

sin (

��

����

−

��

��

=1,

��

≠

��

��

����

)

. (43)

Разработанные уравнения исследуемой сложной электрической систе

мы в пространстве состояний (2)-(3), содержащей n синхронных генераторов,
имеют обобщенные матрицы собственной динамики А

Σ

размера (4nx4n) и

входа В

Σ

размера 4nxn(k-m), включающие сигналы по соответствующим ка

налам системы АРВ и внешних возмущений:

0

������

��

������

0

������

0

������

��

44(

������

)

;

��

=

��

21(

������

)

��

22(

������

)

��

23(

������

)

0

������

0

�����

�

��

41(

���

���

)

0

�����

�

��

42(

���

���

)

��

33(

�

�����

)

0

�����

�

��

34(

��

����

)

��

= 0

3

����

3(

��

−

��

)

��

41[

����

(

��

−

��

)]

��

42[

����

(

��

−

��

)]

��

43[

����

(

��

−

��

)]

.

Показано, что данная модель справедлива для ЭЭС любой сложности, с

количеством генераторов n, имеющих различные АРВ.

В качестве примера ниже приведены матрицы А

3

, В

3

, для трехгенера

торной

ЭЭС, при наличии в генераторах АРВ, реагирующей на отклонения
абсолютных углов (

Δδ

i

) и напряжения генераторов (

Δ

U

Гi

) и их производных:

0 0 0 ⋮ 1 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 0

0 0 0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 0

0 0 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯

−

��

11

��

12

��

13

⋮ 0 0 0 ⋮ −

����

1

����

��

1

��

0

Т

��

1

0 0 ⋮ 0 0 0

��

21

−

��

22

��

23

⋮ 0 0 0 ⋮ 0 −

����

2

����

��

2

��

0

Т

��

2

0 ⋮ 0 0 0


background image

��

31

��

32

−

��

33

⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 −

����

3

����

��

3

��

0

Т

��

3

⋮ 0 0 0

��

3

=


⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮

1

��

��

1

0 0 ⋮ −

1

��

��

1

0 0



0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0

1

��

��

2

0 ⋮ 0 −

1

��

��

2

0


0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0

1

��

��

3

⋮ 0 0 −

1

��

��

3



⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯

��

0

��

1

��

��

1

0 0 ⋮

��

1

��

1

��

��

1

0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ −

1

��

��

1

0 0



0

��

0

��

2

��

��

2

0 ⋮ 0

��

1

��

2

��

��

2

0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 −

1

��

��

2

0

(44)











0 0

��

0

��

3

��

��

3

⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 −

1

��

��

3

��

��

3

⋮ 0 0

��

1

��

3

50

0 0 0 0 0 0

В

3

=

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

.

(45)

��

OU Г1

Т

е1

��

1UГ1

Т

е1

0 0 0 0

0 0

��

OU Г2

Т

е2

��

1UГ2

Т

е2

0 0

0 0 0 0

��

OU Г3

��

1UГ3


background image

Т

е3

Т

е3

Полученные уравнения и их матрицы приспособлены для совместного

применения с матричным уравнением Ляпунова и уравнений узловых напря
жений, обеспечивающих компактное формирование модели многомашинной
ЭЭС, с учетом регулирующих устройств. Так как матрицы разрежены, то их
вычислительная эффективность не вызывает сомнений и подтверждены про
веденными расчетно-экспериментальными исследованиями ЭЭС разной
сложности.

В работе сформированы уравнения математической модели сложной

ЭЭС для использования с технологией вложения систем. При этом получен

ные выше матрицы собственной динамики и входа имеют вид:

��

=

0

������

��

������

��

21(

������

)

��

22(

������

)

,

��

= 0

������

��

������

, (46)

размеры которых равны: матрица А

Σ

имеет размер (2nx2n), а матрица входа

В

Σ

- (2nxn).

Матрицы (46) позволяют в полном объеме провести исследования ди

намических свойств исследуемой ЭЭС на основе технологии вложения сис

тем. Матрица коэффициентов регулятора К в данном случае имеет вид:

∆

��

1

0 ⋯ 0

∆

��

1

0 ⋯ 0

��

��

��

1

��

��

��

1


∆

��

2

⋯ 0

∆

��

2

⋯ 0 0

��

��

��

2

��

=

0

��

��

��

2

⋯

; (47)


⋯
⋯

⋯

∆

��

��

⋯

0

⋯

0

⋯

⋯⋯

∆

��

��

∆

��

��

и

��

��

�

���


0

0
⋯

��

��

�

���

��

��

�

���

где

��

��

����

∆

��

��

- коэффициенты усиления АРВ

i-го генератора по каналам от

клонения абсолютного угла и скольжения данного генератора. В случае не
обходимости регулятор может быть настроен для любого режимного пара
метра или их сочетаний.

Общая проматрица

Ω

регулируемой электрической системы имеет вид


background image

51

��

0 ⋯ 0 ⋮ −

��

11

−

��

12

⋯ −

��

1

��

⋮ 0 0 ⋯ 0

0

��

⋯ 0 ⋮ −

��

21

−

��

22

⋯ −

��

2

��

⋮ 0 0 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 ⋯

��

⋮ −

��

��

1

−

��

��

2

⋯ −

��

����

⋮ 0 0 ⋯ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

��

11

−

��

12

⋯ −

��

1

��

⋮

��

+

��

��

1

0 ⋯ 0

⋮

����

1

����

��

1

��

0

��

��

1

0 ⋯ 0


−

��

21

��

22

⋯ −

��

2

��

⋮ 0

��

+

��

��

2

⋯ 0 ⋮ 0

����

2

����

��

2

��

0

��

��

2

⋯ 0

(48)

Ω =

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

−

��

��

1

−

��

��

2

⋯

��

����

⋮ 0 0 ⋯

��

+

��

����

⋮ 0 0 ⋯

����

��

��

0

����

����

��

����

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

∆

��

1

0 ⋯ 0 ⋮

��

��

��

1

∆

��

1

0 ⋯ 0 ⋮

��

11

��

12

⋯

��

1

��

��

��

��

1

∆

��

2

⋯ 0 ⋮ 0

��

��

��

2


0

��

��

��

2

∆

��

2

⋯ 0 ⋮

��

21

��

22

⋯

��

2

��

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

∆

��

��

⋮

��

��

1

��

��

2

⋯

��

����

∆

��

��

⋮ 0 0 ⋯

��

��

����

0 0 ⋯

��

��

����

и еѐ можно назвать проматрицей сложной регулируемой электрической сис
темы. Проматрицу нерегулируемой ЭЭС можно получить из (48), заменяя
блок регулятора в нижней левой части

Ω

на нулевую матрицу. Приведенные

матрицы и выражения позволяют исследовать переходные режимы сложных
ЭЭС при малых возмущениях параметров режима.

Одним из важнейших свойств динамической системы является ее инва

риантность. Инвариантность выхода ЭЭС в случае представления регули


background image

руемой системы в пространстве состояний:

��

=

����

+

����

+

����

, (49)

��

= −

����

, (50)

��

=

����

,

(51)

означает, что передаточная матрица от возмущения w(p) к выходу системы
y(p) должна быть тождественно равна нулю:

��

��

��

��

=

��

(

����

��

−

��

��

)

−1

��

= 0

; (52) где

��

��

=

��

+

����

– матрица динамики системы с регулятором. Здесь x, u, y, w –

векторы состояния, управления, выхода и возмущения системы, соответст
венно; A, B, C, S – матрицы с постоянными числовыми элементами соответ
ствующих размеров; K – матрица регулятора, с постоянными числовыми
элементами.

Основная задача - нахождение регулятора (синтез), обеспечивающего

выполнение условия (52). При решении этой задачи возникают определен ные
трудности, так как в (52) присутствует операция обращения матрицы,
причем, как правило, полиномиальной. Современные подходы, основанные на
новых конструкциях матриц, позволяют преодолеть эту преграду.

Необходимые и достаточные условия, при которых справедливо тож

дество (52), обеспечивается, когда система замкнута любым регулятором из
множества:

��

��

,

��

= −

��

��

��

��

��

~

��

��

��

��

����

��

��

��

��

��

~

+

��

��

��

��

��

��

��

+

����

��

��

��

; (53) где -

χ

и

γ

- матрицы заданных

размеров с произвольными числовыми элементами,

52

��

��

- правый делитель нуля матрицы С,

��

��

��

��

- левый делитель нуля

матрицы

��

��

��

, матрицы с верхним обозначением (

~

) – сводные

канонизаторы соответ ствующих матриц, двойные и тройные черточки над
матрицами обозначают повторное определение соответствующего делителя
нуля максимального ранга от комбинации матриц, состоящих под этой
чертой.

Расчетный анализ трехгенераторной ЭЭС с АРВ-с, синтезированный и

имеющий
вид

��

��

,

��

=

��

11

0

0
0

��

2

0

0 0 0

��

21

0

0

0

��

5

0

0

, (54)

0
0

показывает существенное улучшение динамики системы.

На рис.7. приведены характеристики изменения отклонения угла пер

вого генератора

Δδ

1=f(t) электрической системы (рис.7, А) при синтезиро

ванных параметрах регулятора (54) и устойчивой, нерегулируемой ЭЭС, при
обычном регуляторе (рис.7, Б). Процесс затухает достаточно быстро и носит
апериодический характер.


background image

А Б

Рис.7. Характеристики изменения угла первого генератора

Δδ

1

=f(t)

трехгенераторной электрической системы при:

∆

��

��

=

��

����

= −

����

;

��

��

����

∆

��

��

=

��

����

= −

��

;

��

��

����

∆

��

��

=

��

��

=

��

;

��

��

����

A -

��

��

����

∆

��

��

=

��

��

����

∆

��

��

=

��

��

����

∆

��

��

=

��

��

����

∆

��

��

=

��

��

=

��

Б -

��

��

����

∆

��

��

=

��

Таким образом, можно отметить, что на основе метода канонизации мат

риц, являющегося основой технологии вложения систем, обоснованы условия
инвариантности электрической системы к произвольным внешним
возмущени ям. Для решения этой задачи синтезирован соответствующий
регулятор. Сравни тельный анализ полученных результатов с известными
положениями теории ин вариантности подтверждает их достоверность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные теоретические и расчетно-экспериментальные исследования

статической устойчивости сложных электрических систем на базе

разработанных матричных методов и алгоритмов, с применением функций

Ляпунова в квадратич ной форме и технологии вложения систем, позволяют

сделать следующие выводы.


background image

53

1. Функции Ляпунова в квадратичной форме рекомендованы как

эффектив ный метод для исследования линейных динамических систем, к
которым относится электрическая система, описываемая линеаризованными
дифференциальными уравнениями.

2. Доказана адекватность условий нарушения статической устойчивости

электрической системы, полученных на основе положительности главных
миноров матрицы квадратичной формы функции Ляпунова в квадратичной
форме, тем же условиям, доставляемым критериями Гурвица.

3. Полученные теоретические и расчетные результаты позволяют

исследо вать устойчивость ЭЭС в «малом», путем анализа условия
положительности перво го, главного минора матрицы функции Ляпунова в
квадратичной форме q

11j

>

0 и рассматривать ее как практический

(упрощенный) критерий статической устойчи вости ЭЭС, обеспечивающий и
необходимые и достаточные ее условия.

4. Совместное использование функций Ляпунова в квадратичной форме

и уз ловых уравнений позволяет выявить генератор (станцию), работающий в
сложной ЭЭС, приближающийся к пределу по статической устойчивости.
Математическим условием данного утверждения является

dq

11j

d

П

→ max

, т.е.,

максимальность про изводной первого главного минора матрицы
квадратичной формы по регулируемо му параметру для j-го генератора. В
этом случае исследование предела статической устойчивости сложной ЭЭС
превращается в исследование схемы «генератор шины».

5. На основе технологии вложения систем разработаны проматрицы

нерегу лируемых и регулируемых сложных ЭЭС, полностью описывающих и
определяю щих всевозможные характеристики переходных процессов,
позволяющих, в том числе исследовать динамические свойства
электрических систем при малых коле баниях параметров их режима.

6. Предложена модель, в которой на базе технологии вложения систем

син тезирован регулятор сложной электрической системы, аналитически
описывающий класс регуляторов, обеспечивающих устойчивость и
демпфирование колебаний в исследуемой ЭЭС.

7. Проведенные расчетно-экспериментальные исследования по анализу

ста тической устойчивости сложных ЭЭС на базе технологии вложения
систем показа ли качественное совпадение полученных результатов с
результатами, проверенны ми на практике эксплуатации электрических
систем на основе классических мето дов, что подтверждает адекватность
разработанных моделей существующим.

8. Разработана математическая модель электрической системы,

разрешенной относительно отклонений абсолютных углов синхронных
генераторов, которая может быть использована самостоятельно для
исследований малых колебаний сложных ЭЭС. Данную модель малых
колебаний сложных электрических систем рекомендуется использовать
совместно с уравнениями узловых напряжений, опре деляющими модули


background image

напряжений U

i

узлов, а также их аргументами, представляю

щими абсолютные углы

δ

i

относительно балансирующего узла.

54

SCIENTIFIC COUNCIL FOR THE AWARD OFSCIENTIFIC DEGREE

OF DOCTOR OF SCIENCES 14.07.2016.T.02.01 AT TASHKENT STATE

TECHNICAL UNIVERSITY

AND LIMITED LIABILITY COMPANY

“RESEARCH AND DEVELOPMENT CENTER”

TASHKENT STATE TECHNICAL UNIVERSITY

MIRZABAEV AKRAM MAKHKAMOVICH

MATRIX METHODS AND ALGORITHMS FOR STEADY–

STATESTABILITY ANALYSIS OF ELECTRIC POWER SYSTEMS

05.05.02 –Electrical engineering. Electric power plants and

systems. Electro-technical complexes and installations

(technical science)

ABSTRACT OF DOCTORAL DISSERTATION


background image

Tashkent – 2016

55

Subject doctoral dissertation registered for №30.06.2015/В2015.2.Т540 in the Higher Attesta tion

Commission under the Cabinet of Ministers of Uzbekistan.

The doctoral thesis carried out at the Tashkent State Technical University.
The full text of doctoral dissertation available on the web page of the Scientific Council for the

award of the degree of Doctor of Science 14.07.2016.Т.02.01 at the Tashkent State Technical University
and «

S

cientific- technical centre» LLC at www.tdtu.uz.

Abstract of the thesis in three languages (uzbek, russian and english) is available on the web page

at www.tdtu.uz and information-educational portal «ZIYONET».

Scientific consultant: Allaev Kakhraman Rakhimovich

Doctor of Technical Science, Professor

Official opponents: Chemborisova Nailya Shavkatovna

Doctorof Technical Science, Professor

(Russian Federation)

Igamberdiev Khusan Zakirovich

Doctor of Technical Science, Professorу

Sokolov Valeriy Konstantinovich

Doctor of Technical Science, Professor

Leading organization Coordinating Dispatch Center (CDC

)

Defence of the thesis will take place _____"__" 2016, in_____hours at a meeting of the Scientific

Council 14.07.2016.Т.02.01 at Tashkent StateTechnical University and “Research and Development
Center” LLC at 100095, Tashkent, Universitetskaya st., 2.

Tel: (99871) 246-46-00; fax: (99871) 227-10-32; e-mail: tstu_info@tdtu.uz

.

With doctoral dissertation can be found in the Information Resource Center of Tashkent State

Technical University (registration number 02).

Address:100095, Taskent, ул. Universiyetskaya st..Тел.: 246-03-41.

Abstract of the dissertation sent ___«_______» 2016 year.

(distribution protocol № ___ of _______ «_______» 2016 year.)

Х.М.Muratov


background image

Chairman of Council for the award of

Scientific degree of Doctor of Science,

Doctor of Technical Sciences, professor

O.O.Zaripov

Scientific secretary of the Scientific Council for the award of

Scientific degree of Doctor of Science,

Doctor of Technical Sciences, Associate Professor

T.Sh.Gayibov

Vice-Chairman of the Scientific Seminar

at Scientific Council for the award of

Scientific degree of Doctor of Science,

Doctor of Technical Sciences

56

INTRODUCTION (summary of the doctoral dissertation)

The relevance and demanding of the subject of the thesis.

Today, in the

world practice, in the sphere of ensuring the stable operation of electric power sys
tems (EPS), pride of place goes to the creation of high-performance control sys
tems of power generation and consumption processes, involving intelligent tech
nologies. One of the most crucial tasks of rapidly developing modern EPS is ensur
ing its steady-state stability based on real-time operational data processing and
analysis. In this area, the leading countries of the world focus on the improvement
of control systems to ensure the stability of electric power systems, taking into ac
count fluctuations of mode parameters. «Expenses for the creation of intelligent
electric systems, including Smart Grid, are as follows: USA - 7.1 trillion, China -
7.3 trillion, Japan - 0.8 trillion US dollars. The use of the Smart Grid system in
2020 will allow the USA to save about 1.8 trillion US dollars»

1

.

Large-scale activities on the effective organization of power generation and

improvement of the EPS stability are held in the Republic of Uzbekistan. A num
ber of research works are carried out in this area, including high-performance re
equipment of the steam-gas and gas-turbine technology, providing electricity gen
eration, the development of effective control system of technological objects and
improvement of methods and algorithms of research of control systems.

The world's attention is paid to the development of more advanced methods

for determining the stability of electric systems, in particular, matrix methods and
algorithms that allow to more deeply explore the modal properties of electric pow
er systems, taking into account modern control devices. The implementation of
targeted research is a priority in this field, while researches are more relevant in the
following areas: the development of matrix methods and algorithms for determin
ing the stability of the electric power system based on automatic generator field
regulators; the development of simplified criteria for determining the limit mode
for the stability of complex EPS; the development of a model of synthesis of auto
matic field regulators on the basis of the system inclusion technology. Ongoing re
searches in the above-mentioned areas show the relevance of the subject of this


background image

thesis.

This thesis research is designed, to a certain extent, to perform the tasks sti pulated

in the Decree of the President of the Republic of Uzbekistan ПП-2343 dated 5

May 2015уear “On the Program of measures to reduce energy consump tion, to

implement energy saving technologies in the fields of economy and social sphere

for 2015-2019 yy.”, in the Decree of Cabinet of Ministers of the Republic of

Uzbekistan No.238 dated 13 August 2015 year “On approval of the regulation

relating to the republican commission on energy efficiency and development of the

renewable energy resources”, as well as other legal documents adopted in this area.

Compliance of the research with the Republic’s priority fields of science

and technology development

. This research is executed in accordance with the

1

Intelligent electric power systems: the concept, state and prospects. Automation and IT in Power Engineering,

March 2011 No. 3 (20) www.transform.ru: 31.05.2011

57

Republic‟s priority field of the science and technology development II. “Power
Engineering, Power–Resource Conservation”.

Overview of the international research on the theme of the thesis

2

.

Scientific researches aimed at development and implementation of regulated sys
tems to provide stability of complex EPS are carrying out at leading scientific cen
ters and universities, among them: Princeton University, Iowa State University,
Rutgers University, Massachusetts Institute of Technology, University of Balti
more (USA), University of Cambridge (England), Royal Institute of Technology
(Sweden), Dresden University of Technology (Germany), The China Electric Pow
er Research Institute (China), Siemens (Germany), ABB (Sweden), Moscow Pow
er Engineering Institute, Air Force Engineering Academy (Russia), Tashkent State
Technical University, “Research and Development Center” LLC (Uzbekistan). Due
to carried out researches on the development of models and algorithms of
controlling processes of complex EPS based on the electric system theory and
matrices, the several scientific results have been obtained, among them:
EUROSTAG – the software designed for analysis optimal operation mode and sta
bility of EPS (Electricite de France, France); SMAS3 – the software designed for
analysis transient behavior at small oscillations (Spain); SIMPOW – the software
designed for analysis stability and power balance in dynamic systems (Sweden);
MASS – the software designed for the mode analysis of complex EPS (Canada);
on the basis of IT technologies the SCADA systems were designed (Siemens,
Germany, Moscow Power Engineering Institute, Russia, DYNSPACK, Australia).
There are several researches on the development of intelligent methods of EPS‟s
stability control based on the achievements of modern computer technology are
carrying out in the world. Among them are the development of methods for so
lution stability problem of complex linier dynamic systems based on the modern
matrix methods and automatic control systems (Lyapunov‟s function in quadratic
form and system‟s embedding approach); the development of advanced algorithms
of c EPS‟s stability control; the development of transient simulators based on the
absolute angles of generators.

The degree of knowledge of the problem

.The famous scientists such as:


background image

P.S. Zhdanov, A.A. Gorev, A.S. Lebedev, V.A. Venikov, YU.N. Rudenko, N. I.
Sokolov, V.A. Stroev, I.V. Litkens, V.P. Vasin, S.A. Sovalov, E.D. Kara syov, O.V.
Shcherbachyov, YU.P. Goryunov, EH.S. Lukashov, V.V. Bushuev, L.A. Koshcheev,
I.A. Gruzdev, A.H. Esipovich, A.A. YUrganov, B.I. Ayuev, P. Anderson, A.A
Fouad, P. Kundur, R.T. Byerly, R.J. Bennon, D.E. Sherman, D.Y. Wong, G.J.
Rogers, B. Porretta, KH.F. Fazylov, T.KH. Nasyrov, ZH.A. Ab dullaev, V.K.
Sokolov, K.R. Allaev etc. carried out theoretical and practical work on the analysis
of steady-state stability of EPS, including the work on development of algorithms
and software package, which provides stability of EPS in small os cillations.

2

Review of foreign scientific researches on the theme of the thesis was based on: http://www.dissercat.com,

http://www.topuniversities.com, http://www.topuniversities.com, http://www.ifti.ru. System‟s embedding. Analyti cal
approach to analysis and synthesis of matrix systems. // Kaluga:, 2006. –720 pages. and other sources.

58

Foundations of modern matrix theory and its application in various fields of

science and technology have been developed in the works of famous authors, such
as Felix Gentmacher, Rudolf E. Kalman, A.A. Krasovskij, A.A. Voronov, Х. Ro
senbrock, YU.N. Andreev, M. Uonem, P.L. Falb, Kh.D. Ikramov, V.N.Bukov, V.N.
Ryabchenko, M.SH. Misrihanov, E.M. Smagina, N.R. YUsupbekov, KH.Z.
EHgamberdiev and others. The essential results were obtained, created by them
algorithms and software up to now have been used in the design and control of
complex dynamic systems.

The researches related to the solution of issues of providing stability and

control of complex EPS were carried out by the number of scientists, among them:
V.N.Bukov, V.A. Andreyuk, N.I. Voropai, M.SH. Misrihanov etc. The analysis
shows that at this moment the matrix methods and algorithms are used to analyze
the stability of EPS and some positivity have been obtained. However, in scientific
publication are not adequately considered issues of development of high effective
control algorithms of EPS and systematization of modern approaches, as well as,
issues of creation and further development of effective methods, models and algo
rithms of controlling processes with consideration of controllers.

Communication of the thesis theme with the research works of higher

educational institution where the thesis is made.

The thesis research is carried

out within the framework of scientific field of the Tashkent State Technical Uni
versity on the theme No.2016001 – “Development and analysis of modern methods
of automatic control of normal, transitional and optimal operation conditions of
EPS” (2015-2017 ); A-3-96 – “Optimal load control in the power system of the
Republic of Uzbekistan” (2015-2017); F-2-33 – “Estimation of energy efficiency
and the laws of mathematical simulation of pumping stations”(2012-2016).

The objective of the research

is to develop matrix methods and algorithms

of analysis of steady-state stability of complex EPS, to develop simplified methods
of estimation of steady-state stability limit and synthesis of controller models
based on the systems‟ embedding approach.

Tasks of the study

.

comparative analysis of existing methods and algorithms of studying


background image

steady-state stability of controlled electric power systems;

development of simplified methods and algorithms of studying small oscil

lations of complex electric power systems on the basis of the modern matrix
theory;

development of methods of studying small oscillations of controlled electric

power systems on the basis of the system‟s embedding method; synthesis of
regulators of the electric power system, allowing one to ensure stability and
damping of oscillations at small disturbances of the complex EPS‟ operation
condition;

computational-experimental studies and comparative analysis of steady

state stability of regulated complex electric power systems on the basis of devel
oped matrix methods and algorithms.

The object of the study

is electric power systems (EPS) in the context of

impact of small oscillations to the mode parameters.

59

The subject of the study

is matrix methods, algorithms and mathematic

models of analysis of small oscillations of regulated electric power systems (EPS),
synthesis methods of automatic excitation control model based on system‟s em
bedding approach.

The study methods.

In the course of research the Theory of Electric Power

Systems, methods of the modern Theory of Matrices and Automatic Control Sys
tems and synthesis of the system‟s embedding method, methods of small oscilla
tions of dynamic systems and linear algebraic methods are used.

Scientific innovativeness of the dissertation study

consists in the follow

ing:

on the basis of Lyapunov‟s function in the quadratic form, the simplified cri terion

of steady-state stability of the electric power system was obtained, which consisted

in positivity of the first major minor of the quadratic-form matrix (

��

11

> 0

),

ensuring necessary and sufficient conditions of the EPS stability;

the combined use of the method of Lyapunov‟s function in the quadratic

form and node voltage equations was developed, which allowed for reducing stu
dies of steady-state stability of a complex electric power system to the circuitry of
a simple electric power system, or the “generator-bus” system;

a promatrix of the complex unregulated and regulated electric power system

was developed on the basis of the system‟s embedding method, which allowed for
the study of dynamic properties of EPS;

the algorithm of pole transfer from the spectrum of the matrix of own dy

namics of the electric power system was developed, which ensured stability and
damping of fluctuations of the operation condition parameters at small oscillations
in electric power systems;

mathematical model of the class of regulators of the complex electric sys

tem was constructed on the basis of the system‟s embedding method, which en
sured stability and damping of fluctuations of the operation condition parameters at
small oscillations in EPS.

Practical results of the dissertation study

consists in the following:


background image

adequacy of steady-state stability conditions of the electric power system at small
perturbations of the operation condition parameters, obtained on the basis of
Lyapunov‟s functions in the quadratic form, with conditions provided by Hurwitz
criteria was proven;

the simplified criterion of steady-state stability analysis on the basis of prin

cipal, first minor of matrix in Lyapunov‟s quadratic form was developed, which
allows significantly speed up the process of stability estimation of complex EPS
and adoption of operational decisions of dispatching tasks;

the mathematic model of transitional processes at small oscillations in the

regulated complex electric power system was developed, whose variables were ab
solute angles of generators load;

the mathematic model and promatrix of complex EPS on the basis of sys

tem‟s embedding approach was developed, which allows to investigate the dynam
ic characteristics of EPS in the simulation and control;

60

the algorithm and software package was developed. It allows to displace

pole and to synthesize a class of regulator, which provides stability and damping of
EPS in small oscillations.

Reliability of the results

obtained stems from the use of well-known, prac

tically verified methods of the theory of electric power systems and methods of
modeling their elements and the theory of matrices and automatic control systems.
Calculation-experimental studies of small oscillations of complex EPS carried out
on the basis of the developed matrix methods have shown the match of the ob
tained results with the results of studies conducted by Classical Methods.

Scientific and practical significance of study results

. The scientific impor

tance of study results is consists of development the mathematic model of studies
of small oscillations of the regulated EPS, which permits simplified determination
of conditions of steady-state stability loss on the basis of a Lyapunov‟s matrix equ
ation and provides both its necessary and sufficient conditions, as well as in the
building of the complex EPS model relative to absolute load angles of the system
generators. The class of regulators of the complex EPS was constructed by analyti
cal methods based on of system‟s embedding approach.

The practical importance of developed simplified methods of analysis of

small oscillations in complex EPS consist in application these methods in the de
sign of electric power systems and EPS dispatch control systems.

Implementation of findings.

The results of the research for development

matrix approach and algorithms of EPS‟s steady-state stability analysis: the
developed matrix approach and algorithms for studying the steady-state stability
on the base of Lyapunov‟s functions have been implemented at the Unita ry
Enterprise “KuchGES” JSC “Uzbekenergo” (Certificate of implementation No.
DU-OP-21/2628 from JSC “Uzbekenergo” dated 11th July of 2016). The re sults of
the research allow increasing the steady-state stability limit to 1% and so
increasing the production efficiency;

the developed algorithm of controller synthesis and pole variation based on


background image

the system‟s embedding approach have been implemented at the JSC “Chirchiq
transformator zavodi” by the JSC “Uzeltexsanoat” (Certificate No. 04-149 from
JSC “Uzeltexsanoat” dated 14th October of 2016). Through the implementation of
given algorithm for each power transformer TDTN-25000/110/35 designed by tak
ing into account a damping of small oscillations about 5% of winding materials
will be saved;

the mathematic model and promatrix of complex EPS based on the absolute

angles of generator were implemented in fundamental project OT-F5-036 “The
formalization of interconnection between the electromechanical and hydromechan
ical transient in EPS” (2007-2011) for the formalization of electromechanical tran
sient processes (Certificate No. FTK-0313/722 dated 26

th

October of 2016). The

implementation of scientific results exposes formalization of electromechanical
and hydromechanical transient processes and increases the effectiveness of tech
nical-scientific researches.

Evaluation of work results

. The results of the work were announced on the

12 applied science conferences, including 5 international conferences such as: In-

61

ternational scientific and technical conferences “Electrical Power Engineering–
2010” and “Electrical Power Engineering–2012” Varna, Bulgaria, (2010 and
2012); Asia–Pacific Power and Energy Engineering conference “APPEEC–2013”
and “APPEEC–2015” Beijing, China, (2013 and 2015); 10-th International Confe
rence on Science, Technology and Management Kuala Lumpur, Malaysia, (2015);
on the proceedings of the scientific workshop at the Dispatch control of Energy
Power System of Uzbekistan, (2016); on the joint seminar of departments of Tash
kent State Technical University – “Electric Power Plants and Systems”, “Hydrau
lics and hydropower engineering`”, “Energy supply” and „Electrical engineering,
mechanical engineering and electrical technologies”, (2016).

Publications on the theme.

25 research papers, out of which, 8 in foreign

journals were printed. Among them 15 papers were printed in journals recom
mended by the Supreme Attestation Commission of the Republic of Uzbekistan for
the publication the main scientific results of the doctoral dissertation, including 2
monographs, 2 in foreign journals and 13 in national journals. Four certificates
about the registration of software were obtained.

Structure and size of the dissertation.

The dissertation consists of introduc

tion, five chapters, conclusion, references and annexes. The volume of dissertation
is 188 pages.

THE MAIN CONTENTS OF DISSERTATION

In the introduction

, relevance and demand for the theme of the dissertation

are justified; its objectives and goals are formulated; objects and subjects of the
study are defined; compliance of the study with priority areas of development of
science and technologies of the Republic of Uzbekistan is established. Scientific
innovation is shown, reliability of results obtained is justified; theoretical and prac
tical significance of the results are disclosed; documents on putting the study re
sults into life, data on the work approbation, and data on published articles and the


background image

structure of dissertation are listed.

In the first chapter

of the dissertation titled «

The modern state of the

problem of study of small oscillations of EPS»

, the critical analysis of publica

tions on the modern state of the problem of study of small oscillations (steady-state
stability) of complex EPS by means of matrix methods is listed.

Using Lyapunov‟s and Riccati matrix equations is widening in connection

with developing efficient algorithms and software for numerical and analytical me
thods of their solution.

It is well-known that the Lyapunov‟s function in the quadratic form for li

near differential equations with constant factors is the sole function which ensures
both necessary and sufficient conditions of stability of the system under survey, at
its small disturbances.

One should highlight intense studies which have led to new and extremely

efficient methods of solving matrix equations, including analytical ones which gain
broad usage in practice. In the last 20-25 years, Russian scientist V.N. Bukov and
his scientific school offered new matrix designs allowing for expansion of the cir-

62

cle of problems being solved, which include not only minimum-phase systems but
also non-minimum-phase ones. Matrix designs of the type of zero divisors and ca
nonizers open new possibilities of analysis and synthesis of linear dynamic sys
tems which possess numerical and algorithmic advantages over conventional stu
dies.

The kernel of the method of study of dynamic systems – the system‟s em

bedding method – is formal and strict definition of such conditions, under which a
behavior of complexly organized matrix system is described or construed as the
behavior of an aggregate of simpler systems.

The system‟s embedding method has started to be used relatively recently in

the studies of electric power systems

The area under consideration is reduced to two items. First, this is represen

tation of the problem of the theory of systems under survey in the form of some
specially constructed matrix which is called the problem matrix (or, in the abbre
viated form, the promatrix) and contains all-exhausting information about proper
ties of the linear dynamic system. Second, it is determinant ratios, the fulfillment
of which is the necessary and sufficient condition of equality of transfer functions
(operators) of the system under survey and the system with desirable properties
which is called the image.

Methods have been developed and the algorithm is being built for solution

equations of the electric power system under conditions of local changes of ma
trixes of coefficients.

Conducted comparative assessment of investigation methods of small oscil

lations of linear (linearized) dynamic systems, which include issues of steady-state
stability of multimachine electric power systems, shows the increasing role of ma
trix methods in view of their computational efficiency and orientation towards the
use for description of transitional modes of complex dynamic systems. At that,
Lyapunov‟s theoremsprovide theoretical grounds of the study of steady-state sta


background image

bility of the EPS mathematical model.

In the second chapter

of the dissertation titled «

The selected statements of

modern Theory of Matrices and Automatic Control Systems»

, the selected

statements of contemporary Theory of Matrices and Automatic Control Systems
are listed.

It is shown that methods applied to solution of matrix equations are reduced

to the execution of a sequence of elementary transformations of lines or columns of
the matrix of the problem being solved, with the account of the right term. Such
transformations are equivalent to multiplication of the initial matrix by matrices of
the special form. They include algebraic objects and matrices like zero divisors of
matrices (right and left), canonizers (right, left and summed-up), noncommutativity
of a matrix representation of the systems under survey, which predetermine alge
braic peculiarities of their models allowing one to draw profound analysis of in
trinsic properties of the mathematical object.

Prominent Russian scientist V.N. Bukov and his colleagues disclosed the

content of matrix zero divisors and developed the method of solving matrix equa-

63

tions on the basis of the method of canonization, which allows providing analytical
studies of matrix equations.

Let

��

������

be the matrix of the dimension (mxn) with

����������

=

��

. For this matrix, the following terms are introduced: the

left zero divisor – matrix

��

��

of the dimension (

m–r

); right zero divisor –

matrix

��

��

of the dimension (

nxr

) and rank (

n–r

); left canonizer – matrix

��

��

of the dimension (

rxm

); right canonizer–

��

��

matrix of the dimension (

nxr

)

and summed-up canonizer –

��

matrix of the dimension (

nxm

).

Zero divisors of matrices

��

��

и

��

��

formalize all linear-dependence

combina tions of lines and columns of an arbitrary matrix А. The matrices

��

��

and

��

��

are peculiar as they characterize all linear-independent

combinations, respectively, of lines and columns of the matrix А.

The following equalities are just:

��

��

����

��

=

��

��

,

��

��

����

��

= 0

,

��

��

����

��

= 0

,

��


background image

��

��

��

��

= 0

,

��

�����

�

=

��

�����

�

��

��

�����

�

��

.

Thus, any matrix A corresponds to a non-single thrice of matrices including

left

��

��

and right

��

��

zero divisors of the maximum rank, as well as

summed-up ca nonizer

��

, that is:

��

→

��

��

,

��

,

��

��

,

(1)

which characterize the internal structure of the matrix А.

Matrix representation in the form of (1) is called “canonization of the ma

trix”.

Study of problems of analysis and synthesis of a dynamic system at small

disturbances is related to the determination of its states forming a space of states,

��

∈

��

��

and being defined by solution of equations, involving matrices with

constant coefficients:

��

=

����

+

����

(2)

��

=

����

+

����

(3)

where А, В, С, and D are matrices, defined by parameters of the system under sur
vey, parameters of the regulator and external influences (input parameters), output
parameters and connection between input and output. Equations (2) and (3) are


background image

called the equations of the system “input-state-output”.

Equations for variables of the system state can be analyzed via the Lyapu

nov‟s function in the quadratic form, ensuring both necessary and sufficient condi
tions of the stability of the autonomous linear system under study. Listed in the
work are matrix methods of solving equations of the space of states and Lyapu
nov‟s matrix equation.

In the third chapter

of the dissertation titled

«The development of

simplified criteria of steady-state stability of EPS on the basis of Lyapunov’s
function in quadratic form»

, the simplified criterion of steady-state stability of

EPS, providing for both necessary and sufficient conditions of such stability, is de
veloped on the basis of Lyapunov‟s functions in the quadratic form. Matters of
small oscillations of electric power systems, known types of loss of steady-state
stability obtained on the basis of Hurvitz criteria are considered by means of
analysis of the characteristic equation of the system being studied:

64

��

0

��

��

+

��

1

��

��

−1

+

��

2

��

��

−2

+ ⋯ +

��

��

−1

��

+

��

��

= 0

.

Steady-state stability loss types have been defined proceeding from the re

quirements of necessary and sufficient conditions of stability, expressed in the po
sitivity of coefficients of the system characteristic equation (

��

��

> 0

are

necessary conditions) and all Hurwitz determinants (

∆Г

��

> 0

are sufficient

conditions). Clearly, with increasing degree of the characteristic equation

n

, the

solution of the set problems becomes significantly more difficult.

This problem can be solved by more “compact” means, with significant

computational advantages, with the use of Lyapunov‟s functions in the quadratic
form.

The mathematical model of autonomous stationary system, to which first

approximation differential equations of the electric power system can be reduced
given by:

��

∆

��

����

=

��

∆

��

(4)

where А–matrix of the order (

nxn

) with constant elements, called the matrix of

state or the matrix of own dynamics of the electric power system being studied;

х

,

Δ

х

– the column-vector of parameters of the EPS operation condition and their

small deviations.

Let set the quadratic form:

��

��

,

��

=1

=

��

��

����

→

��

,

��

= 1,2 … ,

��

; (5)

��

=

��

����

��

��

��

��

here

Q

is still unknown quadratic matrix of coefficients in the quadratic form; and

��

��

is the transposed

��

(line-vector).

Functions (5) are called Lyapunov‟s functions in the quadratic form. Let

find the derivative of this function, considering equations (4):

����

=

��

��

��

����

��

��


background image

����

��

����

=

����

����

����

+

��

��

�����

�

����

=

����

����

����

+

��

��

�����

�

=

����

��

����

+

��

��

������

=

��

��

��

��

����

+

��

��

������

=

��

��

��

��

��

+

����

��

. (6) Let introduce the

designation

������

+

����

= −

��

, (7)

where C – identity matrix.

Equation (7) is called Lyapunov‟s matrix equation. If the matrix Q is posi

tive definite, then

��

= −

��

��

����

< 0

, (8)

when

��

> 0

, i.e. the descent of function

��

occurs; hence, the trajectory of the

sys tem comes to the origin and the solution of the autonomous linear system (4) is
stable asymptotically.

Thus, if odds are fulfilled simultaneously

��

> 0

and

��

< 0

, (9)

in some area of the space of variables (

��

1

,

��

2

, … ,

��

��

), containing the

origin, the position of equilibrium in the origin is asymptomatically stable. This
statement is formulated in Lyapunov‟s theorem.

It should be noted that this is the sole case when a Lyapunov‟s function in

the quadratic form ensures both necessary and sufficient conditions of the asymp-

65

totic stability of the linear dynamic system being studied and is universal for this
reason; that is, it is the same for any dynamic systems, if the system is described by
linear differential equations with constant coefficients. In all other cases, Lyapu
nov‟s functions being formed ensure only sufficient conditions of stability and,
thereat, they are constructed by the trial-and-error method, i.e. are not universal.
For this reason, the use of Lyapunov‟s function for linear systems is limited.

The major problem deals with the solution of Lyapunov‟s matrix equation

(7) and determination of

Q

as positively definite matrix.

Elements of the matrix

Q

are determined from (7) by solving

��

��

+ 1 2

equations, where

n

is the number of equations. At that, the conditions of the dy

namic system stability, obtained on the basis of the solution of (7), must be strictly
equivalent to solutions obtained on the basis of Hurwitz criteria.

In accordance with Sylvester‟s theorem, positivity of major diagonal minors of

this matrix provides the necessary and sufficient conditions of the positive defi

niteness of

Q

and, consequently, stability of the surveyed system (4) at small dis

turbances, i.e:

∆

Л1

=

��

11

> 0, ∆

Л2

=

��

11

��

12


background image

��

11

��

12

⋯

��

1

��

��

21

��

22

⋯

��

2

��

��

21

��

22

>

0, … . ,

∆

Л

��

=

⋮

��

��

1

⋮

��

��

2

⋱

⋯
⋮

��

����

> 0

.(10)

The study of steady-state stability of a simple electric power system by

means of the Lyapunov‟s function in the quadratic form, with the account of transi
tional processes in the field winding of the synchronous generator shows that posi
tivity of the first, major minor of the matrix

Q

depends on operation condition and

system parameters, and this dependency is:

′

��

0

∆

Л1

=

��

11

=

��

��

��

��

0

��

��

��

1

��

��

��

1

> 0

, (11)

where

��

0

,

��

1

are expressions depending on parameters of the operation

condition and system.

In work is shown that to satisfy the condition (11) required

that

��

1

=

����

��

��

′

��

��

����

> 0

, (12)

����

��

> 0

, (13)

��

0

> 0 ⋯

��

1

> 0

. (14)

Loss of positivity (12)–(14) is possible under the following conditions: – at

reset of the generator, i.e. when the machine works above the angle of
90

0

(

��

1

<

0);

– at over doping of inductive resistance of the power line by capacitances

(

��

��

>

��

��������������

>

��

��

′

);

– at angle magnitudes close to zero, i.e. in operation conditions close to idle,

since at

��

��

≈ 0

and

��

= 0

we will obtain from (14):

��

1

= −

��

23

��

32

=

��

1

��

��

−

��

��

′

′

��������

> 0

, (15)

��

��

��

��

and, as the analysis shows, positivity of (15) can be breached when

66

��

<

��

11

− arcsin

2

��

��

������

(

��

11

)

��

, (16)

Theoretical and computational analysis has shown that in the general case,

positivity of higher major minors

∆

Л1

> 0

(

��

= 2 −

��

) of the matrix of the

quadrat

ic form

Q

(10) leads to complex expressions, however, their positivity

comes to fulfillment of the same three conditions (12)–(14).

In this way, the well-known conditions of steady-state stability loss of the


background image

electric power system (nonperiodic deviation, self-excitation and self-oscillation)
stem from the conditions of the breach of positivity of the first major minor of the
matrix of quadratic form

Q

.

Hence, the conditions of steady-state stability loss of EPS, obtained by Lya

punov‟s second method, match those earlier found on the basis of generalized con
ditions of Hurwitz.

The strong side of the proposed method of study of the EPS steady-state sta

bility consists in the fact that all types of stability loss “in the small” are contained
in the first major minor and stem from the condition

��

11

> 0

, this statement is

just for the complex EPS as well.

This fact was confirmed by results of computational-experimental studies of

EPS of various degree of complexity.By way of illustration, comparative curves of
changing coefficients of the characteristic equation and minors of the matrix of the
quadratic form, estimated for the simple and three-generator electric power system,
are depicted in Fig. 1 Changes of coefficients of the characteristic equation differ
in the nature with the EPS operation condition getting more complex. At the same
time, the change of major minors of the matrix of the quadratic form intrinsically
has the same character. It is clearly obvious from curves that this property does not
depend on the complexity of the studied system.

Fig.1. Changes of coefficients of the characteristic equation and Hurwitz determi

nants (А) and major minors of the quadratic form of the

Lyapunov’s equation (B) for a simple and three-generator systems

67

On this basis, it is possible to recommend the simplified method of steady

state stability analysis of EPS by studying positivity of only

��

11

> 0

and consider

ing it as the feasible criterion of steady-state stability, ensuring both its necessary
and sufficient conditions.

At the study of complex EPS, it provides the significant computational effect


background image

because it allows one to avoid the multiple computation of high-order determinants
or coefficients of the characteristic equation.

The problem of synthesis was solved on the basis of equations of state va

riables with the solution of the Lyapunov‟s matrix equation and Riccati matrix eq
uation:

Fig.2. Transitional characteristics in the simple EPS: (А)the regulator is off;

(B) there is AEC, responding to a deviation of voltage, rotor angle and first

derivative of the angle with synthesized amplification gains:

��

0

��

= 11,57

��

;

��

0

��

= 16,22

��

and

��

1

��

= −0.3854

��

.

In Fig.2 the transitional characteristics of EPS at the AEC‟s synthesized pa

rameters on the basis of solution the following matrix equation, are presented:

��

��

+

��

=

��

����

��

��

≈ 12

��

− 6

����

+

��

2

��

2

−1

12

��

+

6

����

+

��

2

��

2

=

��

��

, (17) where

��

����

= 12

��

− 6

����

+

��

2

��

2

−1

12

��

+ 6

����

+

��

2

��

2

,

I

and

h

is the identity matrix and the calculation pace, respectively.

In the fourth

chapter

of the dissertation titled «

The development of technique of definition of

steady-state stability limit of the complex EPS on the basis of Lyapunov’s
function in quadratic form

», the technique of definition of the steady-state

stability limit of the complex EPS is developed on the basis of combined use of the
Lyapunov‟s function in the quadratic form and nodal voltage equations.

Steady-state stability of the complex EPS is studied therefore on the basis of

the combined solution of the Lyapunov‟s matrix equation (7) and nodal voltage
equations:

����

=

��

+

��

��

0

��

0

+

��

∗

. (18)

When studying steady-state stability of complex EPS, first the calculation of the

established operation condition on the basis of nodal voltage equations is con

ducted, the voltage

��

��

for each node

k

and its argument

��

��

are defined and

then,

68

(Fig.3) is tested.

using these data, positivity of the first major minor

��

11

��

of the quadratic

matrix

Q

Beginning

Calculation of the normal

operation condition


background image

Jacobian>0

Loss of steady-state stability

(aperiodic)

Yes No

I=0

I=I+1
|U

i

|=0 No

Yes

Steady-stability loss

Development of a Lyapunov’s

function

NoYes

No

Q>0

End
I<N

Weighting of the

operating condition

Yes

Fig.3. The algorithm of combined use of nodal voltage equations and Lyapunov’s

functions in the quadratic form

The generator, whose change of

��

11

��

is maximal at the weighting of the

oрeration condition parameter

П

��

, poses danger from the point of loss of steady

state stability of EPS. Thus, the generator is defined which comes to the limit at
that weighting most quickly. In essence, the study of stability of the complex EPS
“in the small” by means of the proposed method turns into the study of the “gene
rator-bus” circuitry.

This algorithm can be shown analytically at the example of the three

generator system. Fig. 4 shows the character of changes of

��

11

��

(where j=1-3),

that is: first elements of minors of quadratic matrices

��

��

for each generator of

the three

generator electric power system.

69

Fig. 4. Changes of first major minors of the three-generator system


background image

Changes (increments) of minors of the quadratic form (

��

��

,

��

= 1 −

��

for dif ferent generators with the weighting of the operation condition of the

electric pow er system are different, which we can put down as:

∆

П

����

,

��

��

+1

=

∆

����

−∆

��

��

+1

��

��

=

��

��

П

����

−

П

��

��

+1

. (19)

where

П →

��

,

��

,

��

,

��

, etc. are parameters of EPS operation condition,

using which the changes of minors of generators of the system under study can be
defined after the weighting; j is generator, for which (19) is calculated; i is current
pace of weighting for the set parameter of the EPS operation condition.

Condition

��

��

> 0

is fulfilled always for the quadratic form; hence, one may

restrict oneself by the study of the strict fulfillment of the inequality

∆

∆

����

−∆

��

��

+1

П

����

−

П

��

��

+1

=

��

11

��

��

П

��

≻ 0

. (20)

In this way, to ensure the steady-state stability of the j-th generator and, con

sequently, EPS, the following condition should be fulfilled:

��

11

��

��

П

��

≻ 0

. (21)

Based on the results obtained, one can offer the following algorithm of

steady-state stability studies of complex systems.

In complex EPS, with weighting by a set parameter of the mode

П

, at each

step

i

, the condition (21) is checked and compared for each generator or selected

generator groups:

��

П

≻ ⋯

����

11,

��

����

11,1

��

П

≻ ⋯

����

11,

��

��

П

, (22)

where

n

is number of generators or stations tested for steady-state stability. The ge

nerator, for which the change of the first major minor of the coefficient matrix of
the quadratic form will be maximum at the change of the selected parameter of the
system‟s operation condition will pose the greatest danger from the point of loss of
steady-state stability:

����

11,

��

��

П

→

������

, (23)

for the series of generators under survey.

70

Table 1 – Comparative estimate of computational complexity of the proposed and

conventional methods, expressed by the necessary number of multiplications and divisions
at the analysis of steady-state stability of EPS

Numerical method

Number of generators


background image

1

3

7

15

70

1 D-division

0,23 ∙ 10

4

0,7 ∙ 10

5

2,5 ∙ 10

6

0,33 ∙ 10

8

2

Computing of own values
using QR algorithm

3,85 ∙ 10

3

0,27 ∙ 10

5

2,4 ∙ 10

6

5,1 ∙ 10

6

6,4 ∙ 10

8

3

Computing of own values
using Arnoldi‟s method

2,1 ∙ 10

6

6,8 ∙ 10

7

4

Combined used of NVE
and Lyapunov‟s functions
in the quadratic form

0,7 ∙ 10

3

5,8 ∙ 10

3

5 ∙ 10

4

4,6 ∙ 10

5

4,6 ∙ 10

7


It allows one to arrange control over the transitional process of this generator

by means of regulation of AEC, auto power control (APC) and other regulating
devices and preliminarily ensure its steady-state stability. The significance of this
result for the practice of power systems‟ running is evident.

Table 1 shows the comparative estimate of computational complexity of the

proposed and conventional methods, expressed by the necessary number of acts of
multiplication and division at analysis of steady-state stability of EPS.

In the fifth chapter

of the dissertation titled

«System’s embedding

approach as the method of study of small oscillations in the EPS»

, the results

of the study of complex EPS‟ steady-state stability by a new method, called the
system‟s embedding method, are presented.

The system‟s embedding method is the universal aggregate of methods and

techniques of solving problems of the systems theory, based first on modern ad
vances of algebra of quotients, which can be reduced to the determination of condi
tions, under which a complexly organized (multidimensional) system behaves si
milarly to a simpler system, available for profound investigation.

To apply the system‟s embedding method, it is necessary that three stages

should be fulfilled sequentially: forming the problem matrix, forming equalities of
embedding and making computations.

In the operator form, equations (2) and (3) are represented as

follows:

����

��

=

����

��

+

����

��

,

��

��

=

����

��

.

(24)

In the general case, the number of equations in (24) does not match the

number of its variables. It is related to the fact that the system matrix of Rosen
brock:

��

��

=

����

��

−

��

−

��

��

0 ,

(25)

matching (24), has the size (

��

+

��

��

��

+

��

, i.e. is rectangular that

excludes tradi tional procedures such as computations of determinants, own values
and vectors predestined for quadratic matrices. To overcome this hindrance,
equation (24) is supplemented by an equation of the following form:


background image

��

��

=

��

��

,

(26)

71

called the regulating equality, which does not influence the content of the problem
presented by equation (24).

As a result, we will obtain the system of equations in the block-matrix form:

����

��

−

��

0

������

−

��

−

��

��

��

−

��

0

������

0

������

��

��

∙

��

��

��

��

��

��

=

��

0

0

����

1

��

(

��

)

. (27)

Then the generalized equation of the steady-state linear dynamic system (27)

can be put down as:

��

��

��

��

=

��

��

, (28)

where

����

��

−

��

0

������

−

��

��

��

=

−

��

��

��

−

��

0

������

0

������

��

��

, (29)

the problem matrix (promatrix) with the dimension

��

+

��

+

��

��

��

+

��

+

��

, of the system under consideration is quadratic.

The embedding equality takes the following shape:

��

��

��

−1

��

��

��

=

��

��

=

��

��

=

��

��

��

��

, (30)

where

��

−1

��

is called the reciprocal problem matrix (repromatrix) of the size

��

+

��

+

��

��

��

+

��

+

��

,of the studied system,

��

��

,

��

��

, and

��

��

are embedding matrices and the image of the

system, respec tively.

The ratio (30) based on embedding matrices sets forth a linear transforma

tion of the repromatrix into the image. In this study, only embedding in the scalar
image is considered.

The linear multivariable system represented by the promatrix

��

��

is em

bended, with the help of embedding matrices

��

��

and

��

��

, into the scalar

age

��

����

=

��

��

��

��

, if the equality is fulfilled:

��������

��

−

��

��

0 −

����������

= 0

, (31)

or the equality is fulfilled:

��������

��

+

����

−

��

+

��

��������

= 0

. (32)

Selecting the construction of embedding matrices

��

����

��

and

��

����

��

, one can select any element of the repromatrix.

In the case of the controllable multivariable dynamic system, the transfer


background image

function – scalar image – can be obtained in the form:

��

����

=

��

��

��

��

,

(33)

where

��

��

=

������

����

��

−

��

+

������

−

����

����

����

��

−

��

, (34)

is consequent of the transfer function of the scalar image, or the characteristic de
terminant, and it defines poles of the system under survey;

72

��

��

=

������

����

��

−

��

+

��

��

��

+

��

��

−

����

����

����

��

−

��

, (35)

is numerator of the transfer function of the scalar image and it defines zeros of the
system under study.

Based on the transformation of formulae (31)-(35), one can find separate transfer

functions of the system without computation of all its transfer matrix. To do this, it

is necessary to set up embedding matrices

��

����

��

and

��

����

��

in the

form:

��

= 0 … 0 1 0 … 0

��

��

= 0 … 0 1 0 … 0

, (36)

i.e. nonzero elements are only items of data in i-th and j-th positions; respectively,

the system‟s transfer function

��

����

can be computed using the formula:

��

����

��

=

������

����

��

−

��

+

��

∆

����

��

−

������

����

��

−

��

������

����

��

−

��

, (37)

where

∆

����

=

��

��

is derogatory matrix of the dimension (

sxm

) with the item

of data in (j,i)-th position.

Fig. 5.

Influence of excitation regulation on transitional characteristics of the system being

studied: А:

��

0

��

= 0;

��

1

��

= 0;

��

0

��

= 10

����������

;

��

:

��

0

��

= 0;

��

1

��

= 0,2;

��

0

��

= 10


background image

Based on the above-listed expressions, computational-experimental studies

of characteristics of EPS of different degree of complexity were carried out. From
Fig. 5 is seen that the availability of only one channel by the angle derivative leads
to the jump of quality of transitional processes and cuts the time of the transitional
process by few times.

When solving problems of operation condition control and stability of the

electric power system, the necessity arises to move poles of the electric system
model, involving selection of the regulator

��

��

= −

����

��

, with the

relevant con trol regularity.

The system‟s embedding method allows shifting the required pole, including

the complex one, at strict exchangeability of the rest poles, whose magnitudes may
remain unknown. This problem was solved by V.N. Bukov, M.Sh. Misrikhanov
and V.N. Ryabchenko. The basis of the proposed method of shifting poles is the
use of the special linear transformation of the initial system‟s matrix.

73

Input of operation condition and electric system parameters

Formation of equations of the state space

Determination of the stratification matrix

Determination matrix struktures

,

Testing the condition:

Testing condition is fulfilled

Testing condition is not fulfilled

б

а

ж

Formation of the set of regulator

а
р

Choice of and cheking of the plane shift

и

л

я

Testing the condition:

п
т
и

Testing condition is fulfilled Testing condition is not fulfilled

Stop and output of the pole shifted and operation condition

parameters

Fig.6. The chart of the pole-shifting algorithm of the electric

power system model


background image

The controlling of poles is possible if the following necessary and sufficient

condition is fulfilled:

������

��

= 0

����

(

��

−

��

)

(38)

and

��

(

��

−

����

)

��

��

= 0

����

(

��

−

��

)

, (39)

where

��

is stratification matrix and

��

��

is the right divisor of zero of that

matrix. The stratification matrix is defined by the ratio:

��

. (40)

��

=

��

−

����

��

At that, the value of any root

��

of the matrix of own dynamics may be

changed for the desirable value

��

ж

without changing all other poles with the help

of feedback by the state, formed by a regulator from the set:

��

��

= (

����

~

��

−

��

ж

+

��

��

����

)

��

, (41)

if the following conditions is fulfilled for the stratification matrix

��

, calculated

by the formula (40):

����

≠ 0

, (42)

where

η

is arbitrary matrix of the dimension

��

−

��������

����

��

1

or digit. The pole shifting algorithm of the EPS

model is shown in Fig.6.

74

The example of shifting the pole of electric power system model on the basis

of the synthesized regulator is given in the study.

The model of complex EPS is developed, which is solved relative to abso lute

angles of generators, on the basis of linearizing the electromagnetic power eq

uation of i-th synchronous generator in the position idealization:

��

Г

��

=

��

��

2

��

����

��������

����

+

��

��

��

��

��

����

������

��

����

−

��

����

��

��

=1,

��

≠

��

. (43)

The developed equations of the complex electric power system in the state

space (2)-(3), when the system contains n synchronous generators, contain genera
lized matrices of own dynamics

��

with the dimension

4

����

4

��

and input

��

with the dimension

4

������

��

−

��

, activating signals through the

relevant channels of the AEC and external perturbation system:

0

������

��

������

0

������

0

������

��

44

������

��

=

��

21

������

��

22

������

��

23

������


background image

0

������

0

�����

�

��

41

������

0

�����

�

��

42

������

��

33

������

0

�����

�

��

34

������

,

��

= 0

3

����

3

��

−

��

��

41

����

��

−

��

��

42

����

��

−

��

��

43

����

��

−

��

It has been shown that this model is just for EPS of any degree of complexi

ty, with n generators having different AEC.

By way of illustration, matrices

А

3

and

В

3

are given below for the three

generator EPS, with the presence of AEC responding to deviations of absolute an
gles (

∆

��

��

) in the generators, voltage of generators ((

∆

��

Г

��

) and their

derivatives:

0 0 0 ⋮ 1 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 0

0 0 0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 0

0 0 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯

−

��

11

��

12

��

13

⋮ 0 0 0 ⋮ −

����

1

����

��

1

��

0

Т

��

1

0 0 ⋮ 0 0 0

��

21

−

��

22

��

23

⋮ 0 0 0 ⋮ 0 −

����

2

����

��

2

��

0

Т

��

2

0 ⋮ 0 0 0

��

31

��

32

−

��

33

⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 −

����

3

����

��

3

��

0

Т

��

3

⋮ 0 0 0

��

3

=


⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮

1

��

��

1

0 0 ⋮ −

1

��

��

1

0 0



0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0

1

��

��

2

0 ⋮ 0 −

1

��

��

2

0


0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0

1

��

��

3

⋮ 0 0 −

1

��

��

3



⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯

��

0

��

1

��

��

1

0 0 ⋮

��

1

��

1

��

��

1

0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ −

1

��

��

1

0 0



0

��

0

��

2

��

��

2

0 ⋮ 0

��

1

��

2

��

��

2

0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 −

1

��

��

2

0

(44)











0 0

��

0

��

3

��

��

3

⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 −

1

��

��

3

��

��

3

⋮ 0 0

��

1

��

3


background image

75

0 0 0 0 0 0

В

3

=

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

(45)

��

OU Г1

Т

е1

��

1UГ1

Т

е1

0 0 0 0

0 0

��

OU Г2

Т

е2

��

1UГ2

Т

е2

0 0


0 0 0 0

��

OU Г3

��

1UГ3

Т

е3

Т

е3

The obtained equations and their matrices are adapted for joint use with the

Lyapunov‟s matrix equation and nodal voltage equations, ensuring the compact
formation of the model of multimachine EPS, with the account of regulating de
vices. Since the matrices are sparse, their computational efficiency is undoubted
that is confirmed by the conducted computational-experimental studies of EPS of
different degree of complexity.

In the study, equations of the mathematical model of the complex EPS are

formed, to be used along with the system‟s embedding method. Thereat, the above
mentioned matrices of own dynamics and input have the form:

��

= 0

������

��

������

��

21

������

��

22

������

,

��

= 0

������


background image

��

������

(46)

and are of the following size: matrix

��

has the size

2

����

2

��

, and input

matrix

��

, (

2

������

).

Matrices (46) allow for a full-fledged study of dynamic properties of the

EPS under study on the basis of the system‟s embedding method. The matrix of
regulator coefficients

К

in this case is written as:

∆

��

1

0

⋯ 0

∆

��

1

0 ⋯ 0

��

��

��

1

��

��

��

1


∆

��

2

⋯ 0

∆

��

2

⋯ 0 0

��

��

��

2

��

=

0

��

��

��

2

⋯

, (47)


⋯
⋯

⋯

∆

��

��

⋯

0

⋯

0

⋯

⋯⋯

∆

��

��

∆

��

��

and

��

��

�

���


0

0
⋯

��

��

�

���

��

��

�

���

where

��

��

����

∆

��

��

are amplification coefficients of

AEC of the i-th generator by

channels of absolute angle deviations and the slipping of the given generator.
When necessary, controller could be adjusted for any operating condition or their
combination.

The general promatrix

Ω

of the regulated electric power system looks like:

76

��

0 ⋯ 0 ⋮ −

��

11

−

��

12

⋯ −

��

1

��

⋮ 0 0 ⋯ 0

0

��

⋯ 0 ⋮ −

��

21

−

��

22

⋯ −

��

2

��

⋮ 0 0 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 ⋯

��

⋮ −

��

��

1

−

��

��

2

⋯ −

��

����

⋮ 0 0 ⋯ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

��

11

−

��

12

⋯ −

��

1

��

⋮

��

+

��

��

1

0 ⋯ 0

⋮

����

1

����

��

1

��

0


background image

��

��

1

0 ⋯ 0


−

��

21

��

22

⋯ −

��

2

��

⋮ 0

��

+

��

��

2

⋯ 0 ⋮ 0

����

2

����

��

2

��

0

��

��

2

⋯ 0

(48)

Ω =

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

−

��

��

1

−

��

��

2

⋯

��

����

⋮ 0 0 ⋯

��

+

��

����

⋮ 0 0 ⋯

����

��

��

0

����

����

��

����

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

∆

��

1

0 ⋯ 0 ⋮

��

��

��

1

∆

��

1

0 ⋯ 0 ⋮

��

11

��

12

⋯

��

1

��

��

��

��

1

∆

��

2

⋯ 0 ⋮ 0

��

��

��

2


0

��

��

��

2

∆

��

2

⋯ 0 ⋮

��

21

��

22

⋯

��

2

��

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

∆

��

��

⋮

��

��

1

��

��

2

⋯

��

����

∆

��

��

⋮ 0 0 ⋯

��

��

����

0 0 ⋯

��

��

����

and it can be called the promatrix of the complex regulated electric power system.
The promatrix of nonregulated EPS can be obtained from (48) by substituting the
block of the regulator in the lower left part of

Ω

for the zero matrix.

The above matrices and expressions permit to explore transitional modes of

complex EPS at small disturbances of the mode parameters.

Invariance is one of the most important properties of the dynamic system.

Invariance of the EPS input in the case of representation of the regulated system in
the state space is expressed by the formula:

��

=

����

+

����

+

����

, (49)

��

= −

����

, (50)

��

=

����

, (51)

it means that the transfer matrix from disturbance

��

��

to the system output

��

��

shall equal zero:

��

��

��

��

=

��

����

��

−

��

��

−1

��

= 0

, (52)

where

��

��

=

��

+

����

is matrix of dynamics of the system with the

regulator. Here

x

,

u

,

y

, and

w

are vectors of state, control, output and disturbance of

the system, re spectively;

A

,

B

,

C

, and

S

are matrices with constant digital elements

of the respec tive size;

K

is regulator matrix with constant digital elements.

The main problem is to find the regulator (synthesis), ensuring the fulfill ment of

the condition (52). Solving this problem poses certain difficulties, as (52) has the

operation of matrix inversion, and, as a rule, it is polynomial.Modern ap proaches,

based on novel constructions of matrices, help overcome this barrier.


background image

Necessary and sufficient conditions, under which the equality (52) is just,

are ensured when the system is closed by any regulator from the set:

��

��

,

��

=

−

��

��

��

��

��

~

��

��

��

��

����

��

��

��

��

��

~

+

��

��

��

��

��

��

��

+

����

��

��

��

(53)

where

χ

and

γ

are matrices of the set size with arbitrary digital elements,

��

��

is

right zero divisor of the matrix

С

,

��

��

��

��

is left zero divisor of the

matrix

��

��

��

, matrices with the upper mark (

~

) are summed-up canonizers of

the respective matrices; double and triple bars above matrices designate the
repeated definition of the re-

77

spective zero divisor of the maximum rank out of the combination of matrices
standing under that bar.

Computational analysis of the three-generator EPS with AECs, synthesized

and having the form:

��

��

,

��

=

��

11

0

0
0

��

2

0

0 0 0

��

21

0

0
0

��

5

0

0

. (54)

0

0

shows the significant improvement of the system‟s dynamics.

In Fig.7, listed are characteristics of the change of deviation of the first gene

rator‟s angle

∆

��

1

=f(t), the stable, regulated electric power system (Fig.7, А) at

the synthesized parameters of the regulator (54) and the stable, unregulated EPS
(Fig. 7, B). The process attenuates relatively quickly and bears virtually aperiodic
cha racter.So one may note that conditions of invariance of the electric power
system‟s reaching arbitrary external perturbations are justified on the basis of the
method of matrix canonization, which is the basis of the system‟s embedding
method. For solving this problem, the relevant regulator was synthesized.
Comparative analysis of the results gotten and the conventional provisions of the
theory of invariance confirm reliability of the former.

Fig.7. Changecharacteristicsof the angle of the first generator

Δδ

1

=f(t)

of the three-generator electric system at:

∆

��

1

=

��

11

= −10

;

��

��

��

1


background image

∆

��

1

=

��

21

= −2

;

��

��

��

2

∆

��

2

=

��

2

= 8

��

��

��

2

A:

��

��

��

1

∆

��

1

=

��

��

��

1

∆

��

1

=

��

��

��

2

∆

��

2

=

��

��

��

2

∆

��

2

=

��

5

= 1

B:

��

��

��

1

∆

��

2

= 0

CONCLUSION

The theoretical and computational-experimental studies of steady-state sta

bility of complex electric systems, carried out on the basis of the developed matrix
methods and algorithms, using Lyapunov‟s functions in the quadratic form and
system‟s embedding method, allow for the following conclusions.

1. Lyapunov‟s functions in the quadratic form are recommended as the

effective method for studying the linear dynamic systems, including the electric
power system described with the help of linear zed differential equations.

2. Adequacy of conditions of the steady-state stability loss of the electric

power system, obtained on the basis of positivity of major minors of the quadratic-

78

form matrix of the Lyapunov‟s function in the quadratic from, to the same condi
tions provided by Hurwitz criteria, was proven.

3. Obtained theoretical and computational results allow one to investigate

the stability of EPS “in the small” by means of analysis of the positivity condition
of the first major minor of the Lyapunov‟s function in the quadratic form

��

11

��

>

0

and consider it to be the practical (simplified) criterion of steady-state stability of

EPS, providing for both its necessary and sufficient conditions.

4. The combined use of Lyapunov‟s functions in the quadratic form and

nodal equations allows one to reveal the generator (station), operating in the com
plex EPS, which is coming to the limit in terms of steady-state stability. The ma
thematical condition of this proposition is

����

11

��

��

П →

������

, i.e.

the maximum of the derivative of the first major minor of the quadratic-form
matrix by the regu lated parameter for the j-th generator. It is evident that in this
case, the study of the steady-state stability limit of the complex EPS turns into the
study of the “genera tor-bus” circuit.

5. On the basis of the systems embedding method, promatrices of the unre

gulated and regulated complex EPS are developed, which provide a full description
of all kinds of characteristics of transitional processes, including the possibility of
studying dynamic properties of electric power systems at small oscillations of their
operation condition parameters.

6. The model is proposed, in which the regulator of the complex electric

power system has been synthesized on the basis of the systems embedding theory
to describe analytically the class of regulators ensuring stability and damping of
oscillations of the studied EPS.


background image

7. The conducted computational-experimental studies aimed at analysis of

steady-state stability of complex EPS on the basis of the systems embedding me
thod have shown the qualitative match of the obtained results with the results,
checked in the course of practical running of electric power systems on the basis of
Classical Methods that confirms the adequacy of the models developed to the al
ready existing ones.

8. The mathematical model of the electric power system, resolved relative to

deviations of absolute angles of synchronous generators, is developed, which can
be used autonomously for the study of small oscillations of complex EPS. This
model of small oscillations must be used together with node voltage equations, de
termining voltage modules of nodes and their arguments, representing absolute an
gles relative to the balancing node.

79

ЭЪЛОН ҚИЛИНГАН ИШЛАР РЎЙҲАТИ

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

LIST OF PUBLISHED WORKS

I бўлим; (I часть; I part)

1. Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М.. Малые колебания электрических сис тем

(матричный подход): Монография. –Ташкент, Fan va tehnologiya, 2011.
-316 с.

2. Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М.. Матричные методы анализа малых ко

лебаний электрических систем: Монография. –Ташкент, Fan va
tehnologiya, 2016. -435 с.

3. Аллаев К.Р., Мирзабаев А.M. К применению матричного анализа ис

следования

статической

устойчивости

электрических

сис

тем.//Проблемы энерго- и ресурсосбережения, 2009.- №3-4. С.15-
25.(05.00.00; №21)

4. Аллаев К.Р., Мирзабаев А.M. Исследование качества переходного процесса

электрической системы при малых возмущени ях.//Проблемы Энерго-
и ресурсосбережения.- Ташкент, 2010.- №1-2. С.53-57. (05.00.00; №21)

5. Мирзабаев А.M. Исследование статической устойчивости сложной

электрической системы функции Ляпунова в квадратичной форме. //
Проблемы энерго- и ресурсосбережения.- Ташкент, 2012. - №3-4. - С.
20-28. (05.00.00; №21)

6. Аллаев К.Р., Мирзабаев А.M. Упрощенный критерий статической ус


background image

тойчивости электрических систем.//Проблемы энерго- и ресурсосбе
режения. - Ташкент, 2013. - №1-2. -С. 10-18. (05.00.00; №21)

7. Мирзабаев А.M. Совместное применение узловых уравнений и функ ции

Ляпунова в квадратичной форме для анализа статической устой
чивости электрической системы. //Проблемы энерго- и ресурсосбе
режения.- Ташкент, 2013.- №1-2. -С. 25-33. (05.00.00; №21)

8. Аллаев К.Р., Мирзабаев А.M., Махмудов Т.Ф., Махкамов Т.А. Техно логия

вложения как метод исследования статистической устойчиво сти
электрических систем. //Проблемы энерго- и ресурсосбережения. -
Ташкент, 2014. - №3. - С. 18-34. (05.00.00; №21)

9. Allaev K.R., Mirzabaev A.M., Makhmudov T.F., Makhkamov T.A. Matrix

Analysis of Steady–State Stability of Electric Power Systems. American
Association for Science and Technology (AASCIT Journals, AASCIT
Communications), 2015.Volume 2.-№ 3.рр 74-82. ISSN: 2375–3803.
(05.00.00; №1)

10. Аллаев К.Р., Мирзабаев А.M., Махмудов Т.Ф., Махкамов Т.А. При

менение технологии вложения систем для исследования малых коле баний в

регулируемой электрической системе.//Проблемы энерго- и

ресурсосбережения.- Ташкент, 2015. №1-2. - С. 32-41. (05.00.00; №21)

80

Библиографические ссылки

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М.. Малые колебания электрических систем (матричный подход): Монография. -Ташкент, Fan va tehnologiya, 2011.-316 с.

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М.. Матричные методы анализа малых колебаний электрических систем: Монография. -Ташкент, Fan va tehnologiya, 2016. -435 с.

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М. К применению матричного анализа исследования статической устойчивости электрических сис-тем.//Проблемы энерго- и ресурсосбережения, 2009.- №3-4. С. 15-25.(05.00.00; №21)

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М. Исследование качества переходного процесса электрической системы при малых возмущени-ях.//Проблемы Энерго- и ресурсосбережения,- Ташкент, 2010,- №1-2. С.53-57. (05.00.00; №21)

Мирзабаев А.М. Исследование статической устойчивости сложной электрической системы функции Ляпунова в квадратичной форме. //Проблемы энерго- и ресурсосбережения.-Ташкент, 2012. - №3-4. -С. 20-28. (05.00.00; №21)

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М. Упрощенный критерий статической устойчивости электрических систем.//Проблемы энерго- и ресурсосбережения. - Ташкент, 2013. - №1-2. -С. 10-18. (05.00.00; №21)

Мирзабаев А.М. Совместное применение узловых уравнений и функции Ляпунова в квадратичной форме для анализа статической устойчивости электрической системы. //Проблемы энерго- и ресурсосбережения,- Ташкент, 2013,- №1-2. -С. 25-33. (05.00.00; №21)

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М., Махмудов Т.Ф., Махкамов Т.А. Технология вложения как метод исследования статистической устойчивости электрических систем. //Проблемы энерго- и ресурсосбережения. - Ташкент, 2014. - №3. - С. 18-34. (05.00.00; №21)

Allaev K.R., Mirzabacv А.М., Makhmudov T.F., Makhkamov T.A. Matrix Analysis of Steady-State Stability of Electric Power Systems. American Association for Science and Technology (AASCIT Journals, AASCIT Communications), 2015.Volume 2.-№ З.рр 74-82. ISSN: 2375-3803. (05.00.00; №1)

Аллаев K.P., Мирзабаев A.M., Махмудов Т.Ф., Махкамов Т.А. Применение технологии вложения систем для исследования малых колебаний в регулируемой электрической системе.//Проблемы энерго- и ресурсосбережения,- Ташкент, 2015. №1-2. - С. 32-41. (05.00.00; №21)

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М. Исследования малых колебаний в регулируемой электрической системе методом технологии вложения систем. //Проблемы энерго- и ресурсосбережения. -Ташкент, 2015. №1-2.-С. 19-31. (05.00.00; №21)

Мирзабаев А.М. Управление полюсами модели электрической системы. //Проблемы энерго- и ресурсосбережения. -Ташкент, 2015. №4. -С. 96-103. (05.00.00; №21)

Мирзабаев А.М. Исследования инвариантности выхода сложной электрической системы на основе технологии вложения систем. Т. Проблемы энерго-и ресурсосбережения. №3, 2016, с.35-43. (05.00.00; №21)

Мирзабаев А.М. Анализ малых колебаний сложных электрических систем на основе технологии вложения систем с учетом абсолютных углов. Т. Проблемы энерго-и ресурсосбережения. №3, 2016, с. 63-68. (05.00.00; №21)

Mirzabacv А.М., Makhkamov Т.А. The investigation of invariance of the output of complex electric power system with application system’s embedding approach. European Science Review, Vienna, Austria. №7-8, 2016, pp 213-216. ISSN: 2310-5577. (05.00.00; №3)

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М., Махкамов Т.А. Matrix analysis applications for investigation electrical system’s static stability./Intcmational scientific and technical conference. - Varna, Bulgariya. pp. 113-121.

Mirzabacv A.M., Makhkamov T.A. Research Of Network Transient Performance At Small Perturbations. /International jubilee conference. «Power Energy-2012».- Varna, Bulgariya. - pp. 111-115.

Simplified Algorithm Of Steady-State Stability Of Electric Power Systems. Proceedings of theiier International conference Kuala Lumpur, Malaysia, 2015. - pp. 25-29.

Mirzabacv A.M., Makhkamov T.A. Research of network transient performance at small perturbations./ Journal Energy and Power Engineering, Beijing, PRC, №5, 2013., pp. 667-670.

Аллаев K.P., Мирзабаев A.M., Махмудов Т.Ф., Махкамов Т.А. Упрошенный критерий статической устойчивости электрических систем. -Научно-технический журнал “Электро”. Москва, Россия, 2015. г. №2. -С. 28-32.

Allaev K.R., Mirzabacv А.М., Makhmudov T.F., Makhkamov T.A. Simplified criterion of steady-state stability of electric power systems. The 5th ASIA-PACIFIC POWER and Energy Engineering Conference (APPEEC-2015)Joumal of Power and Energy Engineering, PRC, Beijing, №3, 2015.-pp. 224-231.

Аллаев K.P., Мирзабаев A.M., Эшмурадов Ш.С. Программа для решения уравнений переходных процессов матричным методом. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ: Гувохнома № DGU 02271.

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М., Эшмурадов Ш.С. Программа для исследования статической устойчивости функцией Ляпунова в квадратичной форме: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. Гувохнома № DGU 02272.

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М., Эшмурадов Ш.С. Программа для анализа наблюдаемости и статической устойчивости регулируемой электрической системы: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. Гувохнома № DGU 02270.

Аллаев К.Р., Мирзабаев А.М., Махмудов Т.Ф., Махкамов Т.А. Программа по управлению полюсами регулируемой электрической системы применением технологии вложения систем: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. Гувохнома Т. №DGU 03515 от 04.02.2016.

inLibrary — это научная электронная библиотека, построенная на парадигме открытой науки (Open Science), основными задачами которой является популяризация науки и научной деятельности, общественный контроль качества научных публикаций, развитие междисциплинарных исследований, современного института научной рецензии, повышение цитируемости узбекской науки и построение инфраструктуры знаний.

КОНТАКТЫ:

Республика Узбекистан, г. Ташкент, ул.Паркент 51, этаж 2

(+998) 99-006-61-10

info@inscience.uz

НАВИГАЦИЯ:

Журналы
Конференции
Организации
Авторы
Блог
Контакты
© Copyright 2025 in Science All Rights Reserved | Developed by in Science | Site create by in Designer