АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
На правах рукописи
УДК 512.554
АДАШЕВ ЖОБИР КОДИРОВИЧ
ОПИСАНИЕ n-МЕРНЫХ АЛГЕБР ЗИНБИЕЛЯ
НИЛЬИНДЕКСА k (n-2
k
n+1)
01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
диссертации на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук
Ташкент – 2011
2
Работа выполнена в Институте математики и информационных техно-
логий Академии Наук Республики Узбекистан
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
Омиров Бахром Абдазович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
Касимов Надимулла Хабибуллевич
кандидат физико-математических наук
Гуламов Акромжон Рустамович
Ведущая организация:
Национальный университет Узбекистана
имени М.Улугбека
Защита диссертации состоится «____» _____________ 2011 года в ____
часов на заседании Специализированного совета Д. 015.17.01 при Институте
математики и информационных технологий АН РУз по адресу: 100125, г.
Ташкент, ул. Дурмон йули, 29.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института
математики и информационных технологий АН РУз.
Автореферат разослан «___» _______________ 2011 г.
Ученый секретарь
Специализированного совета Д. 015.17.01,
кандидат физико-математических наук
А.А. Заитов.
3
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность работы.
Теория алгебр Ли стремительно вошла в мате-
матику в конце XIX века. Благодаря работам многих выдающихся математи-
ков данная теория обогатилась рядом фундаментальных результатов. На со-
временном этапе развития алгебры Ли являются одним из основных и важ-
ных объектов исследования алгебры. Активные исследования в области ал-
гебр Ли привели к возникновению ряда обобщений этих алгебр, таких как
супералгебры Ли, бинарные Лиевые алгебры, алгебры Лейбница и другие.
Из
классической
теории
алгебр
Ли
известно,
что
изучение
конечномерных алгебр Ли сводится к изучению нильпотентных алгебр.
Исследованию нильпотентных алгебр Ли посвящены работы Ю.Б.
Хакимжданова, М.Гоза, Х.Р. Гомеза и других алгебраистов. При этом следует
отметить, что описание всех конечномерных нильпотентных алгебр Ли
представляется необозримой задачей. Поэтому исследования нильпотентных
алгебр Ли проводится с наложением дополнительных условий, таких как
ограничения на индекс нильпотентности алгебры, на характеристическую
последовательность, на градуировку и др.
Напомним, что алгебры Лейбница были введены в начале 90-х годов
прошлого столетия французским математиком Ж.-Л. Лоде и определяются
тождеством Лейбница:
[x,[y,z]]=[[x,y],z] – [[x,z],y].
Нетрудно видеть, что если в алгебре Лейбница потребовать также
выполнение тождества антикоммутативности, то тождество Лейбница
преобразуется в тождество Якоби. Таким образом, алгебры Лейбница
являются «некоммутативным» аналогом алгебр Ли.
В связи с этим естественно возникает задача продолжить результаты,
справедливые для алгебр Ли, на случай алгебр Лейбница. В частности,
использовать подходы и методы, разработанные для нильпотентных алгебр
Ли, в теории алгебр Лейбница. Отметим, что классы нуль-филиформных и
филиформных алгебр Лейбница изучены в работах Ш.А. Аюпова,
Б.А.Омирова и Х.Р.Гомеза
.
Классификациям комплексных филиформных алгебр Лейбница до раз-
мерности 9 посвящены работы Ш.А. Аюпова, Б.А.Омирова, И. С. Рахимова и
И.М. Рихсибоева. Однако, данные классификации не позволяют обобщить
использованные методы на алгебры Лейбница больших размерностей. При
классификации одной из основных задач является получение результатов о
поведении структурных констант при заменах базиса. Следует отметить, что
Б.А.Омировым и Х.Р. Гомезом был построен алгоритм для вычисления
структурных констант при замене базиса для некоторого семейства фили-
формных алгебр Лейбница в произвольной заданной размерности.
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению алгебр, кото-
рые являются кошулево дуальными к алгебрам Лейбница. Напомним, что
понятие кошулево дуальных операд было впервые введено в работах
4
В.Гинзбурга и М.Капранова. Далее, Ж.-Л. Лоде показал, что кошулева дуаль-
ность для алгебры Лейбница приводит к алгебре с тождеством
(x◦y)◦z = x◦(y◦z) + x◦(z◦y).
В дальнейшем алгебры, задающиеся этим тождеством, получили на-
звание алгебр Зинбиеля. Отметим, что слово «Zinbiel» - это слово «Leibniz»,
записанное в обратном порядке букв.
Известная диаграмма Ж.-Л.Лоде состоит из определенного расположе-
ния многообразий алгебр и диалгебр, которые являются кошулево дуальны-
ми по отношению к вертикальной оси, проходящей через ассоциативные ал-
гебры.
Символом А В обозначено вложение категории А в категорию В,
а А В означает, что произвольная алгебра из категории А, снабженная но-
вым умножением принадлежит категории В. Кроме того, для категорий диас-
социативных алгебр, алгебр Ли, алгебр Лейбница, алгебр Зинбиеля, дендри-
формных алгебр, диассоциативных алгебр, ассоциативных и коммутативно-
ассоциативных алгебр указаны правила их связей. В частности,
ассоциативные алгебры переходят в алгебры Ли по правилу
[x, y] = x y – y x;
алгебры Зинбиеля переходят в коммутативные если рассмотреть умно-
жение
ху = x◦y + y◦x;
дендриформные алгебры переходят в ассоциативные по правилу:
xy = x
y + y
x;
диассоциативные алгебры переходят в алгебры Лейбница заданием
следующего умножения:
[x, y] = x ┤y – y├ x.
Диаграмма Лоде показывает насколько тесно взаимосвязаны указанные
алгебры и диалгебры.
В работах А.С. Джумадильдаева, К.М. Туленбаева и других математи-
ков были получены глубокие результаты по теории конечномерных алгебр
Зинбиеля. В частности, доказаны нильпотентность, нильность и разреши-
мость произвольной конечномерной комплексной алгебры Зинбиеля, также
Zinb
Dend
Com
Ass
Leib
Lie
Dias
5
получены оценки для индексов нильпотентности, нильности и разрешимости
конечномерных алгебр Зинбиеля над произвольным полем.
Несмотря на то, что в настоящее время интенсивность теоретических
исследований в области алгебр Зинбиеля высока, работы, посвященные
структурной теории данных алгебр малочисленны. Поэтому, для восполне-
ния этого пробела, была поставлена задача изучить алгебры Зинбиеля с точки
зрения структурной теории.
Одним из основых результатов настоящей диссертационной работы яв-
ляется описание n-мерных комплексных алгебр Зинбиеля нильиндекса k (n-
2
k
n+1).
Степень изученности проблемы.
Описанию структурной теории
ко-
нечномерных
нильпотентных алгебр Лейбница были посвящены работы
Ш.А. Аюпова, Б.А. Омирова, И.С. Рахимова, И.М. Рихсибоева и Л. Камачо. В
частности, полученны классификации комплексных филиформных алгебр
Лейбница до размерности 9.
Используя тот факт, что при классификации од-
ной из основных задач является получение информации о поведении струк-
турных констант при заменах базиса, Б.А. Омировым и Х.Р. Гомезом полу-
чены соотношения для структурных констант в различных базисах для се-
мейств филиформных алгебр Лейбница, естественная градуировка которых
изоморфна не лиевым алгебрам Лейбница.
Аналогичные задачи для алгебр Зинбиеля были рассмотрены в работах
А.С.Джумадильдаева, К.М.Туленбаева и Б.А. Омирова. В частности, ими до-
казано, что всякая конечномерная комплексная алгебра Зинбиеля нильпо-
тентна, а также получены классификации двумерных и трехмерных ком-
плексная алгебр Зинбиеля.
Следует отметить, что до настоящего времени классификация алгебр
Зинбиеля произвольной размерности не была затронута.
Связь диссертационной работы с тематическими планами НИР.
Исследования проводились по гранту Ф.1.1.3 программы фундаментальных
исследований I Ф «Математика, механика, информатика».
Цель исследования.
Целью диссертационной работы является описа-
ние некоторых классов комплексных конечномерных алгебр Зинбиеля и ис-
следование структурной теории алгебр Зинбиеля.
Задачи исследования.
В диссертационной работе рассматриваются
следующие задачи:
– описание поведения структурных констант из класса комплексных
филиформных алгебр Лейбница, естественная градуировка которых изо-
морфна алгебре Ли;
– классификация комплексных алгебр Зинбиеля малых размерностей;
–описание с точностью до изоморфизма комплексных нуль-
филиформных и филиформных алгебр Зинбиеля;
– классификация комплексных естественным образом градуированных
квази-филиформных алгебр Зинбиеля;
–описание дифференцирований нуль-филиформных и филиформных
алгебр Зинбиеля;
6
–характризация некоторых свойств характеристической последова-
тельности естественным образом градуированных алгебр Зинбиеля;
–классификация n-мерных естественным образом градуированных ал-
гебр Зинбиеля нильиндекса n–2 с характеристической последовательностью
равной (n–3, 3);
–получение классификации n-мерных естественным образом градуиро-
ванных алгебр Зинбиеля нильиндекса n–2 с характеристической последова-
тельностью равной (n–3, 1,1,1).
Методы исследований.
В работе используются метод градуирований,
структурные методы, классификационные методы и методы теории инвари-
антов.
Основные положения, выносимые на защиту.
На защиту выносятся
следующие результаты:
1. получен критерий изоморфизма алгебр некоторого класса фили-
формных алгебр Лейбница, естественная градуировка которых является ал-
геброй Ли;
2. получена классификация четырехмерных комплексных алгебр Зин-
биеля;
3. описаны комплексные нуль-филиформные, филиформные алгебры
Зинбиеля и дифференцирования таких алгебр. Более того, вышеуказанное
описание продолжено на класс комплексных естественным образом градуи-
рованных квази-филиформных алгебр Зинбиеля;
4. получены некоторые свойства характеристической последовательно-
сти для алгебр Зинбиеля и классификацированы комплексные n-мерные ал-
гебры Зинбиеля нильиндекса n-2 с характеристическими последовательно-
стями (n–3, 3) и (n–3, 1, 1, 1).
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются
новыми. В качестве основных результатов можно отметить следующие:
– описание некоторого класса филиформных алгебр Лейбница, естест-
венная градуировка которых является алгеброй Ли и получение формул из-
менения структурных констант таких алгебр при адаптированных преобразо-
ваниях базиса;
– классификация четырехмерных комплексных алгебр Зинбиеля;
– классификация комплексных нуль-филиформных и филиформных ал-
гебр Зинбиеля;
– описание n-мерных комплексных естественным образом градуиро-
ванных алгебр Зинбиеля нильиндекса n–1;
– описание дифференцирований нуль-филиформных и филиформных
алгебр Зинбиеля;
– доказательство специфических свойств характеристической последо-
вательности естественным образом градуированных алгебр Зинбиеля;
– классификация n-мерных естественным образом градуированных ал-
гебр Зинбиеля нильиндекса n-2 с характеристическими последовательностя-
ми (n-3, 3) и (n-3, 1,1,1).
7
Научная и практическая значимость результатов исследования.
Результаты и методы, представленные в диссертации, могут быть ис-
пользованы при исследованиях других многообразий алгебр, в теории кате-
горий, в изучении алгебр с различными типами градуировок, вычислении
групп когомологий и гомологий
Реализация результатов.
Диссертация носит теоретический характер.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на семи-
наре «Операторные алгебры и их приложения» под руководством академика
Ш.А.Аюпова (ИМИТ АН РУз) (2008-2010г.); на научном семинаре кафедры
«Алгебра и функциональный анализ» механико-математического факультета
НУУз под руководством академика Ш.А.Аюпова; на республиканской науч-
ной конференции «Ёш математикларнинг янги теоремалари» (Наманган, но-
ябрь, 2006г.); на республиканской научной конференции «проблемы матема-
тики, механики и информационных технологий» (Ташкент, май, 2008 г.).
Опубликованность результатов.
Список публикаций приведен в кон-
це автореферата, в разделе «Список опубликованных работ». Постановки за-
дач в работах [1]–[9] принадлежат Б.А. Омирову, некоторые идеи доказа-
тельств работ [1]–[4] и [6] принадлежат А.Х.Худойбердиеву, основные ре-
зультаты получены диссертантом.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения,
трех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и 62 наименований исполь-
зованной литературы. Диссертация изложена на 94 страницах компьютерно-
го текста.
2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В первой главе приведены предварительные сведения и дано описание
филиформных алгебр Лейбница, естественная градуировка которых является
алгеброй Ли. Кроме того, изучено правило изменения структурных констант
таких алгебр при определенных преобразованиях базиса, и классифицирова-
ны четырехмерные комплексные алгебры Зинбиеля.
Определение 1.1.2.
Алгебра L над полем F называется
алгеброй Лейб-
ница
, если для любых элементов x, y, z
L выполняется тождество Лейбница:
[x, [y, z]] = [[x, y], z] – [[x, z], y]
где [-, -]
умножение в L.
Во втором параграфе первой главы исследуется класс (обозначаемый
через F
3
) филиформных алгебр, естественная градуировка которых изоморф-
на алгебре Ли.
Отметим, что алгоритм вычисления структурных констант
филиформных алгебр Лейбница, естественная градуировка которых приво-
дит к не Лиевым алгебрам Лейбница, уже описан Б.А. Омировым и Х.Р. Го-
мезом.
В дальнейшем мы будем рассматривать следующий класс F
3
:
[e
i
,e
0
] = e
i+1
,
1 ≤ i ≤ n – 1,
[e
0
,e
i
] = –e
i+1
,
2 ≤ i ≤ n – 1,
[e
0
,e
0
] = b
0,0
e
n
,
[e
0
, e
1
] = –e
2
+ b
0,1
e
n
,
8
[e
1
,e
1
] = b
1,1
e
n
,
[e
i
,e
j
] =
1
j
,
i
a e
i+j+1
+
2
j
,
i
a e
i+j+2
+...+
)
1
j
i
(
n
j
,
i
a
e
n–1
+b
i,j
e
n
,
1 ≤ i < j ≤ n – 1,
[e
i
,e
j
] = –[e
j
,e
i
],
1 ≤ i ≤ j ≤ n–1,
[e
i
,e
n–i
] = –[e
n–i
,e
i
] = (–1)
i
b
i,n–i
e
n
,
1 ≤ i ≤ n–1,
где
k
j
,
i
a , b
i,j
C и b
i,n–i
= b при 1 ≤ i ≤ n–1, при этом b
{0; 1} для нечетных n и
b=0 для четных n.
Пусть L – (n+1)-мерная алгебра Лейбница из класса F
3
, фактор-алгебра
L/
e
n
изоморфна n-мерной филиформной алгебре Ли
1
n
1
– a
1,4
ψ
1,4
, где
1
n
1
–
n-мерная филиформная естественным образом градуированная алгебра Ли; и
отображение ψ
1,4
:
1
n
1
1
n
1
1
n
1
определяется следующим образом:
ψ
1,4
(e
1
, e
i
) = –ψ
1,4
(e
i
, e
1
) = e
i+2
, при 2 ≤ i ≤ n–3,
ψ
1,4
(e
i
, e
j
) = –ψ
1,4
(e
j
, e
i
) = 0, в противном случае.
Тогда алгебра L имеет следующую таблицу умножения:
F
3
(a
1,4
): [e
i
,e
0
] = e
i+1
,
1 ≤ i ≤ n – 1,
[e
0
,e
i
] = –e
i+1
,
2 ≤ i ≤ n – 1,
[e
0
,e
0
] = b
0,0
e
n
,
[e
0
, e
1
] = –e
2
+ b
0,1
e
n
,
[e
1
,e
1
] = b
1,1
e
n
,
[e
i
,e
1
] = –[e
1
,e
i
] =a
1,4
e
i+2
+ b
i,1
e
n
,
2 ≤ i ≤ n – 3,
[e
i
,e
j
] = –[e
j
,e
i
] =
i, j n
b e ,
2 ≤ i < j ≤ n–i,
[e
i
,e
n–i
] = –[e
n–i
,e
i
] =(–1)
i
b
i,n–i
e
n
,
1 ≤ i ≤ n–1,
где b
i,n–i
= b при 1 ≤ i ≤ n–1, при этом b
{0,1} для нечетных n и b = 0 для чет-
ных n.
Используя тождество Лейбница, мы получим ограничения на струк-
турные константы семейства F
3
(a
1,4
) при n ≥ 6, таблица умножения которого
имеет вид:
[e
i
, e
0
] = e
i+1
,
1 ≤ i ≤ n–1,
[e
0
, e
i
] = – e
i+1
,
2 ≤ i ≤ n–1,
[e
0
, e
0
] = b
0,0
e
n
, [e
0
, e
1
] = –e
2
+b
0,1
e
n
, [e
1
, e
1
] = b
1,1
e
n
,
[e
2
, e
1
] = – [e
1
, e
2
] = a
1,4
e
4
+ b
2,1
e
n
,
[e
3
, e
1
] = – [e
1
, e
3
] = a
1,4
e
5
,
[e
4
, e
1
] = – [e
1
, e
4
] = a
1,4
e
6
– b
3,2
e
n
,
[e
i
, e
1
] = – [e
1
, e
i
] = a
1,4
e
i+2
,
5 ≤ i ≤ n–2,
[e
3
, e
2
] = – [e
2
, e
3
] = b
3,2
e
n
,
где отсутствующие произведения равны нулю.
Предварительно обозначив алгебру из семейства F
3
(a
1,4
) через L(b
0,0
,
b
0,1
, b
1,1
, b
1,2
, b
2,3
), мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 1.2.1.
Две алгебры Лейбница L(b
0,0
, b
0,1
, b
1,1
, b
1,2
, b
2,3
) и L'(b'
0,0
,
b'
0,1
, b'
1,1
, b'
1,2
, b'
2,3
) изоморфны тогда и только тогда, когда существуют а
0
, c
2
,
c
3
С такие, что выполняются следующие условия:
)
1
j
i
(
n
0
j
,
i
j
i,
a
b
b
при 0
i
j
1,
9
n
0
3
,
2
2
0
3
2
2
2
,
1
4
0
1,2
a
b
)
a
c
2
c
(
b
a
b
,
6
n
0
3
,
2
2,3
a
b
b
.
Формулы изменения структурных констант при замене базиса (изо-
морфизмов) для случая филиформных алгебр Лейбница малых размерностей
получены в теоремах 1.2.2 и 1.2.3.
Определение 1.1.3.
Алгебра A над полем F называется
алгеброй Зин-
биеля
, если для любых x, y, z
A выполняется тождество:
(x◦y)◦z = x◦(y◦z) + x◦(z◦y)
где ◦
умножение в А.
Для произвольной алгебры Зинбиеля определим нижний центральный
ряд:
A
1
= A, A
k+1
= A ◦ A
k
, k
1.
Определение 1.1.4.
Алгебра Зинбиеля A называется
нильпотентной
,
если существует s
N такое, что A
s
= 0. Минимальное число s, обладающее
таким свойством называется
индексом нильпотентности
(
нильиндексом
) ал-
гебры A, т.е. A
s–1
≠ 0 и A
s
= 0.
В третьем параграфе первой главы классифицированы четырехмерные
комплексные алгебры Зинбиеля.
Теорема 1.3.1.
Любая 4-мерная комплексная не разложимая алгебра
Зинбиеля изоморфна одной из следующих попарно неизоморфных алгебр:
A
1
: e
1
◦e
1
= e
2
, e
1
◦e
2
= e
3
, e
2
◦e
1
= 2e
3
, e
1
◦e
3
= e
4
, e
2
◦e
2
= 3e
4
, e
3
◦e
1
= 3e
4
;
A
2
: e
1
◦e
1
= e
3
, e
1
◦e
2
= e
4
, e
1
◦e
3
= e
4
, e
3
◦e
1
= 2e
4
;
A
3
: e
1
◦e
1
= e
3
, e
1
◦e
3
= e
4
, e
2
◦e
2
= e
4
, e
3
◦e
1
= 2e
4
;
A
4
: e
1
◦e
2
= e
3
, e
1
◦e
3
= e
4
, e
2
◦e
1
= –e
3
;
A
5
: e
1
◦e
2
= e
3
, e
1
◦e
3
= e
4
, e
2
◦e
1
= –e
3
, e
2
◦e
2
= e
4;
А
6
: e
1
◦e
1
= e
4
, e
1
◦e
2
= e
3
, e
2
◦e
1
= –e
3
, e
2
◦e
2
= –2e
3
+ e
4
;
А
7
: e
1
◦e
2
= e
3
, e
2
◦e
1
= e
4
, e
2
◦e
2
= –e
3
;
А
8
(
): e
1
◦e
1
= e
3
, e
1
◦e
2
= e
4
, e
2
◦e
1
= –αe
3
, e
2
◦e
2
= –e
4
, α
C
А
9
(
): e
1
◦e
1
= e
4
, e
1
◦e
2
= αe
4
, e
2
◦e
1
= –αe
4
, e
2
◦e
2
= e
4
, e
3
◦e
3
= e
4
, α
C
А
10
: e
1
◦e
2
= e
4
, e
1
◦e
3
= e
4
, e
2
◦e
1
= –e
4
, e
2
◦e
2
= e
4
, e
3
◦e
1
= e
4
;
А
11
: e
1
◦e
1
= e
4
, e
1
◦e
2
= e
4
, e
2
◦e
1
= –e
4
, e
3
◦e
3
= e
4
;
А
12
: e
1
◦e
2
= e
3
, e
2
◦e
1
= e
4
;
А
13
: e
1
◦e
2
= e
3
, e
2
◦e
1
= –e
3
, e
2
◦e
2
= e
4
;
А
14
: e
2
◦e
1
= e
4
, e
2
◦e
2
= e
3
;
А
15
(
): e
1
◦e
2
= e
4
, e
2
◦e
2
= e
3
, e
2
◦e
1
=
1
1
e
4
; α
C \ {1},
А
16
: e
1
◦e
2
= e
4
, e
2
◦e
1
= –e
4
, e
3
◦e
3
= e
4
;
Одним из важных классов нильпотентных алгебр Ли и Лейбница явля-
ется класс p-филиформных алгебр. По аналогии с алгебрами Лейбница для
алгебр Зинбиеля мы введем понятия нуль-филиформных и филиформных ал-
гебр Зинбиеля (p=0 и p=1, соответственно).
Определение 2.1.1.
Алгебру Зинбиеля А размерности n назовём нуль-
филиформной, если dimA
i
= (n + 1) – i, 1 ≤ i ≤ n + 1.
Приведем один из основных результатов параграфа 2.1.
10
Теорема 2.1.1.
Произвольная n-мерная нуль-филиформная алгебра
Зинбиеля изоморфна алгебре NF
n
с таблицей умножения:
e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
C
e
i+j
, при 2 ≤ i + j ≤ n,
где отсутствующие произведения равны нулю и {e
1
, e
2
, …, e
n
} базис алгебры.
Пусть А алгебра Зинбиеля нильиндекса s. Положив A
i
=A
i
/A
i+1
,
1≤i≤s–1,
получим градуированную алгебру Зинбиеля GrA=А
1
А
2
…
А
s–1
, где
А
i
◦A
j
A
i+j
.
Алгебру Зинбиеля А назовем
естественным образом градуированной
,
если А
GrA.
Определение 2.1.2.
Алгебра Зинбиеля А размерности n называется ф
и-
лиформной
, если dimA
i
= n–i, 2 ≤ i ≤ n.
В следующей теореме приводится классификация комплексных естест-
венным образом градуированных филиформных алгебр Зинбиеля.
Теорема 2.1.2.
Произвольная n-мерная (n ≥ 5) естественным образом
градуированная комплексная филиформная алгебра Зинбиеля изоморфна ал-
гебре:
FZ
n
: e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
C
e
i+j
, 2 ≤ i + j ≤ n – 1,
где отсутствующие произведения равны нулю, и {e
1
, e
2
, …, e
n
} базис алгебры.
В следующей теореме приводится классификация комплексных фили-
формных алгебр Зинбиеля.
Теорема 2.1.3.
Любая n-мерная (n
5) комплексная филиформная ал-
гебра Зинбиеля изоморфна одной из трех попарно неизоморфных алгебр:
1
n
FZ : e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
C
e
i+j
, 2 ≤ i + j ≤ n–1;
2
n
FZ : e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
C
e
i+j
, 2 ≤ i + j ≤ n–1, e
n
◦e
1
= e
n–1
;
3
n
FZ : e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
C
e
i+j
, 2 ≤ i + j ≤ n–1, e
n
◦e
n
= e
n–1
.
Следующей этап классификации состоит в описании естественным об-
разом градуированных комплексных квази-филиформных алгебр Зинбиеля.
Определение 2.2.1.
n-мерная алгебра Зинбиеля A называется
квази-
филиформной
, если A
n–2
≠ 0 и A
n–1
= 0.
Пусть A – n-мерная градуированная квази-филиформная алгебра Зин-
биеля, тогда существует базис {e
1
, e
2
, …, e
n
} такой, что e
i
A
i
,
1 ≤ i ≤ n–2.
Не ограничивая общности, можно считать, что e
n–1
А
1
.
Алгебру Зинбиеля А, для которой выполняется условие e
n
A
r
, 1≤r≤n–2,
будем называть
алгеброй типа
А
(r)
.
Классификации
естественным
образом
градуированных
квази-
филиформных алгебра Зинбиеля типа А
(1)
и типа А
(2)
приводится в следую-
щих теоремах.
Теорема 2.2.1.
Любая n-мерная (n ≥ 6) естественным образом градуи-
рованная квази-филиформная алгебра Зинбиеля типа А
(1)
изоморфна алгебре:
e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
C
e
i+j
, 2 ≤ i+j ≤ n–2.
11
Теорема 2.2.2.
Любая n-мерная (n ≥ 8) естественным образом градуи-
рованная квази-филиформная алгебра Зинбиеля типа А
(2)
изоморфна одной из
следующих попарно неизоморфных алгебр:
1
n
KF : e
1
◦e
n–1
= e
n
, e
n–1
◦e
1
=
e
n
, e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
C
e
i+j
, 2 ≤ i+ j ≤ n–2;
2
n
KF : e
1
◦e
n–1
= e
n
, e
n–1
◦e
1
= e
n
, e
n–1
◦e
n–1
= e
n
, e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
C
e
i+j
, 2 ≤ i+ j ≤ n–2;
3
n
KF : e
1
◦e
n–1
= e
n
, e
n–1
◦e
n–1
= e
n
, e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
C
e
i+j
, 2 ≤ i+ j ≤ n–2;
4
n
KF : e
n–1
◦e
1
= e
n
, e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
C
e
i+j
, 2 ≤ i+ j ≤ n–2.
Классификации малых размерностей для таких алгебр предложены в
предложении 2.2.1, теоремах 2.2.3-2.2.5, леммах 2.2.1-2.2.3 и следствиях
2.2.1- 2.2.3.
Таким образом, результаты параграфов 2.1 и 2.2 завершают классифи-
кацию n-мерных естественным образом градуированных алгебр, удовлетво-
ряющих условию А
n–2
0.
В параграфе 2.3 на основе результатов параграфа 2.1 приведены описа-
ния дифференцирований нуль-филиформных и филиформных алгебр Зин-
биеля.
Определение 2.3.1.
Линейное преобразование d алгебры Зинбиеля A
называется
дифференцированием
, если d(x◦y) = d(x)◦y+x◦d(y) для любых
х,у
A.
Как и всякое линейное преобразование n-мерного пространства диффе-
ренцирование задается с помощью n
n матрицы.
Теорема 2.3.1.
Матрица всякого дифференцирования алгебры NF
n
име-
ет следующий вид:
d:=
n
,
n
n
,
3
1
n
,
3
n
,
2
1
n
,
2
2
,
2
n
,
1
1
n
,
1
2
,
1
1
,
1
0
0
0
0
0
0
,
где α
i+1,k
=
i
k
C α
1,k–i
, 1 ≤ i ≤ n–1 и i+1 ≤ k ≤ n.
Описание дифференцирований алгебр
1
n
FZ ,
2
n
FZ и
3
n
FZ получено в тео-
ремах 2.3.2, 2.3.3 и 2.3.4.
Пусть х – элемент множества A\A
2
. Для оператора левого умножения
L
x
определим убывающую последовательность C(x)=(n
1
, n
2
, ..., n
k
), состоя-
щую из размеров жордановых клеток оператора L
x
. На множестве таких по-
следовательностей определим лексикографический порядок.
Определение 3.1.1.
Последовательность C(A)=
)
(
max
2
\
x
C
A
A
x
назовём
ха-
рактеристической последовательностью
алгебры A.
Пусть А – алгебра Зинбиеля и C(А)=(n
1
, n
2
, ..., n
k
). Тогда существует ба-
зис {e
1,
…, e
n
} такой, что матрица оператора левого умножения на элемент е
1
имеет следующие вид:
12
)
s
(
)
2
(
)
1
(
1
n
n
n
,
e
J
0
0
0
J
0
0
0
J
L
,
где
(i) принимает значения из {1, 2, …, s}. Не ограничивая общности, мож-
но полагать, что n
(2)
n
(i)
при 3≤ i ≤s.
Теорема 3.1.1.
Пусть А – естественным образом градуированная алгеб-
ра Зинбиеля с характеристической последовательностью, равной (n
1
, n
2
, ...,
n
k
), где n
(1)
= 1. Тогда n
(2)
<4.
Отметим, что условие n
(2)
< 4 в теореме 3.1.1 является существенным.
Приведем один из основных результатов параграфа 3.1.
Теорема 3.1.2.
Пусть А - естественным образом градуированная алгеб-
ра Зинбиеля типа II с характеристической последовательностью (n–p, p). То-
гда
2
3
2
n
p
n
.
При доказательстве следующей теоремы используются свойства харак-
теристической последовательности.
Пусть A n-мерная разложимая алгебра Зинбиеля, т.е. A = M
N.
Теорема 3.1.3.
Алгебра А имеет характеристическую последователь-
ность равную (n–p, p) тогда и только тогда, когда M и N – нуль-
филиформные алгебры Зинбиеля, где dim M = n–p, dim N = p.
Следующий этап изучения нильпотентных алгебр Зинбиеля состоит в
классификации алгебр Зинбиеля с нильиндексом n–2.
Рассмотрим естественным образом градуированную n-мерную алгебру
Зинбиеля с характеристической последовательностью равной (n-3, 3).
Алгебру Зинбиеля назовем
алгеброй первого типа
(типа I), если опера-
тор
1
e
L имеет вид
3
3
n
J
0
0
J
; алгебру Зинбиеля назовем
алгеброй второго
типа
(типа II), если оператор
1
e
L имеет вид
3
n
3
J
0
0
J
.
Теорема 3.2.1.
Любая n-мерная (n ≥ 8) естественным образом градуи-
рованная алгебра Зинбиеля с характеристической последовательностью (n-
3,3) типа I изоморфна одной из следующих попарно неизоморфных алгебр:
А
1
: e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
С
e
i+j
, 2≤ i+j ≤n–3, e
1
◦e
n–2
= e
n–1
, e
1
◦e
n–1
= e
n
, e
n–2
◦e
1
=
e
n–1
,
e
n–1
◦e
1
= (
+1)e
n
, e
n–2
◦e
2
=
2
)
1
(
e
n
,
e
2
◦e
n–2
= (
+1)e
n
, α
C,
А
2
: e
i
e
j
=
j
1
j
i
С
e
i+j
, 2≤ i+j ≤n–3,
e
1
◦e
n–2
= e
n–1
, e
1
◦e
n–1
= e
n
, e
n–2
◦e
1
= –e
n–1
, e
n–2
◦e
n–1
= e
n
,
А
3
: e
i
e
j
=
j
1
j
i
С
e
i+j
, 2≤ i+j ≤n–3, e
1
◦e
n–2
= e
n–1
, e
1
◦e
n–1
= e
n
,
e
n–2
◦e
1
= e
n–1
, e
n–1
◦e
1
= 2e
n
, e
n–2
◦e
2
= e
n
,
e
2
◦e
n–2
= 2e
n
,
13
e
n–2
◦e
n–2
= e
n–1
, e
n–2
◦e
n–1
= e
n
, e
n–1
◦e
n–2
= 2e
n
,
где отсутствующие произведения равны нулю.
Перейдем теперь к рассмотрению естественным образом градуирован-
ных алгебр Зинбиеля типа II.
Теорема 3.2.2.
Пусть А естественным образом градуированная алгебра
Зинбиеля типа II. Тогда ее размерность не больше чем 10.
В работах Б.А.Омирова, Х.Р. Гомеза, Л.М. Камачо и И.М. Рихсибоева
были получены классификации естественным образом градуриванных p-
филиформных алгебр Ли и алгебр Лейбница. В параграфе 3.3 получен анало-
гичный результат для алгебр Зинбиеля.
Определение 3.3.1.
Алгебра Зинбиеля А называется р-
филиформной
,
если С(А)=(n–p, 1, …, 1), где р
0.
Таким образом, для р-филиформной алгебра Зинбиеля А, с точностью
до сдвига базисных элементов, оператор
1
e
L может иметь один из следую-
щих двух видов:
1
1
p
n
J
0
0
0
0
0
J
0
0
0
0
J
,
1
p
n
1
J
0
0
0
0
0
J
0
0
0
0
J
.
Алгебру Зинбиеля назовем
алгеброй типа
I (соответственно типа II),
если оператор
1
e
L имеет первый вид (соответственно второй вид).
Для естественным образом градуированных р-филиформных алгебр
Зинбиеля типа I имеет место
Теорема 3.3.1.
Пусть А–градуированная p-филиформная алгебра Зин-
биеля типа I. Тогда r
s
≤ s для любого s
{1,2,…,p}.
Для 3–филиформных алгебр Зинбиеля типа I верна следующая
Теорема 3.3.2.
Пусть А
n-мерная не разложимая естественным обра-
зом градуированная 3–филиформная алгебра Зинбиеля типа I. Тогда она изо-
морфна одной из двух попарно не изоморфных алгебр:
А
1
: e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
С
e
i+j
при 2 ≤ i+j ≤ n–3, e
n–2
◦e
1
= e
n
;
А
2
: e
i
◦e
j
=
j
1
j
i
С
e
i+j
при 2 ≤ i+j ≤ n–3,
e
n–2
◦e
1
= e
n–1
, e
n–2
◦e
2
= e
n
, e
n–1
◦e
1
= 2e
n
.
Для естественным образом градуированных 3–филиформных алгебр
Зинбиеля типа II верна
Теорема 3.3.3.
Любая естественным образом градуированная 3–
филиформная алгебра Зинбиеля типа II имеет размерность не больше чем 6.
14
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена изучению комплексных конечно-
мерных алгебр Зинбиеля нильиндекса k (n-2
k
n+1) и одного подкласса
комплексных филиформных алгебр Лейбница.
В работе получен критерий изоморфизма филиформных алгебр Лейб-
ница, естественная градуировка которых является алгеброй Ли.
Получена классификация четырехмерных комплексных алгебр Зинбие-
ля.
С
точностью
до
изоморфизма
описаны
комплексные
нуль-
филиформные и филиформные алгебры Зинбиеля. Кроме того, изучены диф-
ференцирования таких алгебр.
Более того, описание нуль-филиформных и филиформных алгебр Зин-
биеля продолжено на класс комплексных естественным образом градуиро-
ванных квази-филиформных алгебр Зинбиеля.
Получены некоторые свойства характеристической последовательно-
сти для алгебр Зинбиеля. Далее, получена классификация комплексных n-
мерных алгебр Зинбиеля нильиндекса n-2 с характеристическими последова-
тельностями (n–3, 3) и (n–3, 1, 1, 1).
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы, представ-
ленные в диссертации, могут быть использованы при исследованиях других
многообразий алгебр и супералгебр, в теории категорий, в изучении алгебр с
различными типами градуировок, вычислении групп когомологий и гомоло-
гий.
15
4. СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
1.
Adashev J.Q., Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. Complex naturally
graded quasi-filiform Zinbiel algebras. // Contemporary Mathematics.
American Mathematical Society, – 2009. –P. 1-13.
2.
Adashev J.Q., Omirov B.A., Khudoyberdiyev A.Kh. Classifications of
some classes of Zinbiel algebras. // Journal of Generalized Lie Theory and
Applications. –Germany, 2010. –Vol. 3(4), –P. 1-10.
3.
Adashev J.Q., Omirov B.A., Khudoyberdiyev A.Kh. On some nilpotent
classes of Zinbiel algebras and their applications. // Third International Con-
ference on Research and Education in Mathematics. –Malaysia, 2007. –P.
45-47.
4.
Адашев Ж.К., Худойбердиев А.Х. Классификация 4-мерных комплекс-
ных алгебр Зинбиеля. // Новые теоремы молодых математиков-2006:
Тез. докл. респ. науч. конф. 15-16 ноября 2006. –Наманган, 2006. –С.
69-71.
5.
Адашев Ж. К. Классификация пяти и шести мерных комплексных фи-
лиформных алгебр Лейбница. // Современные проблемы математики,
механики и информационных технологий: Тез. докл. респ. науч. конф.
8-мая 2008. –Ташкент, 2008. –C. 20-22.
6.
Адашев Ж. К., Худойбердиев А.Х. Квази-филиформные алгебры Зин-
биеля. // Узбекский математический журнал. –Ташкент, 2008. –№ 3. –С.
3-8.
7.
Адашев Ж.К. Об описании комплексных филиформных алгебр Лейб-
ница. // Узбекский математический журнал. –Ташкент, 2010. –№ 2.
–С.
3-14.
8.
Адашев Ж.К., Каримжонов И.А. Некоторые свойства характеристиче-
ской последовательности естественным образом градуированных ал-
гебр Зинбиеля. // Узбекский математический журнал. –Ташкент, 2010. –
№ 4.
–С. 13-20.
9.
Адашев Ж. К. Классификация подкласса комплексных естественным
образом градуированных алгебр Зинбиеля. // Проблемы современной
математики: Тез. докл. респ. науч. конф. 22-23 апреля 2011. –Карши,
2011. –C. 55-58.
16
РЕЗЮМЕ
диссертации
Адашева Жобира Кодировича
на тему:
«Описание n-мерных
алгебр Зинбиеля нильиндекса k (n-2
k
n+1)»
на соискание ученой сте-
пени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 –
математическая логика, алгебра и теория чисел.
Ключевые слова:
алгебра Лейбница, алгебра Зинбиеля, филиформ-
ность, градуирование, дифференцирование, нильпотентность, характеристи-
ческая последовательность.
Объекты исследования:
Конечномерные
комплексные
алгебры Зин-
биеля, филиформные алгебры Лейбница.
Цель работы:
Исследование комплексных n-мерных алгебр Зинбиеля.
Изучение структурной теории алгебр Зинбиеля.
Методы исследования:
В работе используются метод градуирований,
структурные методы, классификационные методы и методы теории инвари-
антов.
Полученные результаты и их новизна:
Основными результатами
диссертации являются следующие:
– получен критерий изоморфизма филиформных алгебр Лейбница, ес-
тественная градуировка которых является алгеброй Ли;
– получена классификация четырехмерных комплексных алгебр Зин-
биеля;
– описаны комплексные нуль-филиформные и филиформные алгебры
Зинбиеля и изучены дифференцирования таких алгебр. Более того, вышеука-
занное описание продолжено на класс комплексных естественным образом
градуированных квази-филиформных алгебр Зинбиеля;
– доказаны некоторые свойства характеристической последовательно-
сти для алгебр Зинбиеля, и получена классификация комплексных n-мерных
алгебр Зинбиеля нильиндекса n-2 с характеристическими последовательно-
стями (n–3, 3) и (n–3, 1, 1, 1).
Практическая значимость:
результаты, полученные в диссертации,
имеют теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность:
Можно
использовать при чтении специальных курсов магистров и аспирантов по
специальности алгебра.
Область применения:
Работа носит теоретический характер. Резуль-
таты и методы, представленные в диссертации, могут быть использованы при
исследованиях других многообразий алгебр и супералгебр, в теории катего-
рий, в изучении алгебр с различными типами градуировок, вычислении групп
когомологий и гомологий.
17
Физика-математика фанлари номзоди илмий даражасига талабгор
Адашев
Жобир Кодирович
нинг 01.01.06-математик мантиқ, алгебра ва сонлар наза-
рияси ихтисослиги бўйича
«Нильиндекси k (n-2
k
n+1) га тенг бўлган n-
ўлчовли
Зинбиел
алгебраларининг
таснифи»
мавзусидаги
диссертациясининг
РЕЗЮМЕСИ
Таянч сўзлар:
Лейбниц алгебраси, филиформ Зинбиел алгебраси,
градуировкалар, дифференциллашлар, характеристик кетма-кетлик,
Тадқиқот объектлари:
Чекли ўлчовли комплекс Зинбиел алгебралари
ва филиформ Лейбниц алгебралари.
Ишнинг мақсади:
n ўлчовли комплекс Зинбиел алгебраларини
ўрганиш. Зинбиел алгебраларини структуравий назариясини ўрганиш.
Тадқиқот методлари:
Чекли ўлчовли алгебраларни таснифлашнинг
умумий усулларидан, градуировка усулларидан, хамда инвариантлар
назарияси усулларидан фойдаланилади.
Олинган натижалар ва уларнинг янгилиги:
Диссертацияда қуйидаги
асосий натижалар олинган.
– табиий градуировкаси Ли алгебраси бўлган, филиформ Лейбниц ал-
гебралари учун изоморфизм критерияси олинган;
– тўртўлчовми комплекс Зинбиел алгебралари таснифланган;
– комплекс нол-филиформ ва филиформ Зинбиел алгебралари тасниф-
ланган. Бу таснифлар асосида бундай алгебраларнинг дифференциаллари
ўрганилган. Бундан ташқари юқоридаги таснифларнинг давоми бўлган
комплекс
табиий
градуировкаланган
квази-филиформ
Зинбиел
лгебраларининг таснифи олинган;
– Зинбиел алгебралари учун характеристик кетма-кетлигининг баъзи
хоссалари олиниб ва нильиндекси n-2 бўлиб, характеристик кетма-кетлиги
(n–3, 3) ва (n–3, 1, 1, 1) бўлган n-ўлчовли комплекс Зинбиел алгеб-раларининг
таснифи келтирилган.
Амалий аҳамияти:
диссертацияда олинган натижалар илмий-назарий
аҳамиятга эга.
Татбиқ этиш даражаси ва иқтисодий самарадорлиги:
Университет
магистрларига махсус курслар ўқишда фойдаланиш мумкин.
Қўлланиш соҳаси:
диссертацияда олинган асосий натижалар ва
усуллардан бошқа турдаги алгебра ва супералгебралар назарияларини
ўрганишда, хамда турли хил усулларда градуирланган алгебраларни
таснифлашда қўлланилиши мумкин.
18
RESUME
Thesis of
Adashev Jobir Qodirovich
on the scientific degree competition of the
doctor of philosophy in physics and mathematics on specialty 01.01.06 - Mathe-
matical logic, algebra and number theory, subject:
“The description of n-
dimensional Zinbiel algebras with nilindex k (n-2
k
n+1)”.
Key words:
Leibniz algebra, Zinbiel algebra, filiform Zinbiel algebra, gra-
dation, derivation, nilpotency, characteristic sequence.
Subjects of research:
Finite dimensional complex Zinbiel algebras, filiform
Leibniz algebras.
Purpose of work:
To investigate
n-dimensional complex filiform Zinbiel
algebras, to examine the structural theory of Zinbiel algebras.
Methods of research:
In this work methods of structural constants, classifi-
cation methods, gradation methods and the methods of invariant theory are used.
The results obtained and their novelty:
The main results of the work are
the following:
– criteria of isomorphism of filiform Leibniz algebras class, natural grada-
tion of which are Lie algebras, is obtained;
– the classification of four-dimensional complex Zinbiel algebras is ob-
tained;
– zero-filiform and filiform complex Zinbiel algebras are described. Based
on this description, the derivations of such algebras are investigated. Moreover, the
description was extended to the class of complex naturally graded quasi-filiform
Zinbiel algebras;
– some properties of characteristic sequence for the Zinbiel algebras are ob-
tained. Furthermore, the classifications of n-dimensional complex Zinbiel algebras
with nilindex n-2 with characteristic sequences (n-3, 3) and (n-3, 1, 1, 1) are ob-
tained.
Practical value:
The results of the dissertation are of theoretical character.
Degree of embed and economic effectivity:
It can be used at reading of
special courses.
Field of application:
The main scientific results and methods presented in
the work can be used in research of other algebras and superalgebras, in the theory
of categories, in the study of algebras with various types of gradation, in calcula-
tion of cohomological and homological groups.
Соискатель:
