Все статьи - Математика

Объекты исследования: нелинейные эволюционные уравнения с самосогласованным источником.
Цель работы: вывод эволюции данных рассеяния спектральной задачи связанной с нелинейными эволюционными уравнениями с самосогласованным источником.
Метод исследования: методы математической физики,
дифференциальных уравнений, теории функций комплексных переменных, спектральной теории дифференциальных и разносных операторов.
Полученные результаты и их новизна: основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1) выведен закон изменения по t спектральных характеристик оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом являющимся решением общего уравнения Кортевега - де Фриза с источником в классе «быстроубывающих» функций;
2) определена эволюция данных рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля, потенциал которого является решением общего уравнения Кортевега - де Фриза в классе ступенчатых функций;
3) изучена интегрируемость общего уравнения КдФ с источником при начальных данных типа «ступеньки»;
4) метод обратной задачи рассеяния применен к решению различных нелинейных эволюционных уравнений с самосогласованным источником, в случае простых собственных значений соответствующей несамосопряженной спектральной задачи;
5) показана возможность применения метода обратной задачи рассеяния для интегрирования уравнения sin-Гордон с самосогласованным источником, в случае кратных собственных значений оператора Дирака;
6) решение цепочки Тоды с самосогласованным источником выражено в рамках метода обратной задачи рассеяния для дискретного оператора Штурма-Лиувилля.
Практическая значимость: Работа носит теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность: на основе полученных результатов читается спецкурс для магистрантов.
Область применения: Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в математической физике при интегрировании нелинейных эволюционных уравнений.

Актуальность и востребованность темы диссертации. Одним из актуальных направлений в современной математике являются исследования, связанные с теорией нелинейных задач. Источником постановок таких задач служат математические модели, используемые в прикладной математике, биологии, экономике, гидродинамике, теории упругости и пластичности, теоретической и математической физике. При решении нелинейных задач важным фактором является феномен бифуркации и ветвления в таких задачах, что влечет появление новых решений в случаях перехода управляющих параметров уравнений через критические значения. Среди этих новых решений имеются устойчивые решения, а также решения, которые либо сразу гаснут, либо вообще не реализуется в практической ситуации. Изучение новых появляющихся в точках ветвления решений нелинейных задач и есть направление, называемое «теорией устойчивости и бифуркаций». Наиболее ярким примером бифуркационных (критических) явлений служат дивергенция (статическая бифуркация) и флаттер (динамическая осцилляционная потеря устойчивости пластин и оболочек, в частности, крыльев самолетов) в потоке газа или жидкости (гидроупругость). Особенно важной указанная проблема флаттера стала в сверхзвуковой аэродинамике. В середине прошлого столетия для исследования задач аэродинамики применялись только вариационные и сеточные методы. И только в XXI веке в этой области стали использоваться методы теории бифуркаций.
Устойчивость рождающихся как статических, так и динамических решений исследуется методами теории возмущений. Более точно, изучается спектр производной Фреше нелинейного уравнения (системы уравнений) на ответвившемся решении. Предполагая, что известны собственные значения линеаризации, т.е. производной Фреше на тривиальном решении, ищут спектр Фреше на ответвившемся решении, что позволяет использовать методы теории возмущений из спектральной теории линейных операторов.
Именно поэтому поток исследований, связанных с решением нелинейных задач методами теории возмущений, нарастает (с середины прошлого столетия) с экспоненциальной быстротой, и всякий новый глубокий результат в теории возмущений является актуальным как для самой теории возмущений, так и для ее приложений к решениям нелинейных задач.
Основной причиной для востребованности исследований, связанных с тематикой настоящей диссертации, является тесная связь бифуркационных процессов с задачами описания возмущений дискретного спектра линейных операторов. Исследования ситуаций, относящихся к возмущению кратных собственных значений, связаны с определенными сложностями, которые, к сожалению, не всегда удается преодолеть. Так, например, в задаче возмущения фредгольмовых собственных значений установлено, что количество ответвляющихся от этих точек собственных значений возмущенного оператора будет столько, каково корневое число этого оператора, но при этом необходимо требовать полноту обобщенного жорданового набора (ОЖН). В случае же неполноты ОЖН возникает вырождение уравнения разветвления. В этой ситуации необходимы дополнительные вычисления по специально построенному алгоритму пополнения ОЖН. При этом, коэффициентами уравнения разветвления являются определители я-го порядка, в связи с чем процесс их нахождения требует выполнения огромного количества вычислений.
В задаче возмущения нетеровых точек дискретного спектра подобные исследования проводить не удавалось по той причине, что уравнение разветвления собственного значения для таких операторов построить невозможно из-за неравенства размерностей нулевого и дефектного подпространств.
Такая ситуация приводит к необходимости построения специальных операторов, для которых рассматриваемые кратные собственные значения уже оказались бы простыми или кратными, но с полным ОЖН. Процесс построения таких операторов называется регуляризацией линейных операторов.
Процедура регуляризации линейных операторов позволяет нетеровы точки операторов превращать в фредгольмовы, что дает возможность построения уравнения разветвления, позволяющего определить все собственные значения и им соответствующие собственные элементы возмущенного оператора, при этом кратные собственные значения сводятся к простым, что снимает условия вырождения уравнений разветвления.
Указанные методы сокращения огромного объема вычислений объясняют необходимость и востребованность привлечения исследований, относящихся к тематике настоящей диссертации.

Объекты исследования: система уравнений параболического типа, описывающих процессы массопереноса в многослойных системах.
Цель работы: получение эффективных приближенно-аналитических решений для количественного и качественного анализа при оценке массопереноса в многослойных системах.
Методы исследования: применяются широко используемые методы математической физики, теории функции комплексного переменного, асимптотические методы, интегральное преобразования Лапласа, синус и косинус- преобразования Фурье, метод расщепления, а так же метод конечных элементов.
Полученные результаты и их новизна: все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Получено решение краевой задачи массопереноса состоящей из уравнений в частных производных параболического типа подчиненной определенным начальным и граничным условиям первого и второго родов с учетом и без учета сжимаемости среды в слабопроницаемой прослойке.
2. Получено решение задачи массопереноса методом конечных элементов, когда уравнение содержало первую производную по пространственной переменной.
3. Получено аналитическое решение двумерной задачи массопереноса методом расщепления.
4. У казан способ выбора средней точки конечного элемента, когда для фиксированного момента времени приближенное решения будет совпадать с аналитическим решением с точностью достаточной для практического использования.
Практическая значимость: работа носит теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность: полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов для магистрантов и аспирантов факультетов естественного профиля.
Область применения: полученные результаты могут быть использованы в задачах математической физики, приводящие к уравнением в частных производных параболического типа (тепловые, диффузионные, нефте и газодобыче и т.п.)

Объекты исследования: слабо периодическая мера Гиббса для модели Изинга и слабо периодические основные состояния для модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями.
Цель работы: в настоящей работе изучаются слабо периодические (непериодические) меры Гиббса для модели Изинга и слабо периодические (непериодические) основные состояния для модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями.
Метод исследования: в работе используется метод, основанный на теории Марковских случайных полей и рекуррентных уравнениях этой теории, теории Пирогова-Синая, теории меры и сжимающих отображений.
Полученные результаты и их новизна: в качестве основных результатов можно отметить следующие;
• Для модели Изинга на дереве Кэли доказано, что при некоторых условиях существует пять слабо-периодических гиббсовских мер относительно произвольных нормальных делителей индекса два.
• В случае нормальных делителей индекса 4 при некоторых условиях на параметры модели Изинга доказано существование 7 слабо периодических гиббсовских мер.
• Построено несчетное число новых непериодических (и не слабо периодических)гиббсовских мер.
• Найдено необходимые и достаточные условия (на порядок решетки к и на параметры нормального делителя индекса два и четыре), при которых существуют четыре слабо периодических основных состояния модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли.
• Для произвольных нормальных делителей индекса г найдены необходимые и достаточные условия для конфигурации быть основным состоянием модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли порядка к > 1.
Практическая значимость: результаты, полученные в диссертации, имеют научно-теоретический характер. Они могут быть применены в статистической физике.
Область применения: Теория мер, теория фазовых переходов, теория вероятностей, теоретическая и математическая физика.

Объект исследования: сепаратно-аналитическая функция, голоморфная функция, плюригармоничсская функция, сепаратно-гармоническая функция, субгармоническая функция.
Цель работы: определение области голоморфности сепаратно-аналитических функций, заданных на части границы области;
изучение аналитической продолжаемости функций, заданных на граничном пучке комплексных прямых;
исследование продолжения плюригармоничсских функций вдоль фиксированного направления;
описание структуры особых множеств субгармонических функций из класса
Lmp,\<p<<oo
Методы исследования: методы теории функций многих комплексных переменных, комплексной теории потенциала и теории аналитических пространств.
Полученные результаты и их новизна:
< р < ОС
- определены области голоморфности сепаратно-аналитических и сепаратногармонических функций, заданных на части границы.
- изучены аналитические продолжения голоморфных и плюригармонических функций вдоль фиксированного направления.
L”i<p<oo
- структура особых множеств субгармонических функций из класса рCqm ..полностью описана через Cqm - емкость.
Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.
Практическая значимость: диссертационная работа носит теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность: методы и результаты, представленные в работе могут быть использованы в дальнейшем развитии теории функций. Они также могут быть полезными в приложениях комплексного анализа.
Степень внедрения и экономическая эффективность: методы и результаты, представленные в работе могут быть использованы в дальнейшем развитии теории функций. Они также могут быть полезными в приложениях комплексного анализа.
Область применения: теория функций комплексного переменного и её приложения

Актуальность и востребованность темы диссертации.
Алгебраические средства весьма полезны при исследовании элементарных частиц в квантовой механике, свойств твердого тела и кристаллов, при анализе модельных задач экономики, в задачах популяционной биологии и т.д. Так как ассоциативные алгебры, задающиеся определенным тождеством, начаты рассмотривашья после выявления свойства замкнутости относительно обычного умножения квадратных матриц, то их дальнейшее интенсивное развитие привело к созданию теории альтернативных, лиевых, Йордановых алгебр, которые тесно переплетены между собой и имеют многочисленные связи с различными областями математики. Алгебры Лейбница являются обобщениями алгебр Ли, и поэтому многие свойства, справедливые для алгебр Ли, продолжаются на случай алгебр Лейбница. Одним из приоритетных направлений исследований, в этой области, является доказательство аналогов теорем из теории алгебр Ли для алгебр Лейбница и детальное изучение свойств, присущих не Лиевым алгебрам Лейбница.
Из классической теории алгебр Ли известно, что произвольная конечномерная алгебра Ли над полем характеристики нуль разлагается в полупрямую сумму максимального разрешимого идеала и её полупростой подалгебры. В свою очередь конечномерные алгебры Лейбница также разлагаются в полупрямую сумму максимального разрешимого идеала и полупростой алгебры Ли. Исследование разрешимых алгебр с нильрадикалами специальных типов связано с различными моделями физики. Таким образом, аналогично случаю алгебры Ли, изучение разрешимых алгебр Лейбница с заданными нильрадикалами является актуальной задачей.
Напомним, что нильпотентные алгебры Ли являются разрешимыми алгебрами специального типа. В связи с тем, что описание нильпотентных алгебр Ли представляется необозримой задачей, то их изучение должно проводится с дополнительными ограничениями. В частности, при изучении нильпотентных алгебр одним из основных ограничений является ограничение на индекс нильпотентности. Следует отметить, что максимальный нильиндекс для алгебры Ли совпадает с размерностью самой алгебры, и такие алгебры получили название филиформных алгебр. Несмотря на то, что филиформные алгебры Лейбница в классе нильпотентных алгебр имеют относительно простое ограничение, они имеют достаточно сложную структуру, которую удобно исследовать с наложением условия градуирования. Эффективность максимальной градуировки обусловлена тем, что она даёт максимально точную информацию о структурных константах в таблице умножения алгебры.
Понятия вырождения, сжатия и деформации алгебры появились из физики. Например, сжатие в алгебре Ли с физической точки зрения означает процесс при котором одна физическая модель получается из другой пределом при воздействии группы инвариантов, в то время как, деформации характеризуются локальным поведением в малой окрестности многообразия объектов заданного типа. Таким образом, изучение деформаций алгебр важно при исследовании локальных геометрических свойств многообразий. В силу того, что алгебраическое многообразие есть объединение конечного числа неприводимых компонент и замыкание орбит жестких алгебр дает неприводимые компоненты многообразия, то нахождение жестких алгебр представляет собой определенный интерес при исследовании свойств конечномерных алгебр с геометрической точки зрения. Основной причиной востребованности исследований, связанных с тематикой настоящей диссертации, является тесная связь алгебр Лейбница и их когомологических свойств с проблемами Йордановых алгебр, алгебр Ли и других их обобщений.
Мотивация изучения другого обобщения алгебр Ли - супералгебр Ли возникла из свойств суперсимметрии в математической физике. Теория супералгебр Ли зарекомендовала себя как универсальный объект в современной алгебре. Так как супералгебры Лейбница обобщают не только алгебры Лейбница, но и супералгебры Ли, то, естественно, их изучение должно проходить в некоторой степени параллельно исследованиям данных многообразий. Аналогично алгебрам Лейбница, изучение конечномерных нильпотентных супералгебр Лейбница с максимальным индексом нильпотентности и супералгебр Лейбница, имеющих индекс нильпотентности, равный размерности самих супералгебр, является актуальной проблемой.
Целью исследования является изучение структурной теории комплексных конечномерных алгебр Лейбница и их дифференцирований, дальнейшее развитие теории вырождений и деформаций неассоциативных алгебр, а также описание нильпотентных супералгебр Лейбница.
Научная новизна исследования состоит в следующем:
получена характеризация нильпотентности конечномерной алгебры Лейбница в терминах Лейбницевых дифференцирований;
классифицированы филиформные алгебры Лейбница, не являющиеся характеристически нильпотентными, и n-мерные филиформные алгебры Лейбница длины п-1;
построен пример, показывающий, что классический результат о разложении полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых идеалов не является верным для алгебр Лейбница;
получено полное описание четырехмерных комплексных алгебр Лейбница и классифицированы пятимерные комплексные разрешимые алгебры Лейбница с трехмерным нильрадикалом;
описаны с точностью до изоморфизма разрешимые алгебры Лейбница, нильрадикал которых является прямой суммой нуль-филиформных идеалов;
классифицированы все алгебры уровня один и алгебры уровня два в многообразиях конечномерных комплексных ассоциативных, Йордановых и лиевых алгебр;
описаны вторые группы когомологий нуль-филиформных алгебр Лейбница и получено описание инфинитезимальных деформаций естественным образом градуированных филиформных алгебр Лейбница;
описаны все супералгебры Лейбница с нильиндексом n+m, и доказано, что кроме нуль-филиформных и филиформных супералгебр Лейбница и супералгебр Лейбница, имеющих характеристическую последовательность (n I т-1, 1), все остальные супералгебры Лейбница имеют нильиндекс меньше, чем n+m.
Заключение
1. Выявлены свойства некоторых полупростых алгебр Лейбница и доказано, что для алгебр Лейбница аналог классического результата о разложении полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых алгебр Ли не верен.
2. Изучено свойство нильпотентности конечномерных алгебр Лейбница. Доказано, что конечномерная алгебра Лейбница нильпотентна тогда и только тогда, когда существует невырожденное Лейбницево дифференцирование.
3. Классифицированы филиформные алгебры Лейбница, не являющиеся характеристически нильпотентными, и комплексные n-мерные филиформные алгебры Лейбница длины п-1.
4. Получено полное описание, с точностью до изоморфизма, четырехмерных комплексных алгебр Лейбница и классифицированы пятимерные комплексные разрешимые алгебры Лейбница с трехмерным нильрадикалом.
5. Получено описание разрешимых алгебр Лейбница, нильрадикал которых является прямой суммой нуль-филиформных идеалов.
6. Приведены результаты, касающиеся вырождений разрешимых алгебр Лейбница. А именно, доказано, что если разрешимая алгебра вырождается в другую, то размерность нильрадикала предельной алгебры не меньше чем размерность нильрадикала заданной разрешимой алгебры.
7. Изучены алгебры, которые располагаются в нижних уровнях в многообразиях алгебр. Получено полное описание алгебр уровня один и классифицированы алгебры уровня два в многообразиях конечномерных комплексных ассоциативных, Йордановых и лиевых алгебр.
8. Изучены инфинитезимальные деформации алгебр Лейбница. А именно, описана вторая группа когомологий нуль-филиформных алгебр Лейбница. Доказано, что замыкание орбит всех однопорожденных алгебр Лейбница является неприводимой компонентой многообразия комплексных конечномерных алгебр Лейбница.
9. Получено описание инфинитезимальных деформаций естественным образом градуированных филиформных алгебр Лейбница.
10. Классифицированы все супералгебры Лейбница с нильиндексом n+m, и доказано, что кроме нуль-филиформных и филиформных супералгебр Лейбница и супералгебр Лейбница, имеющих характеристическую последовательность (n | m-1, 1), все остальные супералгебры Лейбница имеют нильиндекс меньше, чем n+m.
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы, представленные в диссертации, могут быть использованы при исследованиях других многообразий алгебр и супералгебр, в теории категорий, в изучении алгебр с различными типами градуировок, вычислении групп когомологий и гомологий, а также при изучении различных процессов теоретической физики.

Актуальность и востребованность темы диссертации. Классическая теория потенциала строится на основе оператора Лапласа и класса субгармонических функций. Построенная в 80-х годах прошлого века теория плюрипотенциала связана с нелинейным оператором Монжа-Ампера и плюрисубгармоническими функциями. Теория плюрипотенциала достаточно интенсивно развивается и имеет многочисленные приложения в геометрии многообразий, в теории относительности Эйнштейна, в частности, в доказательстве существования метрики Эйнштейна и в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Естественно, возникает потребность изучения своеобразных расширений класса плюрисубгармонических функций и построение теории потенциала для таких расширений является актуальным направлением комплексного анализа.
Для построения теории, охватыващей как классическую теорию потенциала, так и теорию плюрипотенциала, ожидалось использование оператора в гессианах, который обобщает как оператор Лапласа, так и нелинейный оператор Монжа-Ампера. Однако, до недавних пор не был известен класс функций, на который опирается ожидаемая теория потенциала. При изучении задачи Дирихле для уравнения в гессианах был введен класс m-субгармонических функций, который оказался подходящим классом построения теории потенциала в классе т-субгармонических функций, играет такую же роль в решении уравнении в гессианах, что и класс плюрисубгармонических функций для уравнения Монжа-Ампера. Поэтому, важное значения имеет дальнейшее глубокое исследование класса m-субгармонических функций, а также класса слабо т-субгармонических функций, в частности, установление потенциально-емкостных свойств этих классов.
Актуальность научного направления диссертации характеризуется еще тем, что в диссертации обосновывается теория потенциала, базирующаяся на операторах в гессианах, разрабатывается метод решения задачи Дирихле в классе m-субгармонических и слабо т-субгармонических функций, доказывается т-субгармоничность супремума т-субгармонических функций и (т-1)-субгармоничность сужения т-субгармонических функций на гиперплоскости. Определение субгармонических на комплексных плоскостях слабо m-субгармонических функций, доказательство ряд потенциальноемкостных их свойств, квазинепрерывность m-субгармонических функций, принцип сравнения, непрерывность оператора в гессианах для стандартных аппроксимаций и доказательства других фундаментальных теорем являются важными результатами диссертации.
Оценки основной характеристической функции теории Неванлинны, простое описание m-выпуклой оболочки в геометрии Римана, применение теории m-субгармонических функций в установлении критерия плюригармоничности (аналог теоремы Лелона) и в серии применений теорий m-субгармонических и слабо т-субгармонических функций в многомерном комплексном анализе указывают на актульность и востребованность темы диссертации.
Целью исследования является построение теории потенциала на т-субгармонических функциях, доказательство потенциальных свойств слабо m-субгармонических функций и продемонстрирование приложений построенной теории потенциала к задачам многомерного комплексного и гармонического анализа.
Научная новизна исследования. Диссертационная работа является новым научным направлением. В ней:
доказаны m-субгармоничность супремума в классе т-субгар-монических функций и (т-1)-субгармоничность сужения т-субгар-монической функции на комплексную гиперплоскость;
дано полное построение теории потенциала, основанное на операторе гессиана, который включает в себя известную классическую и комплексную теорию потенциалов;
введены и изучены важные потенциально-емкостные свойства субгармонических на комплексных плоскостях слабо т-субгармонических функций;
разработана методика решения задачи Дирихле в классах т-субгармонических и слабо т-субгармонических функций;
доказаны квазинепрерывность и принцип сравнения для т-субгармонических функций;
в классе т-субгармонических функций доказана непрерывность операторов в гессианах и доказаны также другие фундаментальные теоремы теории потенциала.
Заключение
Основные результаты исследования состоят в следующем:
1. Дано полное построение теории потенциала, основанное на операторах в гессианах, которая включает в себе классическую и комплексную теорий потенциалов.
2. Доказаны m-субгармоничность супремума в классе т-субгармонических функций и (т-1)-субгармоничность сужения на комплексные гиперплоскости;
3. Введено понятие емкости конденсатора в классе т-субгармонических функций и доказан ряд важных свойств емкости;
4. Доказаны квазинепрерывности, принцип сравнения для т-субгармонических функций;
5. Доказаны сходимости потоков для стандартных аппроксимаций и ряд фундаментальных теорем теории потенциала в классе т-субгармонических функций;
6. Определен класс слабо т-субгармонических функций и доказаны некоторые потенциальные свойства этого класса;
7. Разработана методика применения класса т-субгармонических функций в многомерном комплексном анализе и в теории потенциала. В частности, в теории Неванлинны-для оценки характеристической функции, в выпуклой геометрии-в описании m-выпуклых оболочек, в теории плюригармонических функций - в установлении плюригармоничности функций (аналог теоремы Лелона).
В целом, полученные результаты позволяют говорить о достижении целей исследований диссертационной работы. Построенная в диссертации теория потенциала в классе m-субгармонических функций является новым научным направлением, которое имеет важные приложения в теории Неванлинна, в комплексном проективном пространстве, в теории нелинейных эллиптических уравнений и т.п.

Объекты исследования: Алгебра измеримых операторов, некоммутативные алгебры Аренса, локальные дифференцирования.
Цель работы: Описание локальных дифференцирований на алгебрах измеримых операторов.
Методы исследования: В работе применены общие методы функционального анализа и теории операторных алгебр.
Полученные результаты и их новизна: Получено описание локальных дифференцирований некоммутативных алгебр Аренса, ассоциированных с конечной алгеброй фон Неймана и с точным нормальным полу-конечным следом; доказано, что в случае алгебры фон Неймана М с точным нормальным полуконечным следом т, всякий tT -непрерывный линейный оператор Д на алгебре 8(М,т), удовлетворяющий тождеству Д(/?) = Д(/?)/? +/?Д(р) является дифференцированием; показано, что всякий линейный оператор D: А(Х) —* В(Х), удовлетворяющий тождест-пву D(x") = у\*~'£>(х)х”~*, х 6 А(Х) является пространственным диффе-*=1 ренцированием, где п > 3 - некоторое фиксированное число; в коммутативном случае найдены необходимые и достаточные условия существования на алгебрах S(M) и локальных дифференцирований, не являющихся дифференцированиями; получено описание локальных дифференцирований алгебр LS(M), S(M) и относительно алгебр фон Неймана типа I без абелевой компоненты.
Практическая значимость: Результаты, полученные в диссертации, имеют научно - теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность: Результаты, представленные в работе, могут быть использованы при чтении специальных курсов по функциональному анализу и теорий операторных алгебр для магистрантов и аспирантов.
Область применения: Функциональный анализ, теория операторных алгебр, математическая физика и их приложения.

Объекты исследования: учебная деятельность выпускников 9 класса общеобразовательных школ и учеников академического лицея на уроках математики.
Цель работы: выявления математической одаренности выпускников общеобразовательных школы и создание научно-педагогической основы их развития в академических лицеях.
Методы исследования: знакомство с методами исследования направленных на выявление одаренных учеников в научно-исследовательских работах и литературы по тематике, анализ учебников, учебных программ государственного образовательного стандарта по математике общеобразовательного и среднего специального образования, анализ и наблюдение уроков по математике, проведение опросов и бесед с учителями, учениками и студентами, проведение педагогических экспериментов и математическая статистическая обработка результатов и их обобщение.
Полученные результаты и их новизна: анализирован и классифицирован суть понятия математической одаренности учащихся в условиях непрерывного образовани, разработана система тестовых задач, ориентированных на выявление математической одаренности учеников, разработана и апробирована методика кластерной программы по развитию математической одарённости учеников.
Практическая значимость: применяются при выявление математической одаренности выпускников 9 класса общеобразовательных школ и при обучение их по кластерной программы в академических лицеях
Степень внедрения и экономическая эффективность: результаты исследования опубликованы в виде учебного пособия, статей в журналах «Халк таълими», «Педагогик таълим» и «Касб-ҳунар таълими», а также в форме тезисов докладов на Республиканских научно-практических конференциях.
Область применения: полученные результаты можно использовать при диаогностировании выпусников общеобразовательных школ и при направлении их в академические лицеи а также при подготовке учителей математиков в педогогических институтах и в деятельности Республиканского центра диаогностики.

Объекты исследования: мера Гиббса для q-компонентной модели и модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли.
Цель работы: в настоящей работе изучаются меры Гиббса и основные состояния для модели Поттса и q-компонентной модели с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли.
Метод исследования: в диссертации использованы контурный метод на дереве Кэли, методы теории Пирогова-Синая, теории меры и сжимающих отображений.
Полученные результаты и их новизна: все полученные результаты являются новыми. Они состоят в следующем;
• Для q-компонентных моделей на дереве Кэли построены основные состояния.
• Для q-компонентных моделей контурным методом на дереве Кэли доказано существование, по крайней мере, q различных мер Гиббса при достаточно низких температурах.
• Для модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями построено множество периодических основных состояний.
• Показано, что для гамильтониана модели Поттса выполняется условие Пайерлса.
• При достаточно низких температурах для модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями и с тремя значениями спина доказано существование, по крайней мере, трех мер Гиббса.
• Найдены достаточные условия на параметры одной модели с радиусом взаимодействия два, при которых существуют периодические конфигурации, являющиеся основными состояниями этой модели.
Практическая значимость: результаты, полученные в диссертации, имеют научно-теоретический характер. Они могут быть применены в статистической физике.
Область применения: Теория меры, теория фазовых переходов, теория вероятностей, теоретическая и математическая физика.

Объекты исследования: уравнение мКдФ +.
Цель работы: интегрирование уравнения мКдФ + с самосогласованными источниками в классе «быстроубывающих» функций.
Метод исследования: в диссертационной работе используются методы дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, функционального анализа, теории функций комплексных переменных, спектральной теории дифференциальных операторов
Полученные результаты и их новизна: все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Выведена динамика изменения по t спектральных характеристик оператора Дирака, с потенциалом, являющимся решением модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза с источником в классе «быстроубывающих» функций.
2. Определена эволюция данных рассеяния для оператора Дирака с простыми собственными значениями, потенциал которого является решением модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза с самосогласованным источником, в случае движущихся собственных значений.
3. Определена эволюция данных рассеяния несамосопряженного оператора Дирака с кратными собственными значениями, потенциал которого является решением уравнения мКдФ+ с самосогласованным различным источником.
Практическая значимость: работа носит теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность: полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов для магистрантов и аспирантов.
Область применения: полученные результаты могут быть использованы в математической физике при интегрировании нелинейных эволюционных уравнений.

Объект исследования: промышленные роботы (ПР) на подвижном основании.
Цель работы: Разработка математических моделей и алгоритмов оптимального управления функционированием промышленных роботов на подвижном основании для обеспечения точности траектории движения и позиционирования.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы были использованы методы моделирования технологических процессов, теории оптимального управления и механизмов машины.
Полученные результаты и их новизна: определена ошибка существующей модели движения ПР на подвижном основании, вновь построено уравнение его движения, на основе которого разработаны математические модели, алгоритмы и программные средства, позволяющие увеличить быстродействие и точность позиционирования ПР.
Практическая значимость: программные средства оптимального управления исследованными роботами, благодаря увеличению быстродействия и позиционной точности, могут быть использованы во всех отраслях народного хозяйства, которые снабжены робототехнической системой, что способствует минимизации общего времени производства и сэкономит энергетические ресурсы.
Степень внедрения и экономическая эффективность: разработанные математические модели алгоритмы и программное средство оптимального управления ПР на подвижном основании внедрены в Акционерном обществе «Технолог». В процессе сборки агрегатов значительно увеличиваются быстродействие и позиционная точность управляемого ПР. Годовая экономическая эффективность внедрения на одном ПР составляет 535 тысячи сум (по ценам 2009 года).
Область применения: разработанные математические модели и алгоритмы могут быть использованы при оптимальном управлении в различных отраслей народного хозяйства, которые снабжены робототехническими системами.

Объекты исследования: рудные месторождения, эксплуатируемые методом ПВ в условиях использования этажной системы разработки.
Цель работы: разработка компьютерной модели процесса ПВ в неоднородных средах при реализации этажной системы разработки для анализа и поддержки принятия решений при управлении технологическим процессом ПВ.
Методы исследования: методы теории управления, математического моделирования, конечно-разностные методы и вычислительный эксперимент.
Полученные результаты и их новизна: разработана математическая модель управления процессом ПВ в условиях этажной системы разработки; исследована динамика изменения давления и значения концентрации реагента при различных значениях исходных параметров, влияющих на протекание технологического процесса ПВ в условиях этажной системы разработки; разработана компьютерная модель для проведения вычислительного эксперимента и визуализации результатов в двумерном и трехмерном графическим виде; разработан программный комплекс процесса ПВ в условиях этажной системы разработки для поддержки принятия технологических решения при управлении разработкой месторождений полезных ископаемых.
Практическая значимость: разработанные вычислительные алгоритмы и компьютерную модель можно применить при анализе, прогнозировании параметров процесса выщелачивания и при принятии решений по управлению его параметрами в целях оптимального извлечения полезных ископаемых из реальных месторождений в условиях этажной системы разработки.
Степень внедрения и экономическая эффективность: полученные результаты применены при разработке месторождения Северный Букинай НГМК, получен акт о внедрении. Созданное программное средство зарегистрировано Государственным патентным ведомством РУз.
Область применения: месторождения полезных ископаемых эксплуатируемых методом ПВ.

Объекты исследования: рудные месторождения, эксплуатируемые методом ПВ в условиях использования этажной системы разработки.
Цель работы: разработка компьютерной модели процесса ПВ в неоднородных средах при реализации этажной системы разработки для анализа и поддержки принятия решений при управлении технологическим процессом ПВ.
Методы исследования: методы теории управления, математического моделирования, конечно-разностные методы и вычислительный эксперимент.
Полученные результаты и их новизна: разработана математическая модель управления процессом ПВ в условиях этажной системы разработки; исследована динамика изменения давления и значения концентрации реагента при различных значениях исходных параметров, влияющих на протекание технологического процесса ПВ в условиях этажной системы разработки; разработана компьютерная модель для проведения вычислительного эксперимента и визуализации результатов в двумерном и трехмерном графическим виде; разработан программный комплекс процесса ПВ в условиях этажной системы разработки для поддержки принятия технологических решения при управлении разработкой месторождений полезных ископаемых.
Практическая значимость: разработанные вычислительные алгоритмы и компьютерную модель можно применить при анализе, прогнозировании параметров процесса выщелачивания и при принятии решений по управлению его параметрами в целях оптимального извлечения полезных ископаемых из реальных месторождений в условиях этажной системы разработки.
Степень внедрения и экономическая эффективность: полученные результаты применены при разработке месторождения Северный Букинай НГМК, получен акт о внедрении. Созданное программное средство зарегистрировано Государственным патентным ведомством РУз.
Область применения: месторождения полезных ископаемых эксплуатируемых методом ПВ.

Объекты исследования: однородные случайные процессы с независимыми приращениями и обобщенные процессы восстановления.
Цель работы: получение полных асимптотических разложений распределения числа пересечений прямолинейной полосы траекториями однородного случайного процесса с независимыми приращениями и обобщенного процесса восстановления.
Методы исследования: в диссертации использован аналитический метод, который называется факторизационным.
Полученные результаты и их новизна: все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
- найдены полные асимптотические разложения при / —> оо распределения числа пересечений прямолинейной полосы до момента t траекторией однородного процесса с независимыми приращениями. При этом предполагается, что границы полосы растут вместе с t и накладываются на процесс условия, в основном, крамеровского типа;
- выписаны в явном виде первые члены асимптотических разложений и указан алгоритм вычисления последующих членов;
- указанные выше результаты перенесены на случай обобщенного процесса восстановления.
Практическая значимость: работа носит теоретический характер
Область применения: полученные результаты могут быть использованы при решении различных задач математической статистики, теории массового обслуживания, теории хранения запасов и др.

Объекты исследования: рудные месторождения, эксплуатируемые методом ПВ с использованием кислотного раствора.
Цель работы: создание моделей управления, методов и программных средств для анализа и принятия решений в управлении технологическими процессами ПВ рудных месторождений.
Методы исследования: Для решения задачи фильтрационно-конвективной диффузии процесса ПВ использовались методы преобразования Фурье, Лапласа и Бубнова-Галёркина, а также конечно-разностные методы аппроксимации, нелинейного программирования и вычислительного эксперимента.
Полученные результаты и их новизна:
• разработаны двухмерные математические модели управления и вычислительные алгоритмы для принятия решений в управлении технологическими процессами ПВ, учитывающие его особенности;
• исследована динамика изменения концентрации и соответствующих различных значений параметров, влияющих на протекание технологического процесса ПВ;
• разработаны программные средства для проведения вычислительного эксперимента и расчета параметров принятия решений в управлении процессом ПВ и визуализации результатов вычислений.
Практическая значимость: соответствие разработанной математической модели и алгоритмов подтвердилось на основе данных с реальных месторождений и получена справка о сдаче для апробации ОАО «Андижаннефть».
Степень внедрения и экономическая эффективность: На основе исторических данных с реальных месторождений 3-го блока 5-рудного уранодобывающего управления, относящегося к Навоинскому горнометаллургическому комбинату, подтвердились достоверность и пригодность полученных результатов исследований. Результаты диссертационной работы приняты для использования в процессе управления производством газовых месторождений “GissarNefteGaz” и применены на газоконденсатном месторождении Северный Нишан.
Область применения: программное обеспечение можно использовать для вычисления концентрации полезного компонента и принятия решения в управлении процессом ПВ.

Объекты исследования: локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа с тремя линиями изменения типа.
Цель работы: постановка локальных и нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа с тремя линиями изменения типа и исследование существования и единственности решения поставленных задач.
Метод исследования: применены методы интегралов энергии и интегральных уравнений.
Полученные результаты и их новизна: сформулированы локальные и нелокальные краевые задачи для параболо-гиперболических уравнений с тремя линиями изменения типа, доказаны существование и единственность решения этих задач.
Все научные результаты диссертации - новые.
Практическая значимость: результаты диссертации носят научно-теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность: полученные результаты можно использовать при чтении спецкурсов для магистрантов и для дальнейшего теоретического развития данного направления.
Область применения: результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в дальнейшем развитии теории дифференциальных уравнений в частных производных, а также при изучении математических вопросов задач физики, механики и биологии.

Объекты исследования: процессы формирования напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций.
Цель работы: разработка математической модели и алгоритмов для решения статической задачи изгиба пластин с одновременным учетом физической и геометрической нелинейности, позволяющих автоматизировать процесс решения задачи и дающей возможность проводить многовариантные экспериментальные исследования.
Методы исследования: в работе для решения задачи используются следующие приближенные методы: вариационный метод Ритца; метод упругих решений А.А.Ильюшина; метод последовательных приближений.
Полученные результаты и их новизна: получена математическая модель решения физически и геометрически нелинейной задачи изгиба пластин, на основе которой разработан алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния пластин с использованием метода Ритца, упругих решений А.А.Ильюшина и метода последовательных приближений. Новизна предлагаемой работы заключается в следующем: выведена математическая модель решения нелинейной задачи на основе метода Ритца; разработан алгоритм решения задачи и создан комплекс программных средств, позволяющий автоматизировать процесс решения задачи.
Практическая значимость: разработанная математическая модель, алгоритм и программное обеспечение могут быть рекомендованы для использования в научно-исследовательских и проектных институтах
Степень внедрения и экономическая эффективность: результаты исследований могут быть использованы в различных отраслях промышленности, где используются конструкции, типа пластины. Использование алгоритма и созданного программного обеспечения сулит довольно существенный экономический эффект за счет сокращения сроков и трудоёмкости проектно-конструкторских разработок.
Область применения: машиностроение, кораблестроение, летательные аппараты, энергетика, строительство

Объекты исследования: прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных четного порядка и уравнений смешанного типа четного порядка.
Цель работы: постановка и исследование однозначной регулярной, сильной разрешимости и изучение спектральных свойств краевых задач для уравнений четного порядка. Изучение существования и единственности решения обратных задач для уравнений четного порядка, смешанного и несмешанного типов.
Методы исследования: применяются метод априорных оценок, метод Фурье, теория линейных операторов и методы функционального анализа.
Полученные результаты и их новизна:
- сформулированы новые различные прямые и обратные задачи для уравнений четного порядка и уравнений смешанного типа четного порядка;
- доказаны единственность и существование регулярных решений прямых и обратных задач при определённых достаточных условиях на заданные функции;
- для рассматриваемых прямых задач доказывается однозначная сильная разрешимость;
- используются операторные уравнения, эквивалентные исследуемым прямым задачам, делается вывод о спектре задачи;
- для решения некоторых прямых задач получены априорные оценки, из которых следует единственность, непрерывная зависимость решения от правой части и существование обратного оператора.
Практическая значимость: результаты диссертации носят теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность: полученные результаты можно использовать при чтении спецкурсов для магистрантов и для дальнейшего теоретического развития данного направления.
Область применения: результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при исследовании краевых задач для уравнений смешанного типа, при дальнейшем развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными и при решении задач математической физики, приводящих к подобным уравнениям.

Объекты исследования: ст-гладкие слабо аддитивные, сохраняющие порядок, нормированные функционалы и их пространство и функтор.
Цель работы: исследование топологических и категорных свойств пространства ст -гладких слабо аддитивных функционалов.
Методы исследования: применены методы общей топологии, теории ковариантных функторов и функционального анализа.
Полученные результаты и их новизна: полученные в диссертации результаты являются новыми и они состоят следующем. Показано, что конструкция Оа является ковариантным функтором, действующим в категории Tych - тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Дан критерий а -гладкости слабо аддитивных, сохраняющих порядок функционалов. Установлено, что функтор Оа является монадичным. Доказано, что для всякого тихоновского пространства X пространство ОДХ) является вещественно полным. Дано описание вещественного пополнения тихоновских пространств с помощью пространства ст -гладких слабо аддитивных функционалов. Приведено достаточное условие совпадения пространств г-гладких слабо аддитивных и ст -гладких слабо аддитивных функционалов. Доказано, что функтор О„ переводит z-вложения во вложения. Показано, что вес пространства Оа(Х) ст -гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов находится между весом его вещественного пополнения и z -весом заданного тихоновского пространства X.
Практическая значимость: результаты диссертации имеют теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность: Результаты и методы, представленные в работе могут быть использованы при чтении специальных курсов по общей топологии, функциональном анализе и теории ковариантных функторов.
Область применения: общая топология, функциональный анализ и теории ковариантных функторов.

Объекты исследования: газоснабжающие системы, функционирующие как при нормальных рабочих режимах, так и при воздействии неконтролируемых случайных возмущений.
Цель работы: развитие моделей, вычислительных алгоритмов и создание объектно-ориентированных программных средств анализа функционирования и принятия экспертных решений по оценке технологических и экономических показателей систем газоснабжения.
Методы исследования: методы теорий систем и системного анализа, принятия решений, вероятностей и математической статистики, математического программирования, теории игр, оптимизационные и эвристические подходы, вычислительный эксперимент.
Полученные результаты и их новизна: предложена информационнологическая модель жизненного цикла системы газоснабжения, которая демонстрирует весь спектр задач и требуемых для их решения информации, а также их иерархическую взаимосвязь и последовательность реализации. На основе метода градиентного спуска разработаны алгоритм и программа идентификации коэффициента сопротивления сложной сети газоснабжения. Разработаны комбинированные вычислительные алгоритмы и программные модули параметрической идентификации и определения оптимальных диаметров газораспределительных сетей. Разработана математическая модель газораспределительной сети как детерминированной системы обслуживания, базирующаяся на концепциях теории расписаний.
Практическая значимость: разработанные алгоритмы и программные средства позволяют оперативно принимать решения по управлению и регулированию объектов газоснабжения, функционирование которых осуществляется при различных условиях.
Степень внедрения и экономическая эффективность: программные средства сданы в Государственное патентное ведомство РУз (№ DGU 01936, 02011 и 2181), результаты вошли в научные отчеты гранта №14.3 ГКНТ РУз и внедрены ОУ «Самаркандгаз» (ныне «Самаркандтаъминотгаз») с экономическим эффектом 9 млн. 220 тыс. сум. в год.
Область применения: объекты добычи, транспорта и снабжения газа, а также планово-экономические отделы производств и предприятий.

Объекты исследования: процессы формирования напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций
Методы исследования: в работе для решения задачи используются следующие приближенные методы: вариационный метод Ритца; метод упругих решений А.А.Ильюшина; метод последовательных приближений.
Полученные результаты и их новизна: получена математическая модель решения физически и геометрически нелинейной задачи изгиба пластин, на основе которой разработан алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния пластин с использованием метода Ритца, упругих решений А.А.Ильюшина и метода последовательных приближений. Новизна предлагаемой работы заключается в следующем: выведена математическая модель решения нелинейной задачи на основе метода Ритца; разработан алгоритм решения задачи и создан комплекс программных средств, позволяющий автоматизировать процесс решения задачи.
Практическая значимость: состоит в том, что разработанная математическая модель, алгоритм и программное обеспечение могут быть рекомендованы для научно-исследовательских и проектных институтов, а методика построения математической модели, разработки алгоритма и программного обеспечения может быть использована в проектных организациях и специализированных факультетах Университетов Республики Узбекистан.
Степень внедрения и экономическая эффективность: результаты исследований могут быть использованы в различных отраслях промышленности, где используются конструкции, типа пластины. Использование алгоритма и созданного программного обеспечения сулит довольно существенный экономический эффект за счет сокращения сроков и трудоёмкости проектно-конструкторских разработок.
Область применения: машиностроение, летательные аппараты, энергетика, строительство.

Объекты исследования: фильтрация многофазных жидкостей в пористых средах.
Цель работы: Разработка вычислительных алгоритмов и на их базе создание математического и программного обеспечения автоматизированной системы расчета основных показателей нефтегазовых месторождений.
Методы исследования: методы вычислительной математики, математического моделирования, а также методы технология программирования, разработки и тестирования программных систем.
Полученные результаты и их новизна: Исследованы математические модели и разработаны вычислительные алгоритмы решения двухмерных краевых задач фильтрации многофазных жидкостей в пористой среде; разработаны программные обеспечения автоматизированной системы решение задач фильтрации многофазных жидкостей в пористой среде; проведены вычислительные эксперименты по расчету основных показателей нефтегазовых месторождений
Практическая значимость: предлагаемое специальное математическое и программное обеспечение позволяет оперативно провести серийные расчеты по прогнозированию основных показателей разработки нефтегазовых месторождений.
Степень внедрения и экономическая эффективность: Разработанное программное средство защищено свидетельством Агентства по интеллектуальной собственности Республики Узбекистан, №DGU 02001. Программное средство внедрено в УДП «Мубарек нефтгаз» и достигнута его экономическая эффективность.
Область применения: Разработанная методика расчета и программные средства позволяют исследовать разработку соответствующих нефтегазовых месторождений, теоретические положения и выводы исследования могут использоваться при чтении специальных курсов для бакалавриатуры и магистриатуры по специальности “Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей”.